09.04.13高二文科数学《第二讲 参数方程· 三、直线的参数方程(一)》
高中数学 第二章 参数方程 2.1 参数方程的概念 直线的
2.2 直线的参数方程中的错解剖析参数方程在解析几何中是一个十分重要的内容，而且是高中数学的一个难点．对于有些难以下手的问题，若用参数方程去解决的话，往往能化繁为简，迎刃而解，起到事半功倍的效果．对于直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数，α是直线的倾斜角），要正确理解参数t 的几何意义为以M 0为起点，任意一点M （x ，y ）为终点的有向线段M M 0的数量M 0M ．当点M 在点M 0的上方时，t>0；当点M 在点M 0的下方时，t<0；当点M 与点M 0重合时，t=0．下面就实际解决问题中经常出错的错误解答加以实例剖析．1．表达式最值的求解问题例1．过点P （210，0）作倾斜角为α的直线与曲线x 2+2y 2=1交于点M ，N ，求|PM|·|PN|的最小值及相应的α值．错解：设直线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=ααsin cos 210t y t x （t 为参数)， 代入曲线方程得（1+sin 2α）t 2+10tcosα+23=0，则t 1t 2=)sin 1(232α+， 则有|PM|·|PN|=|t 1t 2|=)sin 1(232α+， 所以当sin 2α=1时，|PM|·|PN|取最小值为43，此时相应的α值为2π． 错解剖析：在求解相应的最值问题时，一定要注意条件：直线与曲线有交点，只要充分保证此前提的情况下，才有相应的最值问题．通过直接利用直线参数建立止目标函数，从而使问题获解．其中掌握参数的几何意义是求解的关键，而研究直线与曲线有交点的条件是解题的重中之重．正确解答：设直线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=ααsin cos 210t y t x （t 为参数)，代入曲线方程得（1+sin 2α）t 2+10tcosα+23=0，则t 1t 2=)sin 1(232α+， 则有|PM|·|PN|=|t 1t 2|=)sin 1(232α+， 又直线与曲线相交，则有△≥0，解得sin 2α≤41， 从而知，当sinα=21时，即相应的α值为6π或65π时，|PM|·|PN|取最小值为56． 2．轨迹方程的求解问题例2．如图，已知抛物线y=x 2及定点A （－1，0），由A 点作直线l 与抛物线相交于B 、C 两点，在直线l 上的点P 满足AB 1+AC 1=AP 2，求动点P 的轨迹方程．错解：设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+-=ααsin cos 1t y t x （t 为参数）， 代入抛物线方程y=x 2，得：t 2cos 2α－（2cosα+sinα）t+1=0，设B 、C 所对应的参数分别为t 1，t 2，即AB=t 1，AC=t 2，由韦达定理，得t 1+t 2=ααα2cos sin cos 2+，t 1t 2=α2cos 1， 设AP=t ，则由AB 1+AC 1=AP2，得11t +21t =t 2，则有t=21212t t t t +=ααsin cos 22+， 即2tcosα+tsinα=2，由参数方程可得2（x+1）+y=2，即2x+y=0，所以动点P 的轨迹方程为2x+y=0．错解剖析：在求解轨迹方程的过程中，一定要注意参数的条件．特别对于确立轨迹的纯粹性，要保证是等价的．通过巧设直线的参数方程形式，将题设中的已知条件转化为含有参数的关系式，然后消元使问题得以解决．以上错解中就是没有确定相应参数的隐含条件而导致错误．正确解答：设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+-=ααsin cos 1t y t x （t 为参数），代入抛物线方程y=x 2，得：t 2cos 2α－（2cosα+sinα）t+1=0，设B 、C 所对应的参数分别为t 1，t 2，即AB=t 1，AC=t 2，由韦达定理，得t 1+t 2=ααα2cos sin cos 2+，t 1t 2=α2cos 1， 设AP=t ，则由AB 1+AC 1=AP2，得11t +21t =t 2， 则有t=21212t t t t +=ααsin cos 22+，即2tcosα+tsinα=2， 由参数方程可得2（x+1）+y=2，即2x+y=0，又由方程t 2cos 2α－（2cosα+sinα）t+1=0，可得△=（2cosα+sinα）2－4cos 2α>0， 即4cosαsinα+sin 2α>0，又sinα>0，则4cosα+sinα>0，即2cosα+sinα>－2cosα， 又由于B 、C 都在定点A 的上方，则t 1>0，t 2>0， 从而t=ααsin cos 22+>0，则αααsin cos 2cos 2+-<0， 则得－1<αααsin cos 2cos 2+-<1，故－1<x+1=tcosα<1，且x+1≠0， 解得－2<x<0，且x≠－1，故动点P 的轨迹方程为：2x+y=0（－2<x<0，且x≠－1）．利用参数方程解题是一种很好的数学方法，既能锻炼逻辑思维能力，拓宽解题思路，培养一题多解的能力，又可以激发潜能，提高学习积极性和主动探索实践的能力．关键是在用参数方程解题时，必须注意参数的取值范围，须保证与原题中定义域、值域等价，同时参数未必是唯一的．。
