七年级数学有理数专题：定义新运算练习(解析版)
部编数学七年级下册专题21人教七下册精选新定义题型(解析版)含答案
专题21 人教七下精选新定义题型（解析版）类型一 实数中的新定义题型1．（2022秋•辉县市校级月考）对于任意两个实数a ，b 定义两种运算：aΔb =a(a ≥b)b(a ＜b)，a∇b =b(a ≥b)a(a ＜b)，并且定义运算顺序任然是先做括号内的，例如（﹣2）Δ3＝3，（﹣2）∇3＝2，[（﹣2）Δ3]∇2＝2，那么A B ．3C ．6D 思路引领：直接利用已知运算规律分别化简，进而得出答案．解：原式＝2Δ3＝3．故选：B ．总结提升：此题主要考查了实数的运算，正确理解题意是解题关键．2．（2022•台山市校级一模）定义：求乘方运算中的指数运算叫做对数，如果N ＝a x ，则log a N ＝x ．例如log 28＝3，那么log 3127× ．思路引领：根据已知新定义计算即可确定出结果；解：∵log 3127=log 33﹣3＝﹣3，=3＝3，∴log 3127×−3×3＝﹣9．故答案为：﹣9．总结提升：本题考查了实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．3．（2022•南京模拟）新定义一种运算@，其运算法则是x @y =2@（6@8）＝ ．思路引领：先根据新定义求出6@8＝7，然后计算2@7即可得到答案．解：由题意得：6@87，∴2@(6@8)=2@7=总结提升：本题主要考查了新定义下的实数运算，正确理解题意是解题的关键．4．（2022秋•永兴县期末）定义[x ]为不大于x 的最大整数，如[2]＝2，=1，[4.1]＝4，则满足=5，则n 的最大整数为 ．思路引领：由题意得：5≤6，然后利用平方运算，进行计算即可解答．解：由题意得：∵56，∴25≤n＜36，∴n的最大整数为35．故答案为：35．总结提升：本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法，用有理数夹逼无理数是关键．5．（2022秋•隆回县期末）对于正实数a，b作新定义：a⊙b＝25⊙x2＝4，则x的值为 ．思路引领：直接利用已知得出关于x的方程，进而得出答案．解：由题意可得：=4，则10﹣|x|＝4，解得：x＝±6．故答案为：±6．总结提升：此题主要考查了实数运算，正确理解题意是解题关键．6．（2022秋•朝阳区校级期末）用⊗定义一种新运算：对于任意实数a和b，规定a⊗b＝a2﹣ab+1．（1（2⊗⊗= ．思路引领：（1）利用新运算的规定列式计算即可；（2）利用新运算的规定列式计算即可．解：（1）∵a⊗b＝a2﹣ab+1，∴原式=2×1＝2﹣1＝3﹣（2）原式=[2+1]=（3﹣+1）=（4﹣=2×（4﹣+1＝2﹣6+1＝9﹣故答案为：9﹣总结提升：本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义的规定是解题的关键．7．（2022•苏州模拟）对实数a，b，定义运算“◆”：a◆b=a≥b，例如4◆3，因为4＞3，所以4◆3=5，若x，y满足方程组4x−y=8x+2y=20，则x◆y＝ 32 ．思路引领：求出方程组的解得到x与y的值，再利用新定义求出所求即可．解：4x−y=8①x+2y=20②，①×2+②得：9x＝36，解得：x＝4，把x＝4代入②得：y＝8，则x◆y＝4◆8＝4×8＝32，故答案为：32．总结提升：本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．8．（2018秋•阳山县期末）对于实数x，y，定义一种新的运算“★”，规定x★y＝ax+by，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．如果3★5＝12，1★2＝3= ．思路引领：已知等式利用题中的新定义化简得到方程组，求出方程组的解得到a与b的值，代入原式计算即可求出值．解：已知等式利用题中的新定义化简得：3a+5b=12①a+2b=3②，②×3﹣①得：b＝﹣3，把b＝﹣3代入①得：a＝9，则原式==−3．故答案为：﹣3．总结提升：此题考查了解二元一次方程组，立方根以及实数的运算，解二元一次方程组利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．9．（2022秋•屯留区期末）对于任意的正实数a和b，我们定义新运算：a∗b=≥b)＜b)．如：27∗12=求：（5*2）×（18*45）的值．思路引领：根据定义确定好所用计算方法，再进行代入计算．解：∵5＞2，18＜45，∴（5*2）×（18*45）×（+＝3＝3[22]＝3（5﹣2）＝3×3＝9，即（5*2）×（18*45）的值是9．总结提升：此题考查了运用新定义进行实数运算的能力，关键是能准确理解并运用新定义，并进行正确地计算．类型二平面直角坐标系中的新定义题型10．（2022春•晋安区期末）定义：f（x，y）＝（﹣x，﹣y），g（a，b）＝（b，a），例如：f（1，2）＝（﹣1，﹣2），g（2，3）＝（3，2），则g（f（5，﹣2））＝（ ）A．（2，﹣5）B．（﹣2，5）C．（﹣5，2）D．（﹣2，﹣5）思路引领：直接利用已知f（x，y）＝（﹣x，﹣y），g（a，b）＝（b，a），进而分析得出答案．解：由题意可得：g（f（5，﹣2））＝g（﹣5，2）＝（2，﹣5）．故选：A．总结提升：此题主要考查了点的坐标，正确运用已知条件分析是解题关键．11．（2022春•景县期中）定义：在平面直角坐标系xOy中，把从点P出发沿纵或横方向到达点Q（至多拐一次弯）的路径长称为P，Q的“实际距离”．如图，若P（2，﹣1），Q（﹣1，0），则P，Q的“实际距离”为4，即PS+SQ＝4或PT+TQ＝4．图中点A（3，2），B（5，﹣3）为共享单车停放点，嘉淇在点P处，则（ ）A．他与A处的“实际距离”更近B．他与B处的“实际距离”更近C．他与A处和B处的“实际距离”一样近D．无法判断思路引领：根据实际距离的概念得出距离解答即可．解：P到A处的“实际距离”＝|3﹣2|+|2﹣（﹣1）|＝1+3＝4，P到B处的“实际距离”＝|5﹣2|+|﹣3﹣（﹣1）|＝3+2＝5，故选：A．总结提升：此题主要考查了坐标确定位置，正确理解实际距离的定义是解题关键．12．（2022春•思明区校级期末）给出一个新定义：若平面直角坐标系中的点（a，b）的横、纵坐标满足方程x﹣2y＝4，则称点（a，b）是方程x﹣2y＝4的坐标点，比如：点（6，1）就是方程x﹣2y＝4的坐标点．（1）写出方程x﹣2y＝4的另一个坐标点 ；（2）若有一个点（3a，a+2）是方程x﹣2y＝4的坐标点，则a的值为 ．思路引领：（1）给出x的一个值，代入求y的值；（2）把点的坐标代入方程求解．解：（1）当x＝4时，y＝0，故答案为：（4，0）．（2）由题意得：3a﹣2（a+2）＝4，解得：a＝8．故答案为：8．总结提升：本题考查了方程的解，理解新定义是解题的关键．13．（2022春•天河区期末）在平面直角坐标系中取任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义新运算“*”，得到新的C的坐标为（x1y2，x2y1），即（x1，y1）*（x2，y2）＝（x1y2，x2y1）．若点A在第一象限，点B 在第四象限，根据上述规则计算得到的点C的坐标在第 象限．思路引领：根据每一象限内点的坐标特点进行分析解答．解：∵点A （x 1，y 1）在第一象限，点B （x 2，y 2）在第四象限，∴x 1＞0，y 1＞0．x 2＞0，y 2＜0．∴x 1y 2＜0，x 2y 1＞0，∴点C 的坐标（x 1y 2，x 2y 1）位于第二象限．故选答案为：二．总结提升：本题主要考查了点的坐标，解题的关键的理解新定义的运算法则以及每一象限内点的坐标符号特征．14．（2022春•海淀区校级期中）在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P 1（x 1，y 1）与P 2（x 2，y 2）的“非常距离”给出如下定义：若|x 1﹣x 2|≥|y 1﹣y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1﹣x 2|；若|x 1﹣x 2|＜|y 1﹣y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|y 1﹣y 2|，例如：点P 1（1，2），点P 2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P 1与点P 2的“非常距离”为|2﹣5|＝3，也就是图中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 的交点）．已知点A(−12，0)，B 为y 轴上的一个动点．（1）若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标 ；（2）直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值 ．思路引领：（1）根据点B 位于y 轴上，可以设点B 的坐标为（0，y ）．由“非常距离”的定义可以确定|0﹣y |＝2，据此可以求得y 的值；（2）设点B 的坐标为（0，y ）．因为|−12−0|≥|0﹣y |，所以点A 与点B 的“非常距离”最小值为|−12−0|=12．解：（1）∵B 为y 轴上的一个动点，∴设点B 的坐标为（0，y ）．∵|−12−0|=12≠4，∴|0﹣y |＝2，解得y ＝2或y ＝﹣2；∴点B 的坐标是（0，2）或（0，﹣2）；故答案为：（0，2）或（0，﹣2）；（2）∵|−12−0|≥|0﹣y |，∴点A 与点B 的“非常距离”最小值为|−12−0|=12；∴点A 与点B 的“非常距离”的最小值为12．故答案为：12．总结提升：本题考查新定义问题，阅读并理解题意是解题关键．15．（2022春•青山区校级月考）在平面直角坐标系中，对于任意三个不重合的点A ，B ，C 的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a 指任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h 指任意两点纵坐标差的最大值，“矩面积”S ＝ah ．例如：A （1，2），B （﹣3，1），C （2，﹣2）则“水平底”a ＝5，“铅垂高”h ＝4，“矩面积”S ＝ah ＝20．若D （1，2），E （﹣2，1），F （0，t ）三点的“矩面积”为18，则t 的值为 ．思路引领：根据“矩面积”的定义，得出若D （1，2），E （﹣2，1），F （0，t ）三点的“矩面积”的“水平底”a ＝3，由矩面积”S ＝ah ＝18，得出“铅垂高”h ＝18÷3＝6，则D 、E 、F 三点的纵坐标差的最大值为2﹣t ＝6或t ﹣1＝6，从而求得t 的值．解：由题意知，D 、E 、F 三点的“矩面积”的“水平底”a ＝1﹣（﹣2）＝3，∵D 、E 、F 三点的“矩面积”S ＝ah ＝18，∴D 、E 、F 三点的“铅垂直”h ＝18÷3＝6，当点F 在点D 下方时，2﹣t ＝6，解得t ＝﹣4．当点F 在点D 上方时，t ﹣1＝6解得：t ＝7，故答案为：﹣4或，7．总结提升：本题考查坐标确定位置，掌握“矩面积”的定义是解题的关键．16．（2022秋•霍邱县校级月考）在平面直角坐标系中，对于点P 、Q 两点给出如下定义：若点P 到x ，y 轴的距离的较大值等于点Q到x，y轴的距离的较大值，则称P、Q两点为“等距点”．如点P（﹣2，5）和点Q（﹣5，﹣1）就是等距点．（1）已知点B的坐标是（﹣4，2），点C的坐标是（m﹣1，m），若点B与点C是“等距点”，求点C 的坐标；（2）若点D（3，4+k）与点E（2k﹣5，6）是“等距点”，求k的值．思路引领：（1）根据“等距点”的定义解答即可；（2）根据“等距点”的定义分情况讨论即可．解：（1）由题意，可分两种情况：①|m﹣1|＝|﹣4|，解得m＝﹣3或5（不合题意，舍去）；②|m|＝|﹣4|，解得m＝﹣4（不合题意，舍去）或m＝4，综上所述，点C的坐标为（﹣4，﹣3）或（3，4）；（2）由题意，可分两种情况：①当|2k﹣5|≥6时，|4+k|＝|2k﹣5|，∴4+k＝2k﹣5或4+k＝﹣（2k﹣5），解得k＝9或k=13（不合题意，舍去）；②当|2k﹣5|＜6时，|4+k|＝6，∴4+k＝6或4+k＝﹣6，解得k＝2或k＝﹣10（不合题意，舍去）；综上所述，k＝2或k＝9．总结提升：本题主要考查了点的坐标，掌握“等距点”的定义是解答本题的关键．17．（2022春•莆田期末）对于平面直角坐标系中的图形M上的任意点P（x，y），给出如下定义：将点P （x，y）平移到P′（x+e，y﹣e）称为将点P进行“e型平移”，点P′称为将点P进行“e型平移”的对应点；将图形M上的所有点进行“e型平移”称为将图形M进行“e型平移”．例如，将点P（x，y）平移到P′（x+1，y﹣1）称为将点P进行“1型平移”．（1）已知点A（﹣1，2），B（2，3），将线段AB进行“1型平移”后得到对应线段A′B′．①画出线段A′B′，并直接写出A′，B′的坐标；②四边形ABB′A′的面积为 （平方单位）；（2）若点A（2﹣a，a+1），B（a+1，a+2），将线段AB进行“2型平移”后得到对应线段A′B′，当四边形ABB′A′的面积为8平方单位，试确定a的值．思路引领：（1）①根据定义平移即可；②根据平移后的图形，写出坐标即可；（2）利用割补法求四边形的面积．解：（1）①A （﹣1，2）“1型平移”后得到A '（0，1），B （2，3）“1型平移”后得到B '（3，2）；②S 四边形ABB ′A ′＝S △ABB '+S △AB 'A '=12×4×1+12×4×1＝4，故答案为：4；（2）A （2﹣a ，a +1）“2型平移”后得到A '（4﹣a ，a ﹣1），B （a +1，a +2）“2型平移”后得到B '（a +3，a ），如图，在四边形外作矩形CDEF ，∴C （2﹣a ，a +2），D （2﹣a ，a ﹣1），E （a +3，a ﹣1），F （a +3，a +2），∴BC ＝2a ﹣1，AC ＝1，BF ＝2，B 'F ＝2，AD ＝2，A 'D ＝2，AE ＝2a ﹣1，BE '＝1，∴CF ＝2a +1，CD ＝3，∴S 四边形ABB ′A ′＝3（2a +1）−12×（2a ﹣1）×1×2−12×2×2×2＝4a ，∵四边形ABB ′A ′的面积为8平方单位，∴4a ＝8，∴a ＝2．总结提升：本题考查坐标与图形变化，熟练掌握平面内点的坐标特点，利用割补法求四边形的面积是解题的关键．类型三二元一次方程组中的新定义题型18．（2022春•梁山县期末）对于实数x，y，定义新运算x*y＝ax+by+1．其中a，b为常数，等式右边为通常的加法和乘法运算，若2*5＝10，4*7＝28，则3*6＝（ ）A．18B．19C．20D．21思路引领：已知等式利用题中的新定义化简求出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．解：根据题中的新定义得：2a+5b+1=10 4a+7b+1=28，解得a=12b=−3，∴3*6＝3×12+6×（﹣3）+1＝19．故选：B．总结提升：此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（2022春•万州区校级期中）把y＝ax+b（其中a、b是常数，x、y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当y＝x时，“雅系二元一次方程y＝ax+b”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当y＝x时，“雅系二元一次方程”y＝3x﹣4化为x＝3x﹣4，其“完美值”为x＝2．（1）x＝3是“雅系二元一次方程”y＝3x+m的“完美值”，求m的值；（2）类比“雅系二元一次方程”y＝kx+1（k≠0，k是常数）的定义，对于一个“雅系二元一次不等式”y＞kx+1（k≠0，k是常数）的“完美解集”为x＞2，请求出k的值．思路引领：（1）由已知可得x＝3x+m，将x＝3代入即可求m；（2）假设存在，得到x＝kx+1，所以（1﹣k）x＝1，当k＝1时，不存在“完美值”，当k≠1，k≠0时，存在“完美值”x=11−k．解：（1）由已知得：x＝3x+m，把x＝3代入x＝3x+m得：3＝9+m，∴m＝﹣6；（2）若“雅系二元一次方程”y＝kx+1（k≠0，k是常数）存在“完美值”，则有x＝kx+1，∴（1﹣k）x＝1，当k＝1时，不存在“完美值”，当k≠1，k≠0时，存在“完美值”，∵y＞kx+1（k≠0，k是常数），则有x＞kx+1，∴（1﹣k）x＞1，∵完美解集为x＞2，∴x＞11−k=2，解得k＝0.5．总结提升：本题考查二元一次方程的解，新定义；能够理解题意，将所求问题转化为一元一次方程求解是关键．20．（2022春•如皋市期中）定义：数对（x，y）经过运算φ可以得到数对（x'，y'），记作φ（x，y）＝（x'，y'），其中x′=ax+byy′=ax−by（a，b为常数）．如，当a＝1，b＝1时，φ（﹣2，3）＝（1，﹣5）．（1）当a＝2，b＝1时，φ（1，0）＝ ；（2）若φ（2，1）＝（0，4），则a＝ ，b＝ ；（3）如果组成数对（x，y）的两个数x，y满足x﹣2y＝0，xy≠0，且数对（x，y）经过运算φ又得到数对（x，y），求a和b的值．思路引领：（1）当a＝1且b＝1时，分别求出x′和y′即可得出答案；（2）根据条件列出方程组即可求出a，b的值；（3）根据对任意数对（x，y）经过运算φ又得到数对（x，y），得到ax+by=xax−by=y，，根据x﹣2y＝0，得到x＝2y，代入方程组即可得到答案．解：（1）当a＝2，b＝1时，x′＝2×1+1×0＝2，y′＝2×1﹣1×0＝2，故答案为：（2，2）；（2）根据题意得：2a+b=0 2a−b=4，解得：a=1b=−2，故答案为：1，﹣2；（3）∵对任意数对（x，y）经过运算φ又得到数对（x，y），∴ax+by=x ax−by=y，∵x﹣2y＝0，∴x＝2y，代入方程组解得：a=34 b=12．