北航解析几何课件总复习

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圆锥面 定义: 由直线绕与它相交而不垂直的轴线旋转 定义 直线绕与它相交而不垂直的轴线旋转 所得的旋转面称为圆锥面 圆锥面. 所得的旋转面称为圆锥面 母线与轴线的交点 称为锥顶 夹角称为半顶角. 锥顶, 称为半顶角 称为锥顶 夹角称为半顶角 方程的建立: 方程的建立 方法1: 锥顶为 半顶角为 方法 锥顶为M0, 半顶角为α, 点 M 在圆锥面上 ⇔ |M0M ⋅ u| = |M0M| |u| cosα . 方法2: 锥顶为 在圆柱面上, 方法 锥顶为M0, M1在圆柱面上 点 M 在圆锥面上 ⇔ |M0M ⋅ u| |M0M1| = |M0M1 ⋅ u| |M0M| .
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(3) 直纹二次曲面 类型 所有二次柱面 所有二次锥面 单叶双曲面 双曲抛物面
特点 二次柱面: 所有直母线都平行于一个固定向量 二次柱面 所有直母线都平行于一个固定向量. 平行于一个固定向量 二次锥面: 所有直母线都过同一个点 过同一个点. 二次锥面 所有直母线都过同一个点
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(3) 外积、混合积的几何意义. 外积、混合积的几何意义 外积的长度 |α × β | ---以α, β 为邻边的平行四边形的面积 为邻边的平行四边形 平行四边形的 以 混合积的绝对值 |(α, β, γ)| ---以α, β, γ为同一顶点三条棱的平行六面体体积 为同一顶点三条棱的平行六面体体积 以 2. 向量或点的共线、共面问题 向量或 的共线、共面问题 (1) α 与 β 共线 ⇔ α × β = 0. (2) α, β, γ 共面 ⇔ (α, β, γ) = 0.
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(2) 柱面 F(x, y, z) = 0, 柱面S 设柱面 // u(k, m, n), 准线Γ : G(x, y, z) = 0, 则点 M(x, y, z) ∈ S ⇔ 存在实数 t, 使得 F(x + tk, y + tm, z + tn) = 0, G(x + tk, y + tm, z + tn) = 0, 从其中一式解出 代入另一式, 一般方程. 从其中一式解出 t 代入另一式 即得 S 一般方程 定理: 若一个柱面 母线平行于z 柱面的 定理 若一个柱面的母线平行于 轴 (或 x 轴, 或 或 y 轴), 则它的方程中不含 z (或x, 或y); 反之 一个 则它的方程中不含 或 反之, 三元方程若不含 (或x, 或y), 则它一定表示一个 三元方程若不含z 或 不含 母线平行于z 柱面. 母线平行于 轴 (或 x 轴, 或 y 轴) 的柱面 或
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单叶双曲面: 单叶双曲面 恰有两族直母线 y x z s( + ) = t(1+ ) a c b , ls :t : x z y t( − ) = s(1− ) a c b y x z s( + ) = t(1− ) ′ a c b ls :t : x z y t( − ) = s(1+ ) a c b 不全为零. 其中 s, t 不全为零
一个向量 一个向量
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a1 a2 a3 (α, β , γ ) = b1 b2 b3
一个数 一个数 一个向量 一个向量
c1 c2 c3 α × (β × γ ) = (α ⋅ γ ) β − (α ⋅ β ) γ
(2) 向量的夹角 向量的夹角
α⋅β cos α, β = αβ
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[9] 一条直线 一条直线: [10] 双曲柱面 双曲柱面: [11] 一对相交平面 一对相交平面: [12] 抛物柱面 抛物柱面: [13] 一对平行平面 一对平行平面: [14] 一张平面 一张平面:
x y + 2 = 0; 2 a b 2 2 x y ; − 2 = −1 2 a b x2 y2 − 2 = 0; 2 a b 2 x = 2 py;
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双曲抛物面: 双曲抛物面 恰有两族直母线 x y x y − =c + =c a b a b ′ , lc : , c ∈ R, lc : x y x y c( + ) = 2z c( − ) = 2z a b a b 方向向量分别为 分别为: 方向向量分别为 uc (a, b, c), uc′ (a, −b, c), 有如下特征性质: 特征性质 有如下特征性质 同族的直母线都平行于同一张平面; 同族的直母线都平行于同一张平面 同族的两条不同直母线一定异面; 同族的两条不同直母线一定异面 异族的直母线一定相交. 异族的直母线一定相交
λ∈ R,
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α + β = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3) λα = (λa1, λa2, λa3) α α ⋅ β = a1b1 + a2b2 + a3b3
