人教A版高中数学必修4第三章 三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式习题(3)
高中数学人教版A版必修4《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》优质PPT课件
(3)sin
1π2－
3cos
π 12.
解
方法一
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2sin
π 6sin
1π2－cos
π 6cos
π 12
＝－2cosπ6＋1π2＝－2cos π4＝－ 2.
方法二
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2cos
π 3sin
3.函数f(x)＝sin x－ 3cos x(x∈R)的值域是 [－2,2] .
解析
∵f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－π3.
∴f(x)∈[－2,2].
明目标、知重点
1234
4.已知锐角
α、β
满足
sin
α
＝2
5 5
，cos
β＝
1100，则
α＋β
＝
.
解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100，
1π2－sin
π 3cos
π 12
＝2sin1π2－π3＝－2sin
π4＝－
2.
明目标、知重点
例 2 已知 α∈0，π2，β∈－π2，0，且 cos(α－β)＝35，sin β＝
－102，求 α 的值. 解 ∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴α－β∈(0，π). ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45. ∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知 sin α＝35，cos β＝－153，α 为第二象限角，β
人教A版高中数学必修4第三章 三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式教案(2)
2019-2020年高考数学一轮复习 6.1 两角和、差的正弦、余弦、正切教案 新课标一、知识回顾（一）两角和与差公式()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=± ()βαβαβαsin sin cos cos cos μ=± ()βαβαβαtan tan 1tan tan tan μ±=± （二）倍角公式 ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=注：倍角公式揭示了具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律，可实现函数式的降幂的变化。
注：（1）两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型：求值题，化简题，证明题。
（2）对公式会“正用”，“逆用”，“变形使用”。
（3）掌握“角的演变”规律，如()()()αβαββαβαα-+=-++=,2（4）将公式和其它知识衔接起来使用。
二、例题选讲例1．（1）计算的值；（=）（2）设若则=（ B ）A ．B ．C ．D ．4 例2．已知()(),43tan tan tan tan tan =+⋅--+βααβαβα且求 分析：涉及与及的正切和差与积，通常用正切公式的变形公式。
解：由已知()()βααβαβα+⋅--+tan tan tan tan tan =()()()()43tan tan tan tan tan 1tan tan ==+⋅⋅-+-+ββααβαβαβα 又所以为第三象限角，所以例3．求值：)45tan 1)(44tan 1()2tan 1)(1tan 1(0000++⋅⋅⋅++ 解：由144tan 1tan 44tan 1tan 44tan 1tan 144tan 1tan )441tan(45tan 100000000000=++⇒-+=+==得；21144tan 1tan 44tan 1tan 1)44tan 1)(1tan 1(000000=+=+++=++同理可得；2)43tan 1)(2tan 1(00=++，2)23tan 1)(22tan 1(00=++⋅⋅⋅， 故原式例4．已知),2,4(,41)24sin()24sin(ππααπαπ∈=-⋅+ 1cot tan sin 22--+ααα求的值. 解：法一：直接展开可得；414cos 2141)24sin()24sin(===-⋅+ααπαπ， 又.125),2,4(παππα=∈所以 于是 ααααααααααα2sin 2cos 22cos cos sin cos sin 2cos 1cot tan sin 2222-+-=-+-=--+ .325)3223()65cot 265(cos )2cot 22(cos =---=+-=+-=ππαα 法二：由)24cos()24sin()24sin()24sin(απαπαπαπ+⋅+=-⋅+ ,414cos 21)42sin(21==+=ααπ得 以下同解法一； 例5．设,322sin ,912cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-βαβα的值； 分析：观察已知角和所求角，可作出⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+βαβαβα222，然后利用余弦的倍角公式求解。
高中数学人教A版必修4第三章 三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.1.2余弦定理(共14张PPT)
（2）在∆ABC中，a 3,b 4, c 37 求最大角.
解： 37 4 3,边c最大，则C最大
cosC a2 b2 c2 32 42 ( 37 )2 1
2ab
2 3 4
2
00 C 1800 ,则最大角C 1200.
[例题剖析]
3.向量的加、减法运算
4.向量的数量积：a
b
a
b
cos
[新课导入]
问题：6月16日，小股印军非法进入我西藏洞朗地区.8 月15日个别印军在我军北偏东 30、300米的地方向我 军挑衅投掷石块，我军随即向正西方向撤离300米（如 图），求撤离后敌军与我军间的距离.
思考：（1）请问你能用正弦定理来解决这个问题吗？
[课堂检测]
1、在△ABC中，a 2, c 2 3,C ,则b __4___ .
3
2、在△ABC中，a 7,b 4
3,c
13, 则最小角为(
6 ).
3、在△ABC中，a2 c2 b2 ab,则角C的大小为多少( A ).