总结提升：本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．21．（2022春•兴化市月考）对于有理数x，y，定义新运算：x&y＝ax+by，x⊗y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已知1&1＝1，3⊗2＝8．（1）求a，b的值；（2）若关于x，y的方程组x&y=4−mx⊗y=5m的解也满足方程x+y＝5，求m的值；（3）若关于x，y的方程组a1x&b1y=c1a2x⊗b2y=c2的解为x=4y=5，求关于x，y的方程组3a1(x+y)&4b1(x−y)=5c13a2(x+y)⊗4b2(x−y)=5c2的解．思路引领：（1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可；（2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程x+y＝3求解即可；（3）根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可．解：（1）由题意得a+b=13a−2b=8，解得a=2b=−1；（2）依题意得2x−y=4−m2x+5=5m，解得x=m+1y=3m−2，∵x+y＝5，∴m+1+3m﹣2＝5，解得m=3 2；（3）由题意得2a1+b1y=c12a2+b2y=c2的解为x=4y=5，由方程组3a1(x+y)&4b1(x−y)=5c13a2(x+y)⊗4b2(x−y)=5c2得6a1(x+y)−4b1(x−y)=5c16a2(x+y)+4b2(x−y)=5c2，整理，得2a1⋅35(x+y)−b2⋅45(x−y)=c12a2⋅35(x+y)+b2⋅45(x−y)=c2，(x+y)=4 (x−y)=5，解得x=15524y=524．总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用、定义新运算、“整体思想”等知识；熟练掌握“整体思想”，找出等量关系列出方程组是解题的关键．22．（2022春•江阴市期中）对整数x、y定义一种新运算T，规定T（x，y）＝ax y﹣by x（其中a、b是常数），如：T（2，1）＝a×21﹣b×12＝2a﹣b．（1）填空：T（2，﹣1）＝ （用含a，b的代数式表示）；（2）若T（3，2）＝10，T（8，﹣1）=−3 4．①求a与b的值；②若T（x，1）＝T（1，x），求出此时x的值．思路引领：（1）根据新运算的运算顺序计算即可；（2）①由题意列出二元一次方程组，再解方程组即可；②由题意得2x﹣1＝2﹣x，解方程可得x的值．解：（1）由题意得，T（2，﹣1）＝a×2﹣1﹣b×（﹣1）2=12a﹣b，故答案为：12a﹣b；（2）①=10a−b=−34，解得a=2，b=1答：a的值是2，b的值是1；（3）由题意得，2x﹣1＝2﹣x，解得x＝1．总结提升：本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．类型四一元一次不等式中的新定义问题23．（2022•南谯区开学）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4，如果[x12]=3，则x的取值范围是（ ）A．5≤x＜7B．5＜x＜7C．5＜x≤7D．5≤x≤7思路引领：根据题意可得：3≤x12＜4，然后进行计算即可解答．解：由题意得：3≤x12＜4，∴6≤x+1＜8，∴5≤x＜7，故选：A．总结提升：本题考查了解一元一次不等式组，实数大小比较，理解定义的新运算是解题的关键．24．定义一种法则“？”如下：a？b=a(a＞b)b(a≤b)，例如：1？2＝2，若（﹣2m﹣5）？3＝3，则m的取值范围是 ．思路引领：根据题中新定义的运算可得出关于m的不等式﹣2m﹣5≤3；接下来求解即可得到m的取值范围．解：∵1⊕2＝2，若（﹣2m﹣5）⊕3＝3，∴﹣2m﹣5≤3，解得m≥﹣4．故答案为：m≥﹣4．总结提升：本题考查了不等式的解和解集，解答此题的关键是掌握不等式的解及解集的意义．25．（2022秋•临湘市期末）现定义一种新的运算：a*b＝a2﹣2b，例如：3*4＝32﹣2×4＝1，则不等式（﹣2）*x≥0的解集为 ．思路引领：直接根据题意得出不等式，进而计算得出答案．解：∵a*b＝a2﹣2b，例如：3*4＝32﹣2×4＝1，∴不等式（﹣2）*x≥0可变形为：4﹣2x≥0，解得：x≤2．故答案为：x≤2．总结提升：此题主要考查了解一元一次不等式，正确将原式变形是解题关键．26．（2022春•舒城县校级月考）在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：a⊕b＝2a−32（a+b），如1⊕5＝2×1−32（1+5）＝﹣7．（1）若x⊕4＝0，则x＝ ；（2）解不等式x⊕6＞3；（3）求不等式x⊕2＞（﹣2）⊕（x+4）的负整数解．思路引领：（1）根据所给的运算列出关于x的方程，解方程即可；（2）根据所给的运算列出关于x的一元一次不等式，求出x的取值范围即可；（3）根据所给的运算列出关于x的一元一次不等式，求出x的取值范围即可．解：（1）∵a⊕b＝2a−32（a+b），∴x⊕4＝2x−32（x+4）=12x−6，∵x⊕4＝0，∴12x−6=0，解得x＝12，故答案为：12；（2）由x ⊕6＞3，可得2x −32（x +6）＞3，解得x ＞12．（3）∵a ⊕b ＝2a −32（a +b ），∴x ⊕2＝2x −32（x +2）=12x−3，﹣2⊕（x +4）＝2×（﹣2）−32（﹣2+x +4）＝﹣4+3−32x ﹣6=−32x ﹣7∵x ⊕2＞（﹣2）⊕（x +4），∴12x−3＞−32x ﹣7，解得x ＞﹣2，∴不等式的负整数解为﹣1．总结提升：本题考查的是解一元一次方程，解一元一次不等式，根据所给的新运算列出关于x 的一元一次（方程）不等式是解答此题的关键．27．（2022秋•西湖区校级月考）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解（两个不等式解集的公共部分），那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”．（1）在不等式①3x ﹣5＜0，②x ≥1，③x ﹣（3x ﹣1）＜﹣5④3x 12＞x 中，不等式x 12−1≥x 的“云不等式”是 .（填序号）（2）若a ≠﹣2，若关于x 的不等式x +2≥a 与不等式（a +2）x ＜a +2互为“云不等式”，求a 的取值范围．思路引领：（1）分别求出各不等式的解，再根据“云不等式”的定义即可得出结论；（2）先求出不等式x +2≥a 的取值范围，再分a +2＞0和a +2＜0两种情况进行讨论．解：（1）①解不等式3x ﹣5＜0得，x ＜53；②x ≥1；③不等式的解集为：x ＞3；④不等式的解集为x ＞﹣1．解不等式x 12−1≥x 得，x ≤﹣1．∵只有不等式3x ﹣5＜0的解集与不等式x 12−1≥x 有公共部分，∴不等式x12−1≥x的“云不等式”是不等式3x﹣5＜0．故答案为：①；（2）不等式x+2≥a的解集为x≥a﹣2，①当a+2＞0时，即a＞﹣2，可得x＜1，根据题意a﹣2＜1，即a＜3，a的取值范围为a＜3；②当a+2＜0时，即a＜﹣2，可得x＞1，此时不论a为小于﹣2的何值均符合题意．故a＜3且a≠﹣2．总结提升：本题考查了解一元一次不等式，解出不等式、根据解集判断系数的取值范围是解题的关键．28．（2022春•永春县期中）一个四位数，记千位数字与个位数字之和为x，十位数字与百位数字之和为y，如果x＝y，那么称这个四位数为“对称数”．（1）最大的“对称数”为 ，最小的“对称数”为 ．（2）若上述定义中的x满足不等式|x+1|＜4，则这样的对称数有 个．（3）一个四位的“对称数”M，它的百位数字是千位数字a的3倍，个位数字与十位数字之和为10，且个位数字b −1≤x−22b有3个整数解，求出所有满足条件的“对称数”M的值．思路引领：（1）根据题意，可以写出最小的“对称数”和最大的“对称数”；（2）根据个位数字b −1≤x−22b有3个整数解，可以求得b的值，然后根据题意，可以得到所有满足条件的“对称数”M的值．解：（1）由题意可得，最大的“对称数”是9999，最小的“对称数”为1010，故答案为：9999；1010；（2）∵|x+1|＜4，1≤x≤9，x为整数，∴x＝1或2，∴当x＝1时，对称数有1010，1100，当x＝2时，对称数有1111，1201，1021，2110，2200，2020，故定义中的x满足不等式|x+1|＜4，则这样的对称数有8个，故答案为：8；（3−1≤x−22b，得b18＜x≤4，∵个位数字b −1≤x−22b有3个整数解，∴1≤b18＜2，解得7≤b＜15，∵b为个位数字，∴b＝7，8，9，∵一个四位的“对称数”M，它的百位数字是千位数字a的3倍，个位数字与十位数字之和为10，∴百位数字为3a，十位数字是10﹣b，∴a+b＝3a+（10﹣b），∴a＝b﹣5，∴当b＝7时，a＝2，此时对称数”M的值是2637，当b＝8时，a＝3，此时对称数”M的值是3928，当b＝9时，a＝4，此时百位数字3a＝12不存在，舍去，由上可得，对称数”M的值是2637，3928．总结提升：本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，求出M的值．29．（2022春•如东县期中）对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝（mx+ny）（x+2y）（其中m，n 均为非零常数）．例如T（1，1）＝3m+2n．（1）已知T（1，﹣1）＝0，T（0，2）＝8．①求m，n的值；②若关于P的不等式组T(2p，2−p)＞4T(4p，3−2p)≤a恰好有3个整数解，求a的取值范围．（2）当x2≠y2时，T（x，y）＝T（y，x）对于任何有理数x，y都成立，请直接写出m，n满足的关系式．思路引领：（1）①构建方程组即可解决问题；②根据不等式即可解决问题；（2）利用恒等式的性质，根据关系式即可解决问题；解：（1）①由题意，得−(m−n)=0 8n=8，∴m=1 n=1；②由题意，得(2p+2−p)(2p+4−2p)＞4①(4p+3−2p)(4p+6−4p)≤a②，解不等式①，得p＞﹣1．解不等式②，得p≤a−18 12．∴﹣1＜p≤a−18 12．∵恰好有3个整数解，∴2≤a−1812＜3．∴42≤a＜54．（2）由题意得：（mx+ny）（x+2y）＝（my+nx）（y+2x），∴mx2+（2m+n）xy+2ny2＝2nx2+（2m+n）xy+my2，∵对任意有理数x，y都成立，∴m＝2n．总结提升：本题考查一元一次不等式、二元一次方程组、恒等式等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．30．（2022春•长沙县期末）定义：对于任意实数a，b，如果满足a+b＝ab，那么称a，b互为“朋友数”，点（a，b）为“朋友点”．（1）判断下列命题的真假，真命题在括号内打“√”，假命题在括号内打“×”；①1.5与3是互为“朋友数”的； ②若点（a，b）为“朋友点”，则点（b，a）也一定为“朋友点”； ③若点a与b互为相反数，则（a，b）一定不是“朋友点”； ④存在与1互为“朋友数”的实数． （2）填空：若（a，3）为“朋友点”，则a＝ ．（3）已知P（x，y）是平面直角坐标系内的一个点，且它的横、纵坐标是关于x，y的二元一次方程组x−2y=m2−92x+y=2m2+7的解，请判断点P（x，y）是否为“朋友点”？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由．思路引领：（1）①由1.5+3＝4.5，1.5×3＝4.5，可得①是真命题；②若点（a，b）为“朋友点”，则a+b＝ab，有b+a＝ba，可知②是真命题；③若a＝b＝0，则a+b＝ab，故③是假命题；④设1与x互为“朋友数”，则x+1＝x×1，方程无解，可知④是假命题；（2）若（a，3）为“朋友点”，则a+3＝a×3，解得a=3 2；（3）由x−2y=m2−92x+y=2m2+7得：x=m2+1y=5，若P（m2+1，5）是“朋友点”，则m2+1+5＝（m2+1）×5，可解得m＝±12，即可得答案．解：（1）①∵1.5+3＝4.5，1.5×3＝4.5，∴1.5与3是互为“朋友数”的，①是真命题，故答案为：√；②若点（a，b）为“朋友点”，则a+b＝ab，∴b+a＝ba，∴点（b，a）也一定为“朋友点”；②是真命题，故答案为：√；③若a＝b＝0，则a+b＝ab，∴此时（a，b）是“朋友点”，③是假命题，故答案为：×；④设1与x互为“朋友数”，则x+1＝x×1，方程无解，∴不存在与1互为“朋友数”的实数，④是假命题，故答案为：×；（2）若（a，3）为“朋友点”，则a+3＝a×3，解得a=3 2，故答案为：3 2；（3）当m＝±12时，P（m2+1，5）是“朋友点“，理由如下：由x−2y=m2−92x+y=2m2+7得：x=m2+1y=5，∴P（m2+1，5），若P（m2+1，5）是“朋友点”，则m2+1+5＝（m2+1）×5，解得m＝±1 2，∴当m＝±12时，P（m2+1，5）是“朋友点”题意，理解“朋友数”和“朋友点”的定义．31．（2022春•灌云县期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程x﹣1＝3的解为x＝4，而不等式组x−1＞1x−2＜3的解集为2＜x＜5，不难发现x＝4在2＜x＜5的范围内，所以方程x﹣1＝3是不等式组x−1＞1x−2＜3的“相依方程”．（1）在方程①x﹣3＝0；②3x+2＝x；③2x﹣10＝0中，不等式组x＞2x≤5的“相依方程”是 ① ；（填序号）（2）若关于x的方程2x+k＝6＞x2x13−1的“相依方程”，求k的取值范围．思路引领：（1）求出不等式组的解集，以及各方程的解，判断即可；（2）求出已知不等式组的解集，根据方程为不等式组的“相依方程”，确定出k的范围即可．解：（1）方程①x﹣3＝0，解得：x＝3；②3x+2＝x，解得：x＝﹣1；③2x﹣10＝0，解得：x＝5，不等式组x＞2x≤5，解得：2＜x≤5，则方程①x﹣3＝0是不等式组x＞2x≤5的“相依方程”；故答案为：①；（2＞x2x13−1，解得：﹣1＜x≤1，方程2x+k＝6，解得：x=6−k 2，代入得：﹣1＜6−k2≤1，解得：4≤k＜8．总结提升：此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次方程的解，弄清题中的新定义是解本题的关键．32．（2022春•蜀山区校级期中）阅读理解：我们把|a b c d |称为二阶行列式，规定它的运算法则为|a b c d |=ad ﹣bc ，例如：|2345|=2×5﹣3×4＝﹣2．（1）填空：若|−12x−10.5x |=0，则x ＝ 14 ，|213−x x |＞0，则x 的取值范围 ；（2）若对于正整数m ，n 满足，1＜|1n m 4|＜3，求m +n 的值；（3）若对于两个非负数x ，y ，|x−1y 23|=|x −y 2−1|=k ，求实数k 的取值范围．思路引领：（1）根据法则得到﹣x ﹣0.5（2x ﹣1）＝0、2x ﹣（3﹣x ）＞0，然后解得即可．（2）根据法则得到1＜4﹣mn ＜3，解不等式求得1＜mn ＜3，由m 、n 是正整数，则可求得m +n ＝3；（3）根据法则得到3（x ﹣1）﹣2y ＝﹣x +2y ＝k ，解方程组求得x ，y 的值，然后根据题意得关于k 的不等式组，解得即可．解：（1）由题意可得﹣x ﹣0.5（2x ﹣1）＝0，整理可得﹣x ﹣x +0.5＝0，解得x =14；由题意可得2x ﹣（3﹣x ）＞0，解得x ＞1，故答案为14，x ＞1；（2）由题意可得，1＜4﹣mn ＜3，∴1＜mn ＜3，∵m 、n 是正整数，∴m ＝1，n ＝2，或m ＝2，n ＝1，∴m +n ＝3；（3）由题意可得3（x ﹣1）﹣2y ＝﹣x +2y ＝k ，∴3x−2y =k +3①−x +2y =k ②，①+②得：2x ＝2k +3，解得：x =2k 32，将x =2k 32代入②，得：−2k 32+2y ＝k ，解得y=4k3 4，∵x、均为非负数，≥0≥0，解得k≥−3 4．总结提升：此题主要考查了解一元一次不等式和解一元二次方程组，关键是看懂题目所给的运算法则，根据题意列出等式或不等式．。
难点探究专题：有理数中的新定义型与规律探究(4类热点题型讲练)(解析版)-初中数学北师大版7年级上册
