指数函数图象的平移
指数函数图象的翻折平移.ppt
1 : y 3x
2 : y (1)x 3
思考：y ax与y ax的图象有什么关系？
函数图象的变换
思考：y ax与y ax的图象有什么关系？
观察它们的图象
令f (x) ax ,则ax f (x) f (x) 图象关于y轴对称 f (x)
思考：y ax与y ax的图象有什么关系？
观察它们的图象
小结：
小结：
练习1：已知f (x) 2x , 作出| f (x) 1| 和f (| x 1|)的图象
练习2：方程2|x| x 2的实根的个数
2、图象的平移变换
(1)
f (x) 沿x轴正方向平 移a个单位 f (x a), (a 0)
(2)
f (x) 沿x轴负方向平移a个单位 f (x a), (a 0)
(3)
f (x) 沿y轴正方向平移b个单位 f (x) b, (b 0)
(4)
f (x) 沿y轴负方向平移b个单位 f (x) b, (b 0)
观察它们的图象
令f (x) ax ,则 ax f (x) f (x) 图象关于x轴对称 f (x)
思考：y ax与y ax的图象有什么关系？
观察它们的图象
令f (x) ax ,则 ax f (x)
f (x) 图象关于原点对称 f (x)
1、图象的对称变换
(1)
f (x) 图象关于y轴对称 f x 1的图象
x
x 1
y x 1 1 2 x 1 x 1
y 2 向左 平移1 y 2
y
x
x 1
y 1 2 向上平移1 x 1
1
2 1 0 1 2
x
3、图象的翻折变换
指数函数的图像和性质教案设计
指数函数的图像和性质教案设计第一章：指数函数的引入1.1 生活中的实例引入通过生活中的实例，如细胞分裂、放射性衰变等，引入指数函数的概念。
引导学生观察实例中的规律，引发对指数函数的好奇心。
1.2 指数函数的定义给出指数函数的数学定义：形如f(x) = a^x 的函数，其中a 是正常数。
解释指数函数与幂函数的关系。
1.3 指数函数的图像利用数学软件或图形计算器，绘制几个简单的指数函数图像。
引导学生观察图像的形状和特点，如随着x 的增大，函数值增大或减小等。
第二章：指数函数的性质2.1 指数函数的单调性探讨指数函数的单调性，即随着x 的增大，函数值是增大还是减小。
引导学生通过观察图像或数学推理来得出结论。
2.2 指数函数的渐近行为分析指数函数在x 趋向于正无穷和负无穷时的渐近行为。
引导学生理解指数函数的快速增长和减趋行为。
2.3 指数函数的零点和极限探讨指数函数的零点，即函数值为零的x 值。
引导学生理解指数函数的极限概念，如x 趋向于某个值时函数的极限。
第三章：指数函数的应用3.1 人口增长模型利用指数函数模型描述人口增长，介绍人口增长的基本规律。
引导学生通过指数函数来分析和预测人口变化。
3.2 放射性衰变模型利用指数函数模型描述放射性物质的衰变过程，介绍放射性衰变的基本规律。
引导学生通过指数函数来分析和预测放射性物质的变化。
3.3 投资增长模型利用指数函数模型描述投资的复利增长，介绍投资增长的基本规律。
引导学生通过指数函数来分析和预测投资的变化。
第四章：指数函数的图像和性质的综合应用4.1 指数函数图像的变换探讨指数函数图像的平移、缩放等变换规律。
引导学生通过变换规律来理解和绘制更复杂的指数函数图像。
4.2 指数函数性质的综合应用结合前面的学习，解决一些综合性的问题，如求指数函数的零点、极值等。
引导学生运用指数函数的性质来解决实际问题。
第五章：复习和拓展5.1 复习指数函数的图像和性质通过复习题和小测验，巩固学生对指数函数图像和性质的理解。
指数函数定义域,值域,复合函数单调性,平移,轴对称
指数函数定义域,值域,复合函数单调性,平移,轴对称对你有一定的帮助!1.若函数1.若函数f ( x) = 2 x 3 + 3 的图像恒过定试求P的坐标。
点P,试求P的坐标。
2. 函数y=a x-1+4 恒过定点_____. 恒过定点_____ _____. = -3.方程2 3(2 ) 4 = 0的解为：____2x x对你有一定的帮助!一.求指数型复合函数的定义域、值域：求指数型复合函数的定义域、值域：(1) y = 0.4x1 x 1(2) y = 35 x 1(3) y = 2 + 1(4) y = 4 + 2xx+1+1对你有一定的帮助!二.求下列函数的定义域、值域：求下列函数的定义域、值域：(1) y = 31 2 x1 (2) y = ( ) 2x 11 x2 4x x (3) y = ( ) (4) y =3 + 1 4对你有一定的帮助!复合函数单调性复合函数的单调性，同增异减” 复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理.u = g (x)增减增减f ( x) = a增减减增uf ( x) = a增增减减g ( x)对你有一定的帮助!练习讨论下列函数的定义域、值域、1、讨论下列函数的定义域、值域、单调区间(1) y = 2x 1(2) y = 3x2 2 x( 3) y = 3x1 ( 4) y = 3x2 2 x对你有一定的帮助!作业1、求函数的定义域、值域和单调区间. 求函数的定义域、值域和单调区间.(1) y = 0.5 (2) y = 21 2 x + x22x + 2 x +1对你有一定的帮助!