离散数学 第1章 命题逻辑_2

1∧(¬ q∨p)∧(1∨q)
1∧(¬ q∨p)∧1 (¬ q∨p)
(排中律)
(零律) (同一律，合取范式)
第1章 命题逻辑
⑵求析取范式 (p∨q)↔p ((p∨q)∧p)∨(¬ (p∨q)∧¬ p) p∨(¬ p∧ ¬ q∧¬ p)
A↔B (A∧B) ∨(¬ A∧¬ B) (消去↔) (吸收律) ←析取范式 ←析取范式
p∨q∨¬ r
p∨¬ q∨r
001
010
M1
M2
p∨¬ q∨¬ r
¬ p∨q∨r p∨q∨¬ r ¬ p∨¬ q∨r ¬ p∨¬ q∨¬ r 0
011
100 101 110 111
M3
M4 M5 M6 M7
Mi
M0∧M1∧…∧M
2n 1
第1章 命题逻辑
定义 1.5.8 对于给定的命题公式，如果有一个它的等价公式， 仅由极大项的合取组成，则该等价式称为原公式的主合取范 式。 任何命题公式都存在着与之等价的主合取范式。主合取 范式也可以由以下两种方法求得。 ⑴等价演算法：即用基本等价公式推出。 其演算步骤如下： ①化归为合取范式。 ②除去所有永真的基本和。 ③在基本和中合并重复出现的析取项和相同的变元。 ④在基本和中补入没有出现的命题变元。即增加 ∨ ( x∧ ¬ x)，然后，应用分配律展开公式，最后合并相同的 极大项。
2 n 1 i0
mi m0∨m1∨…∨ m2 1 1
n
定义1.5.6 对于给定的命题公式，如果有一个它的等价公式， 仅由极小项的析取组成，称该公式为原公式的主析取范式。 任何命题公式都存在着与之等价的主析取范式。一个 命题公式的主析取范式可以由以下两种方法求得： ⑴等价演算法：即用基本等价公式推出。
第1章 命题逻辑
极大项有下列三个性质： ⑴ 每个极大项只有一个成假赋值，极大项不同，成假赋 值也不同。极大项和它的成假赋值构成了一一对应的关系。 故可用成假赋值为该极大项进行编码，并把编码作为M的下 标来表示该极大项，叫做极大项的名称。 例如，两个变元p，q的极大项¬ p∨ ¬ q，它的成假赋值是11， 表示为 M11 ，把 11理解为 2 进制数，它的 10 进制表示为 3 ，所 以M 11又表示为M3。 表1.16 两个命题变元的极大项， 成假赋值及名称见表1.16， 三个命题变元的极大项， 成假赋值及名称见表1.17。 极大项 p∨q p∨ ¬ q 成假赋值 00 01 名称 M0 M1
析取范式和合取范式的基本成分是基本积和基 本和，而主析取范式和主合取范式的基本成分是极 小项和极大项，它们分别是特殊的基本积和基本和。
第1章 命题逻辑
定义1.5.5在基本积中，每个变元及其否定不同时存在，但两 者之一必须出现且仅出现一次，这样的基本积叫做布尔合取 也叫小项或极小项。 p，q的极小项为：p∧q，p∧¬ q，¬ p∧q，¬ p∧¬ q 两个命题变元的极小项共4(=22)个, 三个命题变元的极小 项共8(=23)个, …。一般地说，n个命题变元共有2n个极小项。 表1.12是两个变元p和q的极小项的真值表。极小项有下列的 性质： 表1.12 p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∧q 0 0 0 1 p∧ ¬ q 0 0 1 0 ¬ p∧q 0 1 0 0 ¬ p∧¬ q 1 0 0 0
M000∧M010∧M110M0∧M2∧M6∏0，2，6
第1章 命题逻辑
⑵ 真值表法：用真值表求主合取范式。 用真值表求主合取范式的步骤如下： ①构造命题公式的真值表。 ②找出公式的成假赋值对应的极大项。 ③这些极大项的合取就是此公式的主合取范式。 【例1.26】用真值表法求(p→q)→r的主合取范式。 解：(p→q)→r的真值表是表1.15。公式的成假赋值对 应的大项为： p∨q∨r (成假赋值为000) p∨¬ q∨r (成假赋值为010) ¬ p∨¬ q∨r (成假赋值为110) 主合取范式为：(p∨q∨r)∧(p∨¬ q∨r)∧(¬ p∨¬ q∨r) M000∧M010∧M110M0∧M2∧M6∏0，2，6
((p∨q)∧p)∨((¬ p∧¬ q)∧¬ p) (内移) p∨(¬ p∧¬ p∧¬ q)
p∨(¬ p∧¬ q)
(交换律)
(幂等律，析取范式)
由此例可以看出，命题公式的析取范式也.2主析取范式 由于析取范式和合取范式不惟一，所以使用起 来很不方便。为此，引入主析取范式和主合取范式 的概念。当命题变元的顺序约定以后，主析取范式 和主合取范式是惟一的。
p∧¬ q
p∧q
10
11
m2
m3
三个命题变元的极小项，成真赋值和名称如表1.14所示。
第1章 命题逻辑
表1.14 极小项 ¬ p∧ ¬ q∧¬ r ¬ p∧¬ q∧r ¬ p∧q∧¬ r ¬ p∧q∧r p∧ ¬ q∧¬ r p∧ ¬ q∧r 成真赋值 000 001 010 011 100 101 名称 m0 m1 m2 m3 m4 m5
第1章 命题逻辑