高二数学《直线的参数方程》
教学过 程分析
如何将直线的点斜式方程化为直
线的参数方程？
yyk(x x)
0
0
y y 0 ta(x n x 0 )为倾斜角且 2
yy0 csio ns(xx0) 教学过程
当0时设
2
xx 0
yy0
t
cos sin
教学过 程分析
整理得 xyxy00ttcsoins t为参数
当 0或 时 ，上式仍然成立. 2
基础题 教材：P391、2； P549、
能力题 P415，6 P556
课后探究题 P551
2.2.1直线的参数方程
1.标准形式：
x x0 t cos y y0 tsin
（t
为参数）
2.参数的几何意义：
例： 结论：
为直线的倾斜角 0,
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直线参数方程的标准形式：
xyxy00ttcsoins t为参数
为直线的倾斜角 0,
教学过 程分析
直线参数方程标准形式有什么特点？
标准形式：xyxy00ttcsoins t为参数
为直线的倾斜角 0,
判断下列那些是直线参数方程的标准 形式，并指出直线经过的定点和斜率：
提出问题：已知直线上一点 M与直线上 定点 M 的距离如何确定点 M的坐标呢？
0
教学过 程分析
设质点从点 M0(x0,y0)出发，沿着
与 x轴正方向成 角的方向匀速直线
运动，其速率为 v 你能建立质点运动 0
的轨迹的参数方程吗？
xy xy00 ttv0v0cso i ns(t0)
若不顾及 t的物理意义，允许 t取负值，则 上式是直线的一种参数方程形式，t为参数.
M(x,y) A 00 0
高中数学第二讲参数方程三直线的参数方程课件新人教A版选修4_4
M0(x0，y0)，斜率为ba的直线的参数方程是xy＝ ＝xy00＋ ＋abtt，(a、b 为
常数，t 为参数).
跟踪演练 1 直线 l 经过点 M0(1，5)，倾斜角为π3 ，且交直线 x －y－2＝0 于 M 点，则|MM0|＝________.
解析
由题意可得直线 l 的参数方程为xy＝ ＝15＋ ＋122t3，t (t 为参数)，
要点三 直线参数方程的综合应用
例3 已知直线l过定点P(3，2)且与x轴和y轴的正半轴分别交于A，
B两点，求|PA|·|PB|的值为最小时的直线l的方程.
解
设直线的倾斜角为 α，则它的方程为xy＝ ＝32＋ ＋ttcsions
α α
，
(t 为参数).由 A，B 是坐标轴上的点知 yA＝0，xB＝0，
∴0＝2＋tsin ห้องสมุดไป่ตู้ ，即|PA|＝|t|＝sin2α ，0＝3＋tcos α ，
即|PB|＝|t|＝－cos3 α
，故|PA|·|PB|＝sin2 α
的直线，故直线
l
的倾斜角
α＝π6
.
(2)由(1)知，直线 l 的单位方向向量 e＝cosπ6 ，sinπ6 ＝ 23，12.
∵M0＝(－ 3，2)，M(－3 3，0)，∴M→0M＝(－2 3，－2)＝
－4
23，12＝－4e，∴点
M
对应的参数
t＝－4，
几何意义为|M→0M|＝4，且M→0M与 e 方向相反(即点 M 在直线 l 上 点 M0 的左下方).
2
3
2＋y－322＝1，即 x2＋y2－3 3x－3y＋8＝0，
x＝－1＋ (2)由y＝12t
高二数学(文)《直线的参数方程》(课件)
少?
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制作 12
2010年下学期
一、课题引入 一个定点和倾斜角可惟一确定一 条直线 y－y0=tan(x－x0). (1)
根据直线的这个几何条件，你认
为应当怎样选择参数？
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2010年下学期
二、新课讲授
设 e是与直线l平行且方向向上 ( l的 倾斜角不为 0)或向右( l的倾斜角为 0)的 单位方向向量 (单位长度与坐标轴的单 位长度相同)
湖南长郡卫星远程学校 制作 12 2010年下学期
x y 1 0 2 解 : 由 得 : x x 1 0 (*) 2 y x 由韦达定理得: x1 x 2 1, x1 x 2 1 | AB | 1 k
2
( x1 x 2 ) 4 x1 x 2
的倾斜角是( A.20
B )
C .110 D.160
B .70
( 2) 直线x y 1 0的一个参数方
程是 __________________________ .