第10讲难点探究专题：有理数中的新定义型与规律探究(4类热点题型讲练)目录【类型一有理数中新定义型的有关运算】......................................................................................................1【类型二一列数中的规律探究问题】..............................................................................................................5【类型三计算中的规律探究问题】..................................................................................................................8【类型四数轴上的规律探究问题】. (12)【类型一有理数中新定义型的有关运算】1．（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）设a ，b 为自然数，定义22a b a b ab ∆=+-，则()()3445∆+-∆的值（）A ．34B ．58C ．74D ．98【答案】C【分析】由22a b a b ab ∆=+-，可知()()()()2222343445453445∆+-=+-⨯+∆+---⨯，计算求解即可．【详解】解：∵22a b a b ab ∆=+-，∴()()()()222243343445474545=+-⨯+-∆+--⨯+=∆-，【类型二一列数中的规律探究问题】【类型三计算中的规律探究问题】例题：（2023·全国·九年级专题练习）计算：1211-=，2213-=，3217-=，42115-=，52131-=，……归纳各计算结果中的个位数字规律，则202221-的个位数字是（）A ．1B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】根据题目中的式子可以计算出前几个数字，从而可以发现个位数字的变化规律，进而可以得到202221-的个位数字．【详解】解：由1211-=，2213-=，3217-=，42115-=，52131-=，……可知计算结果中的个位数字以1375、、、为一个循环组依次循环，∵202245052÷=⋯，∴202221-的个位数字是3，故选：B ．【点睛】本题考查数字的变化类、尾数特征，解答本题的关键是明确题意，发现个位数字的变化特点，求出所求式子的个位数字．【变式训练】1．（2022秋·山东枣庄·七年级枣庄市第十五中学校考阶段练习）观察下列等式：122=，224=，328=，4216=，…．通过观察，用你发现的规律确定20232的个位数字是（）A ．2B ．4C ．8D ．6【答案】C【分析】由题意得，2为底的幂的个位数字是按2，4，8，6这一规律循环的，找到规律后即可求得结果．【详解】解：继续计算：5678232, 264, 2128, 2256====，…，显然个位数字是按2，4，8，6这一规律循环的，而202345053=⨯+，所以20232的个位数字是8；故选：C ．【点睛】本题数字规律探索问题，考查了乘方的计算，关键是由特殊到一般找到规律．2．（2023秋·全国·七年级专题练习）观察算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，…．通过观察，用你所发现的规律确定32021的个位数字是（）A ．3B ．9C ．7D ．1【答案】A【分析】从运算的结果可以看出尾数以3、9、7、1四个数字一循环，用2019除以4，余数是几就和第几个数字相同，由此解决问题即可．【详解】解：已知31=3，末位数字为3，32=9，末位数字为9，33=27，末位数字为7，34=81，末位数字为1，35=243，末位数字为3，36=729，末位数字为9，37=2187，末位数字为7，38=6561，末位数字为1，…由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，【类型四数轴上的规律探究问题】例题：（2022秋·河北沧州·七年级统考期末）一电子跳蚤落在数轴上的某点k 0处，第一步从k 0向左跳一个单位到k 1，第二步从k 1向右跳2个单位到k 2，第三步由k 2处向左跳3个单位到k 3，第四步由k 3向右跳4个单位k 4…按以上规律跳了100步后，电子跳蚤落在数轴上的数是0，则k 0表示的数是（）A ．0B ．100C ．50D ．﹣50【答案】D【分析】根据题意写出数字并总结出变化规律，然后计算即可得到答案．【详解】解：根据题意可知：10210320(1)(2)(1)(2)(3)(1)(2)(3)k k k k k k k k =+-=++=+-++=+-=+-+++-……0(1)(2)(3)...(1)n nk k n=+-+++-++-当n =100时，1000000(1)(2)(3) (100)(12)(34)...(9910015050k k k k k =+-+++-+++=+-++-+++-+=+⨯=+=）∴050k =-故选D ．【点睛】本题考查了有理数的加法，掌握相关知识，找到数字的变化规律，同时注意解题中需注意的相关事项是本题的解题关键．【变式训练】【答案】1516-【答案】1027。
部编数学七年级上册专题03有理数的混合运算(解析版)含答案
2022-2023学年人教版数学七年级上册压轴题专题精选汇编专题03 有理数的混合运算考试时间：120分钟 试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021七上·驻马店期末）若 a 是最大的负整数， b 是绝对值最小的有理数， c 是倒数等于它本身的自然数，则 202220222021a b c ++ 的值为（ ） A ．2B ．0C ．2021D ．2022【答案】A【完整解答】解：∵a 是最大的负整数， b 是绝对值最小的有理数， c 是倒数等于它本身的自然数， ∴a=-1，b=0，c=1，∴202220222021a b c ++= ()202220221202101-+⨯+=1+0+1=2故答案为：A.【思路引导】由题意可得a=-1，b=0，c=1，然后根据有理数的混合运算法则计算即可.2．（2分）（2021七上·遵化期末）下列计算正确的是（ ）A ．()21237---⨯=B ．13434÷⨯=C ．()()25219⨯---=D ．()()()101824515--÷-+⨯-=-【答案】D【完整解答】解：A ．()2123165---⨯=-+=，不符合题意；B ．111334344416÷⨯=⨯⨯=，不符合题意；C ．()()252110111⨯---=--=-，不符合题意；D ．()()()10182********--÷-+⨯-=+-=-，符合题意；故答案为：D ．【思路引导】根据含乘方的有理数的混合运算的计算方法求出各选项的结果再判断即可。
3．（2分）（2021七上·拱墅月考）下列计算正确的是（ ）A ．15﹣15×4＝0×4＝0B ．9÷（﹣8）×（﹣18）＝9÷1＝9C ．﹣32﹣（﹣2）3＝9﹣8＝1D ．1111712(()(412164487-÷+=-÷=-【答案】D【完整解答】解：A 、原式＝15﹣45＝35-，故此选项错误，不符合题意；B 、原式＝9×（﹣18）×（﹣18）＝964，故此选项错误，不符合题意；C 、原式＝﹣9﹣（﹣8）＝﹣9+8＝﹣1，故此选项错误，不符合题意；D 、原式＝1111712()()(412164487-÷+=-÷=-，故此选项错正确，符合题意.故答案为：D.【思路引导】对于A 中的式子，先计算乘法，再计算减法，据此判断；对于B 中的式子，首先将除法化为乘法，然后利用有理数的乘法法则进行计算即可判断；对于C 中的式子，根据有理数的乘方法则可得原式=-9+8，据此判断；对于D 中的式子，首先计算出括号内的值，然后利用有理数的除法法则计算出结果，据此判断.4．（2分）（2021七上·秀洲月考）对于任意不相等的两个实数a ，b ，定义运算：a ※b ＝a 2﹣b 2+1，例如3※2＝32﹣22+1＝6，那么（﹣5）※4的值为（ ）A ．﹣40B ．﹣32C ．18D ．10【答案】D【完整解答】解：（-5）※4＝（﹣5）2﹣42+1＝10.故答案为：D.【思路引导】根据定义的新运算可得(-5)※4＝(-5)2-42+1，然后结合有理数的混合运算法则进行计算.5．（2分）（2021七上·达州期中）若a=-3×42，b=（-3×4）2，c=-（3×4）2，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A ．b ＞a ＞c B ．b ＞c ＞a C ．a ＞b ＞c D ．c ＞a ＞b【答案】A【完整解答】解：∵a=-3×42=-48，b=（-3×4）2=144，c=-（3×4）2=-144，-144＜-48＜144，∴b ＞a ＞c.故答案为：A.【思路引导】根据有理数的乘方、乘法法则分别计算出a 、b 、c 的值，然后进行比较即可.6．（2分）（2020七上·运城期中）我们常用的数是十进制数，而计算机程序处理数据使用的只有数码0和1的二进制数，这二者可以相互换算，如将二进制数1011换算成十进制数应为：1×23+0×22+1×21+1×20=11．按此方式，则将十进制数7换算成二进制数应为（ ） A ．101B ．110C ．111D ．1101【答案】C【完整解答】解：∵7=4+2+1，∴1×22+1×21+1×20=7，∴十进制数7换算成二进制数应为111．故答案为：C ．【思路引导】首先7=4+2+1，由此即可把7变为1×22+1×21+1×20=7，从而得出十进制数7换算成二进制数的结果.7．（2分）（2019七上·乌鲁木齐月考）为了求1+2+22+23+…+22016的值,可令S=1+2+22+23+…+22016,则2S=2+22+23+24+…+22017,因此2S-S=22017-1,所以1+2+22+23+…+22016=22017-1. 仿照以上推理计算出1+5+52+53+…+52016的值是（ ） A ．201651-B ．201751-C ．2016514-D ．2017514-【答案】D【完整解答】设S ＝1＋5＋52＋53＋…＋52016，则5S ＝5＋52＋53＋…＋52014＋52017，∴4S ＝52017-1，则S ＝2017514- ，故答案为：D.【思路引导】设S ＝1＋5＋52＋53＋…＋52016①，两边同乘以5可得5S ＝5＋52＋53＋…＋52014＋52017②，利用②-①可得4S ＝52017-1，据此求出S 即可.8．（2分）阅读材料：求值：1+2+22+23+24++22013.解：设S=1+2+22+23+24+…+22013.将等式两边同时乘以2，得2S=2+22+23+24+…+22013+22014将下式减去上式，得2S ﹣S=22014﹣1.即S=1+2+22+23+24++22013=22014﹣1.请你仿照此法计算1+3+32+33+34+…+32018的值是（ ）A ．32018﹣1B ．2018312-C ．32019﹣1D ．2019312-【答案】D【完整解答】设S=1+3+32+33+34+…+22018.将等式两边同时乘以3，得3S=3+32+33+34+…+32018+32019将下式减去上式，得3S ﹣S=32019﹣1.即S=1+3+32+33+34++32018=2019312- .故答案为：D.【思路引导】利用方程的思想设S=1+3+32+33+34+…+22018.将等式两边同时乘以3，可得3S=3+32+33+34+…+32018+32019，然后将下式减去上式求出S 即可.9．（2分）（2018七上·梁平期末）日常生活中我们使用的数是十进制数 . 而计算机使用的数是二进制数，即数的进位方法是“逢二进一” . 二进制数只使用数字0，1，如二进制数1101记为 21101 ， 21101 通过式子 321212021⨯+⨯+⨯+ 可以转换为十进制数13，仿照上面的转换方法，将二进制数 211101 转换为十进制数是（ ） A ．4B ．25C ．29D ．33【答案】C【完整解答】解： 21101 通过式子 321212021⨯+⨯+⨯+ 转换为十进制数13，43221110112121202129∴=⨯+⨯+⨯+⨯+= ．故选：C ．【思路引导】由题意知， 211101 可表示为 432121212021⨯+⨯+⨯+⨯+ ，然后通过计算，所得结果即为十进制的数．10．（2分）（2019七上·厦门月考）已知 622410(2016),(40)1016a b =⨯--=-- ，2666666665c =-⨯ ，则 ,,a b c 的大小关系是( )A ．a b c >>B ．c a b>>C ．b c a>>D ．c b a>>【答案】D【完整解答】解： 6262410(2016)=4102016=64256a =⨯--⨯--2(40)1016=1600-1016=584b =--2666666665=666(666665)666c =-⨯⨯-=∵666>584>-64256∴c b a >>故答案为：D.【思路引导】根据有理数的混合运算，分别求出 ,,a b c 的大小即可.二．填空题（共9小题，满分18分，每题2分）11．（2分）（2022七上·石阡期末）若 ()2350x y -++= ，则 x xy y -= .【答案】110【完整解答】解： 2(3)50x y -++= ，30x ∴-= ， 50y += ，解得： 3x = ， 5y =- ，33(5)(5)15125110x xy y ∴-=⨯---=-+= .故答案为：110.【思路引导】根据绝对值及偶次幂的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都为0，可得x-3=0、y+5=0，求出x 、y 的值，然后代入xy-y x 中进行计算.12．（2分）（2021七上·永州月考）用“⊿”定义运算对于任意有理数m 、b 都有m ⊿b ＝ 2b ＋m.例如：7⊿4＝ 24 ＋7＝23，则（－9）⊿（－2）＝ .【答案】5-【完整解答】解：由题意得： 2(9)(2)(2)(9)--=-+-⊿ ，49=- ，5=- ，故答案为： -5 .【思路引导】根据新定义的计算法则把原式转化为有理数的混合运算，再计算即可.13．（2分）（2021七上·交城期中）“ ⊗ ”定义新运算：对于任意的有理数a 和b ，都有21a b b ⊗=+ ．例如： 2955126⊗=+= ．当m 为有理数时，则 (3)m m ⊗⊗ 等于 ．【答案】101【完整解答】解： (3)m m ⊗⊗ = 2(31)m ⊗+ = 10m ⊗ = 2101+ =101． 故答案为：101．【思路引导】根据定义新运算转化为有理数的混合运算，再计算即可.14．（2分）（2021七上·平阳期中）计算：(-1)2018-(π-3.14)0+( 12)-2= .【答案】4【完整解答】解：原式=1-1+4=4.故答案为：4.【思路引导】先进行有理数乘方的运算，然后进行有理数加减混合运算，即得结果.15．（2分）（2021七上·宜兴期中）如果规定这样一种运算法则：a ※b ＝a 2＋2ab ，例如：3※（﹣2）＝32＋2×3×（﹣2）＝﹣3.则（﹣3）※2＝ .【答案】－3【完整解答】解：由新定义的运算法则可得： 2(3)2(3)2(3)29123-=-+⨯-⨯=-=-※故答案为：－3.【思路引导】将a=-3与b=2代入 a ※b ＝a 2＋2ab 中得出常规算式，按含乘方的有理数的混合运算法则计算即可.16．（2分）（2021七上·绍兴开学考）小明学了计算机运算法则后，编制了一个程序，当他任意输入一个有理数以后，计算机会计算出这个有理数的平方减去2的差.若他第一次输入 12-，然后将所得结果再次输入，那么最后得到的结果是 ．【答案】1716【完整解答】解：∵第一次输入12-∴第一次输出的数为217224⎛⎫--=-⎪⎝⎭第二次输入74-∴27172416⎛⎫--= ⎪⎝⎭.故答案为：1716.【思路引导】设这个有理数为x ，将x=12-代入22x -进行计算，可求出结果，再将其结果代入22x -，进行计算即可.17．（1分）（2020七上·蒙山月考）计算： ()1212-÷= 【答案】-42【完整解答】解： ()()121212422-÷=-⨯=- ； 故答案为 42- .【思路引导】根据有理数的除法进行求解即可.18．（2分）（2021八上·抚顺期末）求 220191222++++ 的值，可令 22019S 1222=++++ ，则23202022222S =++++ ，因此 2020221S S -=- .仿照以上推理，计算出23201911112222++++ 的值为 .【答案】2019112-【完整解答】解：令 23201911112222S =++++ ， 则 23420201111122222S =++++ ，∴2020111222S S -=- ，∴2020111222S =- ，则 2019112S =-.故答案为： 2019112-【思路引导】根据题目所给计算方法，令 23201911112222S =++++ ，再两边同时乘以 12，求出 12S ，用 12S S - ，求出 12S 的值，进而求出 S 的值.19．（2分）如果有4个不同的正整数 a 、 b 、 c 、 d 满足()()()()20192019201920198a b c d ----= ，那么 a b c d +++ 的最大值为 .【答案】8078【完整解答】解：∵a 、 b 、 c 、 d 是四个不同的正整数， ∴四个括号内是各不相同的整数，不妨设 ()()()()2019201920192019a b c d -<-<-<- ，又∵()()()()20192019201920198a b c d ----= ，∴这四个数从小到大可以取以下几种情况：①-4,-1,1,2；②-2,-1,1,4.∵()()()()2019+2019+2019+2019a b c d ---- = 8076()a b c d -+++ ，∴a b c d +++ =8076- ()()()()2019+2019+2019+2019a b c d ----⎡⎤⎣⎦ ，∴当 ()()()()2019+2019+2019+2019a b c d ---- 越小， a b c d +++ 越大，∴当 ()()()()2019+2019+2019+2019a b c d ---- =-4-1+1+2=-2时，a b c d +++ 取最大值=8076-(-2)=8078.故答案为：8078.【思路引导】根据 a 、 b 、 c 、 d 是四个不同的正整数，可知四个括号内是各不相同的整数，结合乘积为8，进行分类讨论.三．解答题（共10小题，满分63分） 20．（12分）利用因式分解简便运算.（1）（3分）2248482412+⨯+ ，（2）（3分）223.28 1.28 6.56 1.28-⨯+；（3）（3分）2240 3.1580 3.15 1.8540 1.85⨯+⨯⨯+⨯ ；（4）（3分）2382438144+⨯+ .