【高中教学案】2018数学人教A版选修2-3：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 Word版含解析

1．3．2 “杨辉三角”与二项式系数的性质预习课本P32～36，思考并完成以下问题 1．杨辉三角具有哪些特点？2．二项式系数的性质有哪些？[新知初探]1．杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C r n ＋1＝C r－1n＋C r n ．2．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即C m n ＝C n －mn)．(2)增减性与最大值：当k <n ＋12时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间一项C n2n 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项C n －12n ，C n ＋12n 相等，同时取得最大值．(3)各二项式系数的和：①C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n，②C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1． [小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( )(2)二项式展开式的二项式系数和为C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ．( )(3)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×2．已知(ax ＋1)n 的展开式中，二项式系数和为32，则n 等于( )A．5B．6C．7 D．8答案：A3．(1＋x)2n(n∈N*)的展开式中，系数最大的项是()A．第n2＋1项B．第n项C．第n＋1项D．第n项与第n＋1项答案：C4．在(a＋b)n的展开式中，第2项与第6项的二项式系数相等，则n＝()A．6 B．7C．8 D．9答案：A[典例](1)杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是()A．第6行B．第7行C．第8行D．第9行(2)如图，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于()A．144 B．146C．164 D．461[解析](1)由题意，第6行为1 6 15 20 15 6 1，第7行为1 7 21 35 35 21 7 1，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除．(2)由题干图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第15项是C29，第16项是C19．所以S(16)＝C12＋C22＋C13＋C23＋…＋C19＋C29＝(C12＋C13＋…＋C19)＋(C22＋C23＋…＋C29)＝(C22＋C12＋C13＋…＋C19－C22)＋(C33＋C23＋…＋C29)＝C210＋C310－1＝164．[答案](1)B(2)C解决与杨辉三角有关的问题的一般思路(1)观察：对题目进行多角度观察，找出每一行的数与数之间，行与行之间的数的规律．(2)表达：将发现的规律用数学式子表达．(3)结论：由数学表达式得出结论．[活学活用]如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第_____行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3．解析：由杨辉三角知，第一行中的数是C01，C11；第2行中的数是C02，C12，C22；第3行中的数是C03，C13，C23，C33，…，第n行中的数是C0n，C1n，C2n，…，C n n．设第n行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3，则C13n∶C14n＝2∶3，解之得n＝34．答案：34求展开式的系数和[典例]设(1－2x)2 016＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 016·x2 016(x∈R)．(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 016的值．(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 015的值．(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 016|的值．[解](1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2 016＝(－1)2 016＝1．①(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a2 016＝32 016．②①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2 015)＝1－32 016， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 015＝1－32 0162．(3)∵T r ＋1＝C r 2 016(－2x )r ＝(－1)r·C r 2 016·(2x )r ， ∴a 2k －1＜0(k ∈N *)，a 2k ＞0(k ∈N *)． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 016| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2 016＝32 016．二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n, (ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)， 奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2．[活学活用]已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求： (1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7，a 0＋a 2＋a 4＋a 6．