(完整版)数值分析复习总结,推荐文档
数值分析 知识点总结
数值分析知识点总结一、数值分析的基本概念1. 数值分析的对象数值分析的对象是现实生活中的数字数据和信息。
这些数据和信息可以来自各个领域，包括自然科学、社会科学、技术工程等。
例如，物理实验中测得的实验数据、经济管理中的统计信息、天气观测中的气象数据等，都是数值分析的对象。
2. 数值分析的目的数值分析的主要目的是通过对数值数据和信息的定量分析，发现其中的规律，提取有用的信息，做出科学的预测和决策。
例如，通过对某种药物的临床试验数据进行数值分析，可以得出这种药物的疗效和毒性情况，为临床医生的治疗决策提供依据。
3. 数值分析的方法数值分析采用数学和计算机科学的方法对数值数据和信息进行处理和分析。
它涉及的具体方法包括数值计算、插值与逼近、数值微分和积分、常微分方程数值解、数值线性代数等。
二、数值分析的基本内容1. 数值计算数值计算是数值分析的基本方法之一，它包括离散化、数值稳定性、误差分析等内容。
离散化是将连续问题转化为离散问题，这是数值计算的基本工作方式。
数值稳定性研究的是数值方法对误差的敏感程度，是评价数值方法好坏的重要指标。
误差分析则研究数值计算中产生的误差的成因和大小。
2. 插值与逼近插值与逼近是数值分析的重要内容之一，它研究如何通过已知的数值数据估计未知函数的值。
插值是通过已知的离散数据点构造一个连续函数，使得这个函数通过这些数据点；逼近则是通过已知的离散数据点构造一个近似函数，使得这个函数与原函数的差尽量小。
3. 数值微分和积分数值微分和积分是数值分析的又一重要内容，它研究如何通过已知的函数值计算函数的导数和定积分值。
数值微分是通过函数值计算函数的导数值；数值积分则是通过函数值计算函数的定积分值。
这两项工作在科学计算中有着广泛的应用。
4. 常微分方程数值解常微分方程数值解也是数值分析的重要内容之一，它研究如何通过数值方法计算常微分方程的近似解。
常微分方程是自然界和技术工程中经常出现的数学模型，因此其数值解的研究有着广泛的应用价值。
数值分析复习资料
数值分析复习资料一、重点公式第一章 非线性方程和方程组的数值解法 1）二分法的基本原理，误差：~12k b ax α+--<2）迭代法收敛阶：1lim0i pi ic εε+→∞=≠，若1p =则要求01c <<3）单点迭代收敛定理：定理一：若当[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈且'()1x l ϕ≤<，[],x a b ∀∈，则迭代格式收敛于唯一的根；定理二：设()x ϕ满足：①[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈， ②[]121212,,, ()(),01x x a b x x l x x l ϕϕ∀∈-≤-<<有 则对任意初值[]0,x a b ∈迭代收敛，且：110111i i iii x x x llx x x lαα+-≤---≤-- 定理三：设()x ϕ在α的邻域内具有连续的一阶导数，且'()1ϕα<，则迭代格式具有局部收敛性；定理四：假设()x ϕ在根α的邻域内充分可导，则迭代格式1()i i x x ϕ+=是P 阶收敛的 ()()()0,1,,1,()0j P j P ϕαϕα==-≠ （Taylor 展开证明）4）Newton 迭代法：1'()()i i i i f x x x f x +=-，平方收敛 5）Newton 迭代法收敛定理：设()f x 在有根区间[],a b 上有二阶导数，且满足： ①：()()0f a f b <； ②：[]'()0,,f x x a b ≠∈；③：[]'',,f x a b ∈不变号④：初值[]0,x a b ∈使得''()()0f x f x <；则Newton 迭代法收敛于根α。
6）多点迭代法：1111111()()()()()()()()()i i i i i i i i i i i i i i i f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x f x x x -+-----=-=+----收敛阶：P =7）Newton 迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton 法进行修改 ①：已知根的重数r ，1'()()i i i i f x x x rf x +=-（平方收敛） ②：未知根的重数：1''()(),()()()i i i i u x f x x x u x u x f x +=-=，α为()f x 的重根，则α为()u x 的单根。