【答案】（1）解： 2248482412+⨯+2(4812)=+3600=（2）解：原式 2(3.28 1.28)=-4=（3）解：原式 ()2240 3.152 3.15 1.85 1.85=⨯+⨯⨯+40(3.15=⨯21.85)+4025=⨯=1000（4）解：原式 22382123812=+⨯⨯+2(3812)=+250=2500=【思路引导】（1）根据完全平方公式进行因式分解，再进行计算即可；（2）根据完全平方公式进行因式分解，再进行计算即可；（3）先提公因式40，再根据完全平方公式进行因式分解，然后进行计算即可；（4）根据完全平方公式进行因式分解，再进行计算即可.21．（4分）（2021七上·嘉祥月考）已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x=(-2)2，求()()()202120222x a b cd x a b cd -+--++- 的值.【答案】解：∵a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x=(-2)2∴a+b=0，cd=1，x=4∴原式= ()()20222401401--⨯-+-=16+4+1=21【思路引导】根据题意得出a+b=0，cd=1，x=4，再代入原式进行计算，即可得出答案.22．（4分）（2021七上·镇巴期末）已知a 的相反数为-2，b 的倒数为 12- ，c 的绝对值为2，求 2a b c ++ 的值.【答案】解： a 的相反数为 2- ，b 的倒数为 12-，c 的绝对值为2， 2a ∴= ， 2b =- ， 2c =± ，()2222(2)a b c ∴++=+-+±224=-+4=【思路引导】相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数；绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；根据相反数的定义得， 2a = ；由倒数的定义得， 2b =- ；由绝对值的性质得， 2.c =± 将它们的值分别代入，即可求出 2a b c ++ 的值.23．（5分）（2020七上·卧龙期中）现规定“ ∆ ”为一种新的运算：当 a b ≥ 时， 21a b a ab ∆=-+ ；当a b < 时， 21a b b ab ∆=+- .试计算： [(1)2](3)-∆∆- .【答案】解：原式= 222113⎡⎤+⨯--∆-⎣⎦（）（）= 13∆-（）= 21131-⨯-+（）=5.【思路引导】根据规定的新运算先计算（-1）△2，再将结果与（-3）进行同样的运算即可求解.24．（5分）（2020七上·犍为期中）已知a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数， 5m = ，n 是最大的负整数.求代数式 20202()4()ab c d n m --+-+ 的值.【答案】解：由题意得： 101ab c d n =+==-，， ，5m = ，5m ∴=± ，225m ∴= ，则 202022020()4()(1)40(1)25ab c d n m --+-+=--⨯--+ ，10125=-++ ，27= .【思路引导】由 a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数， 5m = ，n 是最大的负整数 ，可得5m =±，101ab c d n =+==-，，，可求出225m = ，然后整体代入进行计算即可.25．（5分）（2020七上·温州月考）若“三角” 表示适算a+b+c ，“方框 表示运算x-y+z+w.求:表示的速算，并计算结果。
专题03 新定义下的实数运算(中档题、压轴题50题)(解析版)
专题03�新定义下的实数运算（中档题、压轴题50题）（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、新定义下的实数运算，中档题30题，难度三星1．规定一种新运算ab ad bc cd =-．（1）2345=；（2）若22233235x x x x M -++-+-=--，则M 的化简结果为．【答案】2-2221x x --【分析】本题考查了新定义的计算，解题关键是能熟练运用新定义中的计算规律结合实数的运算法则求解．（1）根据新定义运算法则即可求解；（2）根据新定义运算法则化简即可求解．【详解】解：（1）原式254310122=⨯-⨯=-=-．（2）由题意得：22523332M x x x x =--++-+-（+）（）2210515936x x x x =---+-2221x x =--．2．若一个各个数位的数字均不为零的四位数M 满足其千位数字与十位数字的和等于其百位数字与个位数字的和，则称这个数为“间位等和数”；将－个间位等和数的十位数字和个位数字去掉后剩下的两位数记作A ，千位数字和百位数字去掉后剩下的两位数记作B ，令()33A B F M +=，若四位数M 的千位数为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，则()1573F =，如果()F M 为完全平方数（完全平方数就是这个数可以写成某个整数的平方，如，242=，所以4是完全平方数），那么M 的最小值为．【答案】83；1122．【分析】根据题意得出A 、B 的值，代入()33A B F M +=计算即可解答；由题意可知10A a b =+，10B c d =+，a c b d +=+，代入()33A B F M +=计算得到()3a c F M +=，根据()F M 为完全平方数且取M 的最小值，可得()1F M =，进而求出abcd ,,,的值，即可解答．本题考查了新定义运算，解题关键是读懂题意根据间位等和数的定义正确表示出A 、B ，再结合完全平方③[)1x x -≤，即最大值为1，该选项错误；④[)0.2x x -=不一成立，该选项错误；故答案为：①．4．定义：对于一个两位数x ，如果x 满足个位数字与十位数字互不相同．．．．，且都不为零．．．．，那么称这个两位数为“相异数”．将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数的求和，再除以11所得的商记为()S x ．例如，13a =，对调个位数字与十位数字得到的新两位数31，新两位数与原两位数的和为133144+=，和44除以11的商为44114÷=，所以(13)4S =．(1)下列两位数：40，51，77中，“相异数”为________；(2)计算：(65)S 的值；(3)若一个“相异数”y 的十位数字是k ，个位数字是21k -，且()8S y =，求相异数y ．【答案】(1)51(2)11(3)相异数y 是35【分析】本题考查了新定义整数的整除问题，根据定义计算是解题的关键．（1）先确定各数位上的数字，不同的才是“相异数”．（2）根据()S x 的定义计算即可．（3）用幂乘的方式表示相异数，再根据()S x 的定义计算即可．【详解】（1）∵40中有数字0，不符合定义，不是“相异数”，51中十位数字是5，个位数字是1，不同，是“相异数”，77中，十位数字和个位数字都是7，相同，不符合题意，故不是“相异数”．故答案为：51．（2）根据题意，得655621+=1，1211111÷=，故(65)11S =．（3）由“相异数”y 的十位数字是k ，个位数字是21k -，且()8S y =得，()10211021811k k k k +-+-+=⨯，解得3k =，∴212315k -=⨯-=，∴相异数y 是35．5．定义一种新的运算“※”，称为（加乘）运算：A．1B．4C．6D【分析】（1）根据题目中所给的定义求解即可；（2）紧扣题目给出的定义，逐一判断即可;（3）根据[][]11x x +=+，[]{}x x x -=，即[]{}2139x x x ++=-，可变为：{}(){}2139x x x x -++=-，整理：{}11x x -=，则有[]{}{}112x x x x =-=-，根据{}01x ≤<，可得[]11x 9<≤，即有[]10x =，或者[]11x =，问题随之得解．【详解】（1）根据题意：[]3.63=，即：{}[]3.6 3.6 3.60.6=-=，故答案为：3，0.6；（2）∵{}m 表示[]m m -的值，称为m 的小数部分，∴{}01x ≤<，即①正确；根据定义可得：[][]11x x +=+，即②正确；∵{}[]111x x x +=+-+，∴{}[][][]{}11111x x x x x x x x +=+-+=+--=-=，∴即③错误，∵[]x a =，[]{}x x x =-，∴{}a x x =-，∴{}x a x =+，∵{}01x ≤<，∴{}1a a x a ≤+<+，∴即④正确；故正确的有：①②④；（3）∵[][]11x x +=+，[]{}x x x -=，∴[]{}11x x x +=-+，∴[]{}2139x x x ++=-，可变为：{}(){}2139x x x x -++=-，整理：{}11x x -=，即：[]{}{}112x x x x =-=-，。
(必考题)七年级数学上册第一单元《有理数》-解答题专项测试题(含答案解析)
一、解答题1．计算：（1）6÷（－3）×（－32） （2）－32×29-＋（－1）2019－5÷（－54） 解析：（1）3；（2）1．【分析】（1）根据有理数的乘除混合运算法则计算即可；（2）根据有理数的混合运算法则计算即可．【详解】解：（1）原式=6×1-3⎛⎫ ⎪⎝⎭ ×（－32）=3； （2）原式=－9×29＋（－1）－5×4-5⎛⎫ ⎪⎝⎭ =-2-1+4=1．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 2．计算（1）28()5(0.4)5+----；（2）1571361236⎛⎫⎛⎫-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）2336()(2)()(6)575⨯---⨯-+-⨯； （4）42019213(20.2)(2)(1)5⎡⎤---+-÷⨯---⎢⎥⎣⎦； （5）24512.5()(0.1)(2)(2)10⎡⎤÷-⨯---+-⎣⎦． 解析：（1）3；（2）3；（3）667-；（4）3-；（5）315.4【分析】 （1）先把运算统一为省略加号的和的形式，再利用加法的运算律，把互为相反数的两数先加，从而可得答案；（2）先把除法转化为乘法，再利用乘法的分配律把运算化为：()()()1573636363612-⨯-+⨯--⨯-，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可得到答案；（3）把原式化为：()233662557-⨯+-⨯-⨯，逆用乘法的分配律，同步进行乘法运算，最后计算减法即可得到答案； （4）先计算小括号内的运算与乘方运算，再计算中括号内的运算，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可得到答案；（5）先计算乘方运算，同步把除法转化为乘法，再计算小括号内的减法运算，同步进行乘法运算，最后计算加法运算即可得到答案．【详解】解：（1）28()5(0.4)5+---- 2850.45=--+ 3.=（2）1571361236⎛⎫⎛⎫-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()157363612⎛⎫=-+-⨯- ⎪⎝⎭()()()1573636363612=-⨯-+⨯--⨯- 123021=-+3.=（3）2336()(2)()(6)575⨯---⨯-+-⨯ ()233662557=-⨯+-⨯-⨯ 2366557⎛⎫=-⨯+- ⎪⎝⎭ 667=-- 667=- （4）42019213(20.2)(2)(1)5⎡⎤---+-÷⨯---⎢⎥⎣⎦()()1132212⎡⎤⎛⎫=---+-⨯--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()313212⎛⎫=---+⨯-+ ⎪⎝⎭ ()31212⎛⎫=---⨯-+ ⎪⎝⎭131=--+3.=-（5）24512.5()(0.1)(2)(2)10⎡⎤÷-⨯---+-⎣⎦ ()()1=2.5101632100⨯-⨯-- ()1164=--- 1164=-+ 315.4= 【点睛】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，乘法分配律的应用，掌握运算法则与运算顺序是解题的关键．3．给出四个数：3,4--,2,6，计算“24点”，请列出四个符合要求的不同算式． （可运用加、减、乘、除、乘方运算，可用括号；注意：例如4(123)24⨯++=与(213)424++⨯=只是顺序不同，属同一个算式．）算式1：_________________；算式2_______________；算式3：_________________；算式4_______________；解析：()()342624,-⨯-+⨯=()()342624,-⨯-+-=()()643224,⨯-⨯-+=()()()()43624624.-⨯--÷=-⨯-=【分析】由241212,=+ 可得()342624,-⨯-+⨯=由()2438=-⨯-，可得()()342624,-⨯-+-=由()24124,=-⨯- 可得()()643224,⨯-⨯-+=由()2446=-⨯-，可得()()()()43624624-⨯--÷=-⨯-=，从而可得答案．【详解】解：算式1：()()3426121224,-⨯-+⨯=+=算式2：()()()()34263824,-⨯-+-=-⨯-=算式3：()()()()643224124,⨯-⨯-+=-⨯-=算式4：()()()()()()43624334624,-⨯--÷=-⨯--=-⨯-=故答案为：()()342624,-⨯-+⨯=()()342624,-⨯-+-=()()643224,⨯-⨯-+=()()()()43624624.-⨯--÷=-⨯-=【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法，注意本题答案不唯一，这是一道开放性的题目，同时考查了学生的逆向思维．4．321032(2)(3)5-÷---⨯解析：﹣31．【分析】根据有理数的混合运算法则计算即可．【详解】解：321032(2)(3)5-÷---⨯=10－32÷（﹣8）－9×5=10－（﹣4）－45=10+4－45=14－45=﹣31．【点睛】此题主要考察了有理数的混合运算，解题关键是掌握有理数混合运算法则．5．计算：()22216232⎫⎛-⨯-- ⎪⎝⎭ 解析：2【分析】原式先计算乘方，再运用乘法分配律计算，最后进行加减运算即可．【详解】解：()22216232⎫⎛-⨯-- ⎪⎝⎭=2136()432⨯-- =213636432⨯-⨯- =24-18-4=2．【点睛】 此题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．6．计算：329(1)4(2)34⎛⎫--÷-+-⨯ ⎪⎝⎭． 解析：12-． 【分析】 根据有理数的四则混合运算顺序：“先算乘方，再算乘除，然后算加减”进行计算即可．【详解】原式311222⎛⎫=-++-=- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． 7．在数轴上表示下列各数:14, 1.5,3,0,2.5,52----，并将它们按从小到大的顺序排列．解析：图见解析，1531.502.542--<-<-<<< 【分析】在数轴上表示出各数，再按照从左到右的顺序用“＜”号把它们连接起来即可．【详解】解: 5=-5--如图所示:故:1531.502.542--<-<-<<<． 【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴的特点是解答此题的关键．8．计算：（1）23(2)14⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭；（2）2331(2)592-+-⨯--÷． 解析：（1）1-；（2）47-．【分析】（1）原式先计算乘方和括号内，然后再计算乘法即可得到答案；（2）原式先计算乘方和化简绝对值，再计算乘除法，最后计算加减运算即可得到答案．【详解】解：（1）23(2)14⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭ 3414⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭ 144⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭1=-．（2）2331(2)592-+-⨯--÷ 21(8)593=-+-⨯-⨯ 1406=---47=-．【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．9．小李坚持跑步锻炼身体，他以30分钟为基准，将连续七天的跑步时间（单位：分钟）记录如下：10，-8，12，-6，11，14，-3（超过30分钟的部分记为“+”，不足30分钟的部分记为“-”）（1）小李跑步时间最长的一天比最短的一天多跑几分钟？（2）若小李跑步的平均速度为每分钟0.1千米，请你计算这七天他共跑了多少千米？ 解析：（1）22分钟；（2）24千米．【分析】(1)时间差=标准差的最大值-标准差的最小值；(2)先计算出一周的总运动时间，利用路程，速度，时间的关系计算即可.【详解】（1）()14822--=（分钟）．故小李跑步时间最长的一天比最短的一天多跑22分钟．（2）()30710812611143240⨯+-+-++-=（分钟），0.124024⨯=（千米）．故这七天他共跑了24千米．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练运用标准差计算时间差，标准时间计算总时间是解题的关键.10．