5.3用频域分析法分析系统的稳定性解析
5.3-5.4奈氏判据和稳定裕度
如此定义的封闭曲线肯定包围了F(s)的位于s 平面右半部的所有零点和极点。
3. Nyquist稳定判据
• 设复变函数F(s) 在s平面的右半部有Z个零点和P个 极点。根据映射定理，当s 沿着s平面上的乃氏回 线移动一周时，在F(s) 平面上的映射曲线CF将按 逆时针方向围绕坐标原点旋转R = P－Z周。
• 如果开环稳定，即P=0，则闭环系统稳定的条件是： 映射曲线CF 围绕坐标原点的圈数为R=0。
• 根据系统闭环特征方程有
G( s) H ( s ) F ( s ) 1
F(s) 的 映 射 曲 线 CF 围 绕 原 点 运 动 情 况 ， 相 当 于 G(s)H(s)的封闭曲线CGH 围绕(－1，j0)点的运动情况 。
s lim e j
0
当ω从0- 沿小半圆变到0+ 时，s按逆时针方向旋转了 180°。
G(s)H(s)在其平面上的映射为
G(s) H (s)
s lim ei
0
K ( s z1 )( s z2 ) ( s zm ) s ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
s平面 q2
j
j1
jV
F(s) 0 U
p2
z1
0 p1 z2
q1 j2 s
封闭曲线包围z1时的映射情况
• 若s平面上的封闭曲线Γs包围着F(s) 的Z个零点，则 在F(s)平面上的映射曲线ΓF将按顺时针方向围绕着 坐标原点旋转Z周； • 用类似分析方法可以推论，若s平面上的封闭曲线Γs 包围了F(s) 的P个极点，则当s沿着Γs顺时针移动一 周时，在F(s) 平面上的映射曲线ΓF将按逆时针方向 围绕着原点旋转P周。
控制系统的频域分析法
频率特性又称频率响应，是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响 应特性。
若在如图5.1 所示的线性系统结构的输入端加上图5.2（a）的正弦信号，
设该正弦信号为
r(t) Asint
则其输出响应为
c(t) MAsin(t )
即振幅增加了M倍，相位超前（滞后）了 角。响应曲线如图5.2（b）所
示。
图5.1 系统的结构图
第五章 控制系统的频域分析法
5.1 频率特性的概念
5.1.1 频率特性的基本概念
对于线性定常系统，也可定义系统的稳态输出量与输入量的幅值
之比为幅频特性：定义输出量与输入量的相位差为相频特性。即
幅值频率特性：
A() | G( j) |
相位频率特性：
() G( j)
将幅值频率特性和相位频率特性两者写在一起，可得频率特性或
令s j ，则频率特性为
G(s) 1 Ts 1
G( j) 1 1 j T jT 1 1 (T )2 1 (T )2
幅值频率特性为
A() | G( j) | 1 1 (T )2
相位频率特性为
() G( j) arctanT
第五章 控制系统的频域分析法
5.1 频率特性的概念
5.1.3 频率特性的性质
由此可以看出，振荡环节的频率特性，不仅与 有关，而且还与阻尼比
有关。同惯性环节一样，振荡环节的对数幅频特性也可采用近似的方法绘 制。同样，振荡环节的对数相频特性曲线也可采用近似的作图方法。
第五章 控制系统的频域分析法
5.2 典型环节的伯德图
5.2.6 振荡环节
不同参考值时振荡环节的伯德图如图5.16所示。
幅相频率特性为:
G( j) A()e j() | G( j) |ge jG( j)
控制系统的稳定性分析
控制系统的稳定性分析简介控制系统的稳定性是指系统在受到干扰时，能够保持从初始状态返回到稳定的平衡状态的能力。
稳定性是控制系统设计和分析的重要指标之一，对于确保系统正常运行具有重要意义。
在本文档中，我们将探讨控制系统的稳定性分析方法。
稳定性概念在控制系统中，稳定性可以分为两种类型：绝对稳定和相对稳定。
1.绝对稳定：当系统在受到干扰后能够恢复到初始的平衡状态并保持在该状态时，我们称系统是绝对稳定的。
2.相对稳定：当系统在受到干扰后能够恢复到新的平衡状态并保持在该状态时，我们称系统是相对稳定的。