求下列函数的的定义域、值域、求下列函数的的定义域、值域、单调区间(1) y = log2 ( x + 2x + 5)2(2) y = log 1 ( x + 4x + 5)2 3对你有一定的帮助!2 1 例已知函数f (x) = x 2 +1x(1)确定f(x)的奇偶性；(1)确定f(x)的奇偶性；奇函数确定f(x)的奇偶性(2)判断f(x)的单调性；(2)判断f(x)的单调性；R上是单调递增判断f(x)的单调性在(3)求f(x)的值域. (3)求f(x)的值域. 的值域值域( 值域(-1,1)对你有一定的帮助!练习: 练习:解下列不等式(1) 6x2 + x 211 x2 8 2x (2) ( )3 3 1 x2 x2 2 x (3) a ( ) ( a 0且a ≠ 1) a对你有一定的帮助!一、指数函数图象的变换1.说明下列函数图象与指数函数=2x的说明下列函数图象与指数函数y= 说明下列函数图象与指数函数图象关系，并画出它们的图象: 图象关系，并画出它们的图象(1) y = 2xx+1, y=2x+2;(2) y = 2x 1, y=2x 2;(3) y = 2 + 1, y = 2 1.x对你有一定的帮助!(1) y = 2xx+1, y=2-2x+2作出图象，显示出函数数据表作出图象，-3x -11 2 42 43 8y=20.125 0.25 0.5 1 0.25 0.5 0.5 1 1 2 2 4y=2y=2x+18 16x+28 16 32对你有一定的帮助!比较函数y=2xy9 8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -2 O 2 4y=2x+1x+2y=2. 的图象关系x对你有一定的帮助!比较函数y=2xy9 8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -2 O 2 4 y=2x+1x+2y=2. 的图象关系x对你有一定的帮助!比较函数y=2xy9 8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -2 O 2 4 y=2x+1x+2y=2. 的图象关系x对你有一定的帮助!(2) y = 2xx 1, y=2x 2作出图象，显示出函数数据表作出图象，-3x -2 0.25 0.125-1 0.5 0.250 1 0.51 2 12 3 4 8 2 4y=2y=20.125 0.0625x 1y=2x 20.03125 0.0625 0.125 0.25 0.5 1 2对你有一定的帮助!比较函数y=2y=2__ 1y9 8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -2 O 2 4y=2x 2. 的图象关系x对你有一定的帮助!比较函数y=2y=2__ 1y9 8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -2 O 2 4 y=2x 2. 的图象关系x对你有一定的帮助!比较函数y=2y=2__ 1y9 8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -2 O 2 4 y=2x 2. 的图象关系x对你有一定的帮助!。
高中新教材数学必修件时指数函数的图象与性质
对称变换规律
01
指数函数$y=a^x$（$a>0$，$aneq 1$）的图像关于 原点对称。即当$x$取相反数时，$y$也取相反数。
02
指数函数图像也关于直线$y=x$对称。即当函数形式为 $y=a^x$和$x=a^y$时，两个函数的图像关于直线 $y=x$对称。
03
对称变换不改变图像的形状和开口方向，只改变图像的 位置和对称轴。
当$0 < a < 1$时，指数函数的 图像在$x$轴上方，但随着$x$ 的增大，函数值逐渐减小，图像
向右下方延伸。
指数函数的图像都经过点$(0, 1)$。
指数函数性质总结
01
指数函数的值域为$(0, +infty)$。
02
指数函数在其定义域内是连续的。
03
指数函数在其定义域内是可导的，且导数等 于其自身乘以一个常数。
03
电磁辐射衰减
在通信和电磁学领域，指数函数可用于描述电磁辐射在传播过程中的衰
减。根据衰减常数和传播距离，可以计算信号强度的变化。
复合增长问题中指数函数应用
复利计算
在金融领域，指数函数用于计算 复利问题。通过给定本金、年利 率和存款期限，可以计算存款到
期时的本息总额。
连续增长模型
在经济学和生物学等领域，指数 函数可用于描述连续增长的模型 。通过分析历史数据，可以估算 出连续增长率，并预测未来某一
时刻的数量或规模。
化学反应动力学
在化学领域，指数函数用于描述 化学反应的动力学过程。通过分 析反应速率与反应物浓度的关系 ，可以了解反应的动力学特性和
反应机理。
05 典型例题解析与课堂互动环节
典型例题解析过程展示
01
指数、对数、幂函数对比
指数函数概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。
注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。
⒉指数函数的定义仅是形式定义。
指数函数的图像与性质：规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。