某农户家准备出售10袋大米，称得质量如下：（单位：千克）182，180，175，173，182，185，183，181，180，183（1）填空：以180千克作为基准数，可用正、负数表示这10袋大米的质量与180的差为 ；（2）试计算这10袋大米的总质量是多少千克？解析：（1）＋2，0，−5，-7，＋2，＋5，＋3，＋1，0，+3；（2）1804千克【分析】（1）规定超出基准数为正数，则不足部分用负数表示，即可；（2）把第（1）题10个数相加，再加上180×10，即可．【详解】（1）以180千克为基准数，超过180千克的记作正数，低于180千克的记作负数，那么各袋大米的质量分别为：＋2，0，−5，-7，＋2，＋5，＋3，＋1，0，+3，故答案是：＋2，0，−5，-7，＋2，＋5，＋3，＋1，0，+3；（2）(＋2+0−5-7＋2＋5＋3＋1+0+3)+ 180×10=1804（千克），答：这10袋大米的总质量是1804千克．【点睛】本题主要考查正负数的意义以及有理数的加减法的实际应用，熟练掌握有理数的加减法运算法则，是解题的关键．11．计算：（1）14－25＋13（2）42111|23|()823---+-⨯÷ 解析：（1）2；（2）4【分析】 （1）根据有理数的加减运算，即可求出答案；（2）先计算乘方、绝对值、然后计算乘除，再计算加减运算，即可得到答案．【详解】解：（1）14251311132-+=-+=；（2）42111|23|()823---+-⨯÷=111834--+⨯⨯ =26-+=4．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则进行解题．12．计算题：（1）3×（﹣4）﹣28÷（﹣7）；（2）﹣12020+（﹣2）3×1123⎛⎫-+ ⎪⎝⎭． 解析：（1）﹣8；（2）13． 【分析】（1）先计算乘除，再计算加减，即可得到答案；（2）先计算乘方、然后计算乘法和括号内的运算，再计算加法即可．【详解】解：（1）3×（﹣4）﹣28÷（﹣7）＝（﹣12）+4＝﹣8；（2）﹣12020+（﹣2）3×1123⎛⎫-+ ⎪⎝⎭． =－1+（－8）×16⎛⎫- ⎪⎝⎭ =413-+=13． 【点睛】本题考查了有理数的加减乘除运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 13．阅读下面材料：在数轴上6与1-所对的两点之间的距离：6(1)7--=；在数轴上2-与3所对的两点之间的距离：235--=；在数轴上8-与4-所对的两点之间的距离：(8)(4)4---=；在数轴上点A 、B 分别表示数a 、b ，则A 、B 两点之间的距离AB a b b a =-=-． 回答下列问题：（1）数轴上表示2-和5-的两点之间的距离是_______；数轴上表示数x 和3的两点之间的距离表示为_______；数轴上表示数_______和_______的两点之间的距离表示为2x +；（2）七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子23x x ++-进行探究： ①请你在草稿纸上画出数轴，当表示数x 的点在2-与3之间移动时，32x x -++的值总是一个固定的值为：_______．②请你在草稿纸上画出数轴，要使327x x -++=，数轴上表示点的数x =_______．解析：（1）3；|x−3|；x ，-2；（2）5；−3或4．【分析】（1）根据题意找出数轴上任意点间的距离的计算公式，然后进行计算即可；（2）①先化简绝对值，然后合并同类项即可；②分为x ＞3和x ＜−2两种情况讨论．【详解】解：（1）数轴上表示−2和−5的两点之间的距离为：|−2−（−5）|=3；数轴上表示数x 和3的两点之间的距离为：|x−3|；数轴上表示数x 和−2的两点之间的距离表示为：|x ＋2|；故答案为：3，|x−3|，x ，-2；（2）①当x 在-2和3之间移动时，|x ＋2|＋|x−3|=x ＋2＋3−x=5；②当x ＞3时，x−3＋x ＋2=7，解得：x=4，当x ＜−2时，3−x−x−2＝7．解得x=−3，∴x=−3或x=4．故答案为：5；−3或4．【点睛】本题主要考查的是绝对值的定义和化简，根据题意找出数轴上任意两点之间的距离公式是解题的关键．14．计算（1）18()5(0.25)4+----（2）2﹣412()(63)7921-+⨯- （3）1373015-⨯ （4）22220103213()2(1)43⎡⎤--⨯-⨯--÷-⎢⎥⎣⎦． 解析：（1）3；（2）37；（3）﹣236；（4）72【分析】 （1）本式为简单的有理数加减运算，从左到右先将分数进行计算，再从左到右计算即可． （2）按照有理数混合运算的顺序，利用乘法分配律直接去括号，再进行运算． （3）将﹣71315分解为﹣7﹣1315，再利用乘方分配律进行计算即可． （4）分别根据有理数的乘方计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【详解】解：（1）18()5(0.25)4+---- ＝118544--+ ＝3；（2）2﹣412()(63)7921-+⨯- ＝4122(63)(63)(63)7921⎡⎤-⨯--⨯-+⨯-⎢⎥⎣⎦ ＝2﹣（﹣36+7﹣6），＝2﹣（﹣35）＝37；（3）1373015-⨯ ＝﹣7×30+（﹣1315）×30 ＝﹣210﹣26=﹣236；（4）22220103213()2(1)43⎡⎤--⨯-⨯--÷-⎢⎥⎣⎦ ＝341(92)149--⨯-⨯-÷ ＝912-+＝72． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算注意：要正确掌握运算顺序，即乘方运算（和以后学习的开方运算）叫做三级运算；乘法和除法叫做二级运算；加法和减法叫做一级运算．在混合运算中要特别注意运算顺序：先三级，后二级，再一级；有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序．15．设0a >，x ，y 为有理数，定义新运算：||a x a x =⨯※．如323|2|6=⨯=※，()414|1|a a -=⨯-※．（1）计算20210※和()20212-※的值． （2）若0y <，化简()23y -※．（3）请直接写出一组,,a x y 的具体值，说明()a x y a x a y +=+※※※不成立． 解析：（1）0；4042；(2)6y -；（3）1a =，2x =，3y =-（答案不唯一）【分析】(1)根据题意※表示前面的数与后面数的绝对值的积，直接代入数据求解计算；(2)有y<0，得到y 为负数，进而得到-3y 为正数，去绝对值后等于本身-3y ，再代入数据求解即可；(3)按照题意要求写一组具体的,,a x y 的值再验算即可．【详解】解：(1)根据题意得:202102021|0|0=⨯=※； ()202122021|2|4042-=⨯-=※；(2)因为0y <，所以30y ->，所以()()232|3|236y y y y -=⨯-=⨯-=-※；(3)由题意，当,,a x y 分别取1a =，2x =，3y =-时，此时()2311※※(-1)=1-=，而11※2※(-3)=2+3=5+，所以，()a x y a x a y +=+※※※不成立．【点睛】本题是新定义题型，按照题目中给定的运算要求和顺序进行求解即可．16．计算：（1）()11270.754⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭； （2）()()202023111242144⎛⎫-++-⨯--⨯- ⎪⎝⎭； 解析：（1）6；（2）11．【分析】（1）先变成省略括号和形式，同时把小数化分数，把分数相加，同号相加，最后异号相加即可；（2）先算乘方，去绝对值和带分数化假分数，再计算乘法，最后计算加减法即可．【详解】解：（1）()11270.754⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭， =1312744+-+， =1217+-，=13-7，=6；（2）()()202023111242144⎛⎫-++-⨯--⨯- ⎪⎝⎭， =()351124444⎛⎫++⨯--⨯- ⎪⎝⎭=11235++-=11．【点睛】本题考查含有乘方的有理数混合，掌握有理数混合运算的法则，解答的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序．17．计算：（1）()()34287⨯-+-÷；（2）()223232-+---．解析：（1）16-；（2）6．【分析】（1）先算乘除，后算加法即可；（2）原式先计算乘方运算，再化简绝对值，最后算加减运算即可求出值．【详解】（1）原式12416=--=-（2）原式34926=-+-=【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．计算：2202013(1)(2)4(1)2-÷-⨯---+-． 解析：33【分析】有理数的混合运算，注意先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的．【详解】 解：2202013(1)(2)4(1)2-÷-⨯---+- =1(2)4192-÷⨯--+ =192(2)4-⨯⨯--+ =3641-+=33．【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．19．计算：（1）45(30)(13)+---；（2）32128(2)4-÷-⨯-． 解析：（1）28；（2）-2【分析】 （1）有理数的加减混合运算，从左往右依次计算即可；（2）有理数的混合运算，先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的．【详解】解：（1）45(30)(13)+---=4530+13-=15+13=28（2）32128(2)4-÷-⨯- =18844-÷-⨯ =11--=-2．【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．20．一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下：（单位：米）+5，﹣4，+10，﹣8，﹣6，+13，﹣10．（1）守门员最后是否回到了球门线的位置？（2）在练习过程中，守门员离开球门线最远距离是多少米？（3）守门员全部练习结束后，他共跑了多少米？解析：（1）回到了球门线的位置；（2）11米；（3）56米【分析】（1）由于守门员从球门线出发练习折返跑，问最后是否回到了球门线的位置，只需将所有数加起来，看其和是否为0即可；（2）计算每一次跑后的数据，绝对值最大的即为所求；（3）求出所有数的绝对值的和即可．【详解】解：（1）（+5）+（﹣4）+（+10）+（﹣8）+（﹣6）+（+13）+（﹣10）=（5+10+13）-（4+8+6+10）=28-28=0．答：守门员最后回到了球门线的位置；（2）（3）|+5|+|﹣4|+|+10|+|﹣8|+|﹣6|+|+13|+|﹣10|＝5+4+10+8+6+13+10＝56（米）．答：守门员全部练习结束后，他共跑了56米．【点睛】本题考查了正数和负数以及有理数加减运算的应用等知识点，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，确定具有相反意义的量．21．计算：（1）2×（-3）3-4×（-3）（2）-22÷（12-13）×（-58）解析：（1）-42；（2）15【分析】（1）先算乘方、乘法，再算加减法即可；（2）先算括号和乘方，再算乘除即可．【详解】（1）原式 =2(27)12⨯-+=-54+12= 42-．（2）原式 =15 4()68 -÷⨯-=5 468⨯⨯=15．【点睛】本题考查了有理数的运算，掌握运算法则及运算顺序是关键．22．如图，数轴上A，B两点之间的距离为30，有一根木棒MN，设MN的长度为x．MN数轴上移动，M始终在左，N在右．当点N移动到与点A，B中的一个重合时，点M所对应的数为9，当点N移动到线段AB的中点时，点M所对应的数是多少？解析：点M所对应的数为24或-6．【分析】设MN=x，然后分类计算即可：①当点N与点A重合时，点M所对应的数为9，则点N对应的数为x+9；②当点N与点B重合时，点M所对应的数为9，则点N对应的数为x+9．【详解】设MN=x，①当点N 与点A 重合时，点M 所对应的数为9，则点N 对应的数为x+9，∵AB=30，∴当N 移动到线段AB 的中点时，点N 对应的数为x+9+15=x+24，∴点M 所对应的数为x+24-x=24；②当点N 与点B 重合时，点M 所对应的数为9，则点N 对应的数为x+9，∵AB=30，∴当N 移动到线段AB 的中点时，点N 对应的数为x+9-15=x-6，∴点M 所对应的数为x-6-x=-6；综上，点M 所对应的数为24或-6．【点睛】本题综合考查了数轴的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．数形结合并分类讨论是解题的关键．23．计算：（1）152|18|()263-⨯-+； （2）20203221124(2)3()3-+÷--⨯． 解析：（1）6；（2）-5【分析】（1）先去掉绝对值，然后根据乘法分配律即可解答本题；（2）根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题．【详解】解：（1）152|18|()263-⨯-+ ＝18×（12﹣56+23） ＝18×12﹣18×56+18×23＝9﹣15+12＝6；（2）20203221124(2)3()3-+÷--⨯ ＝﹣1+24÷（﹣8）﹣9×19＝﹣1+（﹣3）﹣1＝﹣5．【点睛】 此题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握混合运算顺序是解题关键．24．计算：（1）()()()923126--⨯-+÷-（2）()2235112342⎛⎫-+--÷- ⎪⎝⎭． 解析：（1）1；（2）-1.【分析】 （1）先算乘除，再算加减即可求解；（2）先算乘方，后算除法，最后算加减即可求解.【详解】（1）()()()923126--⨯-+÷-=962--=1；（2）()2235112342⎛⎫-+--÷- ⎪⎝⎭ =11891632-+-÷ =1893216-+-⨯ =892-+-=-1.【点睛】 此题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．25．（1）()()()()413597--++---+；（2）340.2575⎛⎫-÷-⨯ ⎪⎝⎭． 解析：（1）-6；（2）715． 【分析】 （1）原式根据有理数的加减法法则进行计算即可得到答案；（2）原式把除法转换为乘法，再进行乘法运算即可得到答案．【详解】解：（1）()()()()413597--++---+=-4-13-5+9+7=-22+9+7=-13+7=-6；（2）340.2575⎛⎫-÷-⨯ ⎪⎝⎭ =174435⨯⨯ =715． 【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．26．计算下列各题：（1）()157362912⎛⎫-+⨯- ⎪⎝⎭； （2）()()2362295321343⎛⎫⎛⎫-÷⨯---+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 解析：（1）19-；（2） 3.-【分析】 （1）利用乘法的分配律把原式化为：()()()1573636362912⨯--⨯-+⨯-，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可得到答案； （2）先计算乘方运算与小括号内的运算，同步把除法转化为乘法，再计算乘法运算，最后计算减法运算即可得到答案．【详解】解：（1）()157362912⎛⎫-+⨯- ⎪⎝⎭； ()()()1573636362912=⨯--⨯-+⨯- 182021=-+-19=-（2）()()2362295321343⎛⎫⎛⎫-÷⨯---+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()4452741993⎛⎫=⨯⨯---+⨯ ⎪⎝⎭ 16733⎛⎫=--- ⎪⎝⎭16733=-+ 9 3.3=-=- 【点睛】本题考查的是乘法的分配律的应用，含乘方的有理数的混合运算，掌握以上知识是解题的关键．27．阅读下列材料：(0)0(0)(0)x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，即当0x <时，1x x x x ==--．用这个结论可以解决下面问题：（1）已知a ，b 是有理数，当0ab ≠时，求a b a b+的值； （2）已知a ，b ，c 是有理数，0a b c ++=，0abc <，求b c a c a b a b c +++++的值． 解析：（1）2或2-或0；（2）-1．【分析】(1)分三种情况讨论，①0,0a b >>，②0,0a b <<，③0ab <，分别根据题意化简即可；(2)由0a b c ++=整理出,,a b c b c a a c b +=-+=-+=-，判断a b c ，，中有两正一负，再整体代入，结合题意计算即可．【详解】（1）0ab ≠∴①0,0a b >>，==1+1=2a b a b a b a b ++； ②0,0a b <<，==11=2a b a b a b a b+-----； ③0ab <，=1+1=0a b a b+-， 综上所述，当0ab ≠时，a b a b +的值为：2或2-或0； （2）0a b c ++=，0abc <,,a b c b c a a c b ∴+=-+=-+=-即a b c ，，中有两正一负， ∴==()1b c a c a b a b c a b c a b c a b c a b c+++---++++-++=-． 【点睛】本题考查绝对值的非负性以及有理数的运算等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．28．计算（1）21145()5-÷⨯-（2）21(2)8(2)()2--÷-⨯-．解析：（1）4125；（2）2．【分析】第（1）和（2）小题都属于有理数的混合运算，根据混合运算的运算顺序：先算乘方，并利用有理数的除法法则将除法转化为乘法，再计算乘法，最后计算加减即可求出结果．【详解】解：（1）21145()5-÷⨯-11116()55=-⨯⨯-16125=+4125=；（2）21(2)8(2)()2--÷-⨯-1148()()22=-⨯-⨯-42=-2=．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是确定正确的运算顺序并运用运算法则准确计算．29．体育课上全班男生进行了百米测试，达标成绩为14秒，下面是第一小组8名男生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于14秒，“－”表示成绩小于14秒．解析：9秒．【分析】根据平均成绩的计算方法，先列式计算表格中所有数据的平均数，再加上标准成绩即可得出结果．【详解】解：1.20.7010.30.20.30.50.18-++--+++=-（秒）140.113.9-=（秒）．答：这个小组8名男生的平均成绩是13.9秒．【点睛】此题考查了有理数的混合运算的实际应用，正确理解题目中正数和负数的含义是列式计算的关键．30．计算（1） ()375244128⎛⎫---⨯- ⎪⎝⎭（2） ()212382455-+--÷-⨯解析：（1）47；（2）4925【分析】 （1）根据乘法分配律，求出算式的值是多少即可；（2）先计算乘方及绝对值运算，再计算乘除法运算，最后算加减运算即可求出值．【详解】解： ()375244128⎛⎫---⨯- ⎪⎝⎭ ＝18+14＋15＝47（2）()212|38|2455-+--÷-⨯ ＝11452455⎛⎫-+-⨯-⨯⎪⎝⎭ ＝24125+ 4925= 【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．。
七年级有理数概念题
七年级有理数概念题有理数是整数和分数的统称，包括正整数、负整数、零以及正分数、负分数。
在学习有理数概念题时，需要掌握有理数的加减乘除运算规则、有理数的大小比较、有理数的绝对值等基本概念。
下面将为您介绍一些七年级有理数概念题的相关内容：1. 有理数的加减法：有理数的加减法遵循以下规则：- 同号相加，取绝对值相加，结果的符号与原数相同。
- 异号相加，取绝对值相减，结果的符号取绝对值较大的数的符号。
通过练习一些有理数的加减法题目，可以帮助学生掌握有理数的加减法规则，提高计算能力。
2. 有理数的乘法：有理数的乘法规则为：- 同号相乘，结果为正数。
- 异号相乘，结果为负数。
在乘法运算中，学生需要注意符号的运用，通过练习有理数的乘法题目，巩固乘法规则，提高计算水平。
3. 有理数的除法：有理数的除法也有相应的规则：- 除数不为0，被除数为0时，商为0。
- 同号相除，结果为正数。
- 异号相除，结果为负数。
在进行有理数的除法运算时，学生需要注意除数不能为0的情况，熟练掌握有理数的除法规则，避免出现计算错误。
4. 有理数的大小比较：在比较有理数的大小时，可以通过绝对值的大小来判断，绝对值大的数较大，绝对值小的数较小。
同时，注意有理数的正负情况，负数的绝对值大于正数的绝对值。
通过练习有理数的大小比较题目，可以帮助学生理解有理数的大小关系，提高比较能力。
5. 有理数的绝对值：有理数的绝对值是数的绝对值，即数到原点的距离，绝对值为正数，不考虑数的符号。
绝对值的概念在有理数的运算中有着重要的作用，通过练习有理数的绝对值题目，可以帮助学生理解绝对值的概念，提高数的理解能力。
通过练习以上的有理数概念题目，可以帮助学生巩固有理数的基本概念，提高有理数的运算能力，加深对数学知识的理解。
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专题 有理数的加减运算计算题(50题)(4大题型提分练)(解析版)
七年级上册数学《第2章有理数及其运算》专题有理数加减运算计算题◎有理数的加减混合运算（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法．（2）方法指引：①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．①转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．◎有理数的加减混合运算常用的方法技★1、互为相反数的两数相结合★2、符号相同的数相结合★3、同分母的分数相结合★4、相加减得整数的相结合-- -凑整法★5、按加数的类型灵活结合★6、先把分数分离整数后再分组相结合-- -拆项法题型一 有理数的加法计算1．（2023秋•河东区校级月考）计算：（1）27+（﹣13）；（2）（﹣19）+（﹣91）；（3）（﹣2.4）+2.4；（4）53+（−23）． 【分析】根据有理数的加法法则进行解题即可．【解答】解：（1）27+（﹣13）＝14；（2）（﹣19）+（﹣91）＝﹣110；（3）（﹣2.4）+2.4＝0；（4）53+（−23）＝1． 【点评】本题考查有理数的加法，掌握加法法则是解题的关键．2．计算：（1）（﹣3）+（﹣9）；（2）6+（﹣9）；（3）15+（﹣22）；（4）0+（−25）；（5）12+（﹣4）；（6）﹣4.5+（﹣3.5）．【分析】根据有理数加法的计算法则逐个进行计算即可．【解答】解：（1）（﹣3）+（﹣9）＝﹣（3+9）＝﹣12；（2）6+（﹣9）＝﹣（9﹣6）＝﹣3；（3）15+（﹣22）＝﹣（22﹣15）＝﹣7；（4）0+（−25）=−25；（5）12+（﹣4）＝12﹣4＝8；（6）﹣4.5+（﹣3.5）＝﹣（4.5+3.5）＝﹣8．【点评】本题考查有理数加法，掌握有理数加法的计算法则是正确计算的前提．3．（2023秋•南郑区校级月考）计算：（1）（+7）+（﹣6）+（﹣7）；（2）(−32)+(−512)+52+(−712)． 【分析】根据有理数的加减计算法则求解即可．【解答】解：（1）原式＝7﹣6﹣7＝﹣6；（2）原式=(−32)−512+52−712=(−32+52)−(512+712)＝1﹣1＝0．【点评】本题主要考查了有理数的加减混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．4．计算：（1）15+（﹣19）+18+（﹣12）+（﹣14）；（2）2.75+（﹣234）+（+118）+（﹣1457）+（﹣5.125）． 【分析】（1）去括号利用，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可．（2）去括号利用，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可．【解答】解：（1）原式＝15﹣19+18﹣12﹣14＝（15+18）+（﹣19﹣12﹣14）＝33+（﹣45）＝﹣12；（2）原式＝234−234+118−1457−518 ＝（234−234）+（118−518）﹣1457 ＝﹣1857． 【点评】本题主要考查了有理数的加法，掌握运算法则，利用加法的交换律与结合律进行计算是解题关键．5．用合理的方法计算下列各题：（1）103+（−114）+56+（−712）；（2）（−12）+（−25）+（+32）+185+395． 【分析】（1）把原式写成去掉括号的形式，分别计算正数和负数的和，即可得到答案；（2）应用加法的交换，结合律，即可计算．【解答】解：（1）103+（−114）+56+（−712） =103+56−114−712=256−206 =56；（2）（−12）+（−25）+（+32）+185+395 ＝（−12+32）+（−25+185+395）＝1+11＝12．【点评】本题考查有理数的加法，关键是掌握有理数的加法法则．6．（2023秋•桐柏县校级月考）提升计算：（1）（﹣2.4）+（﹣3.7）+（﹣4.6）+5.7；（2）23+（﹣17）+6+（﹣22）；（3）(+14)+(+18)+6+(−38)+(−38)+(−6)．【分析】（1）根据有理数的加法法则计算即可；（2）根据有理数的加法法则计算即可；（3）根据有理数的加法法则计算即可．【解答】解：（1）（﹣2.4）+（﹣3.7）+（﹣4.6）+5.7＝[（﹣2.4）+（﹣4.6）]+[（﹣3.7）+5.7]＝﹣7+2＝﹣5；（2）23+（﹣17）+6+（﹣22）＝（23+6）+[（﹣17）+（﹣22）]＝29+（﹣39）＝﹣10；（3）(+14)+(+18)+6+(−38)+(−38)+(−6)=[(+14)+(+18)+(−38)]+(−38)+[6+(−6)]=0+(−38)+0=−38．【点评】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 题型二 有理数的减法计算7．计算：（1）（﹣73）﹣41；（2）37﹣（﹣14）；（3）（−13）−190； （4）37−12． 【分析】根据有理数减法法则进行计算即可．【解答】解：（1）原式＝﹣73﹣41＝﹣114；（2）原式＝37+14＝51；（3）原式=−3090−190=−3190； （4）原式=614−714=−114．【点评】本题考查有理数的减法，掌握有理数减法法则是解题的关键．8．计算：（1）（﹣14）﹣（+15）；（2）（﹣14）﹣（﹣16）；（3）（+12）﹣（﹣9）；（4）12﹣（+17）；（5）0﹣（+52）；（6）108﹣（﹣11）．【分析】根据有理数的减法法则进行计算即可．【解答】解：（1）原式＝﹣14﹣15＝﹣29；（2）原式＝﹣14+16＝2；（3）原式＝12+9＝21；（4）原式＝12﹣17＝﹣5；（5）原式＝0﹣52＝﹣52；（6）原式＝108+11＝119．【点评】本题考查有理数的减法，掌握有理数的减法法则是解题的关键．9．计算：（1）（﹣34）﹣（+56）﹣（﹣28）；（2）（+25）﹣（−293）﹣（+472）．【分析】根据有理数的减法法则，把减法化成加法，写成省略加号和的形式，再利用加法运算律进行简便计算即可．【解答】解：（1）原式＝（﹣34）+（﹣56）+（+28）＝﹣34﹣56+28＝﹣90+28＝﹣62；（2）原式=(+25)+(+293)+(−472)=25+293−472=25+586−1416=2086−1416=676．【点评】本题主要考查了有理数的减法，解题关键是熟练掌握有理数的加减法则．10．计算下列各题．（1）（5﹣8）﹣2；（2）（3﹣7）﹣（2﹣9）；（3）（﹣3）﹣12﹣（﹣4）；（4）0﹣（﹣7）﹣4．【分析】根据有理数的减法法则计算即可，有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．【解答】解：（1）（5﹣8）﹣2＝﹣3+（﹣2）＝﹣5；（2）（3﹣7）﹣（2﹣9）＝（﹣4）﹣（﹣7）＝﹣4+7＝3；（3）（﹣3）﹣12﹣（﹣4）＝﹣15+4＝﹣11；（4）0﹣（﹣7）﹣4＝0+7﹣4＝3．【点评】本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．11．计算：（1）﹣30﹣（﹣85）；（2）﹣3﹣6﹣（﹣15）﹣（﹣10）；（3）23−（−23）−34． 【分析】（1）根据有理数的减法法则计算即可；（2）根据有理数的减法法则计算即可；（3）根据有理数的减法法则计算即可．【解答】解：（1）﹣30﹣（﹣85）＝﹣30+85＝55；（2）﹣3﹣6﹣（﹣15）﹣（﹣10）＝﹣3﹣6+15+10＝16；（3）23−(−23)−34 =23+23−34=712．【点评】本题考查了有理数的减法，熟练掌握有理数的减法法则是解题的关键．12．（2023秋•新城区校级月考）计算：0.47﹣4﹣（﹣1.53）．【分析】原式根据有理数加减法法则进行计算即可得到答案．【解答】解：0.47﹣4﹣（﹣1.53）＝0.47﹣4+1.53＝（0.47+1.57）﹣4＝2﹣4＝﹣2．【点评】本题主要考查了有理数的加减，熟练掌握有理数加减法法则是解答本题的关键．13．（2023秋•皇姑区校级期中）计算：16﹣（﹣12）﹣24﹣（﹣18）．【分析】将减法统一成加法，然后再计算．【解答】解：原式＝16+12+（﹣24）+18＝28+（﹣24）+18＝4+18＝22．【点评】本题考查有理数加减混合运算，掌握有理数加减法运算法则是解题关键．14．（2023秋•射洪市校级月考）计算：（﹣7）﹣（﹣10）﹣（﹣8）﹣（﹣2）．【分析】减去一个数，等于加上这个数的相反数，由此计算即可．【解答】解：（﹣7）﹣（﹣10）﹣（﹣8）﹣（﹣2）＝﹣7+10+8+2＝13．【点评】本题考查了有理数的减法，熟记其运算法则是解题的关键．15．（2024春•闵行区期中）计算：0.125−(−234)−(318−0.25)．【分析】按照有理数的减法法则，把减法化成加法，写成省略加号和的形式，然后进行简便计算即可．【解答】解：原式=18+234−318+14=234+14+18−318＝3﹣3＝0． 【点评】本题主要考查了有理数的减法运算，解题关键是熟练掌握有理数的加减法则．16．计算：4.73−[223−(145−2.63)]−13．【分析】根据有理数的减法法则进行求解即可，先算小括号，再算中括号，能用简便方法的用简便方法．【解答】解：原式＝4.73﹣[223−（﹣0.83）]−13 ＝4.73﹣（83+0.83）−13 ＝4.73−83−0.83−13＝0.9．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的基础． 题型三 运用加法运算律进行简便计算17．计算：16+（﹣25）+24+（﹣35）．【分析】把括号去掉，用加法的交换律和结合律计算．【解答】解：16+（﹣25）+24+（﹣35），＝16﹣25+24﹣35＝（16+24）+（﹣25﹣35）＝40+（﹣60）＝﹣20．【点评】本题考查了有理数加法，掌握有理数加法法则，加法的交换律和结合律的熟练应用是解题关键．18．计算：（﹣34）+（+8）+（+5）+（﹣23）【分析】此题可以运用加法的交换律交换加数的位置，原式可变为[（﹣34）+（﹣23）]+（8+5），然后利用加法的结合律将两个加数相加．【解答】解：（﹣34）+（+8）+（+5）+（﹣23），＝[（﹣34）+（﹣23）]+（8+5），＝﹣57+13，＝﹣44．【点评】本题考查了有理数的加法．解题关键是综合应用加法交换律和结合律，简化计算．19．计算：213+635+(−213)+(−525)．【分析】原式1、3项结合，2、4项结合，计算即可得到结果．【解答】解：原式＝（213−213）+（635−525）＝115． 【点评】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．计算：（﹣1.8）+（+0.7）+（﹣0.9）+1.3+（﹣0.2）．【分析】利用有理数的加法法则及加法的运算律进行计算即可．【解答】解：原式＝[﹣1.8+（﹣0.2）]+（0.7+1.3）+（﹣0.9）＝﹣2+2+（﹣0.9）＝﹣0.9．【点评】本题考查有理数的加法运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．21．（2023秋•合江县校级期末）计算：(−312)+(+67)+(−0.5)+(+117)．【分析】先把加法写成省略加号、括号和的形式，再利用加法的交换律、结合律求解．【解答】解：原式＝﹣312+67−12+117 ＝（﹣312−12）+（67+117） ＝﹣4+2＝﹣2．【点评】本题考查了有理数的加法，掌握加法的运算法则、运算律是解决本题的关键．22．计算：−0.5+(−314)+(−2.75)+(+712)．【分析】先用加法的交换律和结合律，再根据有理数加法法则进行计算．【解答】解：原式＝[﹣0.5+（+712）]+[（﹣3.25）+（﹣2.75）] ＝7+（﹣6）＝1．【点评】本题考查了有理数加法，掌握加法法则，用加法的交换律和结合律是解题关键．23．（2023秋•合江县校级期末）计算：(−312)+(+67)+(−0.5)+(+117)．【分析】先把加法写成省略加号、括号和的形式，再利用加法的交换律、结合律求解．【解答】解：原式＝﹣312+67−12+117 ＝（﹣312−12）+（67+117） ＝﹣4+2＝﹣2．【点评】本题考查了有理数的加法，掌握加法的运算法则、运算律是解决本题的关键．24．（2023秋•汉中期末）计算：12+(−23)+47+(−12)+(−13)． 【分析】利用加法结合律变形后，相加即可得到结果．【解答】解：原式＝[12+（−12）]+[（−23）+（−13）]+47 ＝0﹣1+47=−37．【点评】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．25．（2023春•普陀区期中）计算：(−357)+(+15.5)+(−1627)+(−512)．【分析】先按照同分母结合，再算加法．【解答】解：原式＝（﹣357−1627）+（15.5﹣5.5）＝﹣20+10＝﹣10． 【点评】本题考查了有理数的加法，掌握加法运算律是解题的关键．26．（2024春•普陀区期中）计算：−3.19+21921+(−6.81)−(−2221)．【分析】将小数与小数结合，分数与分数结合后再运算即可．【解答】解：−3.19+21921+(−6.81)−(−2221) ＝（﹣3.19﹣6.81）+（21921+2221）＝﹣10+5＝﹣5． 【点评】本题考查了有理数加减混合运算，分组计算是关键．27．（2023春•浦东新区校级期中）(−2513)+(+15.5)+(−7813)+(−512)． 【分析】先将小数化分数，利用加法交换律将分母相同的放一起进行计算．