期末数值分析重点总结
期末数值分析重点总结第一部分：数值逼近（Approximation）数值逼近是数值分析的基础，主要研究如何利用有限的计算资源得到逼近数学问题的有效算法。
数值逼近的主要内容包括多项式逼近、插值和最小二乘等。
1. 多项式逼近多项式逼近是指用一个多项式函数来逼近给定函数的值。
通过选择合适的多项式次数和插值点，可以使得多项式逼近误差最小化。
其中最常用的方法是最小二乘法，它可以通过最小化残差来得到最佳的多项式逼近。
多项式逼近在信号处理、图像处理和计算机图形学等领域中有广泛的应用。
2. 插值插值是指通过已知数据点的函数值来估计在其他点的函数值。
常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
拉格朗日插值通过构造一个满足插值条件的多项式来逼近给定函数。
牛顿插值则利用差商的概念来构造插值多项式。
插值方法在数值微分和数值积分中有广泛的应用。
3. 最小二乘最小二乘是一种在一组离散数据点上拟合曲线的方法。
通过最小化数据点与拟合曲线之间的欧几里得距离，可以得到最佳拟合曲线。
最小二乘法可以用于曲线拟合、参数估计和数据关联等问题。
第二部分：数值解方程（Numerical Solution of Equations）数值解方程是数值分析的重要内容之一，研究如何通过数值计算来求解非线性方程组和线性方程组。
数值解方程的主要方法有迭代法、常微分方程数值解和偏微分方程数值解等。
1. 迭代法迭代法是求解非线性方程组的常用方法之一。
通过不断迭代逼近方程的根，可以得到方程组的数值解。
常用的迭代法有牛顿迭代法和弦截法。
迭代法在计算机辅助设计、优化和数据分析等领域中有广泛的应用。
2. 常微分方程数值解常微分方程数值解研究如何通过数值计算来求解常微分方程。
常微分方程数值解的主要方法有Euler方法、Runge-Kutta方法和线性多步法等。
常微分方程数值解在物理学、工程学和生物学等领域中有广泛的应用。
3. 偏微分方程数值解偏微分方程数值解研究如何通过数值方法来求解偏微分方程。
(完整版),数值分析笔记期末复习汇总,推荐文档
x
*n )
e(x *1)
f
(x *1,
x *2 ,, xn
x *n
)
e(x *n )
n i 1
f
(x *1, x *2 ,, x *n ) xi
e(x *i )
9、加减乘除运算的误差估计
加法
绝
对 误
e(x1 x2 ) e(x1) e(x2 )
差
绝
对
误 (x1 x2 ) (x1) (x2 )
x1
b
sign(b) 2a
b2 4ac 109
x1
x2
c a
x2
c a x1
109 109
1
求和时从小到大相加，可使和的误差减小。若干数相加，采用绝对值较小者先加的算法，
结果的相对误差限较小
y 54321100 0.4100 0.3100 0.4100 54322
(三) 注意简化计算步骤，减少运算次数，避免误差积累（秦九韶）
则称 r (x*) 为近似值 x*的相
对误差限。 （2）性质：
当|| er (x*) | 较小时，可用下
是有量纲的。 (2)绝对误差限是正的，有无穷
常取
er
( x*)
e( x*) x*
式计算
绝对误差是误差的绝对值？ 多个【则比 * 大的任意正数均
（错）
是绝对误差
限】
r
( x*)
(x*) | x |
取
x2* =3.14
作为 π 的近似值，则 | e2
| 0.00159
1 102 ：三个有效数字 2
取
x3* =3.1416 作为 π 的近似值，则 | e3
| 0.00000734
数值分析期末复习要点总结
故一般取相对误差为
er x*
e x* x*
x x* x*
如果存在正数 r 使得
er x*
ex*
x*
r
则称 r为 x*的相对误差限.
(1-4)
4
绝对误差、相对误差和有效数字
有效数字
如果近似值 x* 的误差限是 1 10n 则称x*
2
准确到小数点后第n位,并从第一个非零数字到 这一位的所有数字均称为有效数字.
若
e(x* ) x x*
(1-2)
通常称 为近似值 x* 的绝对误差限，简称误差限.