2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。
在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。
3.四字口诀：“大增小减”。
即：当a＞1时，图像在R上是增函数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。
4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
比较幂式大小的方法：1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；2.当底数中含有字母时要注意分类讨论；3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。
对数函数1.对数函数的概念由于指数函数y=a x在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数y=a x(a ＞0，a ≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a ＞0，a ≠1).因为指数函数y=a x的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x . 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.为了研究对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数y=log 2x ，y=log 10x ，y=log 10x,y=log 21x,y=log101x 的草图由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的图像的特征和性质.见下表.]图象a＞1 a＜1性质(1)x＞0(2)当x=1时，y=0(3)当x＞1时，y＞00＜x＜1时，y＜0(3)当x＞1时，y＜00＜x＜1时，y＞0 (4)在(0，+∞)上是增函数(4)在(0，+∞)上是减函数补充性质设y1=log a x y2=log b x其中a＞1，b＞1(或0＜a＜1 0＜b＜1) 当x＞1时“底大图低”即若a＞b则y1＞y2当0＜x＜1时“底大图高”即若a＞b，则y1＞y2比较对数大小的常用方法有：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.3.指数函数与对数函数对比名称指数函数对数函数一般形式y=a x(a＞0，a≠1) y=log a x(a＞0，a≠1) 定义域(-∞，+∞) (0，+∞)值域(0，+∞) (-∞，+∞)函数值变化情况当a＞1时，⎪⎩⎪⎨⎧<<==>>)0(1)0(1)0(1xxxa x当0＜a＜1时，⎪⎩⎪⎨⎧<>==><)0(1)0(1)0(1xxxa x当a＞1时⎪⎩⎪⎨⎧<<==>>)1(0)1(0)1(0logxxxxa当0＜a＜1时，⎪⎩⎪⎨⎧<>==><)1(0)1(0)1(0logxxxxa单调性当a＞1时，a x是增函数；当0＜a＜1时，a x是减函数.当a＞1时，log a x是增函数；当0＜a＜1时，log a x是减函数.图像y=a x的图像与y=log a x的图像关于直线y=x对称.幂函数幂函数的图像与性质幂函数n y x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n y x =，当112,1,,,323n =±±±的图像和性质，列表如下． 从中可以归纳出以下结论：① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．② 11,,1,2,332a =时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数． ③ 1,1,22a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数．④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．n y x =奇函数 偶函数 非奇非偶函数 1n >01n <<0n <OxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxy定义域 R R R奇偶性奇奇奇非奇非偶 奇在第Ⅰ象限的增减性 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像在第一象限的分布规律是：①所有幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像都过点)1,1(；②当21,3,2,1=α时函数y x α=的图像都过原点)0,0(；③当1=α时，y x α=的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如2c ）；④当3,2=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如1c ）⑤当21=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3c ）⑥当1-=α时，y x α=的的图像不过原点)0,0(，且在第一象限是“下滑”曲线（如4c ）当0>α时，幂函数y x α=有下列性质：（1）图象都通过点)1,1(),0,0(；（2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内，1>α时，图象是向下凸的；10<<α时，图象是向上凸的； （4）在第一象限内，过点)1,1(后，图象向右上方无限伸展。
