保险经济学 第五章

(1 p)u '(w1 )dw1 pu '(w2 )dw2 0

w1对w2的边际替代率为
dw2 1 p u '( w1 ) dw1 p u '( w2 )
2.效用函数与无差异曲线
设一个人发生事故的概率为 p ，则其期望效用函数可
表示为：
ˆ ( p; w , w ) (1 p)u(w ) pu(w ) V 1 2 1 2


C0在 w1Ow2 坐标系下坐标为(w,w-l)，在 C0 坐标系下坐标为 (0,0)，表示不投保的情况。
低风险投保人的零利润曲线为 (1 pL ) pL 0 斜率为 (1 pL ) / pL。高风险投保人的零利润曲线为 (1 pH ) pH 0




dw2 dw2 | p pL | p pH dw1 dw1 低风险投保人的边际替代率要高于高风险投保人的边际替 代率，低风险投保人的无差异曲线要陡一些。

在完美信息条件下，保险公司能区分两类人，分别提高保险合 约 CH ( H , H ), CL ( L , L )，目标为 max ( pH ; , )
当 V ( p; , ) V ( p;0,0)，即一个人投保时的期望效用比部投保 时期望效用要高时，他才会选择买保险。这就给出一个最 基本的可选择的保险合约集。

发生概率为p，效用水平为v0的投保人的无差异曲线方程为
(1 p)u(w1 ) pu(w2 ) v0

两边对w1,w2求全微分得
V (CH | pL ) V (CL | pL )

在阴影表示的可行集中，保险公司要选择一点使其期望利润最 大化，CH 的选择为高风险投保人效用水平为V (CL | pH ) 的无差异 曲线与45度线交点，即高风险个体获得全额保险。
（二）不完美信息条件下垄断性保险市场的均衡
无差曲线上, w1 对
w2 的边际
替代率为: dw2 1 p u( w1 ) dw1 p u( w2 ) 特别地，投保人经过45度线 （全额投保）上任一点的无差异 (1 p) p 曲线的边际替代率为：
3.利润函数与等利润线
保险公司把一份保险合同 ( , ) 卖给事故发生概率为 p 的投
二、基本模型
1.基本假设 个人拥有财富 w 事故发生后损失的大小为常数 l 设保费为 ，保额为 q ,令 q ，损失发生的净支付 用 (w1 , w2 ) 表示一个人所处的财富状态， w1 表示事故没 有发生时的财富，w2 表示事故发生时的财富 个人对财富的效用函数为 u () ，u () 满足 u() 0 , u() 0 一个人不投保，财富为 (w, w l )；如果该人投保，财富为 ( w , w l q) ( w , w l )
这条直线的斜率为(1-p)/p。零利润 曲线方程为 (1 p) p 0
三、竞争性保险市场的均衡


竞争性保险市场的均衡的含义
在完全竞争市场上，保险人自由进入和完全竞争使其期望 利润为零，所谓寻找均衡，就是寻找最优保险合约，具体 在竞争性保险市场上是指：要找到这样的保险合约，使得 在保险人期望利润为零的约束条件下，投保人能够使其效 用最大化。


高风险投保人 w1对w2的边际替代率为 dw2 1 pH u '( w1 ) | p pH dw1 pH u '( w2 ) 低风险投保人 w1对w2的边际替代率为 dw2 1 pL u '( w1 ) | p pL dw1 pL u '( w2 ) 因为 pH pL ，所以
CL



高风险投保人获得全额的保险，低风险的投保人获得部分保 险。
（二）不完美信息条件下竞争性保险市场的均衡

不存在混同均衡 在一定条件下，存在 分离均衡

四、垄断性保险市场的均衡


垄断性保险市场的均衡的含义
垄断性保险市场是指只有一个保险人的保险市场，垄断市 场条件下的均衡保险合约是指在投保人接受的保险合约的 可行集中，保险公司能获得最大利润的保险合约。 在完美信息和不完美信息条件下，垄断性保险市场的均衡 状态是不一样的。在不完美信息条件下，均衡可能是不存 在的。均衡存在的条件和均衡保险合约的形式比较复杂。
u(w) ln w
两人有同样的初始财富120元，两人都可能遭受100 元的损失。 其中一人是低风险者，另一人是高风险者，低风险 者遭受损失的概率是10%，高风险者遭受损失的概 率是30%。

公平保费条件下两类投保人不投保与投保情况下的期望效用
低风险投保人 公平保费 不投保时的期望效用 投保时的期望效用 10.00 100*10% 4.61 0.1*ln20+0.9*ln120 4.70 ln(120-10)
保费
不投保时的期望效用 投保时的期望效用
20.00 4.608 0.1*ln20+0.9*ln120 4.605 ln(120-20)
低风险的人会放弃保险，收取20元的保费，保险人会亏损。因此，保险 人会取消基于平均保费的保险合同。在逆向选择存在的情况下，只有高 风险者才能享受保险。
在实际中，保险公司并不是提供单一的保险合约 ，会提供多种保险合约：
斜率为 (1 pH ) / pH。
（一）完美信息条件下竞争性保险市场的均衡