解：(1)∵(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7， 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1，① 令x ＝0，得a 0＝1， ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝－2． (2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 6－a 7＝37＝2 187，② 由①，②得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1 094， a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝1 093．求展开式中系数或二项式系数的最大项 [典例] 在⎝⎛⎭⎫x －2x 28的展开式中， (1)求二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项是第几项？[解] T r ＋1＝C r 8·(x )8－r ·⎝⎛⎭⎫－2x 2r ＝(－1)r ·C r 8·2r ·x 4－5r 2． (1)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项， 故T 5＝C 48·24·x 4－202＝1 120x －6． (2)设第r ＋1项系数的绝对值最大，则⎩⎪⎨⎪⎧C r 8·2r≥C r ＋18·2r ＋1，C r 8·2r ≥C r －18·2r －1，即⎩⎨⎧18－r ≥2r ＋1，2r ≥19－r .整理得⎩⎪⎨⎪⎧r ≥5，r ≤6.于是r ＝5或6．故系数绝对值最大的项是第6项和第7项． [一题多变]1．[变设问]在本例条件下求系数最大的项与系数最小的项．解：由本例(1)知， 展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大， 第6项的系数为负， 第7项的系数为正．故系数最大的项为T 7＝C 68·26·x －11＝1 792x －11．系数最小的项为T 6＝(－1)5C 58·25x －172＝－1 792x －172．2．[变条件，变设问]在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，求展开式中常数项．解：由题意知n ＝8，通项为T k ＋1＝(－1)k ·C k 8·⎝⎛⎭⎫128－k·x 8－43k ，令8－43k ＝0，得k ＝6，故常数项为第7项，且T 7＝(－1)6·⎝⎛⎭⎫122·C 68＝7．二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n 中的n 进行讨论． (1)当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大．(2)当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．层级一 学业水平达标1．关于(a －b )10的说法，错误的是( ) A ．展开式中的二项式系数之和为1 024B．展开式中第6项的二项式系数最大C．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数最小解析：选C根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数，所以是系数中最小的．2．已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于()A．11B．10C．9 D．8解析：选D∵只有第5项的二项式系数最大，∴n2＋1＝5．∴n＝8．3．设(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，当a0＋a1＋a2＋…＋a n＝254时，n等于()A．5 B．6C．7 D．8解析：选C令x＝1，则a0＋a1＋…＋a n＝2＋22＋23＋…＋2n，∴2(1－2n)1－2＝254，∴n＝7．4．若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为() A．3B．6 C．9D．12解析：选B x3＝[2＋(x－2)]3，a2＝C23·2＝6．5．已知C0n＋2C1n＋22C2n＋…＋2n C n n＝729，则C1n＋C3n＋C5n的值等于()A．64 B．32C．63 D．31解析：选B C0n＋2C1n＋22C2n＋…＋2n C n n＝(1＋2)n＝729．∴n＝6，∴C16＋C36＋C56＝32．6．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n 的值为________．解析：(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为C010＋C110＋…＋C1010＝210，令(x＋3y)n中x＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5．答案：57．(2x－1)10展开式中x的奇次幂项的系数之和为________．解析：设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，再令x＝－1，得310＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10，两式相减，可得a 1＋a 3＋…＋a 9＝1－3102．答案：1－31028．(1＋x )n 展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________．解析：因为8<C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n <32，即8<2n <32．所以n ＝4．所以展开式共有5项，系数最大的项为T 3＝C 24(x )2＝6x ．答案：6x9．若(x 2－3x ＋2)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10． (1)求a 1＋a 2＋…＋a 10；(2)求(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)2－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9)2． 