弹性力学课件 第二章3

例3
列出x = a 的边界条件：
x = a, (u ) x = a = 0, ( xy ) x = a = 0.
思考题：试写出如下几个问题的边界条件。
1、若在斜边界面上，受有常量的法向分布压力q 作用， 试列出应力边界条件，(思考题图中（a）)。 2、证明在无面力作用的0A边上，σy不等于零 （思考题图中 (b)）。 3、证明在凸角A点附近，当无面力作用时，其应力为零 （思考题图中 (c)）。 4、试导出在无面力作用时，AB边界上的σx , σy ,τxy 之间的关系。（思考题图中（d））。 5、试比较平面应力问题和平面应变问题的基本方程和边 界条件的异同，并进一步说明它们的解答的异同 。
在同一边界 x = l上，
τ xy (x, y)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
σ x (x, y)
x=l x=l
= f x ( y)
= f y ( y)
(a)
上式是函数方程，要求在边界上任一点，应力与面 力数值相等，方向一致，往往难以满足。
⑵ 圣维南原理的应用─积分的应力边界条件 在小边界 x=l上，用下列条件代替式 (a)的条件： 在同一边界 x=l 上， 应力的主矢量( Fx , Fy ) = 面力的主矢量（给定) 应力的主矩( M) = 面力的主矩（给定） 数值相等 (b) 方向一致
(c)
即： 应力的主矢量、主矩的数值 =面力的主矢量、主矩的数值； 应力的主矢量、主矩的方向 =面力的主矢量、主矩的方向。 式中，应力主矢量、主矩的正方向的正负号的确定： 应力主矢量、主矩的正方向 应力主矢量 应力的主矢量的正方向，即应力的正方向， 应力的主矩的正方向为， 即（正应力）×（正的矩臂）的方向。 ×
例1
比较下列问题的应力解答：
圣维南原理表明，在小边界上进行面力的静力 等效变换后，只影响近处（局部区域）的应力，对 绝大部分弹性体区域的应力没有明显影响 。 圣维南原理推广：如果物体一小部分边界上的 面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零）， 那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而 远处的应力可以不计。
例2 比较下列问题的应力解答：
3. 圣维南原理的应用
(1)对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。 (2)有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的 分布面力代替。 注意事项： (1)必须满足静力等效条件； (2)只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边 界上不能使用。
圣维南原理在小边界上的应用： 圣维南原理在小边界上的应用： 如图，考虑 x = l 小边界 ， ⑴ 精确的应力边界条件
例 如：在斜面上，
( px )s = f x , ( py )s = f y
在 ± 坐标面上，由于应力与面力的 符号规定不同，故表达式有区别 。 平行于边界面的正应力，它的边界值 与面力分量并不直接相关。
例 1 列出边界条件：
y
例2 列出边界条件：
3. 混合边界条件 ⑴ 部分边界上为位移边界条件，另一部分边界 上为应力边界条件； ⑵ 同一边界上，一个为位移边界条件，另一个 为应力边界条件。
复习
1. 斜面上应力公式：
τ n = lm(σ y −σ x ) + (l − m)τ xy
2.平面应力状态主应力的计算公式 2.平面应力状态主应力的计算公式 最大最小主应力
σ n = l 2σ x + m2σ y + 2mlτ xy
σ1 σx +σ y = ± σ2 2
最大最小剪应力
σx −σ y +τ xy 2 2
(c)
将此三角形移到边界上，并使斜面与边界面重合， 则得应力边界条件： 应力边界条件： 应力边界条件
(lσ + mτ ) = f (s) (mσ + lτ ) = f (s)
x yx x y xy y
（在 Sσ上） (d)
此式表示了弹性体边界上内力于外力之间的平衡关系。
应力边界条件的说明 ： ⑴ 它是边界上微分体的静力平衡条件； ⑵ 它是函数方程，要求在边界上每 一点s上均满足， 这是精确的条件； ⑶ 式（c）在A中每一点均成立，而式（d）只能在边界 s上成立； ⑷ 式（d）中，σx , σy ,xy ─按应力符号规定，
(u)s = u(s) (v)s = v(s)
—— 平面问题的位移边界条件 (a)
说明：当u = v = 0时, 称为固定位移边界。
位移边界条件的说明： ⑴ 它是函数方程，要求在Su 上每一点s， 弹性体位移与对应的约束位移相等。 ⑵ 若为简单的固定边，u = v = 0,则有
(u)s = 0，)s = 0 Su上）。 (v （在
1− µ 2 µ σ y − εy = σy E 1− µ
γ xy =
2(1 + µ) τ xy E
§2-6
边界条件
边界条件： 边界条件：建立边界上的物理量与内部物理量间 的关系， 是力学计算模型建立的重 要环节。 边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系。