e1 α × β = a1 b 1 e2 a2 b2 e3 a3 b3
一个向量 一个向量 一个向量 一个向量 一个数 一个数
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5. 判断位置关系 判断位置关系 (1) 两直线 平行、相交、重合、异面 两直线(平行 相交、重合、异面) 平行、 (2) 两平面 平行、相交、重合 两平面(平行 相交、重合) 平行、 属于、 (3) 直线与平面 属于、平行、相交 直线与平面(属于 平行、相交) 6. 求旋转面、柱面、锥面方程 旋转面、柱面、 (1) 旋转面 设旋转面S 过点M 平行于向量u 设旋转面 轴线 l 过点 0 , 平行于向量 0; 母线Γ ∃ M ′(x′, y′)∈Γ , M′M ⋅ u0 = 0, ′ ′∈ ′ 则 M(x, y) ∈ S ⇔ |M0M′| = |M0M| . ′
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第一章 向量代数 第二章 空间解析几何 第三章 坐标变换与二次曲线分类 第四章 正交变换与仿射变换 第五章 考试题型
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● 向量代数
1. 向量的各种运算 加法、数乘、内积、外积、 加法、数乘、内积、外积、混合积 重点掌握: 重点掌握 (1) 各种向量运算的法则及其坐标运算 各种向量运算的法则及其坐标运算. 及其坐标运算 设在某直角坐标系 设在某直角坐标系I: [O; e1, e2, e3]中, 直角坐标系 中 α = (a1, a2, a3), β = (b1, b2, b3), γ = (c1, c2, c3),
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归结为两向量的夹角 归结为两向量的夹角
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4. 求距离 (1) 点到直线 (2) 点到平面
u × M0 P d(P, l ) = u
Ax0 + By0 + Cz0 + D d= 2 2 2 A + B +C
(u1, u2 , M1M2 ) (3) 两异面直线 d(l1, l2 ) = u1 × u2
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圆柱面 定义: 直线绕与它平行的轴线旋转所得的旋转 绕与它平行的轴线 定义 由直线绕与它平行的轴线旋转所得的旋转 面称为圆柱面 母线与轴线的距离称为它的半径. 面称为圆柱面. 母线与轴线的距离称为它的半径 圆柱面 称为它的半径 方程的建立: 方程的建立 方法1: 轴线过点 半径为 方法 轴线过点 M0, 平行于向量 u, 半径为 r, M0 M × u = r, 点 M 在圆柱面上 ⇔ u 方法2: 轴线过 平行于向量u, 在圆柱面上, 方法 轴线过M0, 平行于向量 M1在圆柱面上 点 M 在圆柱面上 ⇔ |M0M × u| = |M0M1 × u|.
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● 空间解析几何
1. 求平面方程 (1) 平面的点向式方程 平面的点向式方程 已知一点M 已知一点 0(x0, y0, z0) , 方向向量 v1(X1, Y1, Z1) , v2(X2, Y2, Z2) 不共线 则过M0且平行于 v1, v2的 不共线, 平面方程为 x− x y− y z− z
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7. 二次曲面 (1) 非空二次曲面的类型 (一) 椭球面 一 2 2 2 x y z ; + 2 + 2 =1 [1] 椭球面 椭球面: 2 a2 b2 c2 x y z [2] 点: + 2 + 2 = 0; 2 a b c (二) 双曲面 二 x2 y2 z2 ; + 2 − 2 =1 [3] 单叶双曲面 单叶双曲面: 2 a2 b2 c2 x y z ; + 2 − 2 = −1 [4] 双叶双曲面 双叶双曲面: 2 a b c
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2. 求空间直线方程 (1) 直线的标准方程 直线的标准方程 一个方向向量v(X, Y, Z) , 已知一点 M0(x0, y0, z0) , 一个方向向量 则直线方程为 x − x y − y z − z 0 0 0 = = X Y Z (2) 直线的参数方程 直线的参数方程 x = x0 + λX , y = y0 + λY , z = z + λZ. 0
2
2
x = a, a ≠ 0.
2
x2 = 0.
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(2) 五类二次曲线的图形特征 (平行截线的变 平行截线的变 化规律; 范围; 对称性; 图像) 化规律 范围 对称性 图像 [1] 椭球面 [2] 单叶双曲面 [3] 双叶双曲面 [4] 椭圆抛物面 [5] 双曲抛物面
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(三) 抛物面 三 [5] 椭圆抛物面: 椭圆抛物面 [6] 双曲抛物面 双曲抛物面: (四) 二次锥面 四 [7] 二次锥面 二次锥面: (五) 二次柱面 五 [8] 椭圆柱面 椭圆柱面: