第45招 平面向量位置关系问题的解法

【知识要点】 一、向量的关系
（1）平行向量（共线向量）：方向相等或相反的向量，叫平行向量.由于平行向量可以自由平移到一条直线上，所以平行向量又叫共线向量.共线向量不一定在一条直线上. （2）相等向量的定义：长度相等方向相同的向量叫做相等向量. （3）相反向量的定义：长度相等方向相反的向量叫做相反向量. 二、向量的数乘
（1）定义：求实数λ与向量a r 的乘积的运算叫向量的数乘，记作a λr .
（2）向量的数乘结果还是一个向量.
当0λ>时，a λr 与a r 的方向相同，且a a λλ=r r
； 当0λ<时，a λr 与a r 的方向相反，且a a λλ=-r r
.
三、向量共线定理:如果向量a r 为非零的向量，那么向量b r 与向量a r
共线⇔有且只有一个实数λ，使得(0)b a a λ=≠r r r r ；
四、两个向量平行（共线）的充要条件
（1）如果0a ≠r r ，则a b r r
P 的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b a λ=r r （没有坐标背景）.
（2）如果a r =11(,)x y ,b r
=22(,)x y ，则||的充要条件是12210x y x y -=(坐标背景)
(3)如果1212(1)OA OB OC λλλλ=++=u u u r u u u r u u u r
,则A B C 、、三点共线.反过来，该结论也成立.(注意OA OB OC u u u r u u u r u u u r 、、的起点必须相同)
五、两个向量垂直的充要条件
（1）0a b a b ⊥⇔=r r r r
g
（没有坐标背景） （2）设a r =11(,)x y ,b r =22(,)x y ，则12120a b x x y y ⊥⇔+=r r
（(坐标背景).
【方法讲评】
方法一 利用两个向量平行或垂直的充要条件（没有坐标背景）
使用情景 已知条件没有涉及坐标.
解题步骤
直接证明b a λ=r r (0)a ≠r r 或0a b =r r
g
【例1】 设两非零向量→
a 和→
b 不共线，如果−→
−AB ＝→
a ＋→
b ，−→−CD ＝3（→a －→b ），→
→−→−+=b a BC 82，求证：A B D 、、三点共线.
【点评】向量里证明,,A B C 三点共线一般分两步证明：（1）先证明AB AC λ=u u u r u u u r (或kBC u u u r
)；(2)说明两个向量有公共点A .其中第二步是不能省略的，因为AB AC λ=u u u r u u u r
只能说明,AB AC 平行或重合.所以必须
加上第2步才能说明它们三点共线.
【反馈检测1】设、是两个不共线的非零向量（R t ∈）
（1）记),(3
1
,,t +=
==那么当实数t 为何值时，A B C 、、三点共线？ （2）若ο
1201||||夹角为与且==，那么实数x 为何值时||x -的值最小？
【例2】已知PQ 过三角形OAB 的重心G ，且P 、Q 分别在OA 、OB 上，设
,,OP mOA OQ mOB ==u u u r u u u r u u u r u u u r ,m n R ∈、则11
n m
+的值为 .
【点评】（1）如果点G 是三角形OAB 的重心，则1133
OG OA OB =+u u u r u u u r u u u r
. 这个结论大家可以自己证明并把
它记下来，在客观题题中熟练运用. （2）要求11
n m
+的值，要从已知条件中寻找等式，本题中从图形中P 、
G 、Q 三点共线可以找到等式. 学科.网
【反馈检测2】如图，在平行四边形ABCD 中，M N 、分别是AB AD 、上的点，且
32,,43AM AB AN AD ==u u u u r u u u r u u u r u u u r
连接AC MN 、交于点P 点，若AP AC λ=u u u r u u u r ，则λ的值为（ ）
6633 (171375)
A B C D -
方法二 利用两个向量平行或垂直的充要条件（坐标背景）
使用情景 已知条件涉及坐标.
解题步骤
直接证明12210x y x y -=或12120x x y y +=.
【例3 】 已知(1,2)a =,)2,3(-=,当k 为何值时，
（1）ka b +r r 与3a b -r r
垂直？
（2）ka +r b 与3a -r
b 平行？平行时它们是同向还是反向？
【点评】（1）如果a r =11(,)x y ,b r =22(,)x y ，则||⇔ 12210x y x y -=和12120a b x x y y ⊥⇔+=r r
是判定平面向量位置关系的两个重要结论.（2）如果a b λ=r r
，则当0λ>时，两个向量同向，当0λ<时，
两个向量方向相反.
【反馈检测3】已知向量(3,4),(6,3),(5,(3))OA OB OC m m =-=-=--+u u u r u u u r u u u r
.
(1)若点A B C 、、不能构成三角形，求实数m 应满足的条件； (2)若ABC ∆为直角三角形，求实数m 的值．
高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第45讲:
平面向量位置关系问题的解法参考答案
【反馈检测1答案】（1）证明见后面解析；（2）2
3||,21
取最小值
时x x --=
【反馈检测2答案】A
【反馈检测2详细解析】4343))3232
AP AC AP AB AD AM AN AM AN λλλλλ=∴=+=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u
r u u u r Q （（
因为P M N 、、三点共线，所以
4316
+=1=.3217
A λλλ∴∴选择 【反馈检测3答案】（1）12m =
；（2）74m =或34
m =-或152m ±=.
【反馈检测3详细解析】 (1) 已知向量(3,4),(6,3),OA OB =-=-u u u r u u u r (5,(3))OC m m =--+u u u r
.
若点A B C 、、不能构成三角形，则这三点共线，
∵(3,1)AB =u u u r ，
(2m,1)AC m =--u u u r ，故知3(1)2m m -=-，∴实数12
m =时，满足条件． (2)由题意，ABC ∆为直角三角形，
①若A ∠为直角，则AB AC ⊥u u u r u u u r ， ∴3(2)(1)0m m -+-=，解得7
4
m =.
②若B ∠为直角，(1,)BC m m =---u u u r ，则AB BC ⊥u u u r u u u r ，∴3(1)()0m m --+-=，解得3
4
m =-
③若C ∠为直角，则AC BC ⊥u u u r u u u r ，∴(2)(1)(1)()0m m m m ---+--=，解得15
m ±=综上，74m =或3
4
m =-或15m ±=.。