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*练习* x 3 t sin 20 (1) 直线 ( t为参数) y t cos 20
经过点M 0 ( x0 , y0 ), 倾斜角为的直线l 的参数方程为 x x t cos 0 ( t为参数) ( 2) y y0 t sin
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经过点M 0 ( x0 , y0 ), 倾斜角为的直线l 的参数方程为 x x t cos 0 ( t为参数) ( 2) y y0 t sin
高中数学第二章参数方程三直线的参数方程课件新人教a
[学习目标] 1.掌握直线参数方程的标准形式，明确 参数的几何意义(重点)． 2.能运用直线的参数方程解决 某些相关的应用问题(重点、难点)．
[知识提炼· 梳理] 1．直线的参数方程 经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程
x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α (t 为参数)． 为_______________
3 x＝2－ 2 t， 答案： (t 为参数) y＝－4＋1t 2
x＝1＋3t， 5．已知直线 l1： (t 为参数)与直线 l2：2x y＝2－4t
－4y＝5 相交于点 B，且点 A(1，2)，则|AB|＝________． x＝1＋3t， 解析：将 代入 2x－4y＝5， y＝2－4t，
x＝t－1， 的参数方程是 (t y＝2t－1
为参
t x＝－1＋2， (2)直线的参数方程为 (t 为参数)， M0 ( － y＝2＋ 3t 2 1，2)和 M(x，y)是该直线上的定点和动点，则|t|的几何意 → 义是M 0M.( )
x＝－2＋tcos 60°， (3)直线 (t 为参数)的倾斜角 α 等 y＝3＋tsin 60°
(4)把参数方程消参后即得，故正确． 答案：(1)√ (2)× (3) √ (4)√
2．直线 y＝2x＋1 的参数方程是(
2 x ＝ t A. 2 y ＝ 2 t ＋1
)
x＝2t－1 B. y＝4t＋1 x＝in θ D. y＝2sin θ
x＝t－1 C. y＝2t－1
答案：B
5 4．设直线 l 过点 A(2，－4)，倾斜角为 π，则直线 l 6 的参数方程是________________． 5 x＝2＋tcos6π， 解析：直线 l 的参数方程为 (t 为参 5 y＝－4＋tsin π 6 3 x＝2－ 2 t， 数)，即 (t 为参数)． y＝－4＋1t 2
高二数学人教A版选修坐标系与参数方程第二讲直线的参数方程课件
探究：直线的参数方程
思考：如何引进一个变量刻画直线上动点的变化？
已知过点M0 ( x0 , y0 )，倾斜角为 的直线l
设直线任一点M (x, y), M 到M 0的距离d M 0M
向量M 0M
https:///presentationEditor/ presentationPlay.html?page=1#posts/5501
椭圆的参数方程及参数的几何意义
x2 y2 a2 b2 1 (a b 0)
x a cos
y
b
sin
y2 a2
x2 b2
1
(a b 0)
x b cos
y
a
sin
的几何意义是点M 所对应的的圆 的半径OA （或OB ）的旋转角
核心问题
引进恰当的参数，探究直线的参数方程及 参数的几何意义
x
1
3t 2
y
1
1 2
t
C.
x 1
3t
y 1 t
D.
x 1
3t 2
y
1
1 2
t
2. 直线l 的参数方程为 x 3 t, (t 为参数) ,下列说法正确的是（ ） y 1 3t
A. 化为普通方程为 y 1 3 x3
C. 直线的斜率为 3
B. 直线的倾斜角为
6
D. t 的几何意义是直线上任意一点到( 3 ，1 ）的距离
二 解决问题
直线的普通方程
直线的点斜式方程
y y0 k(x x0 ) tan (x x0 )
直线的两点式方程
[0, π ) ( π , π)
22
y y1 y2 y1
x x1 x2 x1
09.03.31高二文科数学《第二讲 参数方程· 一、曲线的参数方程》
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练习.
