圆2(1)

1
第三十二圆的性质
【知识要点】
基本概念：
1. 圆的定义：（1）在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点
A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫圆心，线段OA 叫做半径；（2）圆是
到定点的距离等于定长的点的集合。

2.点和圆的位置关系：如果圆的半径是r ，点到圆心的距离为d ，那么： （1）点在圆外d r ⇔>；（2）点在圆上d r ⇔=；（3）点在圆内d r ⇔<。

3.与圆有关的概念：
（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（2）直径：经过圆心的弦叫做直径。

（3）弧：圆上任意两点间的部分叫弧。

优弧：大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。

半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧．都叫做半圆。

（4）同心圆：圆心相同，半径不相等．．．．．的两个圆叫做同心圆。

（5）弓形：由弦及其所对的弧．．．．．．组成的图形叫做弓形。

（一弦对两弧） （6）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。

（圆心不同）
（7）等弧．．
：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

（在大小不等的两个圆中，不存在等弧）
一、确定一个圆有两要素，一是 ，二是 ，圆心确定 、半径确定 ； 圆既是 对称图形，又是 对称图形；它的对称中心是 ，对称轴是 ，有 条对称轴。

二、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平弦所对的弧。

推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等． 即：如图，若AB ⊥CD ，
则有AP PB ，AC ︵ CB ︵
，AD= 典型题：
如左图，若CD=10，AB=8，求PC 的长？
D
C
2
三、在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间，如果有一组量相等，那么，它们所对应的其它量也相等。

典型题：
如图，AB 、CD 是⊙O 的两条弦
①若AB=CD ， 则有 = ， = ②若AB=CD ， 则有 = ， = ③若∠AOB=∠COD ， 则有 = ， =
四、在在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角 ，相等的圆周角所对的弧 ，同弧或等弧所对圆周角是其所对的圆心角的 。

1、如图，AB 、AC 、BC 都是⊙O 的弦，∠CAB ＝∠CBA ，∠COB 与∠COA 相等吗？为什么？
2、如图，∠A 是⊙O 的圆周角，∠A ＝30°， 则∠BOC= °，∠OBC= °
五、半圆或直径所对的圆周角都是 °，90°的圆周角所对的弦是圆是 。

典型题：
1、如图，AB 是⊙O 的直径，∠DCB=30°， 则∠ACD= °，∠ABD= °
2、如图，⊙O 的直径AB=10，弦BC=5，∠B= ° 【拓展训练】
1、如图1－3－7，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，∠BAC=30° 则∠BOC 的大小是（ ） A ．60○
B ．45○
C ．30
○
D ．15○
2、如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，∠BAC＝20°，
AD ＝ CD ， 则∠DAC 的度数是( )
O
D
C
B
A
D
B
3
(A)30° (B) 35° (C) 45° (D) 70°
3、如图1－3－16，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交 ⊙O 于 点B ，PA=4，OA=3，则cos ∠APO 的值为（ ）
3344. . . .4
5
5
3
A B C D
4、PA 切⊙O 于A ，PA = 3，∠APO = 300
，则PO 的为（ ） A 32 B 2 C 1 D 34 5、如图，若四边形ABCD 是半径为1cm 的⊙O 的内接正方形， 则图中四个弓形（即四个阴影部分）的面积和为（ ）．
（A ）()2cm 22-π （B ）()2cm 12-π （C ）()2cm 2-π （D ）()2cm 1-π 6. 如图，OA 和OB 是⊙O 的半径，并且OA ⊥OB ，P 是OA 上任一点，BP 的延长线交⊙O 于
点Q ，过点Q 的⊙O 的切线交OA 延长线于点R . （1）求证：RP ＝RQ ；
（2）若OP ＝PA ＝1，试求PQ 的长.
7．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，过A 作AE ∥DB 交CB 的延长线于E ．求证：
CD BE AD AB ⋅=⋅
8. 已知：如图，Rt ABC ∆中，︒=∠90ACB ，点O 在AC 上，以O 为圆心、OC 为半径的圆与AB 相切于点D ，交AC 于点E ． （1）求证：DE ∥OB ；
B
D
R B
O
P A
Q
E
4
（2）若⊙O的半径为2，4
=
BC，求AD的长．
9.如图1，AB是⊙O的一条弦，点C为AB的中点，CD是⊙O的直径，过C点的直线l交弦AB于点E，交⊙O于点F．
（1）判定图中CEB
∠与FDC
∠的数量关系，并写出结论；给予证明．
圆的有关计算及证明
一、关于弦长的计算。