稳定性分析方法为了评估控制系统的稳定性，我们通常使用以下几种分析方法：1. 传递函数分析传递函数分析是一种常用的稳定性分析方法，它通过将控制系统转化为传递函数的形式，进行频域和时域的分析。
在频域分析中，我们可以使用频率响应函数（Bode图）来评估系统的稳定性。
Bode图由幅度曲线和相位曲线组成，通过分析这两个曲线可以判断系统是否稳定。
在时域分析中，我们可以使用单位斯蒂文斯响应函数来评估系统的稳定性。
单位斯蒂文斯响应函数是指控制系统对于单位阶跃输入的响应。
2. 决策稳定性分析决策稳定性分析方法是一种直观的稳定性评估方法，它通过观察控制系统的反馈回路来判断系统的稳定性。
如果控制系统的反馈回路中存在零点或极点位于右半平面，则系统将是不稳定的。
另外，如果控制系统的相位裕度和增益裕度分别小于零和一，则系统也将是不稳定的。
3. 根轨迹分析根轨迹分析是一种图形化的稳定性分析方法，它通过绘制系统传递函数的根轨迹来评估系统的稳定性。
根轨迹是表示系统极点随控制参数变化的轨迹图，它可以直观地显示系统的稳定性和响应特性。
如果根轨迹上的所有极点都位于左半平面，则系统是稳定的。
4. Nyquist稳定性判据Nyquist稳定性判据是一种基于频域分析的稳定性判据，它利用开放式系统的频率响应来评估系统的稳定性。
Nyquist稳定性判据通过绘制控制系统的开环频率响应曲线，并计算曲线绕原点的圈数来判断系统是否稳定。
控制系统的频域分析_稳定性与裕量
如果kg 1 ，则： 20logkg 0，系统稳定。 如果kg 1 ，则： 20logkg 0，系统不稳定。
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第5章 控制系统频域分析
(3)Bode图上的幅值裕量和相位裕量
g
1 kg
Im
Im
c
( )
Re Re
0
0
( )
c
L( )
1 kg
( )
( )
( ) 0 kg 0
c
L( )
( ) 0
kg 0
c
0
( )
g
kg
0
( )
kg
g
00
( )
00
( )
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第5章 控制系统频域分析
例：已知系统的开环传递函数如下：
1000 (0.5s 1) G( s) H ( s) s(2s 1)(s 2 10s 100)
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第5章 控制系统频域分析
反馈控制系统
G1(s)
H(s)
A( s )C ( s ) G1 ( s ) H ( s ) 闭环传 B( s ) D( s ) 递函数 G1 ( s ) A( s ) D( s ) G( s) 1 G1 ( s ) H ( s ) A( s)C ( s ) B( s ) D( s ) A( s )C ( s ) B( s ) D( s ) F ( s ) 1 G1 ( s ) H ( s ) B( s) D( s )
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奈氏判据
Z=P-N； Z=0时稳定。
自动控制原理：第六章频域分析法——伯特图及稳定性分析
• 当阻尼系数接近1时，振荡环节具有低通滤波的作用； • 而随着减小，=n=1/T处的幅值迅速增大，表明其对输
入信号中该频率附近分量的放大作用逐渐加强，此时，振
荡环节具有选频作用。
6.4 系统开环频率特性-典型环节的伯德图
40
Bode Diagram
二阶微分环节:
30
20
转折频率 渐近线
L() /(dB)
10 /T
1) 将乘除运算转化为加减运算，因而可通过简单的图像叠加 快速绘制高阶系统的伯德图 ；如 G( j) A1()e j1() A2 ()e , j2 () 则20lgA1()A2()=20lgA1()+20lgA2()
2) 伯德图还可通过实验方法绘制，经分段直线近似整理后， 很容易得到实验对象的频率特性表达式或传递函数.