指数函数平移
指数函数平移指数函数的平移是数学中的一个重要概念，它是指把指数函数的原点做出一定的变化，让指数函数的图像在坐标系中左右、上下移动。
平移是指数函数参数调整过程中的一种操作，它可以帮助我们更改指数函数的图形，以便更好地理解指数函数的特性和表达式。
指数函数的平移也称之为参数调整，它可以帮助我们更好地理解和表达指数函数的特性。
通常情况下，可以通过平移来增大或减小指数函数的值，并改变指数函数的曲线。
指数函数的平移可以分为三种，即水平平移，上下平移，和参数调整。
水平平移是指沿着x轴将指数函数进行左右移动，移动的方向与移动量有关。
上下平移是指沿着y轴将指数函数进行上下移动，移动的方向与移动量有关。
最后，参数调整是指修改指数函数的参数，使指数函数的函数图发生变化。
在指数函数的平移中，水平平移是最重要的一种操作，它可以将一个指数函数的中心点转向另一个位置，从而使指数函数的函数图发生变化。
举个例子，如果我们想要将y=2^x函数的中心点向右平移3个单位，则可以将其写成y=2^（x-3）的形式。
这里的-3表示的是右平移的量，而+3表示的是左平移的量。
而上下平移则涉及到指数函数的另一个参数，也就是“指数自变量”。
像y=2^x一样，“2”这个数字就是指数函数的一个参数，也就是“指数自变量”。
这个参数使指数函数得以变化，也就是说可以通过改变这个参数来使指数函数本身进行上下平移。
最后，改变指数函数参数也是一个有效的指数函数平移方法，但其处理方式与水平平移和上下平移有些不同。
如果想要改变指数函数的函数图，首先要找出函数中的(?x)，其中的参量x表示的是指数函数的参数。
我们可以将这个参量乘以一个系数来改变函数的大小，也可以对函数进行 x加减操作来改变函数的形状。
指数函数的平移能够让我们更好地理解指数函数的特性和表达式，从而帮助我们更好地应用指数函数。
它分为三个方面：水平平移、上下平移和参数调整。
水平平移是指沿着x轴将指数函数进行左右移动；上下平移是指沿着 y将指数函数进行上下移动；参数调整是指修改指数函数的参数，使指数函数的函数图发生变化。
计算指数函数的平移和缩放
计算指数函数的平移和缩放指数函数是数学中的重要函数之一，它具有形如f(x) = a⋅bˣ的表达式，其中a和b都是常数，b被称为底数。
在研究指数函数时，我们常常需要考虑平移和缩放对其图像的影响。
一、指数函数的平移平移是指将函数图像上下或左右移动的操作，它可以通过改变指数函数中的常数项来实现。
设原始的指数函数为f(x) = a⋅bˣ，若我们将其上下平移h个单位，则得到新的指数函数f(x) = a⋅bˣ + h。
当h为正值时，函数图像将向上平移，而当h为负值时，函数图像将向下平移。
平移的距离是|h|，也就是h的绝对值。
举例来说，考虑指数函数f(x) = 2ˣ。
如果我们将其上移2个单位，则得到新的指数函数f(x) = 2ˣ + 2。
相比于原来的函数，新函数的图像将整体上移2个单位。
二、指数函数的缩放缩放是指将函数图像进行拉伸或压缩的操作，它可以通过改变指数函数中的底数来实现。
设原始的指数函数为f(x) = a⋅bˣ，若我们将其按横轴方向缩放k倍（k>0），则得到新的指数函数f(x) = a⋅(b/k)ˣ。
当k大于1时，函数图像将被水平拉伸，而当0<k<1时，函数图像将被水平压缩。
缩放倍数是k的倒数，也就是1/k。
举例来说，考虑指数函数f(x) = 2ˣ。
如果我们将其在横轴方向压缩为原来的一半，则得到新的指数函数f(x) = 2ˣ/2 = 2ˣ/4。
相比于原来的函数，新函数的图像将在横轴方向缩短一半。
三、平移和缩放的综合应用在实际问题中，我们常常需要同时考虑指数函数的平移和缩放。
此时，我们可以先进行缩放操作，再进行平移操作。
设原始的指数函数为f(x) = a⋅bˣ，若我们将其按横轴方向缩放k倍，并将结果向左平移h个单位，则得到新的指数函数f(x) = a⋅(b/k)ˣ + h。
这里的缩放倍数是k，平移距离是|h|，分别决定了函数图像的水平压缩程度和水平平移距离。
举例来说，考虑指数函数f(x) = 2ˣ。
3. 指数函数图像
当0 x 1 时，y 0 ;当x 1 时，y 0 , 故选B
4.翻折变化：
1 y f x 去掉y 轴左边图，保 留y 轴右 边图 y f x 将y 轴右边的图像翻折到左边去
① f x ex f x = e x
② f x = e x f x 2 = e x-2
指数函数的图象
知识点
1.当 当0a
1 a
时， 底数a 越大，图象在x 1 时，底数a 越小，图象在x
0
时越接近y 轴，在x 0 0 时越接近x 轴，在x
时越接近x 轴 0 时越接近y 轴