在圆中，关于弦长、弦心距的计算，通常是利用垂径定理构造出由半径、弦心距以及半圆组成的直角三角形，再根据勾股定理，直角三角形中的边角关系来求未知量。

4．如图1，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=7cm，EB=3cm,∠BED=30°，则CD的长为。

5．如图2，⊙O的直径AB=10cm，C是⊙O上一点，点D平分BC，OD交BC于E,DE=2cm，则弦AC= 。

6．如图3，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，以C为圆心，CA为半径作弧交斜边AB于D，则AD的长为。

7．如图4，一弓形弦AB的长为cm
6
4，弓形所在圆的半径为7cm，HG为⊙O的直径，求弓形的高为。

D
图1图2图3
5
8．如图5，已知AB 是⊙O 的直径，过A 、B 分别作弦EF 的垂线交直线EF 于C 、D ，AC=2cm ，BD=4cm ，⊙O 的半径为5cm ，则EF 的长为 。

9．如图6，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，∠ABC 的平分线交⊙O 于D ，交AC 于E ，AB=7，AE=3，DE=1，则AD 的长为 。

10．如图7，已知AB 、CD 是⊙O 内两条互相垂直的弦，它们相交于圆内一点P ，圆的半径是5，两条弦长均为8，则OP 的长为 。

二、关于角度的计算。

求圆中角的度数主要是利用圆中有关角的定理来求解。

这些定理包括：
（1）圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。

（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

（3）直径所对的圆周角是直角。

（4）同弧或等弧所对的圆周角相等。

（5）圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角。

（6）弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

1．如图1，两圆相交于A 、B 两点，且⊙2O 过⊙1O 的圆心。

若∠D=40°，求则∠C 的度数为 。

2．如图2，CD 是⊙O 的直径，AE 切⊙O 于点B ，DC 的延长线交AB 于点A ，∠A=20°，则∠DBE= 。

3．在半径等于5cm 的圆内有长为35cm 的弦，则此弦所对的圆周角= 。

4．如图3，已知∠BAC=50°，求∠D+∠E 的度数为 。

图
图
图图2
图
图3
图4
6
5．已知：如图4，△ABC 内接于⊙O ，∠A=60°，∠ABC=80°，D 是BC
上一点，AB=AE ，∠BDE= 。

6．已知：如图5，A 、B 、E 、D 、C 都在同一圆周上，量得BE 和ED 分别是32°和48°，则∠P+∠E= 。

7．已知：如图6，延长⊙O 的直径AB 与弦CD 的延长线相交于点E ，且ED=OB ，∠E=20°。

则∠ODC= ，∠AOC= 。

8．已知：如图7，AB 是直径，CD 是弦，过C 点的切线与AD 的延长线交于E 点，若∠A=56°，∠B=64°，则∠CED= 。

三、半径的求法。

圆半径是圆内的特殊线段，其计算的主要方法包括：勾股定理、相交弦定理、切割线定理、利用相似三角形的对应边成比例等等。

1．如图1，在△ABC 中，AB=AC=6，BC=4，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是D 、E 、
F ，则⊙O 的半径长为 。

2．如图2，在⊙O 中，弦AB 与半径OC 相交于点M ，且OM=MC ，若AM=1.5，BM=4，则半径的长为 。

3．如图3，∠AOC=60°，点B 在OA 上，且OB=32，若以B 为圆心，R 为半径的圆与直线OC 相离，则R 的取值范围是 。

C
图1
C
图2
图6 图7
图8 图9
图5
P O C B
A 图3。