【解答】解：原式=(−2513)+(+1512)+(−7813)+(−512)=[1512+(−512)]+[(−2513)+(−7813)] ＝10﹣10＝0．【点评】本题考查有理数的加法运算，利用加法交换律将分母相同的数放一起进行计算是解题的关键．28．（2023秋•惠城区月考）用适当的方法计算：（1）0.36+（﹣7.4）+0.5+（﹣0.6）+0.14；（2）（﹣51）+（+12）+（﹣7）+（﹣11）+（+36）．【分析】（1）利用加法的交换律和结合律，将正数结合在一起，负数结合在一起计算即可；（2）利用加法的交换律和结合律，将正数结合在一起，负数结合在一起计算即可；【解答】解：（1）0.36+（﹣7.4）+0.5+（﹣0.6）+0.14＝（0.36+0.14+0.5）+[（﹣7.4）+（﹣0.6）]＝1+（﹣8）＝﹣7；（2）（﹣51）+（+12）+（﹣7）+（﹣11）+（+36）＝[（﹣51）+（﹣7）+（﹣11）]+[（+12）+（+36）]＝（﹣69）+48＝﹣21．【点评】本题考查有理数的加法，利用运算定律可使计算简便．29．计算：（1）137+（﹣213）+247+（﹣123）； （2）（﹣1.25）+2.25+7.75+（﹣8.75）．【分析】根据有理数加法法则与运算律进行计算便可．【解答】解：（1）137+（﹣213）+247+（﹣123） ＝（137+247）+[（﹣213）+（﹣123）]＝4+（﹣4）＝0；（2）（﹣1.25）+2.25+7.75+（﹣8.75）＝[（﹣1.25）+（﹣8.75）]+（2.25+7.75）＝（﹣10）+10＝0．【点评】本题考查有理数加法，加法运算律，关键是熟记有理数加法运算法则与运算律．30．（2023秋•齐河县校级月考）计算题．（1）5.6+4.4+（﹣8.1）；（2）（﹣7）+（﹣4）+（+9）+（﹣5）；（3）14+（−23）+56+（−14）+（−13）； （4）（﹣9512）+1534+（﹣314）+（﹣22.5）+（﹣15712）．【分析】（1）运用加法结合律简便计算即可求解；（2）运用加法交换律和结合律简便计算即可求解；（3）运用加法交换律和结合律简便计算即可求解；（4）运用加法交换律和结合律简便计算即可求解．【解答】解：（1）原式＝10﹣8.1＝1.9；（2）原式＝（﹣7）+[（﹣4）+（﹣5）+（+9）]＝﹣7+0＝﹣7；（3）原式＝[14+（−14）]+[（−23）+（−13）]+56＝0+（﹣1）+56=−16；（4）原式＝[（﹣9512）+（﹣15712）]+[1534+（﹣314）]+（﹣22.5） ＝﹣25+1212+（﹣2212） ＝﹣25+（﹣10）＝﹣35．【点评】本题主要考查了有理数的加法，灵活运用加法交换律和结合律进行简便计算是解题的关键． 题型四 有理数的加减混合运算31．（2024春•浦东新区校级期中）计算：(−2513)−(−15.5)+(−7813)+(−512)．【分析】根据加法交换律、加法结合律，求出算式的值即可．【解答】解：(−2513)−(−15.5)+(−7813)+(−512)＝﹣2513+15.5﹣7813−512 ＝（﹣2513−7813）+（15.5﹣512）＝﹣10+10＝0．【点评】此题主要考查了有理数的加减混合运算，解答此题的关键是要明确：（1）在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．（2）转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．32．（2024春•崇明区期中）计算：414−1.5+(512)−（﹣2.75）． 【分析】根据有理数加减混合运算法则运算即可．【解答】解：原式＝4.25﹣1.5+5.5+2.75＝（4.25+2.75）+（5.5﹣1.5）＝7+4＝11．【点评】本题考查了有理数加减混合运算，分数转化为小数后分组运算是关键．33．（2024春•黄浦区期中）计算：(−7.7)+(−656)+(−3.3)−(−116)．【分析】根据有理数的加减混合运算法则进行计算．【解答】解：原式＝﹣7.7−416−3.3+76＝﹣11−346=−503．【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则是关键．34．（2022•南京模拟）计算：（﹣478）﹣（﹣512）+（﹣414）﹣318． 【分析】原式利用减法法则变形，结合后相加即可得到结果．【解答】解：（﹣478）﹣（﹣512）+（﹣414）﹣318 =−478−318+512−414=−8+114=−634．【点评】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．灵活运用加法结合律进行凑整运算可以简化计算．35．（2023秋•万柏林区校级月考）计算：−|−113|−(−225)−|−313|+(−125)．【分析】利用绝对值的意义，加法交换律和有理数加减法运算法则计算即可．【解答】解：−|−113|−(−225)−|−313|+(−125)=−113+225−313−125=−113−313+225−125=−423+1=−323．【点评】本题考查有理数的加减运算，解答时涉及绝对值的意义，加法交换律，掌握有理数加减法运算法则是解题的关键，36．（2023秋•万柏林区校级月考）计算：（1）6﹣（﹣2）+（﹣3）﹣1；（2）−1.2+(−34)−(−1.75)−14．【分析】（1）（2）两个小题均按照有理数的减法法则，把减法化成加法，写成省略加号和括号的形式，进行简便计算即可．【解答】解：（1）原式＝6+2﹣3﹣1＝8﹣4＝4；（2）原式=−1.2−34+1.75−14=−1.2+1.75−34−14＝0.55﹣1＝﹣0.45．【点评】本题主要考查了有理数的加减运算，解题关键是熟练掌握有理数的加减法则．37．（2023秋•泰兴市期末）计算：（1）（−49）+（−59）﹣（﹣9）；（2）（56−12−712）+（−124）． 【分析】（1）根据有理数的加减运算法则计算即可；（2）先算括号里面的，然后根据有理数的加法法则计算即可．【解答】解：（1）（−49）+（−59）﹣（﹣9）=−49+(−59)+9＝﹣1+9＝8；（2）（56−12−712）+（−124） =(1012−612−712)+(−124) =−14+(−124)=−724．【点评】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键．38．（2023秋•管城区校级月考）计算：（1）20+（﹣13）﹣|﹣9|+15；（2）﹣61﹣|﹣71|﹣9﹣（﹣3）．【分析】（1）先根据绝对值的性质进行化简，再写成省略加号和的形式进行简便计算即可；（2）先根据绝对值的性质进行化简，然后进行简便计算即可．【解答】解：（1）原式＝20+（﹣13）﹣9+15＝20﹣13﹣9+15＝20+15﹣13﹣9＝35﹣22＝13；（2）原式＝﹣61﹣71﹣9+3＝﹣141+3＝﹣138．【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，解题关键是熟练掌握有理数的加减法则．39．（2023秋•珠海校级月考）计算：（1）4.1﹣（﹣8.9）﹣7.4+（﹣6.6）；（2）(−710)+(+23)+(−0.1)+(−2.2)+(+710)+(+3.5)．【分析】根据有理数加减运算法则计算即可．【解答】解：（1）4.1﹣（﹣8.9）﹣7.4+（﹣6.6）＝4.1+8.9﹣7.4﹣6.6＝13﹣14＝﹣1；（2）（−710）+（+23）+（﹣0.1）+（﹣2.2）+（+710）+（+3.5）=−710+23﹣0.1﹣2.2+710+3.5＝24.2．【点评】本题主要考查了有理数加减运算，掌握有理数加减运算法则是解决问题的关键．40．（2023秋•碑林区校级月考）计算：（1）（﹣2）+3+1+（﹣13）+2；（2）−(−2.5)−(+2.4)+(−312)−1.6．【分析】（1）从左向右依次计算即可；（2）根据加法交换律、加法结合律计算即可．【解答】解：（1）（﹣2）+3+1+（﹣13）+2＝1+1﹣13+2＝﹣9．（2）−(−2.5)−(+2.4)+(−312)−1.6＝2.5﹣2.4﹣3.5﹣1.6＝（2.5﹣3.5）+（﹣2.4﹣1.6）＝﹣1+（﹣4）＝﹣5．【点评】此题主要考查了有理数的加减混合运算，解答此题的关键是要明确：（1）在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．（2）转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．41．（2023秋•乌鲁木齐期末）计算：（1）﹣313+(−12)−(−13)+112； （2）（﹣5.3）+|﹣2.5|+（﹣3.2）﹣（+4.8）．【分析】先分别变有理数加减混合运算为有理数加法，再运用加法交换结合律进行求解．【解答】解：（1）−313+(−12)−(−13)+112＝（﹣313+13）+（−12+112） ＝﹣3+1＝﹣2；（2）（﹣5.3）+|﹣2.5|+（﹣3.2）﹣（+4.8）＝﹣5.3+2.5﹣3.2﹣4.8＝2.5﹣（5.3+3.2+4.8）＝2.5﹣13.3＝﹣10.8．【点评】此题考查了有理数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并进行正确地计算．42．（2023秋•顺德区校级月考）计算：（1）（+13）﹣（+12）﹣（−34）+（−23）．（2）（+478）﹣（﹣514）+（﹣414）﹣（+318）． 【分析】利用有理数的加减法则计算各题即可．【解答】解：（1）原式=13−12+34−23=4−6+9−812=−112； （2）原式＝478+514−414−318＝（478−318）+（514−414） ＝134+1 ＝234．【点评】本题考查有理数的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．43．（2023秋•谯城区校级月考）计算题：（1）6﹣（+3）﹣（﹣7）+（﹣2）；（2）103+（−114）﹣（−56）+（−712）． 【分析】各个小题均把减法写成加法，然后省略加号和括号，进行简便计算即可．【解答】解：（1）原式＝6+（﹣3）+7﹣2＝6﹣3+7﹣2＝6+7﹣3﹣2＝13﹣5＝8；（2）原式=103−114+56−712 =4012−3312+1012−712 =4012+1012−3312−712 =5012−4012=1012=56．【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，解题关键是熟练掌握有理数的加减运算法则．44．（2023秋•禅城区校级月考）计算：（1）（+4.3）﹣（﹣4）+（﹣2.3）﹣（+4）；（2）0−12−(−3.25)+234−|−712|．【分析】（1）根据有理数加减混合运算法则运算即可；（2）去绝对值后，根据有理数加减混合运算法则运算即可．【解答】解：（1）（+4.3）﹣（﹣4）+（﹣2.3）﹣（+4）＝4.3+4﹣2.3﹣4＝2；（2）0−12−(−3.25)+234−|−712|＝0−12+3.25+234−712 ＝﹣8+3.25+2.75＝﹣8+6＝﹣2．【点评】本题考查了有理数加减混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．45．（2023秋•天桥区校级月考）简便运算：（1）31+（﹣28）+28+69；（2）﹣414+8.4﹣（﹣4.75）+335． 【分析】（1）根据有理数的加法交换律和结合律计算即可；（2）据有理数的加法交换律和结合律计算即可．【解答】解：（1）31+（﹣28）+28+69＝（31+69）+[（﹣28）+28]＝100+0＝100；（2）﹣414+8.4﹣（﹣4.75）+335 ＝（﹣4.25+4.75）+（8.4+3.6）＝0.5+12＝12.5．【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键．46．（2023秋•宁阳县期中）计算：（1）13+（﹣24）﹣25﹣（﹣20）；（2）(−13)+(−52)+(−23)+(+12)；（3）−20.75−3.25+14+1934；（4）−|−23−(+32)|−|−15+(−25)|．【分析】（1）利用有理数的加减法则计算即可；（2）利用有理数的加减法则计算即可；（3）利用有理数的加减法则计算即可；（4）先算绝对值，再算加减即可．【解答】解：（1）原式＝﹣11﹣25+20＝﹣36+20＝﹣16；（2）原式＝（−13−23）+（12−52） ＝﹣1﹣2＝﹣3；（3）原式＝（﹣20.75+1934）+（14−3.25） ＝﹣1﹣3＝﹣4；（4）原式＝﹣|−4+96|﹣|−35| =−136−35=−65+1830 =−8330． 【点评】本题考查有理数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．47．（2023秋•台儿庄区月考）计算题：（1）﹣32﹣（﹣17）﹣23+（﹣15）；（2）(−323)−(−2.4)+(−13)−(+425)；（3）（−13）﹣（﹣316）﹣（+223）+（﹣616）； （4）（﹣45）﹣（+9）﹣（﹣45）+（+9）．【分析】（1）先把算式写成省略加号、括号和的形式，再把负数与正数分别相加；（2）（3）先把算式写成省略加号、括号和的形式，再把分母相同的相加；（3）先把算式写成省略加号、括号和的形式，再把互为相反数的两数相加．【解答】解：（1）﹣32﹣（﹣17）﹣23+（﹣15）＝﹣32+17﹣23﹣15＝﹣70+17＝﹣53；（2）(−323)−(−2.4)+(−13)−(+425)＝﹣323+2.4−13−4.4 ＝﹣323−13+2.4﹣4.4＝﹣4﹣2＝﹣6； （3）（−13）﹣（﹣316）﹣（+223）+（﹣616） =−13+316−223−616 =−13−223+316−616＝﹣3﹣3＝﹣6；（4）（﹣45）﹣（+9）﹣（﹣45）+（+9）＝﹣45﹣9+45+9＝（45﹣45）+（9﹣9）＝0．【点评】本题考查了有理数的加减法，掌握有理数的加减法法则、加法的交换律和结合律是解决本题的关键．48．（2023秋•临河区月考）（1）（﹣4.3）﹣（+5.8）+（﹣3.2）﹣3.5+（﹣2.7）；（2）−|−15|−(+45)−|−37|−|−47|；（3）513+(−423)+(−613)；（4）−12+(−13)−(−14)+(−15)−(−16)．【分析】（1）利用有理数的加减法则计算即可；（2）利用绝对值的性质及有理数的加减法则计算即可；（3）利用有理数的加减法则计算即可；（4）利用有理数的加减法则计算即可．【解答】解：（1）原式＝﹣4.3﹣5.8﹣3.2﹣3.5﹣2.7＝﹣（4.3+5.8+3.2+3.5+2.7）＝﹣19.5；（2）原式=−15−45−37−47＝﹣1﹣1＝﹣2；（3）原式＝513−613−423 ＝﹣1﹣423 ＝﹣523； （4）原式=−12−13+14−15+16=−56+14−15+16=−56+16+14−15=−23+14−15=−40+15−1260=−3760．【点评】本题考查有理数的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．49．（2023秋•越秀区校级期中）阅读下面的解题方法．计算：﹣556+（﹣923）+1734+（﹣312）． 解：原式＝[（﹣5）+（−56）]+[（﹣9）+（−23）]+（17+34）+[（﹣3）+（−12）]＝[（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）]+[（−56）+（−23）+34+（−12）]＝0+（−54）=−54．上述解题方法叫做拆项法，按此方法计算：（﹣202156）+404323+（﹣202223）+156． 【分析】根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案．【解答】解：原式＝[（﹣2021）+（−56）+4043+23+（﹣2022）+（−23）]+（1+56）＝[（﹣2011）+4043+（﹣2022）+1]+[（−56）+（−23）+23+（56）] ＝11+0＝11．【点评】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键．仿照上面的方法，请你计算：(−2022724)+(−202158)+(−116)+4044． 【分析】仿照上述拆项法解题即可．【解答】解：(−2022724)+(−202158)+(−116)+4044＝[（﹣2022）+（−724）]+[（﹣2021）+（−58）]+[（﹣1）+（−16）]+4044 ＝[（﹣2022）+（﹣2021）+（﹣1）+4044]+[（−724）+（−58）+（−16）] 50．（2023秋•襄汾县期中）阅读下面的计算过程，体会“拆项法”计算：﹣556+（﹣923）+1734+（﹣312） 解：原式＝[（﹣5）+（−56）]+[（﹣9）+（−23）]+（17+34）+[（﹣3）+（−12）]＝[（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）]+[（−56）+（−23）+34+（−12）]＝0+（﹣114）＝﹣114 启发应用用上面的方法完成下列计算：（1）（﹣3310）+（﹣112）+235−（﹣212）； （2）（﹣200056）+（﹣199923）+400023+（﹣112）．【分析】原式根据阅读材料中的方法变形，计算即可得到结果．【解答】解：（1）（﹣3310）+（﹣112）+235−（﹣212） ＝（﹣3−310）+（﹣1−12）+（2+35）+（2+12）＝（﹣3﹣1+2+2）+（−310−12+35+12）＝0+310=310；（2）（﹣200056）+（﹣199923）+400023+（﹣112） ＝（﹣2000−56）+（﹣1999−23）+（4000+23）+（﹣1−12）＝（﹣2000﹣1999+4000﹣1）+（−56−23+23−12）＝0﹣113 ＝﹣113． 【点评】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。