解：(1)令f (x )＝(x 2－3x ＋2)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10， a 0＝f (0)＝25＝32，a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝f (1)＝0， 故a 1＋a 2＋…＋a 10＝－32．(2)(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)2－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－…＋a 10)＝f (1)·f (－1)＝0．10．已知⎝⎛⎭⎫12＋2x n ，若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数．解：∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，整理得n 2－21n ＋98＝0， ∴n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5，T 4的系数为C 37⎝⎛⎭⎫12423＝352；T 5的系数为C 47⎝⎛⎭⎫12324＝70；当n ＝14时，展开式中二项式系数最大项是T 8，T 8的系数为C 714⎝⎛⎭⎫12727＝3 432．层级二 应试能力达标1．1＋(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式的各项系数之和为( ) A ．2n －1 B ．2n －1 C ．2n ＋1－1D ．2n解析：选C 法一：令x ＝1得，1＋2＋22＋ (2)＝1×(2n ＋1－1)2－1＝2n ＋1－1．法二：令n ＝1，知各项系数和为3，排除A 、B 、D 选项．2．在(1＋x )n (n 为正整数)的二项展开式中奇数项的和为A ，偶数项的和为B ，则(1－x 2)n的值为( )A ．0B ．ABC ．A 2－B 2D ．A 2＋B 2解析：选C (1＋x )n ＝A ＋B ，(1－x )n ＝A －B ，所以(1－x 2)n ＝A 2－B 2． 3．若(1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 016x2 016(x ∈R)，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2解析：选C (1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 016x 2 016，令x ＝12，则⎝⎛⎭⎫1－2×12 2 016＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝0，其中a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝－1． 4．若(x ＋y )9按x 的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x ＋y ＝1，xy <0，则x 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－∞，15 B ．⎣⎡⎭⎫45，＋∞ C ．⎝⎛⎦⎤－∞，－45 D ．(1，＋∞)解析：选D 二项式(x ＋y )9的展开式的通项是T r ＋1＝C r 9·x 9－r ·y r ． 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧C 19·x 9－1·y ≤C 29·x 9－2·y 2，x ＋y ＝1，xy <0，由此得⎩⎪⎨⎪⎧x 8·(1－x )－4x 7·(1－x )2≤0，x (1－x )<0，由此解得x >1， 即x 的取值范围是(1，＋∞)．5．若⎝⎛⎭⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________． 解析：∵⎝⎛⎭⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为2n ， ∴2n ＝64，∴n ＝6．∴T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 6x 6－2r． 由6－2r ＝0得r ＝3， ∴其常数项为T 3＋1＝C 36＝20． 答案：206．若⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中含有x 的项为第6项，若(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________．解析：二项式⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 展开式的通项为T r ＋1 ＝C r n (x 2)n －r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝C r n (－1)r x 2n －3r ． 因为含x 的项为第6项，所以r ＝5,2n －3r ＝1，解得n ＝8．令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝(1－3)8＝28，令x ＝0，得a 0＝1， ∴a 1＋a 2＋…＋a 8＝28－1＝255． 答案：2557．已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中偶数项的二项式系数和比(a ＋b )2n的展开式中奇数项的二项式系数和小于120，求第一个展开式中的第3项．解：因为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中的偶数项的二项式系数和为2n －1，而(a ＋b )2n的展开式中奇数项的二项式系数的和为22n －1，所以有2n －1＝22n －1－120，解得n ＝4，故第一个展开式中第3项为T 3＝C 24(x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＝63x ．8．在二项式(ax m ＋bx n )12(a ＞0，b ＞0，m ，n ≠0)中有2m ＋n ＝0，如果它的展开式中系数最大的项恰是常数项．(1)求系数最大的项是第几项？ (2)求ab 的范围．