南县一中2014年高一数学试题

高一数学试题
一、选择题（共12道小题，每题5分，共60分）
1．设全集{1,2,3,4,5}U =，集合 {1,2,3}A =，{2,4}B =，则图中阴影部分所表示的
集合是 （ ）
A ．{4}
B ．{2,4}
C ．{4,5}
D ．{1,3,4}
2．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解
的零点个数分别为（ ）
A ．4, 4
B ．3, 4
C ．5, 4
D ．4, 3
3.定义在R 上的奇函数()f x 满足()()42f x f x +=-，则()3f 的值为（ ）
A ． 12
B ． 0
C ．3
D ．9
4.己知函数()=log (2+1)x a f x b - (a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是（ ）
A ．10<<<1b a
B ．10<<<1b a
C ．10<<<1a b
D ．110<<<1a b
5.已知()f x 是偶函数，它在[0,)+∞上是减函数，若(lg )(1),f x f >则x 的取值范
围是（ ）
.(0,1)(10,)A +∞ 1.(,1)10B 1.(0,)(10,)10C +∞ 1.(,10)10
D 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A ．2π
B ．4π
C ．π
D ．8π
7.已知0,0,ab bc <<则直线ax by c +=通过（ ）
A.第一、二、三象限
B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限
D.第二、三、四象限
8.已知(1,1,),(2,,),A t t t B t t --则||AB 的最小值为（ ）
.
5A 5B 5
C 11.5
D 9．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，直线l 过点A 且垂直于平面
ABC ，动点P ∈l ，当点P 逐渐远离点A 时，∠PCB 的大小（ ） A ．变大
B ．变小
C ．不变
D ．有时变大有时变小
10.过点(1,1)P 的直线，将圆形区域22{(,)|4}x y x y +≤分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（ ）
.20A x y +-= .10B y -=
.0C x y -= .340D x y +-=
二、填空题（共5道小题，每题5分，共25分）
11.已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则a ，b 的值为
12．已知平面α，β和直线m ，给出以下条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ⊂α；④α∥β． 要使m ⊥β，则所满足
的条件是 ． （填所选条件的序号)
13．已知正四棱柱S ABCD -的侧棱长与底面长都相等，E 是SB 的中点，则,AE SD 所成角的余弦值为
14.过直线0x y +-=上点P 作圆221x y +=的两条切线，若两条切线的夹角是60,︒则点P 的坐标是
15．设2()lg ,2x f x x +=-则2()()2x f f x
+的定义域为 三、解答题（本题共6小题，共76分,写出必要的文字说明，推理、演算步骤）
16．（本题12分）
设全集为实数集R ，集合{}37A x x =≤<，{}210B x x =<<，{}C x x a =<．
（Ⅰ）求A B 及()R A B ð；
（Ⅱ）如果A C φ≠，求a 的取值范围．
17．（本题12分）函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)，0<a <1．
（Ⅰ）求函数f (x )的定义域；
（Ⅱ）若函数f (x )的最小值为－2，求a 的值．
18．（本题12分）如图，正三棱柱(底面是正三角形且侧棱垂直底面的三棱柱)ABC -A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，2A 1A =AB =a ．
（Ⅰ）求证：AD ⊥B 1D ；
（Ⅱ）求三棱锥C -AB 1D 的体积．
19.在三棱锥P ABC -中，D 是AC 的中点，PA PB PC ===AC AB ==
BC =（1）求证：PD ABC ⊥平面
（2）求二面角P AB C --的正切值.
20.如下图，在平面直角坐标系中，已知“葫芦”曲线C 由圆弧1C 与圆弧2C 相接而成，两相接点,M N 均
在直线y =上，圆弧1C 所在圆的圆心是坐标原点，半径为2，圆弧2C 过点(0,A -
（1）求圆弧2C 的方程.
（2）已知直线:0l mx y --=与“葫芦”曲线C 交于,E F 两点.
当||4EF =+l 的方程.
21.已知指数函数()y g x =满足：(3)8,g =定义域为R 的函数()()2()
n g x f x m g x -=+是奇函数. (1)求()f x 的解析式.
(2)判断()f x 的单调性
(3)若对任意的,t R ∈不等式22(23)()0f t t f t k -+->恒成立，求实数k 的取值范围.
参考答案
一、选择题：
ADBAD CCACA
二、填空题：
11．13a =，b ＝0 12．②④ 13 14． 15.(4,1)(1,4)-- 三、解答题
16．解：(Ⅰ){|37}{210}{210}A B x x x x x x =≤<<<=<< ，
即{210}A B x x =<<． …………………………………………（4分） 又∵{|37}A x x x =<≥或R ð，
∴(){|37}{|2<10}{|2<310}R A B x x x x x x x x =<≥<=<≤<或或7ð， 即(){23R A B x x =<<ð或710}x ≤<．…………………………（8分） （Ⅱ）由{|37}{|}A C x x x x a =≤<<≠φ， 得：3a >………（12分）
17．解：（I ）要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x >0，x ＋3>0，解得－3<x <1，
所以定义域为(－3,1)．………………………………………………（4分） （Ⅱ）函数可化为f (x )＝log a [(1－x )(x ＋3)] ＝log a (－x 2－2x ＋3)
＝log a [－(x ＋1)2＋4]，…………………………………………（6分） ∵－3<x <1．∴0<－(x ＋1)2＋4≤4，………………………………（8分） ∵0<a <1，∴log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4，由题意知：log a 4＝－2，
得a －2＝4，∴ a ＝1
24-＝1
2．………………（12分）
18．解（Ⅰ）证明：∵ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱，
∴平面B 1C ⊥平面ABC ，
又△ABC 是正三角形，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，……2分
又平面ABC ∩平面B 1C =BC , AD ⊥平面B 1C , ……………………4分 又B 1D ⊂平面B 1C , ∴ AD ⊥B 1D ．………………………………6分
（Ⅱ）113
113C AB D B ACD ACD V V S BB --∆==⨯=．……12分
19.（1） 答案：（1）连接BD ，则,,PD BD PD AC ⊥⊥又∴PD ABC ⊥平面
（2
20. （1） 222:(18(3C x y y ++=≤-
（2）0y ±--=
21.（1）112()22x
x f x +-=+ （2）11()221x f x =-++ ∴在R 上为减函数
（3）1
2k >。