i 1
i m1 1
v n1
v n1 nv n1 2
( jTl 1)
(1 Tl2 2 2 j lTl )
l v 1
l v n1 1
(6 - 17)
其 中 ，K ,0 i 1,0 l 1, i 0,Tl 0都 为 常 数 。
除此外，也存在某个Tl<0,开环不稳定，但闭环可能仍然 稳定的情况。
1
A(ω)
1 ωT 2 2 2ζωT 2
L() /(dB)
10
0
-10 -20
(1 T 22
j2T)1
0.05 0.1 0.3
-30
0.7
1 -40
180
转折频率 渐近线
135
(ω)
arctan
1
2ζωT
ωT
2
90 45
0
() /()
自动控制系统的稳定性分析
自动控制系统的稳定性分析自动控制系统在现代工程中起着至关重要的作用。
稳定性是评价自动控制系统性能的一个重要指标，系统稳定性的分析对于系统设计、调试和优化至关重要。
本文将对自动控制系统的稳定性进行分析，并探讨常用的稳定性分析方法。
1. 引言自动控制系统的稳定性是指在外部扰动或参数变化的情况下，系统能够保持稳定的能力。
稳定性分析是评价系统的关键特性之一，它决定了系统的可靠性和性能。
稳定性分析的目的是通过研究系统的传递函数或状态方程，确定系统的稳定性边界并评估系统的稳定性。
2. 稳定性的判据用于判断自动控制系统稳定性的最常见方法是分析系统的极点位置。
极点是系统传递函数或状态方程的特征根，它们的位置决定了系统的稳定性。
常见的判据有：- 实部均小于零：当系统的所有极点的实部都小于零时，系统是稳定的。
- 实部均小于等于零：当系统的所有极点的实部都小于等于零时，系统是边界稳定的。
- 实部均小于一：当系统的所有极点的实部都小于一时，系统是渐进稳定的。
- Nyquist稳定判据：通过绘制系统开环传递函数的Nyquist曲线，判断曲线与负实轴的交点个数来确定系统的稳定性。
3. 稳定性分析方法3.1 根轨迹法根轨迹法是一种图形化分析方法，通过绘制系统极点随参数变化的轨迹，可以直观地了解系统的稳定性边界。
根轨迹图能够反映了系统参数变化时的稳定性情况，并通过分析轨迹与虚轴的交点个数来判断系统的稳定性。
3.2 频率响应法频率响应法是一种以频域为基础的稳定性分析方法，它通过研究系统在不同频率下的响应特性来判断系统的稳定性。
常用的频率响应法包括振荡器法、相频曲线法和伯德图等。
这些方法通过测量输入输出之间的幅度和相位差来评估系统的稳定性。
3.3 状态空间法状态空间法是一种基于系统的状态方程进行稳定性分析的方法。
通过将系统的状态方程转化为特征方程，可以分析特征根的位置来判断系统的稳定性。
状态空间法具有较强的灵活性，可以应用于复杂的多变量系统。
控制系统稳定性分析
控制系统稳定性分析在控制系统的设计和应用中，稳定性是一个至关重要的指标。
控制系统的稳定性分析能够帮助工程师确定系统是否能够在各种工况下保持平稳运行，并避免产生不稳定或振荡的现象。
本文将介绍控制系统稳定性分析的基本概念和方法。
一、稳定性概述稳定性是指在系统受到扰动或干扰的情况下，系统能够在一定的范围内保持平衡或恢复到平衡状态的能力。
对于控制系统来说，稳定性是一个必要条件，只有具备了稳定性，系统才能够实现准确、可靠的控制任务。
二、时域稳定性分析方法时域稳定性分析方法主要通过观察系统的响应和特征方程的性质来判断系统的稳定性。
其中，常用的方法包括：1. 判据法：通过判断系统的极点位置来确定稳定性。
当系统所有极点的实部都小于零时，系统是稳定的。
2. 力学振荡器法：将系统等效为一个力学振荡器进行分析，通过计算振荡器的振荡周期和阻尼比等参数来判断系统的稳定性。
3. Lyapunov稳定性分析法：利用离散或连续的Lyapunov函数来刻画系统的稳定性，通过判断Lyapunov函数的增减性来确定系统是否稳定。
三、频域稳定性分析方法频域稳定性分析方法通过对系统传递函数进行频谱分析，利用频率响应特性来判断系统的稳定性。
常用的频域稳定分析方法包括：1. Bode图法：将系统的传递函数表示为极形式，并将其转化为幅频特性和相频特性的曲线来分析系统的稳定性。
2. Nyquist图法：通过将系统的开环传递函数在复平面上绘制出极坐标图，根据图形上的奇点个数来判断系统的稳定性。
