【中小学资料】三年高考两年模拟2017版高考数学专题汇编 第七章 不等式、推理与证明4 文

第四节 基本不等式：ab ≤
a ＋b
2
A 组 三年高考真题（2016～2014年）
1.(2015·湖南，7)若实数a ，b 满足1a ＋2
b
＝ab ，则ab 的最小值为( )
A. 2
B.2
C.2 2
D.4
2.(2015·福建，5)若直线x a ＋y
b
＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( ) A.2 B.3 C.4 D.5 3.(2015·陕西，10)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 2，
r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A.q ＝r ＜p B.q ＝r ＞p C.p ＝r ＜q
D.p ＝r ＞q
4.(2014·重庆，9)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A.6＋2 3 B.7＋2 3 C.6＋4 3
D.7＋4 3
5.(2014·福建，9)要制作一个容积为4 m 3
，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( ) A.0元 B.120元 C.160元
D.240元
6.(2015·天津，12)已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．
7.(2015·浙江，12)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
，x ≤1，x ＋6
x
－6，x ＞1，则f (f (－2))＝________，f (x )
的最小值是________．
8.(2015·山东，14)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2
xy
(x ,y ∈R ,xy ≠0),当x ＞0,y ＞0时,x ⊗y ＋(2y )
⊗x 的最小值为________．
9．(2014·浙江，16)已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2
＋b 2
＋c 2
＝1，则a 的最大值是________．
B 组 两年模拟精选(2016～2015年)
1.(2016·济南一中高三期中)若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a
＋3b
的最小值是( ) A.18 B.6 C.2 3
D.244
2.(2016·山东济南质量调研)已知直线ax ＋by ＝1经过点(1，2)，则2a
＋4b
的最小值为( ) A. 2 B.2 2 C.4
D.4 2
3.(2016·安徽安庆第二次模拟)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2
b
的最小值为( )
A.4
B.2 2
C.8
D.16
4.(2015·衡水中学四调)已知x ＞0，y ＞0，lg 2x ＋lg 8y
＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是( )
A.4
B.3
C.2
D.1
5.(2016·山东北镇中学、莱芜一中，德州一中4月联考)若直线ax －by ＝2(a >0，b >0)过圆
x 2－4x ＋2y ＋1＝0的圆心，则ab 的最大值为________.
6.(2015·吉林市高三摸底)若正数x ，y 满足4x 2
＋9y 2
＋3xy ＝30，则xy 的最大值是________. 7.(2015·山东济宁模拟)正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________.
答案精析
A 组 三年高考真题（2016～2014年）
1.解析 由1a ＋2
b
＝ab ，知a ＞0，b ＞0，
∵1a ＋2b ≥2
2
ab
，∴ab ≥
22
ab
，∴ab ≥2 2.故选C.
答案 C
2.解析 由题意1a ＋1b
＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b
≥4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．
故选C. 答案 C
3.答案 C 解析 ∵0＜a ＜b ，∴
a ＋b
2
＞ab ，
又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故f ⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .
又r ＝12[f (a )＋f (b )]＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋1
2ln b ＝ln(ab )1
2＝f (ab )＝p .
故p ＝r ＜q .选C.
4.解析 因为log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4(ab )，
即3a ＋4b ＝ab ，且⎩
⎪⎨⎪⎧3a ＋4b >0，ab >0，即a >0，b >0，
所以4a ＋3b
＝1(a >0，b >0)，a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭
⎪⎫4a ＋3b ＝7＋4b a ＋3a b
≥7＋2
4b a ·3a
b
＝7＋43，
当且仅当4b a ＝3a
b
时取等号，选择D.
答案 D
5.解析 设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m ，
因为无盖长方体的容积为4 m 3
，高为1 m ，所以长方体的底面矩形的宽为4x
m ，
依题意得，y ＝20×4＋10⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2×4x ＝80＋20⎝ ⎛⎭
⎪
⎫x ＋4x ≥80＋20×2
x ·4
x
＝160(当且仅当
x ＝4
x
，即x ＝2时取等号)，所以该容器的最低总造价为160元．故选C. 答案 C
6.解析 log 2a ·log 2(2b )＝log 2a ·(1＋log 2b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2a ＋1＋log 2b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2ab ＋122
＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫log 28＋122
＝4，当且仅当log 2a ＝1＋log 2b ，即a ＝2b 时，等号成立，此时a ＝4，b ＝2. 答案 4
7.解析 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧x 2
，x ≤1x ＋6x
－6，x ＞1，
∴f (－2)＝(－2)2
＝4，∴f [f (－2)]＝f (4)＝－12.
当x ≤1时，f (x )min ＝f (0)＝0，
当x ＞1时，f (x )＝x ＋6
x
－6≥26－6，当且仅当x ＝6时“＝”成立．
∵26－6＜0，∴f (x )的最小值为26－6. 答案 －1
2
26－6
8.解析 由题意得，x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋（2y ）2－x 22yx ＝x 2＋2y 22xy ≥2x 2·2y 2
2xy ＝2，当且仅当
x ＝2y 时取等号．
答案 2
9.解析 由a ＋b ＋c ＝0，得a ＝－b －c ，
则a 2
＝(－b －c )2
＝b 2
＋c 2
＋2bc ≤b 2
＋c 2
＋b 2
＋c 2
＝2(b 2
＋c 2
). 又a 2
＋b 2
＋c 2
＝1，所以3a 2
≤2， 解得－
63≤a ≤63，所以a max ＝6
3
. 答案
63
B 组 两年模拟精选(2016～2015年)
1.解析 3a ＋3b ≥23a ·3b ＝23a ＋b
＝232
＝6.
答案 B
2.解析 因为直线ax ＋by ＝1过点(1，2)，所以a ＋2b ＝1， 则2a
＋4b
＝2a
＋22b
≥22a ·22b ＝22a ＋2b
＝2 2.
答案 B
3.解析 由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab 有ab ＝1，则1a ＋2
b
≥2
1a ·1
b
＝2 2.
答案 B
4.解析 因为由对数的运算可知lg 2x
＋lg 8y
＝lg 2
x ＋3y
＝lg 2，∴x ＋3y ＝1，
∴1x ＋13y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y (x ＋3y )＝2＋3y x ＋x 3y ≥4，当且仅当3y x ＝x 3y 时，即x ＝12，y ＝1
6时取等号， 所以A 正确.
答案 A
5.解析 圆x 2
＋y 2
－4x ＋2y ＋1＝0的圆心为(2，－1)，代入直线方程得2a ＋b ＝2， 因为2＝2a ＋b ≥22ab ，所以ab ≤12，当且仅当2a ＝b ，即a ＝1
2，b ＝1时等号成立，
所以ab 的最大值为1
2.
答案 12
6.解析 由x >0，y >0，得4x 2
＋9y 2
＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，
∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2. 答案 2
7.解析 ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，ab －2ab －3≥0，(ab －3)(ab ＋1)≥0，故ab －3≥0， 即ab ≥9，由a ＞0，b ＞0知，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立. 答案 [9，＋∞)。