【例1.24】用真值表法，求(p→q)→r的主析取范式。 解：表1.15是(p→q)→r的真值表，公式的成真赋 值对应的极小项为： ¬ p∧¬ q∧r (成真赋值为001) ¬ p∧q∧r (成真赋值为011) p∧¬ q∧¬ r (成真赋值为100) p∧¬ q∧r (成真赋值为101) p∧q∧r (成真赋值为111) (p→q)→r 的主析取范式为： (¬ p∧¬ q∧r)∨(¬ p∧q∧r)∨(p∧¬ q∧¬ r)∨(p∧¬ q∧r)∨ (p∧q∧r) m001∨m011∨m100∨m101∨m111 m1∨m3∨m4∨m5∨m7 ∑1，3，4，5，7
第1章 命题逻辑
【例1.25】用等价演算法求(p→q)→r的主合取范式。 解：(p→q)→r
¬ (¬ p∨q)∨r(p∧¬ q)∨r(p∨r)∧(¬ q∨r) (p∨r∨(q∧¬ q))∧(¬ q∨r∨(p∧¬ p)) (p∨r∨q)∧(p∨r∨¬ q)∧(p∨¬ q∨r)∧(¬ p∨¬ q∨r) (p∨q∨r)∧(p∨¬ q∨r)∧(¬ p∨¬ q∨r)
第1章 命题逻辑
⑴每个极小项只有一个成真赋值，且各极小项的成真赋值互 不相同。极小项和它的成真赋值构成了一一对应的关系。可 用成真赋值为极小项进行编码，并把编码作为m的下标来表 示该极小项，叫做该极小项的名称。 两个命题变元的极小项、成真赋值和名称如表1.13所示。 表1.13 极小项 ¬ p∧¬ q ¬ p∧q 成真赋值 00 01 名称 m0 m1
第1章 命题逻辑
矛盾式无成真赋值，因而矛盾式的主合取范式含2n (n为 公式中命题变元的个数)个极大项。而重言式无成假赋值， 因而主合取范式不含任何极大项。将重言式的主合取范式记 为1。至于可满足式，它的主合取范式中极大项的个数一定 小于2n 。
第1章 命题逻辑
在例1.23和例1.24中求出(p→q)→r的主析取范式为： m7∨m5∨m4∨m3∨m1∑1，3，4，5，7 在例1.25和例1.26中求出该公式的主合取范式为： M0∧M2∧M6∏0，2，6 比较这两个结果，得出以下的结论: 同一公式的主析取范式中m的下标和主合取范式中M的 下标是互补的。因此，知道了主析(合)取范式就可以写出主 合(析)取范式。
第1章 命题逻辑
定义1.5.3由基本和的合取构成的公式叫做合取范式。约定单 个基本和是合取范式。 定义1.5.4由基本积的析取构成的公式叫做析取范式。约定单 个基本积是析取范式。 1)基本和和基本积既是析取范式，又是合取范式。 2)析取范式和合取范式都仅含联结词¬ ,∧,∨。
第1章 命题逻辑
任何命题公式都可以化成与其等价的析取范式或合取
¬ p∨q
¬ p∨¬ q
10
11
M2
M3
第1章 命题逻辑
从表1.16和表1.17中 可以看出，极大项与 成假赋值的对应关系 为：变元对应0，而变 元的否定对应1。 ⑵任意两个不同的极 大项的析取式为永真式 ⑶全体极大项的合取式 为永假式。记为：
2 n 1 i 0
表1.17
极大项 p∨q∨r 成假赋值 000 名称 M0
范式。求析取范式和合取范式的步骤如下：
⑴ 消去联结词“→”和“↔”
⑵利用双重否定律消去否定联结词“¬ ”或利用德摩根律 将否定联结词“¬ ”移到各命题变元前(¬ 内移)。
⑶利用分配律，结合律将公式归约为合取范式和析取范式。
第1章 命题逻辑
【例1.21】求命题公式(p∨q)↔p的合取范式和析取范式。 解：⑴求合取范式 (p∨q)↔p ((p∨q)→p)∧(p→(p∨q)) (消去↔) (¬ (p∨q)∨p)∧(¬ p∨(p∨q)) (消去→) ←合取范式 ((¬ p∧¬ q)∨p)∧(¬ p∨(p∨q)) (内移) (¬ p∨p)∧(¬ q∨p)∧(¬ p∨p∨q) (分配律)
第1章 命题逻辑
用等价演算法求主析取范式的步骤如下： ①化归为析取范式。 ②除去析取范式中所有永假的基本积。 ③在基本积中，将重复出现的合取项和相同变元合并。 ④在基本积中补入没有出现的命题变元，即添加∧(x∨¬ x)， 再用分配律展开，最后合并相同的极小项。 例1.22 用等价演算法求(p∧q)∨(¬ p∧r)∨(q∧r)的主析取范式。 解：(p∧q)∨(¬ p∧r)∨(q∧r) (p∧q∧(r∨¬ r))∨(¬ p∧r∧(q∨¬ q))∨(q∧r∧(p∨¬ p)) (p∧q∧r)∨(p∧q∧¬ r)∨(¬ p∧q∧r)∨(¬ p∧¬ q∧r)∨ (p∧q∧r)∨(¬ p∧q∧r) (p∧q∧r)∨(p∧q∧¬ r)∨(¬ p∧q∧r)∨(¬ p∧¬ q∧r) m111∨m110∨m011∨m001 m7∨m6∨m3∨m1∑1，3，6，7
第1章 命题逻辑
矛盾式、重言式、可满足式主析取范式的性质
①矛盾式无成真赋值， 因而其主析取范式不含任何极小项， 将矛盾式的主析取范式记为0。 ②重言式无成假赋值， 因而主析取范式含2n (n为公式中命题变 元的个数)个极小项。 ③可满足式的主析取范式中极小项的个数一定小于等于2n。