2.平移变换：左加右减
1 f x 向左平移a 个单位 f x a 2 f x 向上平移 a个单位 f x a 3 f x 向右平 移 a个单位 f x a 4 f x 向下平移a个单位 f x a
解析：① 有界性：由函数的定义域得x 0 , A错； 当x 0 时，y 0 ,B错;
② 指数爆炸，当x , y 0 ,D错
例7 函数y x3 x 2 x 的图象大致是
解析：① 奇偶性：f x x3 x 2 x f x ,故函数为奇函数，C错； ② 有界性：令y 0 ,则 x3 x 2 x 0
D. a b 1 d c
例2 已知1 n m 0 ,则指数函数① y mx ,
② y nx 的图象为
例3 已知函数y ax b a 0且 a 1 的图象经过
第二、三、四象限，则有
A. 0 a 1 ,b 1
知识讲解_指数函数及其性质_基础
指数函数及其性质要点一、指数函数的概念：函数y=a x (a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释：（1）形式上的严格性：只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23xy =⋅，12xy =，31xy =+等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a 大于零且不等于1：①如果0a =，则000x x ⎧>⎪⎨≤⎪⎩xx时，a 恒等于，时,a 无意义.②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)xy =-，当11,,24x x ==⋅⋅⋅时，在实数范围内函数值不存在．③如果1a =，则11xy ==是个常量，就没研究的必要了． 要点二、指数函数的图象及性质：y=a x0<a<1时图象a>1时图象图象性质 ①定义域R ，值域 （0，+∞）②a 0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点 ③a x =a ，即x=1时，y 等于底数a④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0时，a x >1 x>0时，0<a x <1⑤x<0时，0<a x <1 x>0时，a x >1⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数（1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。
（2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。
当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。
当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。
（3）指数函数xy a =与1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称。
要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1）① xy a = ②xy b = ③x y c = ④x y d =则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数112,3,(),()23x x x x y y y y ====的图像：要点四、指数式大小比较方法(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若0A B A B ->⇔>；0A B A B -<⇔<；0A B A B -=⇔=； ②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1A B >，或1AB<即可． 【典型例题】类型一、指数函数的概念例1．函数2(33)xy a a a =-+是指数函数，求a 的值． 【答案】2【解析】由2(33)xy a a a =-+是指数函数，可得2331,0,1,a a a a ⎧-+=⎨>≠⎩且解得12,01,a a a a ==⎧⎨>≠⎩或且，所以2a =．【总结升华】判断一个函数是否为指数函数：（1）切入点：利用指数函数的定义来判断；（2）关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量x ．举一反三：【变式1】指出下列函数哪些是指数函数（1）4xy =；（2）4y x =；（3）4xy =-；（4）(4)xy =-；（5）1(21)(1)2xy a a a =->≠且；（6）4x y -=．【答案】（1）（5）（6）【解析】（1）（5）（6）为指数函数．其中（6）4x y -==14x⎛⎫ ⎪⎝⎭，符合指数函数的定义，而（2）中底数x 不是常数，而4不是变数；（3）是-1与指数函数4x 的乘积；（4）中底数40-<，所以不是指数函数．类型二、函数的定义域、值域 例2．求下列函数的定义域、值域.