定义2 设 x* 为准确值 x 的近似值，称绝对误差与
准确值之比为近似值 x* 的相对误差，记为 er (x* )
即
er
x*
ex*
x
x
x* x
(1-3) 3 3
绝对误差、相对误差和有效数字
由于在计算过程中准确值 x 总是未知的，
设 z0(x), z1(x), ... , zn(x) 构成 Zn(x) 的一组基，则插值多项式 P(x) = a0z0(x) + a1z1(x) + ···+ anzn(x)
通过基函数来构造插值多项式的方法就称为基函数插值法
基函数法基本步骤
① 寻找合适的基函数
② 确定插值多项式在这组基下的表示系数
数值分析
期末复习要点总结
1
第一章 误差
一. 误差的来源: 1.模型误差 2.观测误差 3.截断误差 4.舍入误差
二. 绝对误差、相对误差和有效数字
2
第一章 误差
2
绝对误差、相对误差和有效数字
定义1 设 x* 为准确值x的一个近似值，称
数值分析的所有知识点总结
数值分析的所有知识点总结一、数值分析的基本概念1.1 数值分析的定义和作用数值分析是研究利用计算机对数学问题进行数值计算的一门学科。
它旨在发展和分析数值计算方法，以解决实际问题中出现的数学模型。
数值分析的主要作用在于加快科学研究和工程设计的速度，提高计算精度和可靠性，以及发现新的科学规律和工程技术。
1.2 数值计算的基本步骤数值计算通常包括以下基本步骤：建立数学模型、选择适当的数值方法、编写计算程序、进行计算和分析结果。
其中，建立数学模型是数值计算的基础，它将实际问题抽象为数学公式或方程组的形式；选择适当的数值方法是指根据具体问题的特点，选择合适的数值计算方法进行求解；编写计算程序是指将选择的数值方法用计算机程序的形式实现；进行计算和分析结果是指利用计算机进行数值计算，并分析计算结果的准确性和可靠性。
1.3 数值分析的应用范围数值分析广泛应用于科学、工程、经济、金融等领域。
在科学研究中，数值分析常用于数学建模、实验数据处理、科学计算等方面；在工程领域，数值分析常用于工程设计、结构分析、流体力学、传热传质等方面；在经济金融领域，数值分析常用于风险评估、金融工程、市场预测等方面。
二、数值计算方法2.1 插值法插值法是利用已知的离散数据（如实验数据、观测数据）推导出未知的数据值的一种数值计算方法。
常用的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值、分段插值等。
2.2 数值微分与数值积分数值微分是指利用离散数据计算函数的导数值的数值计算方法。
常用的数值微分方法包括差商法、中心差商法等。
数值积分是指利用离散数据计算函数的积分值的数值计算方法。
常用的数值积分方法包括复合梯形法、复合辛普森法等。
2.3 数值线性代数数值线性代数是研究线性代数问题的数值计算方法。
它涉及到线性方程组的求解、线性方程组的特征值和特征向量的计算、矩阵的LU分解、矩阵的QR分解等内容。
2.4 非线性方程求解非线性方程求解是研究非线性方程的数值计算方法。
(完整版)数值分析整理版试题及答案,推荐文档
9
1
xdx T4
h[ 2
f
1
3
2 k 1
f
xk
f
9]
2[ 1 2 3 5 7 9] 2
17.2277
（2）用 n 4 的复合辛普森公式
由于 h 2 ， f x
x
，
xk
1
2k k
1, 2,3，
x
k
1
2
2k k
0,1, 2,3，所以，有
2
3
9
1
xdx S4
h[ 6
f
1
若 span1, x，则0 (x) 1 ，1(x) x ，这样，有
2
1
0 ,0 1dx 1
0
1,1
1 0
x2dx
1 3
0
,1
1,0
1
0
xdx
1 2
1
f ,0 exdx 1.7183
0
1
f ,1 xexdx 1
0
所以，法方程为
1
1
1
2 1
a0
a1
1.7183 1
1 0
1
23
2 1
a0
a1
6 1
12
3
再回代解该方程，得到
a1
4
，
a0
11 6
故，所求最佳平方逼近多项式为
S1*
(
x)
11 6
4x
例 3、 设 f (x) ex ， x [0,1] ，试求 f (x) 在[0, 1]上关于 (x) 1 ， span1, x的最
佳平方逼近多项式。 解：
1
4
x1
1 5
(整理)《数值分析》期末复习纲要.
