高考递推数列问题展评
高中数学数列试题的解题方法与技巧分析
高中数学数列试题的解题方法与技巧分析数列是高中数学中的一个重要概念，也是一个经常出现的考点。
数列的性质和运算方法不仅能够帮助学生理解数学知识，还能培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
有些学生在学习数列时会感到困惑，不知道如何解题或者如何运用数学方法进行推导和计算。
本文将针对高中数学数列试题的解题方法与技巧进行分析和讨论，帮助学生更好地掌握数列知识，提高解题能力。
一、了解数列的基本概念数列是按照一定的顺序排列的数的集合，通常用a₁,a₂,a₃,...,aₙ,...表示。
其中a₁,a₂,a₃,...分别称为数列的项，n称为项数。
数列可以分为有限项数的数列和无限项数的数列两种，其中有限项数的数列又称为有穷数列，无限项数的数列称为无穷数列。
对于数列的项，有些数列存在着特定的规律，通过这种规律可以逐项推算出数列的每一项。
这种规律通常称为数列的通项公式或递推公式。
了解数列的基础概念和规律对于解题是至关重要的，因为只有掌握了数列的特点和规律，才能更好地应用相关的方法去解答题目。
二、数列的求和技巧数列的求和是数列中一个非常重要的知识点，也是高考中经常考察的内容。
对于求和问题，有两种常用的方法，一种是数学归纳法，一种是直接求和法。
1. 数学归纳法数学归纳法是一种常见的数学证明方法，用于论证某种数学结论对于一切自然数都成立。
对于数列的求和问题，数学归纳法的思路是假设对于n=k时结论成立，然后证明n=k+1时结论也成立，从而得出结论对所有自然数都成立的证明。
例如对于等差数列aₙ=2n+1(n∈N*)求前n项和的问题，我们可以使用数学归纳法来证明求和公式Sn=n(2a₁+(n-1)d)/2成立，从而对全体自然数n成立。
这样，就能得到等差数列前n项和的通式公式的证明。
2. 直接求和法对于一些简单的数列，也可以通过直接求和的方法来计算数列的和。
例如等差数列的和Sn=n(a₁+an)/2，等比数列的和Sn=a₁(1-qⁿ)/(1-q)，对于这一类数列可以直接套用公式，快速求出数列前n项和的结果。
浅谈高考数列综合问题的解题策略及反思
浅谈高考数列综合问题的解题策略及反思高考数列综合问题是近几年高考数学中的一个重要考点，通过解题策略的运用可以帮助考生更好地应对这类题目。
本文将浅谈高考数列综合问题的解题策略，并进行反思和总结。
一、高考数列综合问题的解题策略1. 确定数列的表达式在解决数列综合问题时，首先需要确定数列的表达式，即找出数列的通项公式。
通过观察数列的前几项，寻找数列的规律，并尝试找到递推公式或通项公式。
对于常见的等差数列、等比数列和斐波那契数列，可以直接利用已有的性质和公式进行求解。
而对于一些复杂的数列，可以通过列出递推关系式或使用递归思想进行求解。
2. 应用数列的性质和定理在解决数列综合问题时，可以利用数列的性质和定理来简化问题的求解过程。
例如，对于等差数列，可以应用数列的前n项和公式、通项公式和项数的关系来求解。
对于等比数列，可以利用数列的前n项和公式、通项公式和项数的关系来求解。
掌握这些数列的性质和定理，能够帮助考生更快地解答题目。
3. 运用数列思想和数学归纳法数列思想和数学归纳法在解决数列综合问题中起着关键作用。
通过观察数列的规律，推测出数列的通项公式，并通过数学归纳法来验证所推测的结论是否成立。
此外，还可以通过数列的特殊构造和等式的变换，运用数学归纳法来解决数列综合问题。
4. 利用图形化表示对于一些复杂的数列综合问题，可以通过图形化表示进行求解。
将数列的每一项用点表示在坐标系中，从而可以观察出数列的规律和特点。
通过图形化表示可以帮助考生更直观地理解问题，并以直观的方式解决问题。
二、解题策略的反思与总结在解题过程中，有时会遇到难题，但通过灵活运用不同的解题策略可以更好地应对。
然而，在实际解题中，我们还需注意以下几点：1. 理解题意，准确运用数列知识在解决高考数列综合问题时，首先要仔细阅读题目，明确问题所给条件和要求，确保理解题意。
其次，要准确运用数列的知识，利用已学过的公式和定理进行求解。
对于不太熟悉的数列类型，要通过多做习题和练习来加深理解，扩大解题思路。
浅析数列应用题中的递推关系
一、稀释溶液 化工厂的某容器的容积为装满了浓度为100%的纯酒精，现欲使其稀 释，从中倒 出后用清水兑满，再从中倒出，又用清水兑满，为此反复进行了次，所 得的溶液浓度为多少？欲使浓度不超过50%，至少要进行多少次操作？ 解：设操作次后的浓度为则操作次后的浓度为 即 故数列是首项为90%，公比为的等比数列，那么操作次后的浓度为 要使
t=s·10-1000n=40000(2-)-1000n 欲使Tn最大，则：，得，故n=5,此时s=7875。 即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，
能使获利最大。 三、an= C·an-1+B，其中B、C为非零常数且