一个事故发生概率为p的投保 人，其无差异曲线与45度线交 点处的斜率为(1-p)/p。这也说 明一个投保人的无差异曲线与 保险公司对此类投保人的零利 润曲线相切于零利润线与45度 线的交点，此交点也就是投保 人效用最大化点。 存在分离均衡，投保人都会获 得全额的保险 保险公司的利润趋于保险公司无法区分两类人，高风险投保人会选择 CL 。保 险公司会向所有购买 CL 的投保人提供 CL ，保险公司会承担期 望损失。 保险公司只有提供保费水平，才能防止亏损，但同时会导致 低风险的投保人不会投保，这是一个典型的逆向选择现象。 若欲达到均衡，需要调整 CL ，使得高风险的投保人不会选择 ，如果 CL 能移动到高风险投保人经过 CH 的无差异曲线与 l L 的交点，此时低风险投保人会选择 CL 。最终保险市场达到均 衡。
二元向量( , )表示一个保费为 ，保额为 的保险合约
所有的保险合约都可以用图5-1中平面上得一点来 表示。

横轴表示保险合约被选择后没有事故发生情况下的财富； 纵轴保险合约被选择后事故发生情况下的财富，C0表示个 人不投保时的财富状态，即 (w1 , w2 ) (w, w l )或者( , ) (0, 0) 设一个发生事故概率为p的投保人选择保险合约 ( , ) 时 的期望效用为
假设保险市场上高风险投保人所占比例为 ，则发生事 故的平均概率为p pH (1 ) pL 。 保险公司把一份保险合同C ( , )卖给事故发生概率为 p 的 投保人之后获得的期望利润函数可以表示为： ( p; , ) (1 p) p
保险公司期望利润为零，所以C在零利润曲线上，方程为 (1 p) p 0 因为 pL p pH，所以 (1 pH ) / pH (1 p) / p (1 pL ) / pL 这条零利润曲线经过C0点，且位于lH 和 l L 之间。 我们可以找到另外一点 C ' ，满足以下条件：它位于经过 C点得高风险投保人的效用无差异曲线以下，经过C点得 低风险投保人的效用无差异曲线以上，且位于低风险投 保人的零利润线之下。 如果另一家保险公司提供 C ' ，则有正的期望利润。

全额保单，保费较高，风险高的个体选择； 有免赔额，保费较低，风险低得个体选择；
保险公司从两类合约中都能获得利润。
信息分类：

私有信息：相关的人有些知道这条信息，有些不知道。 公共信息：每一个人都指导，或所有的相关人都知道。 完美信息条件：所有的信息都是公共信息。 不完美信息条件：并不是所有的信息都是公共信息。
在完美信息和不完美信息情况下，均衡状况是不一样的。 在不完美信息条件下，分离均衡可能存在，但如果在保险 市场上低风险投保人的比例过高的话，这种分离均衡是不 存在的。


在保险市场中有高风险和低风险两类投保人，发生事故的概 率分布为 pH和 pL ，如果发生事故，会产生固定的损失l。 在完全竞争市场上，保险人期望利润为0，即在均衡条件下 保险合约在零利润线上得到。
ˆ ( p; w , w l ) (1 p)u(w ) pu(w l ) V ( p; , ) V
特别，一个发生事故概率为p的人不投保时的期望效用为 V ( p;0,0) (1 p)u(w) pu(w l ) 图5-1给出了效用水平为V(p;0,0)的无差异曲线。
保人之后获得的期望利润函数可以表示为： ( p; , ) (1 p) p 在 C0 坐标系中讨论与且利润相关问题，坐标系与C0为原 点，一条直线在这两个坐标系中的 斜率绝对值相同，符号相反。保险 公司期望利润为 0时的等利润线方程为
(1 p) p 0

（二）保险市场的逆向选择

保险市场的逆向选择的主要体现： 投保人总比保险人更清楚自己的风险状况，更清楚自己会 在哪些方面遭受损失。投保人往往试图利用其更多的信息 ，以低于公平保费的价格取得保险，这种倾向就是保险市 场的逆向选择。 平均保费


一个例子
一个例子

市场上有两个投保人，两人对财富有相同的效用函 数，形式为：


投保人的消费者剩余趋于零


在不完美信息条件下，高风险投保人的最优保险是全额保险。 保险公司针对低风险投保人的保险合约为 CL ，保险公司为了 防止逆向选择，同时获取最大利润，在一定的保险合约集中选 择最优的保险合约。 给定 CL ，保险公司在设计CH 时，要使CH 满足 V (CH | pH ) V (CL | pH )