解：(1)设T r ＋1＝C r 12(ax m )12－r·(bx n )r ＝ C r 12a12－r b r x m (12－r )＋nr为常数项，则有m (12－r )＋nr ＝0，即m (12－r )－2mr ＝0， ∴r ＝4，它是第5项． (2)∵第5项是系数最大的项，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 412a 8b 4≥C 312a 9b 3， ①C 412a 8b 4≥C 512a 7b 5. ② 由①得12×11×10×94×3×2a 8b 4≥12×11×103×2a 9b 3，∵a ＞0，b ＞0， ∴94b ≥a ，即a b ≤94．由②得ab≥85，∴85≤ab≤94．故ab的取值范围为⎣⎡⎦⎤85，94．(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为()A．7B．64C．12 D．81解析：选C根据分步乘法计数原理，共有4×3＝12种．2．若(1＋2)4＝a＋b2(a，b为有理数)，则a＋b＝()A．33 B．29C．23 D．19解析：选B∵(1＋2)4＝C04(2)0＋C14(2)1＋C24(2)2＋C34(2)3＋C44(2)4＝1＋42＋12＋82＋4＝17＋122，由已知，得17＋122＝a＋b2，∴a＋b＝17＋12＝29．3．(1－x)10展开式中x3项的系数为()A．－720 B．720C．120 D．－120解析：选D由T r＋1＝C r10(－x)r＝(－1)r C r10x r，因为r＝3，所以系数为(－1)3C310＝－120．4．某城市的街道如图，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有()A．8种B．10种C．12种D．32种解析：选B此人从A到B，路程最短的走法应走两纵3横，将纵用0表示，横用1表示，则一种走法就是2个0和3个1的一个排列，只需从5个位置中选2个排0，其余位置排1即可，故共有C25＝10种．5．已知(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，若a0＋a1＋a2＋…＋a n＝16，则自然数n等于( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选C 令x ＝1，得2n ＝16，则n ＝4．故选C ．6．从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为( )A ．300B ．216C ．180D ．162解析：选C 由题意知可分为两类，(1)选“0”，共有C 23C 12C 13A 33＝108，(2)不选“0”，共有C 23A 44＝72，∴由分类加法计数原理得72＋108＝180，故选C ．7．张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数共有( )A ．12B ．24C ．36D ．48解析：选B 第一步，将两位爸爸排在两端有2种排法；第二步，将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有2A 33种排法，故总的排法有2×2×A 33＝24种．8．(2－x )8展开式中不含x 4项的系数的和为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选B (2－x )8展开式的通项为T r ＋1＝C r 8·28－r ·(－x )r ＝C r 8·28－r ·(－1)r ·x r 2．由r 2＝4得r ＝8．∴展开式中x 4项的系数为C 88＝1．又(2－x )8展开式中各项系数和为(2－1)8＝1，∴展开式中不含x 4项的系数的和为0．9．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有( )A ．18个B ．15个C ．12个D ．9个解析：选B 依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4．由4、0、0组成3个数分别为400、040、004；由3、1、0组成6个数分别为310、301、130、103、013、031；由2、2、0组成3个数分别为220、202、022；由2、1、1组成3个数分别为211、121、112．共计：3＋6＋3＋3＝15个．10．已知⎝⎛⎭⎫x －a x 8展开式中常数项为1 120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )A ．28B ．38C ．1或38D ．1或28 解析：选C T r ＋1＝(－a )r C r 8x 8－2r ，令8－2r ＝0⇒r ＝4．∴T 5＝C 48(－a )4＝1 120，∴a ＝±2．当a ＝2时，各项系数的和为(1－2)8＝1；当a ＝－2时，各项系数的和为(1＋2)8＝38．11．已知直线ax ＋by －1＝0(a ，b 不全为0)与圆x 2＋y 2＝50有交点，且交点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有( )A ．66条B ．72条C ．74条D ．78条解析：选B 先考虑x ≥0，y ≥0时，圆上横、纵坐标均为整数的点有(1,7)(5,5)(7,1)，依圆的对称性知，圆上共有3×4＝12个点的横、纵坐标均为整数，经过其中任意两点的割线有C 212＝66(条)，过每一点的切线共有12条，又考虑到直线ax ＋by －1＝0不经过原点，而上述直线中经过原点的有6条，所以满足题意的直线共有66＋12－6＝72(条)．12．将二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x 8的展开式中所有项重新排成一列，有理式不相邻的排法种数为( )A ．A 37B ．A 66A 36C ．A 66A 37D ．A 77A 37解析：选C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x 8展开式的通项公式T r ＋1＝C r 8·(x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫124x r ＝C r 82r ·x 16－3r 4，r ＝0,1,2，…，8．当16－3r 4为整数时，r ＝0,4,8． ∴展开式共有9项，其中有有理项3项，先排其余6项有A 66种排法，再将有理项插入形成的7个空档中，有A 37种方法．∴共有A 66A 37种排法．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)13．