C≠1 例3、某企业投资1千万元于一个高科技项目，每
年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年底需要 从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与 广告投入，方能保持原有的利润增长率，问经过多 少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番（4 倍）的目标？（lg2=0.3）。
染者人数an=50n—30；从n+1日到30日，每天新感 染者人数构成等差数列bn,b1=50n-60,d2=—30， bn=(50n-60)+(n-1)(-30)=20n-30,11月30日新感染 者人数为b30-n=20(30-n)-30=-20n+570.
故共感染者人数为：=8670，化简得：n261n+588=0,解得n=12或n=49(舍)，即11月12日这一 天感染者人数最多，为570人。
分析：设经过n年后，该项目的资金为an万元， 则容易得到前后两年an和an-1之间的递推关系：an =an-1（1+25%）-200（n≥2），对于这类问题的具
高考递推数列问题展评
高考递推数列问题展评一 简要回顾数列的递推关系式，其内涵极为丰富，同时具有很强的规律性，可与函数、三角、不等式、平面几何、解析几何等许多知识、方法相结合，编拟开放式、探索式等多种题型的试题，是培养创新意识和创新能力的极好素材；同时又为进入高校学习级数等内容打下基础，可以比较充分地考查后继学习的潜力，因而倍受高考命题设计者的重视．纵观高考对递推数列的考查，大体经历了三个阶段：第一阶段是，恢复高考制度（1977年）至二十世纪80年代，对1+n a 与相邻项n a 或（及）1-n a 之间的关系的考查，有逐渐加深加难以至脱离中学教学实际的倾向，故80年代末国家考试中心明确提出对数列的考查，不再涉及递推关系；第二阶段，二十世纪90年代，由于明确要求不再考递推关系，转向主要考查等差等比数列的综合问题及其n a 与n S 的递推关系（主要用2,1≥-=-n S S a n n n ）问题；第三阶段是近些年尤其是进入21世纪这5年来，由于国家推行新课程改革，借鉴美、英、日等国课改经验，实验新教材，高考对递推数列的考查又热起来，出现了与多方面的知识、方法交汇融合的现象，并且更加强化了对（递推）数列应用问题的考查；解答方法更多，解题手段也更灵活巧妙，凸显了与时俱进、以能力立意的高考原则和方向。
二 求解策略1．),(n n S a f 型以数列尤其是等差或等比数列中n a 与n S 的递推关系式()⎩⎨⎧≥-==-211n S S a aa n n n为主设计的试题，其求解策略是：求解策略之一 充分利用这一关系式提供的信息特征，构造能相减的递推式，转化为等差或等比数列来求解；或通过叠加、裂项，使相邻项连续相消，求和化简来解决．例1（2005年山东卷）已知数列}{n a 中，115,25(n n n a S S n S +==++为数列}{n a 的前n项和）。
（Ⅰ）试证明{1}n a +是等比数列；（Ⅱ）设212().n n f x a x a x a x =+++求()f x 在点1x =处的导数(1)f '，并比较2(1)f '与22313n n -的大小。
例析“整体思想”解高考递推型数列题
令 n=1， 得 a1=2 适合 an=
２ （2） 因为 an = = 1 - 1 ， 所以数 ２n+1 （２n-1）（２n+1） ２n-1 ２n+1 列 { an } 的前 n 项和是 （1- １ ）+（ １ - １ ）+（ １ - １ ）+…+ ２n+1 3 3 5 5 7 （ 1 - 1 ）=1- 1 = ２n . ２n-1 ２n+1 ２n+1 ２n+1 点评 ： 这里利用函数观点将 a1+3a2+5a3+ … +（2n -1）an=2n 变为 a1+3a2+5a3+ … +（2n -3）an-1=2 （n -1）， 再将它们整体相减 . 要注意在 a1+3a2+5a3+ … +（2n -3）an-1=2 （n -1） 中 ， n 的取值范围 是 n ≥2. 由于数列可以看作是项数 n 的函数 ， 因此对于含有 任意项 an（an-1， an-2） 或项数 n 或数列的前 n 项和 Sn（Sn-1， Sn-2）
1 % % % $ % % % &
２
a2-a1=ln 2 1 a3-a2=ln 3 2 a4-a3=ln 4 3 …… an-an+1=ln n n-1
1 % % % % % % % % % % % 1 % % % % % % % % % % % &
（n-1）个