(1)(x－1)2＋y2＝4上的点可以表示为 ( D ) A.(－1＋cos, sin) B.(1＋sin, cos) C.(－1＋2cos, 2sin) D.(1＋ 2cos, 2sin)
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练习.
x 4 2 cos ( 2) (为参数) y 2 sin
M
r
o
M0
x
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讲授新课
如果在时刻t，点M转过的角度是， 坐标是M(x,y)，那么＝t.设|OM|＝r， 那么由三角函数定义有
cos t x r , sin t y r
M
,
y
即
x r cos t ( t为参数) y r sin t
讲授新课 1. 圆的参数方程概念 圆周运动是生活中常见的.当物体绕 定轴作匀速转动时，物体中各个点都作 匀速圆周运动.那么，怎样刻画运动中点 的位置呢？
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讲授新课 1. 圆的参数方程概念 圆周运动是生活中常见的.当物体绕 定轴作匀速转动时，物体中各个点都作 匀速圆周运动.那么，怎样刻画运动中点 的位置呢？ y
(为参数) y r sin
这也是圆心在原点 O，半径为r的圆的参数 方程.其中参数的几何 意义是OM0绕点O旋转 到OM的位置时， OM0 转过的角度.
y
M
r
o
M0
x
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练习.
(1)(x－1)2＋y2＝4上的点可以表示为 ( A.(－1＋cos, sin) B.(1＋sin, cos) C.(－1＋2cos, 2sin) D.(1＋ 2cos, 2sin) )
高中数学《参数方程-直线的参数方程》课件
-1-
2.1
直线的参数方程
-2-
首 页
课程目标
1.掌握直线参数方程的标准形
式,理解参数 t 的几何意义.
2.能依据直线的几何性质,写出
它的两种形式的参数方程,体会
参数的几何意义.
3.能利用直线的参数方程解决
简单的实际问题.
学习脉络
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
3π
4
3π
= -1 + cos ,
4
3π (t
= 2 + sin
4
解:因为 l 过定点 M,且 l 的倾斜角为 ,
所以它的参数方程是
即
2
t,
2
(t
2
+ t
2
= -1=2
为参数).
为参数).①
把①代入抛物线方程,得 t2+ 2t-2=0.
解得 t1=
- 2+ 10
- 2- 10
,t2=
5
= 1 + t,
=
为参数).
因为 3×5-4×4+1=0,所以点 M 在直线 l 上.
4
5
由 1+ t=5,得 t=5,即点 P 到点 M 的距离为 5.
因为 3×(-2)-4×6+1≠0,所以点 N 不在直线 l 上.
由两点间距离公式得|PN|= (1 + 2)2 + (1-6)2 = 34.
π
6
即 α= 或
5π
3
时,|PA||PB|最小,其最小值为
1
6
2 1+4
6
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( t为参数)
e
M
l
O
M0
x
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例1. 已知直线l：x＋y－1＝0与抛物线
y＝x2交于A，B两点，求线段AB的长
和点M(－1,2)到A，B两点的距离之积.
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探究
直线与曲线y＝f(x)交于M1，M2两点，2的长是多少？
例2. 经过点M(2,1)作直线l，交椭圆
x
2
y
2
1
于A，B两点.如果点M
16
4
恰好为线段AB的中点，求直线l的方
程.
思考
这种解法对一般圆锥曲线适用吗？ 把“中点”改为“三等分点”，直线l 的方程怎样求？
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课后作业
1. 过点P(1, －2)，倾斜角为45 的直线l 与椭圆x2＋2y2 ＝8交于A、B两点，求 |AB|及|PA|· |PB|. 2. 设AB为椭圆 直线的方程.
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o
x
2
y
2
1
的一条弦，
点M(2, －1)为AB的中点，求AB所在
16
9
第二讲 参数方程
三 直线的参数方程(一)
主讲：申东
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讲授新课
经过点M0(x0,y0)，倾斜角为
的直线l的普通方程是 2 y y0 tan ( x x0 )
思考 怎样建立直线l的参数方程呢？
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如图，在直线l上任取一点M (x, y)，则
M 0 M ( x , y ) ( x 0 , y0 ) ( x x 0 , y y 0 )
设 e 是直线l上的单位向量(单位长度 与坐标轴的单位长度相等)，则
e (cos , sin ), ( [0,2 )).
y
e
M
l
O
M0
x
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因为 M 0 M // e ，所以存在实数t R， 使 M 0 M t e ，即
x x0 t cos y y0 t sin ( t为参数)
y
e
M
l
O
M0
x
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思考
设 M 0 M t e ，你能得到直线l 的
x x0 t cos 参数方程 y y0 t sin
中参数 t 的几何意义吗？ y
(2)线段M1M2的中点M对应的参数t的值
是多少？
(3)你还能提出和解决哪些问题？
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课堂小结
经过点M0(x0, y0)，倾斜角为
的直线l的参数方程为
x x0 t cos y y0 t sin ( t为参数)
y
e
M
l
O
M0
x
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( x x0 , y y0 ) t (cos , sin ),
于是 x x0 t cos , y y0 t sin .
即 x x0 t cos , y0 y t sin .
y
e
M
l
O
M0
x
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因此，经过点M0(x0, y0)，倾斜角为 的直线l的参数方程为