(1)313xxy =+；(2)y=4x -2x +1；(4)y =为大于1的常数)【答案】（1）R ，(0，1)；（2）R [+∞,43)；（3）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭[)0,+∞；（4）(-∞，-1)∪[1，+∞) [1，a)∪(a ，+∞)【解析】(1)函数的定义域为R (∵对一切x ∈R ，3x ≠-1).∵ (13)1111313x x xy +-==-++，又∵ 3x >0， 1+3x >1， ∴ 10113x <<+， ∴ 11013x-<-<+，∴ 101113x<-<+， ∴值域为(0，1). (2)定义域为R ，43)212(12)2(22+-=+-=x x x y ，∵ 2x >0， ∴ 212=x即 x=-1时，y 取最小值43，同时y 可以取一切大于43的实数，∴ 值域为[+∞,43). (3)要使函数有意义可得到不等式211309x --≥，即21233x --≥，又函数3x y =是增函数，所以212x -≥-，即12x ≥-，即1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，值域是[)0,+∞.(4)∵011112≥+-=-+x x x x ∴ 定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)， 又∵111011≠+-≥+-x x x x 且，∴ a ay a y x x x x≠=≥=-+-+1121121且， ∴值域为[1，a)∪(a ，+∞).【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0的条件，第(4)小题中112111≠+-=+-x x x 不能遗漏. 举一反三：【变式1】求下列函数的定义域： (1)2-12x y =(2)y =(3)y =(4)0,1)y a a =>≠【答案】（1）R ；（2）(]-3∞，；（3）[)0,+∞；（4）a>1时，(]-0∞，；0<a<1时，[)0+∞，【解析】(1)R(2)要使原式有意义，需满足3-x ≥0，即3x ≤，即(]-3∞，．(3) 为使得原函数有意义，需满足2x -1≥0，即2x ≥1，故x ≥0，即[)0,+∞(4) 为使得原函数有意义，需满足10xa -≥，即1xa ≤，所以a>1时，(]-0∞，；0<a<1时，[)0+∞，.【总结升华】本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调性，根据所给的同底指数幂的大小关系，结合单调性来判断指数的大小关系.类型三、指数函数的单调性及其应用例3．讨论函数221()3x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性，并求其值域．【思路点拨】对于x ∈R ，22103x x-⎛⎫> ⎪⎝⎭恒成立，因此可以通过作商讨论函数()f x 的单调区间．此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可以逐层讨论它的单调性，综合得到结果．【答案】函数()f x 在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数 （0，3] 【解析】解法一：∵函数()f x 的定义域为（－∞，+∞），设x 1、x 2∈（－∞，+∞）且有x 1＜x 2，∴222221()3x x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，211211()3x x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，222222121212121122()()(2)2211()113()3313x x x x x x x x x x x x f x f x -----+--⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）当x 1＜x 2＜1时，x 1+x 2＜2，即有x 1+x 2－2＜0．又∵x 2－x 1＞0，∴(x 2―x 1)(x 2+x 1―2)＜0，则知2121()(2)113x x x x -+-⎛⎫> ⎪⎝⎭．又对于x ∈R ，()0f x >恒成立，∴21()()f x f x >． ∴函数()f x 在（－∞，1）上单调递增．（2）当1≤x 1＜x 2时，x 1+x 2＞2，即有x 1+x 2－2＞0． 又∵x 2－x 1＞0，∴(x 2―x 1)(x 2+x 1―2)＞0，则知2121()(2)1013x x x x -+-⎛⎫<< ⎪⎝⎭．∴21()()f x f x <．∴函数()f x 在[1，+∞）上单调递减．综上，函数()f x 在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数．∵x 2―2x=(x ―1)2―1≥－1，1013<<，221110333x x--⎛⎫⎛⎫<≤= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． ∴函数()f x 的值域为（0，3]．解法二：∵函数()f x 的下义域为R ，令u=x 2－2x ，则1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭．∵u=x 2―2x=(x ―1)2―1，在（―∞，1]上是减函数，1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭在其定义域内是减函数，∴函数()f x 在（－∞，1]内为增函数．又1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭在其定义域内为减函数，而u=x 2―2x=(x ―1)2―1在[1，+∞）上是增函数，∴函数()f x 在[1，+∞）上是减函数．值域的求法同解法一．【总结升华】由本例可知，研究()f x y a =型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当a ＞1时，()f x y a=的单调性与()y f x =的单调性相同；当0＜a ＜1时，()f x y a=的单调与()y f x =的单调性相反．举一反三：【变式1】求函数2323xx y -+-=的单调区间及值域.【答案】3(,]2x ∈-∞上单增，在3[,)2x ∈+∞上单减. 14(0,3]【解析】[1]复合函数——分解为：u=-x 2+3x-2， y=3u ；[2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间； [3]求值域. 设u=-x 2+3x-2， y=3u ，其中y=3u 为R 上的单调增函数，u=-x 2+3x-2在3(,]2x ∈-∞上单增， u=-x 2+3x-2在3[,)2x ∈+∞上单减， 则2323xx y -+-=在3(,]2x ∈-∞上单增，在3[,)2x ∈+∞上单减.又u=-x 2+3x-22311()244x =--+≤， 2323x x y -+-=的值域为14(0,3].【变式2】求函数2-2()(01)xxf x a a a =>≠其中，且的单调区间.【解析】当a>1时，外层函数y=a u 在()-∞+∞，上为增函数，内函数u=x 2-2x 在区间(1)-∞，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数，故函数2-2()(-1)x xf x a =∞在区间，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数； 当0<a<1时，外层函数y=a u 在()-∞+∞，上为减函数，内函数u=x 2-2x 在区间(1)-∞，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数，故函数2-2()xxf x a =在区间(1)-∞，上为增函数，在区间[)1,+∞上为减函数.例4．证明函数1()(1)1x xa f x a a -=>+在定义域上为增函数. 【思路点拨】利用函数的单调性定义去证明。
指数函数图象的特点
y
7 6
5
y 2x1 4
3
2
y 2x y 2x1
1 4 3 2 1 O
1 2 3 4x
要掌握指数函数的图象及性质 在比较几个指数的大小时要先看底数
是大于1还是小于1
（2）的底数小于1,再由(3),（4）
中比较c,d的大小,由（1),（2）
中比较a,b的大小
例3 说明 y 2x1的图象与 y 2x的图象的关系，
并画出它们的示意图
y 2x1与y 2x的图象的关系呢？
解：比较函数 y 2x1与 y 2x的关系
y 231与y x2相等
我们来研究下面的问 题。
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个， 2个分裂成4个……
1个这样的细胞分裂x次后，得 的细胞个数y与x的函数关系是
分裂x次后呢？
这个函数里，自变量x作为指数，而 底数2是一个大于0且不等于1的的常 量。
指数函数的定义
一般地，我们把行如
的
函数叫做指数函数。
？ 其中x是自变量，函数的定义域是R
在R上是增函数（如图）
Y
y 1.7x
2.5 3
1.72.5 1.73
(2).分析 考察指数函数 y 0.8x。由于
底数 0.8 < 1，所以指数函数 y 0.8x
在R上是减函数（如图）
0.1 0.2
o
X
Y
y 0.8x
0.80.1 0.80.2
o
X
例2 如图指数函数，1.y ax 2，.y bx 3，.y cx
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y= f(x- m)
y=f(x)
上下移
y = f(x)+n
规律小结：左加右减，上加下减
练：函数y=2-x-1+1的图象可由函数y=2-x的图象 (B) A.向右平移一个单位,再向上平移一个单位得到 B.向左平移一个单位,再向上平移一个单位得到 C.向右平移一个单位,再向下平移一个单位得到 D.向左平移一个单位,再向下平移一个单位得到
比较函数 y 2 、y 2
x
x 1与y2x2的关系y2 y2
x x
向左平行移动1个单位长度 向左平行移动2个单位长度
y2
x 1 x2
y2
y
8 7 6 5 4 3 2 1
● ●
y＝2x
y＝2x＋1
● ●
y＝ 2x +2
●
● ●
●
● ●
-5 -4 -3 -2-1 O 1 2 3 4 5
2.