将这（n-1）个等式整体相加， 得 an-a1=ln（ 2 ·3 ·4 ·…· 1 2 3 n ）=ln n. n-1 而 a1=2， 所以 an=2+ln n(n≥2). 验证 a1=2 也适合上式， 故 an=2+ln n(n∈N鄢). 二、 整体相减 例 2． （ 2017 年 · 课标 Ⅲ 卷 ） 在数列 { an} 中 ， a1+3a2+5a3+ …+（2n-1）an=2n. （ 1） 求 { an} 的通项公式 ； 项和. 解析 ： 1）an=2， 所以 an= ２ ２n-1 (n≥2). 在 a1+3a2+5a3+…+（2n-1）an=2n 中， ２ . 于是 a = ２ ， n∈N鄢. n ２n-1 ２n-1 （ 1） 在 a1 +3a2 +5a3 + … +（2n -1）an =2n 中 ， 令 n 为 n -1， 得 a1+3a2+5a3+ … +（2n -3）an-1=2 （n -1）. 两式相减 ， 得 （2n （ 2） 求数列 { an } 的前 n ２n+1
析高考试题的递推数列问题
析高考试题的递推数列问题
近几年来，各地高考试题的压轴题，经常出现递推型数列问题，这些试题多数是不等关系的证明．试题对学生的数、式变形能力，放缩的技巧要求很高，处理时难度也就很大，从考后的结果看，能完全做对的学生很少，这很值得我们关注．
由于教材中关于递推型数列问题出现得很少（几乎没有），只是提到过这个名词，所以考这种问题是否恰当就值得商讨．我认为，有些题与教材内容结合得紧，所以出得好，有的试题不是参加数学奥赛学生就无从下手的试题就不好，而且有的试题从数学本身来看，也有值得探讨的地方．下面举例来谈一点看法，以供大家讨论．
这道高考题我认为是一道好题，它考查了数列递归的思想，不等量的基本性质，等比数列的求和公式及最基本的放缩，与教材扣得比较紧，不同程度的考生可以做到不同的地方，试题的难度和区分度也是很好的．另一方面试题的条件简单明确，形式体现了数学的美感．而λλ-1又是结论左边和式在n→?+∞?的上确界．
总之，我认为此题作为高考题就不如例1好，它不论从考查学生的数学知识，还是指导中学数学教学来讲，都是值得商讨的．
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《数列递推关系求解》评课稿
《数列递推关系求解》评课稿数列递推关系求解评课稿介绍本评课稿旨在对数列递推关系求解的教学内容进行评价和总结。
数列递推关系是数学中的重要概念，对于学生的数学素养和思维能力培养具有重要意义。
本评课稿将从以下几个方面进行评价和讨论。
课程设计本课程设计以学生的实际生活为切入点，引入数列递推关系的概念和应用。
通过举例分析，引导学生理解数列递推关系的定义和求解方法。
同时，设计了一些具体问题，以培养学生的问题解决能力和逻辑思维能力。
教学方法在教学过程中，教师采用了多种教学方法，如讲解、示范、练等。
讲解部分，教师通过简洁清晰的语言，向学生介绍了数列递推关系的概念和基本操作方法。
示范部分，教师通过具体的例子和步骤演示，帮助学生理解并掌握数列递推关系的求解过程。
练部分，教师设计了一系列练题，以巩固学生的知识点，并培养学生的解决问题的能力。
教学效果通过本课程的教学，学生对数列递推关系的理解和应用能力得到了提高。
学生在课堂上积极参与，能够独立思考和解决问题。
他们能够正确运用数列递推关系的求解方法并得出正确的答案。
同时，学生的数学素养和逻辑思维能力也得到了一定的提升。
问题及建议本课程的教学内容和方法都较为合理和有效。
然而，部分学生对于数列递推关系的理解仍存在一定困难。
在今后的教学中，可以进一步加强对于基本概念的讲解，并适当增加实例分析的数量与难度，以提高学生对数列递推关系的掌握程度。
总结数列递推关系求解是数学教学中重要的内容之一，本课程设计以生活实例为切入点，激发学生研究的兴趣。
通过合理的教学方法和实际应用，学生的数学素养和思维能力得到了一定的提高。
今后的教学中，应继续关注学生的理解情况，及时调整教学策略并提供更多的实践机会，以更好地提高学生的数学能力和解决问题的能力。
以上为本评课稿的内容，谢谢阅读。
高中递推数列经典题型全面解析
高中数学：《递推数列》经典题型全面解析类型1)(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
例:已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。
解：由条件知：111)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a)111()4131()3121()211(nn --+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-=所以na a n 111-=- 211=a ，nn a n 1231121-=-+=∴ 类型2n n a n f a )(1=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a nn =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n na 11+=+，求n a 。