A.600 B.450 或1350 C.1200 D.300
解三角 形类型：
已知三 边求三 角.
a2 c2 b2 cos B
以
2ac A
cos A b2 c2 a2
2bc cos C a2 b2 c2
2ab
为 例
b2 c2 a2 A为直角 b2 c2 a2 A为锐角 b2 c2 a2 A为钝角
第一章 解三角形
1.1.2余弦定理（第1课时）
[学习目标 ]
人教A版数学必修四：第三章 三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
提示:
sincos() 2
sin()cos 2()
2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角
和与差的正弦公式？
提示:
sin(
)
cos
2
cos
(
2
)
cos( ) cos sin( ) sin
2
2
sin cos cos sin .
两角和的正弦公式
s in ( ) s in c o s c o s s in
简记：S( )
公式的结构特征:
左边是复角 的正弦,右边是单角， 的
正、余弦积与余、正弦积的和.
3.由和角正弦公式，你能得到差角的正弦公式吗？
提示: （ ）
sin() sin[()] sincos()cossin() sincoscossin.
两角差的正弦公式
s i n ( ) s i n c o s c o s s i n
【方法规律】 公式 T(α＋β)，T(α－β)是变形较多的两个公式，公式
中有 tan α·tan β，tan α＋tan β(或 tan α－tan β)， tan(α＋β)(或 tan(α－β))．三者知二可表示或求出第 三个．
【互动探究】
求值： sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；
【解析】原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)· cos(90°－16°) ＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16° ＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝12.
1.(2015·四川高考)下列函数中,最小正周期为π且图象关
于原点对称的函数是 ( A )
3.1.2 两角和与差的正弦、 余弦、正切公式（一）
高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式2课后习题新人教A版必修4(202
2018-2019学年高中数学第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式2课后习题新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式2课后习题新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3。
1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式课后篇巩固探究A组基础巩固1。
若sin=cos，则tan α=（）A。
-1 B.0 C。
D。
1解析由已知得cos α—sin α=cos α—sin α,因此sin α=cos α，于是tan α=—1.答案A2.已知a=（2sin 35°,2cos 35°),b=（cos 5°，-sin 5°），则a·b=（)A。
B.1 C.2 D。
2sin 40°解析a·b=2sin 35°cos 5°—2cos 35°sin 5°=2sin(35°-5°）=2sin 30°=1。
答案B3。
若tan（α+β)=,tan(α—β）=,则tan 2α=（)A.B。
C.D。
解析tan 2α=tan ［(α+β)+(α—β）］=.答案D4。
sin(θ+75°)+cos（θ+45°)—cos(θ+15°)的值等于(）A.±1 B。
人教新课标A版 必修4 第三章 三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、正切公式
§3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一.复习：()C αβ-：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+()C αβ+：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-二．新课 ()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．和角的正弦公式()S αβ+：sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦ 差角的正弦公式()S αβ-：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-和角的正切公式()T αβ+：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-． 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+差角的正切公式()T αβ-：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ-≠+≠+≠+∈． 例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===， 3sin 35tan 4cos 45ααα-===- ， 于是有43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=⨯--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （两结果一样，我们能否用几种方法证明？）3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭ 三．应用1．注意公式的逆用及变形应用例2．求值：⑴sin 72sin 48cos 252sin 42+；⑵cos 20cos70sin 20sin 70-； ⑶1tan151tan15+-． 分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.解：⑴()1sin 72cos 42cos72sin 42sin 7242sin 302-=-==； ⑵()cos 20cos70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==；⑶()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 6031tan151tan 45tan15++==+==--． （4）原式=)60cos 60sin 10cos 10sin (40sin 00000- =000060cos 10cos 50sin 40sin -⋅=160cos 10cos 280sin 000-=⋅- ()T αβ+，()T αβ-变形公式：()tan tan tan (1tan tan )αβαβαβ±=±例3．⑴ 已知tan α+tan β=3(1-tan αtan β)，求)tan(βα+。
人教A版高中数学必修4第三章 三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式导学案(4)
3. 1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教材分析本节的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，为了引起学生学习本章的兴趣，理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲。
二、教学目标⒈掌握两角和与差公式的推导过程；⒉培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力； ⒊发展学生的正、逆向思维能力，构建良好的思维品质。
三、教学重点难点重点：两角和与差公式的应用和旋转变换公式；难点：两角和与差公式变aSina ＋bCosa 为一个角的三角函数的形式。
四、学情分析 五、教学方法1．温故、推新，循序渐进，以学生为主体逐步掌握本节知识要点 2．学案导学：见后面的学案。
3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备 多媒体课件七、课时安排：1课时 八、教学过程（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？ 提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦ 让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-． 通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-．注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+ 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈．（二）例题讲解例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===，3sin 35tan 4cos 45ααα-===- ，于是有43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos cos sin sin 44455πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两结果一样，我们能否用第一章知识证明？3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、sin 72cos 42cos72sin 42-oooo；（2）、cos 20cos70sin 20sin 70-oooo；（3）、1tan151tan15+-oo． 解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.（1）、()1sin 72cos 42cos72sin 42sin 7242sin 302-=-==ooooo oo； （2）、()cos 20cos70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==o o o o o o o ；（3）、()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 601tan151tan 45tan15++==+==--o o oo o o o o o．例3x x解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？)()1cos sin 30cos cos30sin 3022x x x x x x x ⎫-=-=-=-⎪⎪⎭o o o思考：=余弦分别等于12和2的.（三）反思总结，当堂检测。