《数值分析》期末复习纲要 第一章 数值计算中的误差分析主要内容(一)误差分析 1、误差的基本概念：（1）绝对误差：设x 是精确值， *x 是其近似值，则称()E x x x*=-是近似值*x 的绝对误差，简称误差。
特点：可正可负，带量纲。
（2）相对误差：称()r x x E x x *-=是近似值*x 的相对误差，若精确值x 未知，则定义()r x x E x x **-=。
注: 由四舍五入得到的近似值,误差不超过最末位的半个单位(准确到最末位)。
2、有效数字的概念：P6;3、算法的数值稳定性：数值稳定的算法：初始数据所带有的误差在计算的过程中能得到有效控制，不至于因误差的过度增长影响计算结果的精度。
数值不稳定的算法：初始数据所带有的误差在计算的过程中得不到有效控制，以至于因误差的过度增长而使计算结果的精度大大降低。
P11：例子(二)算法设计的基本准则P11-15 应用实例：课堂练习，作业基本要求1、掌握误差、有效数字等基本概念2、熟记算法设计准则，并能依据算法设计准则构造或选择计算公式。
（参见课堂练习、作业）第二章 线性代数方程组的数值解法直接法：不计初始数据的误差和计算过程中的舍入误差，经过有限步四则运算求得方程组的精确解。
迭代法：先给出方程组解的某一初始值，然后按照一定的迭代法则（公式）进行迭代，经过有限次迭代，求得满足精度要求的方程组的近似解。
主要内容（一）直接法的基本模式：高斯顺序消去法基本思想：按照各方程的自然排列顺序（不交换方程），通过按列消去各未知元，将方程组化为同解的三角形方程组来求解求解过程：⎩⎨⎧回代过程消元过程应用实例：课堂例题；练习 （二）高斯列主元消去法基本思想：按列消元，但每次按列消元之前，先选取参与消元的 方程首列系数，选取绝对值最大者，通过交换方程，使之成为主元，再进行消元。
(每一步消元之前先按列选取主元) 应用实例：课堂例题，作业(三)迭代法基本原理：（1）将原方程组b Ax =改写成如下等价形式：f Bx x += （2）构造相应的迭代公式：f Bx x m m +=-)1()(（3）任取一初始向量)0(x代入上述迭代公式，经迭代得到向量序列{}Tm n m m m x x x x ),,,()()(2)(1)( =，如果该向量序列{})(m x 收敛于某一向量Tn x x x x ),,,(21****= ，即),,2,1(lim )(n i x x i m i m ==*∞→Tn x x x x ),,,(21****= 即为原方程组的解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(1 2x1 3x2 ) / 3
1
xdx 0
1
[(1) 2
2 x12
3x22 ] / 3
1 x 2dx
1
2 3
，即
2 2
x1 x12
3x2 3x22
1 ，
1
解得
x1
2
3 7
2
与
x1
2
3 7
2 ，
x
2
1
2 7
2
x
2
1 2 7
2
又因为当 f (x) x3 时，
[(1)3
2
2
3 7
343
343
36 114 2 0 1 x3dx
343
1
从而此求积公式最高具有 2 次代数精度。
4） h f (x)dx h[ f (0) f (h)] / 2 ah2[ f (0) f (h)]。 0
[解]分别取 f (x) x2 代入得到： h(0 h2 ) / 2 ah2 (2h) 1 h3 ，所以 a 1 ，
解：若 s a bx2 ，则 span 1, x2 则
0
2 2
5,
1
2 2
7277699,
(0,1) 5327,
( f ,0) 271.4,( f ,1) 369321.5,
则法方程组为
5
5327
5327 7277699
a b
271.4 369321.5
2
3
31
2 7
2 3 ] / 3
[1 2 8 36 2 108 54 2 31 6 2 24 16 2 ] ；
343
343
36 114 2 0 1 x3dx
343
1
[(1)3
2
2
3 7
2
3
31
2 7
2 3 ] / 3
[1 2 8 36 2 108 54 2 31 6 2 24 16 2 ] ，
2
A0
02
A1h 2
2h x 2 dx
2h
16 3
h3
A1
，即 A1
A1
A0 A1
A1
A1
16 3
h
4h
，
A1
8 3
h
解得
A0
4 3
h，
A1
8 3
h
又因为当
f
(x)
x3 时，
A1 (h)3
A0
03
A1 h 3
8 h4 3
8 3
h3
0
2h x3dx ；
2h