解：由条件知11+=+n na a nn ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即1342312-∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅∙∙∙n n a a a a a a a a n n 1433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n a a n 11=⇒又321=a ，na n 32=∴ 例:已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求n a 。
123132231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-∙+⨯-⨯∙⋅⋅⋅∙+---∙+---=3437526331348531n n n n n --=⋅⋅⋅⋅=--- 。
类型3q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。
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高考递推数列问题展评高考中数列问题始终是围绕项与和两大问题展开的，而给出数列的条件往往是递推关系式，下面就递推关系式的类型概括如下：一．),(n n S a f 型以数列尤其是等差或等比数列中n a 与n S 的递推关系式()⎩⎨⎧≥-==-211n S S a aa n n n 为主设计的试题，其求解策略是：求解策略之一 充分利用这一关系式提供的信息特征，构造能相减的递推式，转化为等差或等比数列来求解；或通过叠加、裂项，使相邻项连续相消，求和化简来解决．例1（2005年山东卷）已知数列}{n a 中，115,25(n n n a S S n S +==++为数列}{n a 的前n 项和）。
（Ⅰ）试证明{1}n a +是等比数列；（Ⅱ）设212().n n f x a x a x a x =+++求()f x 在点1x =处的导数(1)f '，并比较2(1)f '与22313n n -的大小。
【简析】 （Ⅰ）由125n n S S n +=++①易得2126n n S S n ++=++②，于是②—①得221112()12 1.n n n n n n a S S S S a +++++=-=-+=+即112(1).n n a a ++=+验证上式对1=n 也成立，故{1}n a +是等比数列。
（Ⅱ）略。
例2（2004年全国卷Ⅲ）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足.1,)1(2≥-+=n a S n n n （Ⅰ）写出数列}{n a 的前3项321,,a a a ；（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）证明：对任意的整数4>m ，有.8711154<+++m a a a 【简析】 （Ⅰ）（Ⅲ）略，只解析（Ⅱ）：由已知得： 当2≥n 时.)1(2)(211n n n n n n a a S S a -+-=-=--即.)1(2211---+=n n n a a 由此式求通项n a ，提供以下两种方法：法1（迭代法）[]222212211)1(22)1(2)1(222)1(22--------⋅+=-+-+=-+=n n n n n n n n a a a a[])2()2()2()1(2)1(2)1(2)1(22)1(22111221111-++-+--+=-⋅++-⋅+-⋅+==-⋅+-------- n n n n n n n n n a[][].)1(2323)2(12)1(21211-----+=----=n n n nn 上式对1=n 也成立。
法2 （转化法）在递推式两边同除以n 2可得).2()21(22111≥-=----n a a n n n n n 于是有 =n n a 2.)21(326121)21()21()21(2)22()22(21112211n n n n n n n a a a a a --=+-++-+-=+-++----- n a [].)1(23212---+=n n上式对1=n 也成立。