男、女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有________人．解析：设女生有x 人，则C 28－x ·C 1x ＝30，即(8－x )(7－x )2·x ＝30，解得x ＝2或3． 答案：2或3 14．若⎝⎛⎭⎫2x 3＋1x n 的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于________． 解析：二项式的通项为T r ＋1＝C r n (2x 3)n －r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r n 2n －r ·x 3n －7r 2，令3n －72r ＝0，即r ＝67n ，而r ∈N *．∴n 为7的整数倍，即最小的正数n 等于7．答案：715．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)解析：因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是2或3的情况不合题意，所以适合题意的四位数有24－2＝14个．答案：1416．将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有________种．(用数字作答)解析：先分组C 25C 23C 11A 22，再把三组分配乘以A 33得：C 25C 23C 11A 22·A 33＝90种． 答案：90三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知A ＝{x |1<log 2x <3，x ∈N *}，B ＝{x ||x －6|<3，x ∈N *}，试问： 从集合A 和B 中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？ 解：A ＝{3,4,5,6,7}，B ＝{4,5,6,7,8}．从A 中取一个数作为横坐标，从B 中取一个数作为纵坐标，有5×5＝25(个)，而8作为横坐标的情况有5种，3作为纵坐标且8不是横坐标的情况有4种，故共有5×5＋5＋4＝34个不同的点．18．(本小题满分12分)已知(1＋2x )n 的展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，而且是它的后一项系数的56，试求展开式中二项式系数最大的项． 解：二项式的通项为T k ＋1＝C k n (2k )x k 2由题意知展开式中第k ＋1项系数是第k 项系数的2倍，是第k ＋2项系数的56， ∴⎩⎪⎨⎪⎧C k n2k ＝2C k －1n ·2k －1，C k n 2k ＝56C k ＋1n ·2k ＋1，解得n ＝7． ∴展开式中二项式系数最大两项是：T 4＝C 37(2x )3＝280x 32与T 5＝C 47(2x )4＝560x 2． 19．(本小题满分12分)10件不同厂生产的同类产品：(1)在商品评选会上，有2件商品不能参加评选，要选出4件商品，并排定选出的4件商品的名次，有多少种不同的选法？(2)若要选6件商品放在不同的位置上陈列，且必须将获金质奖章的两件商品放上，有多少种不同的布置方法？解：(1)10件商品，除去不能参加评选的2件商品，剩下8件，从中选出4件进行排列，有A 48＝1 680(或C 48·A 44)(种)．(2)分步完成．先将获金质奖章的两件商品布置在6个位置中的两个位置上，有A 26种方法，再从剩下的8件商品中选出4件，布置在剩下的4个位置上，有A 48种方法，共有A 26·A 48＝50 400(或C 48·A 66)(种)．20．(本小题满分12分)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x n 的展开式中，前三项系数成等差数列． (1)求n ；(2)求第三项的二项式系数及项的系数；(3)求含x 项的系数．解：(1)∵前三项系数1，12C 1n ，14C 2n成等差数列． ∴2·12C 1n ＝1＋14C 2n ，即n 2－9n ＋8＝0． ∴n ＝8或n ＝1(舍)．(2)由n ＝8知其通项公式T r ＋1＝C r 8·(x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫124x r ＝⎝⎛⎭⎫12r ·C r 8·x 4－34r ，r ＝0,1，…，8． ∴第三项的二项式系数为C 28＝28．第三项的系数为⎝⎛⎭⎫122·C 28＝7． (3)令4－34r ＝1，得r ＝4， ∴含x 项的系数为⎝⎛⎭⎫124·C 48＝358．21．(本小题满分12分)如图有4个编号为1,2,3,4的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一种，并且相邻的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂色方法？解：分为两类：第一类：若1,3同色，则1有5种涂法，2有4种涂法，3有1种涂法(与1相同)，4有4种涂法．故N 1＝5×4×1×4＝80．第二类：若1,3不同色，则1有5种涂法，2有4种涂法，3有3种涂法，4有3种涂法．故N 2＝5×4×3×3＝180种．综上可知不同的涂法共有N ＝N 1＋N 2＝80＋180＝260种．22．(本小题满分12分)7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？(1)两名女生必须相邻而站；(2)4名男生互不相邻；(3)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站；(4)老师不站中间，女生不站两端．解：(1)两名女生站在一起有站法A22种，视为一种元素与其余5人全排，有A66种排法．故有不同站法有A22·A66＝1 440种．(2)先站老师和女生，有站法A33种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，有插入方法A44种．故共有不同站法A33·A44＝144种．(3)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A44种，而由高到低有从左到右，或从右到左的不同．故共有不同站法2×A77A44＝420种．(4)中间和两端是特殊位置，可如下分类求解：①老师站两端之一，另一端由男生站，有A12·A14·A55种站法，②两端全由男生站，老师站除两端和正中间的另外4个位置之一，有A24·A14·A44种站法．故共有不同站法共有A12·A14·A55＋A24·A14·A44＝2 112种．。