当 f (x) x 4 时，
第三章 P63 例题 3 （1）最佳平方逼近公式的计算（2）T3（x）的表达式
第四章 P106 复合梯形公式 P107 复合辛普森求积公式 P108 例题 3 （1）复合公式及其余项（2）判断一个代数的精确度
第五章 P162 定义 3 向量的范数 P165 定理 17 P169 定义 8 （1）左中右矩形公式（2）LU 分解（3）谱半径和条件数（4）向量的范数
从而解得
a 0.9726046 b 0.0500351
故 y 0.9726046 0.0500351x2
4
1
均方误差为 [ ( y(x j ) y j )2 ]2 0.1226
j0
第四章数值积分与数值微分
1、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的 求积公式所具有的代数精度。
h
1） h f (x)dx A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h) ；
[解]分别取 f (x) 1, x, x2 代入得到：
A1 A1
A0 (h)
A1 A0
0
h
1dx
h
A1h
2h
h
xdx
h
0
A1
(h)
2
A0
02
A1h 2
h x 2dx
h
2 3
h3
A1
，即 A1
则法方程组为
6 14.7
14.7 53.63
a b
280 1078
从而解得
a 7.855048 b 22.25376
故物体运动方程为
S 22.25376t 7.855048
20。已知实验数据如下：
xi
19
25
31
38
44
yj
19.0
32.3
49.0
73.3
97.8
用最小二乘法求形如 s a bx2 的经验公式，并计算均方误差。
3
12
又因为当 f (x) x3 时， h(0 h3 ) / 2 1 ah2 (3h2 ) 1 h4 ，
数值分析课本重点知识点 第一章 P4 定义一 P5 定义二 P6 定理 1 P7 例题 3 P10 条件数 （1）绝对误差（限）和相对误差（限）公式（2）有效数字（3）条件数及其公式
第二章 P26 定理 2（以及余项推导过程） P36 两个典型的埃尔米特插值 （1）拉格朗日插值多项式（包括其直线公式和抛物线公式）（2）插值余项推导及误差分析 （估计）（3）两个典型的埃尔米特插值（4）三次样条插值的概念
A1 (h)4
A0
04
A1h 4
8 h5 3
8 h5 3
16 h5 3
64 h5 5
2h x 4dx ；
2h
从而此求积公式最高具有 3 次代数精度。
1
3） 1 f (x)dx [ f (1) 2 f (x1 ) 3 f (x2 )] / 3 ；
[解]分别取 f (x) x, x2 代入得到：
A1
A0 A1
A1
A1 1h 3
2h
，解得
A1
1 6
h
A0
2 3
h
A1
1 6
h
又因为当
f
(x)
x3 时，
A1 (h)3
A0
03
A1 h 3
1 6
h4
1 6
h3
0
h x3dx ；
h
当
f
(x)
x 4 时，
A1 (h)4
A0
04
A1h 4
1 6
h5
1 6
h5
1 h5 3
2 5
h5
h x 4dx ；
第六章 P192 定理 9 第 1 条 P192 例题 8
第七章 P215 不动点和不动点迭代法 P218 定理 3 P228 弦截法 P229 定理 6
第九章 P280 欧拉法与后退欧拉法 P283 改进欧拉公式
数值分析课后点题答案
第一章数值分析误差 第二章插值法
第三章函数逼近
所以无解
19。观测物体的直线运动，得出以下数据：
h
从而此求积公式最高具有 3 次代数精度。
2h
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2） 2h f (x)dx A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h) ；
[解]分别取 f (x) 1, x, x2 代入得到：
A1
A1
A0 A1 (h) A0
0
2h
1dx
2h
A1h
4h
2h
xdx
2h
0
A1
(h)
时间 t(s) 0
0.9
1.9
3.0
3.9
5.0
距离 s(m) 0
10
30
50
80
110
求运动方程。
解：被观测物体的运动距离与运动时间大体为线性函数关系，从而选择线性方程
s a bt
令 span1,t
0
2 2
6,
1
2 2
53.63,
(0,1) 14.7,
(0, s) 280,(1, s) 1078,