七年级数学-上册有理数定义新运算思维开放题(含答案)
七年级数学-上册有理数定义新运算学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题。
1．定义一种新运算()2ab a b =+⨯，计算()35-的值为（ ） A ．7 B ．4- C ．1 D ．42．定义a b ∨表示a 、b 两数中较大的一个，a b ∧表示a 、b 两数中较小的一个，则(5052)(4951)-∨-∨-∧的结果是（ ）A ．50-B ．52-C ．49-D ．513．对于整数a ，b ，c ，d 定义运算a a d cb bcd =-，则2354的值等于（ ） A ．7 B ．7- C ．2 D ．2-4．对于有理数a 、b 定义一种新运算“⊙”，规定a ⊙b =|a +b |+|a -b |，则（2-）⊙3的值是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．25．现定义运算“⊙”对于任意两个整数，a ⊙b =a +b -1，则1⊙(3⊙5)的结果是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．106．若a ，b 都是有理数，定义一种新运算“☆”，规定()()a b a b -+-☆＝，则()24-☆ 的值为（ ）A ．2B ．﹣2C ．6D ．﹣67．七年级小莉同学在学习完第二章《有理数及其运算》后，对运算产生了浓厚的兴趣．她借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：2a b ab a ⊕=+．则1(3)42⎛⎫-⊕-⊕= ⎪⎝⎭（ ）． A ．13- B ．6 C ．24 D ．308．现定义运算：对于任意有理数a 、b ，都有23a b a b ⊗=-，如：2131338⊗=-⨯=-，则()523-⊗-⊗的值为（ ）A ．20B ．25C ．38D ．40 9．定义运算11b a b a ⊗=+，比如11523236⊗=+=，下面给出了关于这种运算的几个结论：⊙()1236⊗-=；⊙此运算中的字母均不能取零；⊙a b b a ⊗=⊗；⊙()a b c a c b c ⊗+=⊗+⊗，其中正确是（ ）A ．⊙⊙⊙B ．⊙⊙⊙C ．⊙⊙⊙D ．⊙⊙⊙二、填空题10．定义一种新运算：*a b a b b+=，请你根据这一运算规则计算：2*(3)-=___________； 11．定义一种新运算⊙，即(2)3m n m n ∆=+⨯-，根据规定求6(3)∆-=_____．12．对有理数,a b ，定义运算★如下，+a b b a a b=★，则48-=★________． 13．定义一种新运算“K 运算”，对有理数a ，b ，规定：()2(1)12(1)a b ab a aKb ab ba b ab ⎧-+>⎪⎪=-=⎨⎪-<⎪⎩，其中“K 运算”的运算顺序为：同级运算，依次从左至右进行（可类比有理数的四则运算顺序），则()()231129353K K K K ⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的运算结果是_________． 14．新定义一种运算：22a b a b =-，例如：2(1)3(1)23165-=--⨯=-=-，则(2)(1)--=_______．三、解答题15．现定义一种新运算：a b ab a b ⊗=+-，如13=13+131⊗⨯-=．(1)求()256⎡⎤⎣-⎦⊗⊗；(2)新定义的运算满足交换律吗？试以()43-⊗和()34⊗-举例说明．16．对于任意有理数a 、b ，定义一种新运算“⊕”，规则如下：()a b ab a b ⊕=+-，例如()3232327⊕=⨯+-=，求()543-⊕⊕⎡⎤⎣⎦．17．用“⊙”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定22a b b ab =+★，如：214421424=+⨯⨯=★．求(4)3-★的值．18．定义新运算：对于任意有理数a ，b ．都有()a b a a b b ⊕=--．等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：()353(35)5=325=11⊕=⨯--⨯---(1)求()32⊕-的值；(2)求2(1)4⊕-⊕的值．19．在数轴上有A 、B 两点，点B 表示的数为b ．对点A 给出如下定义：当0b ≥时，将点A 向右移动2个单位长度，得到点P ；当0b <时，将点A 向左移动b 个单位长度，得到点P ．称点P 为点A 关于点B 的“伴侣点”．如图，点A 表示的数为1-．(1)在图中画出当6b =时，点A 关于点B 的“伴侣点”P ；(2)当点P 表示的数为6-，若点P 为点A 关于点B 的“伴侣点”，则点B 表示的数 ；(3)点A 从数轴上表示1-的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动，点B 从数轴上表示8的位置同时出发，以每秒2个单位的速度向左运动，两个点运动的时间为t 秒．⊙点B 表示的数为 （用含t 的式子表示）；⊙是否存在t ，使得此时点A 关于点B 的“伴侣点”P 恰好与原点重合？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．20．在有理数的范围内，定义三个数之间的新运算“⊗”：2a b c a b c a b c --+++⊗⊗=，例如()()-123-123-12352--+++⊗⊗==． (1)计算：()()4-28⊗⊗+；(2)计算：()113-73⎛⎫⊗⊗+ ⎪⎝⎭； (3)已知 67-，57-，，17-，0，19，29，，89这十五个数中．从中任取三个数作为 a ，b ，c 的值，进行“a b c ⊗⊗”运算，直接写出所有计算结果中的最小值是 ．参考答案：1．D【分析】根据新定义运算的运算法则列式进行计算即可．【详解】解：⊙()2a b a b =+⨯，⊙()()3535222 4.-=-+⨯=⨯=故选D ．【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，理解新定义的含义是解本题的关键．2．C【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．【详解】解：根据题中的新定义得：(5052)(4951)-∨-∨-∧(50)(49)=-∨-49=-．故选：C ．【点睛】此题考查了有理数的比较大小，弄清题中的新定义是解本题的关键．3．B【分析】根据a bd c =ac ﹣bd ，可以计算出所求式子的值．【详解】解：⊙a bd c =ac ﹣bd ， ⊙2354＝2×4﹣3×5＝8﹣15＝﹣7，故选：B ．【点睛】本题考查有理数的混合运算、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．4．A【分析】利用题中的新定义的运算法则、有理数的加减运算法则、化简绝对值的知识即可解答．【详解】解：由题意得：（-2）⊙3=|（-2）+3|+|（-2）-3|=1+5=6．故选A ．【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，理解新定义运算则和有理数混合运算法则是解本题的关键．5．A【分析】根据新定义运算代入，即可求解．【详解】解：根据题意得：3⊙5=3+5-1=7，⊙1⊙(3⊙5)= 1⊙7=1+7-1=7．故选：A ．【点睛】本题主要考查了有理数的加减运算，理解新定义运算是解题的关键．6．B【分析】把相应的值代入新运算中，然后根据有理数的加减运算法则进行求解即可．【详解】解：()24-☆＝()()24+---＝24-＝﹣2．故选：B ．【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算法则、新定义运算法则等知识点，正确理解新定义的运算是解答本题的关键．7．C 【分析】根据新定义先计算142-⊕，再计算()(3)10-⊕-即可求解． 【详解】解：⊙2a b ab a ⊕=+． ⊙11442(4)281022-⊕=-⨯+⨯-=--=- ⊙1(3)42⎛⎫-⊕-⊕ ⎪⎝⎭ ()(3)10=-⊕-3(10)2(3)=-⨯-+⨯-306=-=24．故选：C ．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．8．D【分析】根据题意写出算式，利用有理数的混合运算法则计算；【详解】解：()523-⊗-⊗，()2=5233⎡⎤-⊗--⨯⎣⎦， ()=55-⊗-，()()2=535--⨯-， =40，故选：D ．【点睛】本题考查了有理数的混合运算以及新定义，正确理解新定义，能根据新定义的意思列出算式是解题的关键．9．B【分析】根据题目中的新定义计算各项得到结果，即可做出判断．【详解】⊙()23⊗-=1123-=16，⊙正确； ⊙⊙11b a b a ⊗=+，⊙0a ≠且0b ≠，⊙⊙正确； ⊙⊙11b a b a ⊗=+，11b a b a⊗=+， ⊙a b b a ⊗=⊗，⊙⊙正确；⊙⊙()a b c ⊗+=11a b c++ ，a c b c ⊗+⊗= 1111121a c b c a c b +++=++， ⊙a b c a c b c ⊗+≠⊗+⊗（），⊙⊙错误．综上，正确的结论为⊙⊙⊙，故选B ．【点睛】本题考查了新定义运算，熟练利用新定义运算的运算法则计算各项是解决问题的关键．10．13【分析】代入新定义运算，即可求解．【详解】解：根据题意得：()2312*333--==-． 故答案为：13 【点睛】本题考查了新定义下的有理数混合运算，理解新运算的定义是解题关键．11．27【分析】根据新定义列出算式6(3)(62)3(3)∆-=+⨯--，再进一步计算即可．【详解】解：6(3)∆-(62)3(3)=+⨯--833=⨯+243=+27=，故答案为：27．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算法则．12．8- 【分析】根据新定义运算的法则先列式4848,48-⨯-=-+★再计算即可． 【详解】解：⊙+a b b a a b =★， ⊙4832488,484-⨯--===--+★ 故答案为：8.-【点睛】本题考查的是新定义运算，掌握“有理数的加减乘除混合运算的运算顺序”是解本题的关键． 13．2059##7229【分析】根据()231211,213533⎛⎫⎛⎫-⨯=-⨯-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得()()231254129935393K K K K K K ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再由2541001001932727⎛⎫⨯-=-=> ⎪⎝⎭，可得2546299939K K K ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，然后根据629626219-⨯=-=>，即可求解．【详解】解：⊙()231211,213533⎛⎫⎛⎫-⨯=-⨯-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ⊙21235525313353539K -⎛⎫-=-=⨯= ⎪⎝⎭，()112422223333K ⎛⎫⎛⎫--=--⨯-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⊙()()231254129935393K K K K K K ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⊙2541001001932727⎛⎫⨯-=-=> ⎪⎝⎭， ⊙25425450126229393999K ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ⊙2546299939K K K ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ⊙629626219-⨯=-=>， ⊙626212420592999999K ⎛⎫-=-⨯-+=+= ⎪⎝⎭， 即()()2312051293539K K K K ⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 故答案为：2059【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解新运算是解题的关键．14．6【分析】根据新定义的运算求解即可．【详解】解：根据新定义，可得2(2)(1)(2)2(1)426--=--⨯-=+=．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了新定义下的有理数运算，理解新定义下运算是解题关键．15．(1)125-(2)不满足交换律，举例见解析【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得答案；（2）不满足，分别计算()43-⊗和()34⊗-说明即可．【详解】（1）解：根据题中的新定义得：()256⎡⎤⎣-⎦⊗⊗()25256=-⨯--⊗()176=-⊗176176=-⨯--125=-；（2）新定义的运算不满足交换律，例如：()43434319-⊗=-⨯--=-；()()()34343412345⊗-=⨯-+--=-++=-，⊙195-≠-，⊙()()4334-⊗≠⊗-，则不满足交换律．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．16．119-【分析】根据公式直接计算即可．【详解】解：()543-⊕⊕⎡⎤⎣⎦()()54543=-⨯+--⊕⎡⎤⎣⎦293=-⊕()293293=-⨯+--119=-【点睛】此题考查新定义运算，有理数的混合运算，正确理解公式及所求式子中对应的a 与b 的值是解题的关键．17．−15【分析】根据新定义列式计算即可．【详解】解：2(4)332(4)3-=+⨯-⨯★924=-15=-【点睛】本题考查了新定义，以及有理数的混合运算，根据新定义列出算式是解答本题的关键．18．(1)17；(2)17．【分析】（1）利用题中的新定义化简，计算即可求出值；（2）利用题中的新定义化简，计算即可求出值．【详解】（1）解：由题意可知：()323(32)217⊕-=⨯++=．（2）解：()2(1)=221+1=7-⨯+⊕，()74=7744=17⨯--⊕．【点睛】本题考查新定义问题，掌握有理数的混合运算法则，读懂题目中定义的运算法则是解题的关键．19．(1)画图见解析(2)5-(3)⊙82t -；⊙存在7t =，使得点A 关于点B 的“伴侣点”P 与原点重合【分析】（1）当6b =时，0b ≥，将点A 向右移动2个单位长度，由此求出点P 表示的数，并作图即可；（2）根据点A 和点P 表示的数可知，点P 是由点A 向左平移5个单位得到的，据此求解即可；（3）⊙根据点B 的运动方向和运动速度即可求解；⊙运动的时间为t 秒时，点A 表示的数为1t -+，点B 表示的数为82t -，分为点B 在原点右侧和原点左侧两种情况讨论即可．【详解】（1）解：当6b =时，0b ≥，将点A 向右移动2个单位长度，此时点P 表示的数为：121-+=，作图如下：（2）解：⊙点P 表示的数为6-，点A 表示的数为1-，第11页，共12页⊙点P 是点A 向左移动5个单位长度得到的， ⊙5b =且0b <，⊙=5b -，⊙点B 表示的数为5-，故答案为：5-；（3）解：⊙点B 从数轴上表示8的位置出发，以每秒2个单位的速度向左运动t 秒，则点B 表示的数为82t -， 故答案为：82t -；⊙解：存在7t =，使得点A 关于点B 的“伴侣点”P 与原点重合，理由如下：运动的时间为t 秒时，点A 表示的数为1t -+，点B 表示的数为82t -，分两种情况：当04t <≤时，820t -≥，此时点A 关于点B 的“伴侣点”P 表示的数为：121t t -++=+，由于0t >，故10t +>，不可能与原点重合；当4t >时，820t -<，此时点A 关于点B 的“伴侣点”P 表示的数为：()1821281287t t t t t t t -+--=-+--=-+-+=-，⊙当7t =时，点P 与原点重合，综上，存在7t =，使得点A 关于点B 的“伴侣点”P 与原点重合．【点睛】本题考查了绝对值的化简，用数轴上的点表示有理数，数轴上的动点问题以及有理数的加减法，注意分类讨论．20．(1)6(2)3 (3)67-【分析】（1）直接代入公式计算即可；（2）直接代入公式计算即可；（3）分析a b c --为负数与非负数两种情况下的最小值，最后综合考虑即可．【详解】（1）原式=()()4284282---++-+=6；（2）原式=()()11113737332---++-+第12页，共12页 =()19113-7332+++=3；（3）当a b c --为非负数时，a b c ⊗⊗=2a b c a b c a --+++=， ⊙当6-7a =时，abc ⊗⊗的最小值为6-7； 当a b c --为负数时，a b c ⊗⊗=-2a b c a b c b c +++++=+， ⊙当b c +的值最小时，a b c ⊗⊗的值最小；⊙a b c --为负数，⊙＜a b c +，由于a 最小取6-7， ⊙67b c +-＞， 综上可得，a b c ⊗⊗的最小值为6-7． 【点睛】本题考查了正负数的运算、绝对值运算、代数式的求值等，解题关键是正确代入数值计算，求最小值时应进行分类讨论。