3. Nichols图法：将系统的开环传递函数在奈氏图上绘制出闭环频率响应曲线，通过曲线的形状和位置来判断系统的稳定性。
四、数值稳定性分析方法数值稳定性分析方法是利用计算机仿真和数值模拟的手段来分析系统的稳定性。
通过将系统的差分方程或微分方程转化为数值算法，然后利用数值方法求解方程，观察系统的响应和稳定性指标来分析系统的稳定性。
五、稳定性分析的实际应用控制系统的稳定性分析在实际工程中具有重要的应用价值。
自动控制原理稳定性分析知识点总结
自动控制原理稳定性分析知识点总结自动控制原理是现代控制理论中的基础学科，稳定性分析是其中重要的一部分。
稳定性分析主要研究控制系统中信号的稳定性，即系统输出响应是否会收敛或发散。
本文将对自动控制原理稳定性分析的知识点进行总结。
1. 稳定性的概念稳定性是描述控制系统中输入与输出之间关系的一个重要性质。
一个稳定的控制系统能够在一定范围内抑制干扰和噪声，保持输出信号在一定精度范围内的波动。
稳定性可以分为绝对稳定和相对稳定两种情况。
2. 稳定性分析方法稳定性分析方法主要包括代数稳定性判据、频域稳定性判据和时域稳定性判据三种。
2.1 代数稳定性判据代数稳定性判据通过分析系统的特征值或者判别函数来判断系统的稳定性。
其中，常用的代数稳定性判据有判别函数法、判别方程法和位置根判据法等。
2.2 频域稳定性判据频域稳定性判据是通过绘制系统的频率响应曲线来分析系统的稳定性。
常见的频域稳定性判据包括Nyquist稳定性判据和Bode稳定性判据等。
2.3 时域稳定性判据时域稳定性判据是通过分析系统的状态方程或传递函数的时域响应曲线来判断系统的稳定性。
常见的时域稳定性判据有极点位置法、根轨迹法和奈奎斯特判据等。
3. 稳定性的分类根据系统特征值的位置，稳定性可以分为绝对稳定、相对稳定和不稳定三种情况。
3.1 绝对稳定当系统的所有特征值都位于负半平面时，系统被称为绝对稳定。
绝对稳定的系统具有良好的稳定性，能够有效地抑制干扰和噪声。
3.2 相对稳定当系统的部分特征值位于负半平面，而部分特征值位于零轴或者正半平面上时，系统被称为相对稳定。
相对稳定的系统在一定的条件下可以保持输出的稳定性。
3.3 不稳定当系统的特征值中存在正实部或者纯虚部的特征值时，系统被称为不稳定。
不稳定的系统输出会发散或者产生不稳定的振荡。
4. 稳定性分析的应用范围稳定性分析在控制系统设计和优化中起到了重要的作用。
通过稳定性分析，可以评估系统的抗干扰能力和控制性能，为系统设计提供理论依据。
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Im
φ(ωg)=-180o
定义： h=-L(ωg)=-20lgA(ωg) h>1 h<1 系统稳定 系统不稳定
-1
h
ωg 0 Re
G(jω)
负幅值裕量 ωg -1
Im 0 Re G(jω)
h
第3节 用频率特性法分析系统稳定性
对数曲线上相位和幅值裕量:
L(ω)/dB
0
正幅值裕量
h
L(ω)/dB
0
负幅值裕量 ωc
第3节 用频率特性法分析系统稳定性
闭环特征根在s右半平面的个数
z=
_ p幅相曲线穿越－1之左实轴的次数
G(jω)H (jω)起于－1之左实轴，为半次穿越
-1
自上向下为正穿越，用 N＋ 表示； -1 1 1 N=N＋-N－ N N -1 -1 自下向上为负穿越，用 2 2 N－ 表示；
系统的相对稳定性即稳定裕度用幅值裕度h和相位裕度γ来度量。
第3节 用频率特性法分析系统稳定性
奈氏曲线离点(-1,j0) 越远，则系统的相 对稳定性越好。可用相位裕量和幅值裕 量两个性能指标来衡量来衡量系统的相 对稳定性。
第3节 用频率特性法分析系统稳定性
1 . 相位裕度γ
γ =φ(ωc) +180o
1
幅值穿越频率
Go ( j )
c
K
求取
K j ( j 1)( j10 1)
A( )
1 2 1 100 2
() 90 arctan arctan10
第3节 用频率特性法分析系统稳定性
对数幅频特性
L( ) 20 lg K 20 lg 20 lg 1 2 20 lg 1 10 2
第3节 用频率特性法分析系统稳定性
L(ω)
三、对数频率稳定判据
单位圆对应0分贝线 单位圆之外对应0分贝线以上 L( ) 0 单位圆之内对应0分贝线以下L( ) 0 0dB