例3（08全国二）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N ．（Ⅰ）设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求a 的取值范围．解：（Ⅰ）依题意，113n n n n n S S a S ++-==+，即123n n n S S +=+， 由此得1132(3)n n n n S S ++-=-．因此，所求通项公式为13(3)2n n n n b S a -=-=-，*n ∈N ．① （Ⅱ）由①知13(3)2n n n S a -=+-，*n ∈N ， 于是，当2n ≥时，1n n n a S S -=-1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-⨯---⨯1223(3)2n n a --=⨯+-，12143(3)2n n n n a a a --+-=⨯+-22321232n n a --⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 当2n ≥时，21312302n n n a a a -+⎛⎫⇔+- ⎪⎝⎭≥≥9a ⇔-≥．又2113a a a =+>．综上，所求的a 的取值范围是[)9-+∞，例4 （08四川）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()21nn n ba b S -=-（Ⅰ）证明：当2b =时，{}12n n a n --⋅是等比数列；（Ⅱ）求{}n a 的通项公式【解】：由题意知12a =，且()21nn n ba b S -=-()11121n n n ba b S +++-=-两式相减得()()1121nn n n b a a b a ++--=-即12n n n a ba +=+ ①（Ⅰ）当2b =时，由①知122n n n a a +=+于是()()1122212n n nn n a n a n +-+⋅=+-+⋅()122n n a n -=-⋅又111210n a --⋅=≠，所以{}12n n a n --⋅是首项为1，公比为2的等比数列。
（Ⅱ）当2b =时，由（Ⅰ）知1122n n n a n ---⋅=，即()112n n a n -=+当2b ≠时，由由①得1111122222n n n n n a ba b b +++-⋅=+-⋅--22n n bba b=-⋅- 122n n b a b ⎛⎫=-⋅ ⎪-⎝⎭因此11112222n n n n a b a b b ++⎛⎫-⋅==-⋅ ⎪--⎝⎭()212n b b b -=⋅- 得()121122222n n n n a b b n b -=⎧⎪=⎨⎡⎤+-≥⎪⎣⎦-⎩ 二．),(1n n a a f +型主要分析如下3种类型： 1．⎩⎨⎧+==+,11d ca a b a n n 其中0≠c 1,，证明n a =()11---+-c d c b d bc n n 主要策略有：求解策略之二（数归法） 通过前几项的运算，或列出算式（不予计算结果，以便于分析结构特征，揭示本质规律），或算出结果（从结果分析寻找规律）依此为根据猜想通项公式，然后用数学归纳法给予证明．猜想法是解决数列问题的重要方法，考试说明有明确要求；同时，能自觉使用猜想一证明的方法分析解决问题，来探索未知领域的奥秘，也是科学研究的必备素质，故历年高考曾从不同角度不同层次进行过多次考查．例5（2005年浙江卷）已知点列1(,0),(,2),n n n n n A x P x +抛物线2:.n n n C y x a x b =++其中1124.2n n n a n x -=---满足：1221,(,2)x P x =在抛物线2111:C y x a x b =++上，点11(,0)A x 到2P 的距离是1A 到1C 上点的最短距离，,11(,2)n n n P x ++在抛物线n C 上，点(,0)n n A x 到1n P +的距离是n A 到n C 上点的最短距离。
（I ）求n x 及1C 的方程；（II ）证明{}n x 是等差数列。
【简析】 （I ）本题属解析几何与递推数列结合的综合题，可以根据所给递推规律结合画图象来直观分析寻找递推关系式：11(12)20.n n n n n x x a +++-+=猜想21n x n =-，再用数学归纳法予以证明（具体过程略）。
类似的有2002年春招题：已知点的序列,),0,(+∈N n x A n n 其中)0(,021>==a a x x ，3A 是线段21A A 的中点，4A 是线段32A A 的中点，, n A 是线段12--n n A A 的中点，, （I ）写出n x 与1-n x ，2-n x 之间的关系式（)3≥n ；(II)设n n n x x a -=+1，计算321,,a a a ，由此推测数列{}n a 通项公式，并加以证明。
（（I ）221--+=n n n x x x ．（II ）a a =1，22311,,22a a a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，猜想a a n n 121-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=．证略） 还有从几何背景中产生双递推数列，有2004年浙江卷第（22）题：如图，ABC ∆的三个顶点坐标分别为),2,0(),0,1(),0,0(，设321,,P P P 分别为线段1,,OP CO BC 的中点，对于每一个正整数n ，3+n P 为线段1+n n P P 的中点，令n P 的坐标为.21),,(21++++=n n n n n n y y y a y x（Ⅰ）求321,,a a a 及n a ； （Ⅱ）证明*+∈-=N n y y nn ,414； （Ⅲ）若记*+∈-=N n y y b n n n ,444，证明}{n b 是等比数列。