边界分类： （1）位移边界 Su 1 （2）应力边界 Sσ （3）混合边界 S = Sσ + Su 1. 位移边界条件 位移分量已知的边界 —— 位移边界。 用 u(s), v(s) 表示边界上的位移分量，u , v 表示弹性体 位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为： 三类边界
(τ xy (σ x )x=a = f x )x=a = f y
若x=-b为负x 面，l = -1, m = 0 , 则式(d)成为
(τ xy (σ x )x=−b = − f x )x=−b = − f y
(f)
应力边界条件的两种表达式： 应力边界条件的两种表达式： ⑴ 在边界点取出微分体，考虑其平衡条 件，得出应力边界条件； ⑵ 在同一边界面上，应力分量应等于对 应的面力分量（数值相等，方向一致）。 即在同一边界面上, 应力数值应等于面 力数值(给定 ),应力方向应同面力方向。
右端面力的主矢量、主矩的数值及方向，均已给 定； 右端应力的主矢量、主矩的数值及方向应与右端 面力相同，并按应力的方向规定确定正负号。 具体列出三个积分的条件：
∫ ∫ ∫
h2 −h 2 h2 −h 2 h2 −h 2
(σ x )x=±l dy ⋅1 = ±∫ hh22 f x ( y)dy ⋅1(= FN ) − (σ x )x=±l dy ⋅1⋅ y = ±∫ hh22 f x ( y)dy ⋅1⋅ y(= M) − (σ x )x=±l dy ⋅1 = ±∫ hh22 f y ( y)dy ⋅1(= Fs ) −
2
τ max σ1 −σ 2 =± τ min 2
3. 几何方程
∂u u + dx − u ∂u ∂x εx = = dx ∂x ∂v v + dy − v ∂y ∂v = εy = dy ∂y
γ xy
∂v ∂u = + ∂x ∂y
形变和位移之间的关系： 位移确定，形变完全确定；形变确定，位移不完全确定。 位移确定，形变完全确定；形变确定，位移不完全确定。 刚体位移
f x 、f y
x 、y 方向的条件；
─按面力符号规定；
⑸ 位移、应力边界条件均为每个边界两个，分别表示 ⑹ 所有边界均应满足，无面力的边界（自由边）
f x = f y = 0, 也必须满足。
当边界面为坐标面时， 当边界面为坐标面时 若x=a为正x 面，l = 1, m = 0, 则式(d)成为 (e)
(b)
⑶ 它是在边界上物体保持连续性的条 件，或位移保持连续性的条件。
2. 应力边界条件 设在 Sσ 上给定面力分量 f x (s), f y (s) 在§2-3中，通过三角形微分体的平衡条件，导出坐 标面应力与斜面应力的关系式，
px = lσ x + mτ yx , py = mσ y + lτ xy
比较： 比较： 精确的应力边界条件 积分的应力边界条件 方程个数 方程性质 精确性 适用边界 2 3
函数方程（难满足） 代数方程（易满足） 精确 大、小边界 近似 小边界
思考题 1、为什么在大边界（主要边界）上，不能应用 圣维南原理？ 2、试列出负x 面上积分的应力边界条件， 设有各 种面力作用，或面力的主矢量和主矩作用。
§2-7
圣维南原理及其应用
弹力问题是微分方程的边值问题。应力、 位移等未知函数必须满足A内的方程和S上的 边界条件。主要的困难在于难以满足边界条 件。 圣维南原理可用于简化小边界上的应力 边界条件。
1. 静力等效的概念
两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两 个力系为静力等效力系。
R = ∑Fi M0 = ∑M0 (Fi )
讨论： 讨论： 1.如果只给出面力的主矢量、主矩如图，则式(c) 右边直接代入 面力的主矢量、主矩；
∫ ∫ ∫
h2 −h 2 h2 −h 2 h2 −h 2
(σ ) (σ ) (σ )
x x=l x x=l x x=l
dy ⋅1 = FN dy ⋅1⋅ y = M dy ⋅1 = Fs
2.在负x 面，x = −l ，由于应力、面力的符号规定不同，应在 式(c)中右端取负号； 3.积分的应力边界条件(b)或(c)虽是近似的，但只用于小边界， 不影响整体解答的精度。
u = u0 −ωy v = v0 −ωx
4. 物理方程
平面应力问题
1 ε x = (σ x − µσ y ) E 1 ε y = (σ y − µσ x ) E 2(1+ µ) γ xy = τ xy E
1− µ 2 µ σ x − σy εx = E 1− µ
平面应变问题
这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而 言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。
2. 圣维南原理
如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布 不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩 也相同），那么，近处的应力分量将有显著的改变，但 远处所受的影响可以不计。
圣维南原理的说明： 1、圣维南原理只能应用于一小部分边界 （小边界，次要边界或局部边界）； 2、静力等效 ─ 指两者主矢量相同，对同一点 主矩也相同； 3、近处 ─ 指面力变换范围的一、二倍的局部 区域； 4、远处 ─ 指“近处 ”之外。