j
ωb
φ(ω)
ωc ωd
ω
-1
B
A D 0
C
ω
0o
ω
-90
z = p 2N
-180 -270
负实轴对应于-180°线。 在L(ω)>0dB的频段中，看φ(ω)穿越-π线的次数。 从上向下为负穿越，从下向上为正穿越
ωc
ω
h
ω
-90 -180
γ
ωg ω
-90
-180
ωg
γ
ω
正相位裕量
负相位裕量
第3节 用频率特性法分析系统稳定性
例11 用对数稳定判据判断系统稳定时K范围。
K 解 ：系统开环传递函数为 Go ( s) s( s 1)(10 s 1)
两个惯性环节的转折频率为 c1 0.1(rad / s)， c 2 1(rad / s)
正相位 裕量 γ ωc 负相位 ωc 裕量 γ
Im G(jω)
0
Re
ωc —幅值穿越频率
A(ωc)=︳G0(jωc)︳=1 L(ωc)=20lgA(ωc)=0dB γ > 00 — 系统稳定 γ< 00 — 系统不稳定
φ
Im 0 G(jω)
φ
Re
第3节 用频率特性法分析系统稳定性
2. 幅值裕度h
正幅值裕量
Z P 2N Z为零，闭环系统稳定。
第3节 用频率特性法分析系统稳定性
如图
包围(-1,j0) 点，不稳定
四、稳定裕度 不包围(-1,j0)
过(-1,j0)点， 临界稳定
点，闭环稳定
不包围(-1,j0) 点，闭环稳定
阶跃响应c(t)发散
c(t)等幅振荡
c(t)收敛
c(t)收敛
幅相曲线距 (-1,j0)点越远。相对稳定性越好
第3节 用频率特性法分析系统稳定性
例2：下述各图所示系统开环都是稳定的（P=0），试根据其开环幅相 曲线分析各系统的稳定性。
v=1
v=1
v=2
v=3
a
b
c
d
a，c，d图开环幅相曲线均不包围（-1，0j），故N=0，所以，
Z = P-2N = 0 即它们对应的闭环系统是稳定的。
b图开环幅相曲线包围（-1，0j）一圈，故N=1，所以， Z = P-2N = -2≠0 即对应的闭环系统是不稳定的。
第3节 用频率特性法分析系统稳定性
p=0
开环特征方程不稳定根，p=0, 正负穿越数之和-1,
Z=p-2N=０-２（－１）＝２ 闭环不稳定。
第3节 用频率特性法分析系统稳定性
存在积分环节，在相频特性曲线 0处，逆时针
方向补画相角v900虚线，v是积分环个数。计算正负穿 越次数时，虚线看成曲线的一部分。 综述如下： 反馈系统，闭环特征方程正实部根的个数Z，根据 开环传递函数 s 右半平面极点数P和开环对数幅频特 性为正值的频率范围内，对数相频特性曲线与 180 线的正负穿越数之 N N N 差确定
Z=0，闭环系统稳定；否则，闭环系统不稳定; Z=闭环特征方程正实部根的个数
第3节 用频率特性法分析系统稳定性
实用方式:通过开环幅相曲线在（-1,j0）点左侧负实轴上 的穿越次数获得N。 ω增大时，曲线自上而下通过 （-1,j0）点左侧的负实轴，为正 穿越；(如图) ω增大时，曲线自下而上穿过 （-1,j0）点左侧的负实轴，为负 穿越。(如图)
第3节 用频率特性法分析系统稳定性
二、含有积分环节的奈氏判椐
若系统开环传递函数中包含有ν个积
分环节，则先绘出ω=0+→∞的幅相频率特
性曲线，然后将曲线进行修正后，再使用
奈氏判据来判断系统的稳定性。
修正方法：在ω=0+开始， 逆时针方向 补画一个半径无穷大、相角为υ. 900的大 圆弧，即ω=0→0+的曲线。
第3节 用频率特性法分析系统稳定性
关于半次穿越
第3节 用频率特性法分析系统稳定性
例 1 ：已知系统的奈氏曲线,试判断系 统的稳定性。 解： 系统的G(jω)H (jω)曲线如图
Im Im P=2 ω ω=∞ P=1 ω=0-1 ω =∞ =0 Re 0 ω Re -1 ω 0
(a) (b)
p=1，N=N+-N-=1/2-1=-1/2，系统不稳定。 p=2,N=N+-N- =1-0=1,Z=P-2N=0，系统稳定。
第五章 频率特性法
第3节 用频率特性法分析 系统稳定性
第3节 用频率特性法分析系统稳定性
一、奈魁斯特稳定判据
设开环传递函数有P 个不稳定的极点， 当ω=0→∞ 时，系统开环幅相特性曲线 G(jω)H (jω) 逆时针方向绕(-1,j0)点的周 ，则闭环系统是稳定的 。否 Z P2 N 则，闭环系统不稳定。 数