由此可见，几何背景型递推数列问题，因其直观形象、并能够综合考查学生的数学能力而成为高考苑中的一朵奇葩！求解策略之三（待定系数法） =++x a n 1⎪⎭⎫ ⎝⎛++c d x a c n ，令c d x x +=则1-=c d x .故⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1c d a n 是首项为1-+c d b ,公比为c 的等比数列．∴=-+1c d a n 11-⋅-+-n c c d b bc ,即=n a ()11---+-c d c b d bc n n .例6 (2000年春招京皖卷)已知函数=)(x f [)[]⎪⎩⎪⎨⎧∈∈,1,21),(,21,0),(21x x f x x f 其中2)(1-=x f 1212+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ,22)(2+=x x f .(I)略,(II)设)(2x f y =(⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21x )的反函数为=y )(x g ,11=a ,2a ),(1a g =, )(1-=n n a g a ,求数列{}n a 的通项公式，并求n n a ∞→lim .【简析】 本题是递推数列与函数有关知识有机结合的典型例子：[],1,0,211)(∈-=x x x g ，故有11=a ，)2(211)(11≥-==--n a a g a n n n ．设x a x a n n +-=+-1211，即)22(211x a x a n n ---=+-．令x x 22--=得32-=x ． 即)32(21321--=--n a a n ．故⎭⎬⎫⎩⎨⎧-32n a 是等比数列：1213132-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-n n a 即1213132-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=n n a ． 求解策略之四（逐差法） 由d ca a n n +=+1①知d ca a n n +=++12②，②－①得()n n n n a a c a a -=-+++112，∴{}n n a a -+1是以b d bc a a -+=-12为首项以c 为公比的等比数列：()11-+⋅-+=-n n n c b d bc a a ，()121a a a a n -+=()23a a -+ +()1--+n n a a ＝b ＋=+++-+-)1)((2n cc bd bc ()11---+-c d c b d bc n n ． 如上述2002年春招卷第（III ）问：当3≥n 时进行逐差转化，有()()()12211x x x x x x x n n n n n -++-+-=--- 1x +21a a n ++=- 1a +，转化为无穷递缩等比数列．故n n x ∞→lim =()a a 322111=--． 求解策略之五（迭代法） d ca a n n +=-1＝()()c d a c d ca c n n ++=+--1222==()2111--++++n n cc d a c＝()1111--+--c c d bcn n =()11---+-c d c b d bc n n ． 例 7（2002年全国卷）某城市２００１年末汽车保有量为３０万辆，预计此后每年报废上一年汽车保有量的006，并且每年新增汽车的数量相同，为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过６０万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少？【简析】 本题是与实际问题结合的递推数列应用题．设从２００１年末开始每年汽车保有量为n a 万辆，每年新增x 万辆，则301=a ，x a a n n +-=+)61(001．故()x x a x a a n n n ++=+=-+10000001949494＝()() =++-00120094194x a n()[]1000010094941)94(-++++=n n x a ，解6094110≤-⋅x 得6.3≤x （万辆）注：例2~例4均可采用策略之二～之五求解。