y x的图象怎样平移得到y x 3
y 2x的图象怎样平移得到y 2x 3
练习
• 由y=2x 的图像怎样得到y=2x+2 ， y=2x+3， y=2x-4， y=2x-5的图像？
思考：为了得到y=2x-3-1的图像，只需把 y=2x的图像 向右平移3个单位，再向下平移1个单位
3. 指数函数的性质
(1) 定义域: R
性 (2) 值域:（0，+ ∞） 质 (3) 过点(0, 1)，即x = 0 时，y=1
(4)在R上是增函数 (4)在R上是减函数
二.指数函数图像的平移
1. 实例 说明下列函数图像与指数函数y=2x
图像的关系, 并画出它们的示意图：
(1) y 2
x 1
(2) y 2
x2
思路：通过分析函数解析式的数量关系，分 析出该函数图像与指数函数图像上的点的 坐标关系，再归纳出函数图像间的关系.
分析:（1）比较函数 y=2x+1与y=2x数量关系：
y=2-2+1与y=2-1的值相等， y=2-1+1与 y=20的值相等， y=22+1与 y=23的值相等， … … y=2(t-1)+1与y=2t 的值相等.
x
练习
x 1 y 5 1. 的图象向右平移2个单位得到的 x 图象的解析式为 y 2 .
课堂小结
(1) 本节学习了指数函数图像的平移，并拓展到 一般函数图像平移的情形；
(2) 掌握平移方法，利用平移画出相关函数图像，
理解平移方向与正负号的关系.
y
y=2x+1 y 2 x
(t, 2t)
1
(t-1, 2t)
-1
2 1 O
所以,两函数图像上点的坐标存在关系： 点(t-1, 2t)
左移1
x
点(t, 2t)
结论： 指数函数y=2x的图像向左平移1个
2
2 1
单位，可得到函数y=2x+1的图像.
（2）类似可比较函数y=2x-2与y=2x的关系：
就得到函数y=2x-2的图像 (如图)
2. 方法小结:
(1) 函数y=ax的图像左移m (m>0) 个单位，得y=a x + m的图像. (2)函数y=ax图像右移m 个单位，得y=a
x - m的图像.
y
y=a x
y=ax+m
1
O
y=ax-m x
(3)平移后产生新函数——复合函数，它已 不再是指数函数了.
∵y=2-1-2与y=2-3 相等
y=20-2与y=2-2 相等
y=23-2 与y=21 相等 ∴y=2(t+2)-2与y=2t 相等
两个函数图像上纵坐标相等 的点的横坐标恰好相差 2
y
y2
x
y=2x-2
… …
1
O
x
点(t,
2t)
右移2
点(t+2, 2t)
结论：将指数函数y=2x的图像向右平移2个单位
指数函数及其性质3
一. 指数函数的定义、图像与性质
1. 指数函数定义
一般地，函数
y= a x ( a > 0, a 1) 叫做
指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R
2. 叙述指数函数y= a x ( a > 0, a 1)图像特征
y=ax
(a>1) 1
y
y
y=ax
(0<a<1)
1
O
x
O
x
三.函数图像一般平移规律
（1）沿x 轴左右平移(m>0) y y=f(x)
右移m
y=f(x+m)
左移m
y=f(x-m) x
O
注意: 数与形变化的变化规律
（2） 沿y 轴上下平移 (n>0)
y y=f(x)+n y=f(x)
上移n
y=f(x)-n
O 下移n
x
（3）函数f (x) 平移的一般规律
左右移
x
图像平移练习 1. 说明下列函数的图像与指数函数.
y( )
（1） y
1 x的图像的关系，并画出示意图 3
1
3
x2
1 （2） y x 1 3
2. 说明函数 y=4x-3的图像与函数 y=4x
的关系，并画出示意图.
练习
1. f (x) 图像向右平移2个单位后为 x 则 f (x ) = . y2
比较函数 y 2 、y 2
x
x 1
与
y2
x2
的关系
y2 y2
x x
向左平行移动1个单位长度 向左平行移动2个单位长度
y2
x 1 x2
y2
y
8 7 6 5 4 3 2 1
● ●
y＝2x
y＝2x＋1
● ●
y＝ 2x +2
●
● ●
●
● ●
-5 -4 -3 -2-1 O 1 2 3 4 5