人教版高中数学必修4第三章三角恒等变换-《3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式》教案(1)
两角和与差的正弦、余弦、正切公式考纲要求：① 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．② 能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．③ 能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．知识梳理)_____(__________)cos()_____(__________)cos(.1φαβαβαβα+-=+=-C C ，)_____(__________)sin()_____(__________)sin(.φαβαβαβα+-=+=-S S ，)_____(__________)tan()_____(__________)tan(.φαβαβαβα+-=+=-T T ，前面4个公式对任意的αβ都成立，而后面的两个公式成立的条件是,,2,Z k k ∈+≠ππβα且满足）（βαππβα+∈+≠+T Z k k ,,2，满足）（βαππβα-∈+≠-T Z k k ,,2否则不成立,当βαtan tan 、)tan(βα±的值不存在时，不能用)(βα±T 处理有关的问题应改用诱导公式或其它方法来解决。
2.要辩证的看待和角与差角，根据需要，可以进行适当的变换：)()(2,)(βαβααββαα-++=-+=)()(2αββαα--+=等等3.在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等如)(βα±T 可变形为：1)tan(tan tan )tan(tan tan 1tan tan ),tan tan 1)(tan(tan tan ---=++-=±=±βαβαβαβαβαβαβαβα 4.222222sin ,cos ,)(sin(cos sin b a b ba ab a x b a x b x a y +=+=++=+=θθθ为常数）其中典型例题：题型一、求值问题 例1.设12cos(),sin(),,0292322βαππαβαπβ-=--=<<<<且， 求cos()2αβ+的值。
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3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1．若sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于( )
A ．1
B ．－1
C ．0
D ．±1
解析：由于sin (α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝0，所以sin α＝0. 所以α＝k π，k ∈Z .
当k 为偶数时，sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝sin 2β－sin 2β＝0， 当k 为奇数时，sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝－sin 2β＋sin 2β＝0. 综上可知，sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝0. 答案：C
2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形
解析：2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin (A －B )＝0. 又A 、B 是△ABC 的内角，∴A －B ＝0，即A ＝B .故选C. 答案：C
3．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x ，y 的大小关系是( ) A ．x ≤y B ．x <y C ．x ≥y
D ．x >y
解析：∵π>A ＋B >π
2，∴cos(A ＋B )<0.
即cos A cos B －sin A sin B <0，亦即y －x <0， ∴x >y .
答案：D
4．若α为锐角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos α的值等于( ) A.26－1
6 B.－26－1
6 C.
26＋1
6
D.
－26－1
6
解析：∵α为锐角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝223.
∴cos α＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6
＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6
＝
223×32－13×12＝26－16
. 答案：A
5．化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3
＋α
的结果是______．
解析：原式＝12cos α＋32sin α＋12cos α－3
2 sin α＝cos α.
答案：cos α
6．设角θ的终边经过点(3，－4)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值为______．
解析：由三角函数定义可知， sin θ＝
－432
＋－
2
＝－4
5， cos θ＝
332＋－
2
＝35
， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22(cos θ－sin θ)＝22×75＝7210. 答案：72
10
7．已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，求tan α
tan β的值．
解：∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝2
3
，
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝1
5，
∴sin αcos β＝1330，cos αsin β＝7
30.
∴
tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝13
7
. 8．已知α，β都为锐角，sin α＝17，cos(α＋β)＝5314，求sin β与cos β的值．
解：由于α，β都为锐角，sin α＝1
7，
cos(α＋β)＝5314，则cos α＝1－sin 2
α
＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫172＝
437，
sin(α＋β)＝1－cos 2
α＋β
＝
1－⎝
⎛⎭⎪⎫53142＝1114
. sin β＝sin(α＋β－α)＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝1114×437－5314×17＝39398
. 故sin β＝39398，利用同角关系式，得cos β＝7198
.
9．函数f (x )＝cos x (1＋3tan x )的最小正周期为( ) A ．2π B ．π C.3
2
π D.12
π 解析：f (x )＝cos x ⎝
⎛⎭
⎪⎫
1＋3
sin x cos x ＝cos x ·cos x ＋3sin x
cos x
＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x cos π3＋sin x sin π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3， ∴T ＝2π. 答案：A
10．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝453，则sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝________.
解析：cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α ＝cos αcos π6＋sin αsin π
6＋sin α
＝4
5
3， 即32cos α＋32sin α＝4
5
3， 从而12cos α＋32sin α＝45，
即sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫π6＋α＝45
，
所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6
＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. 答案：－4
5
11．若sin α＝
55，sin β＝1010
，且α、β为锐角，求α＋β的值． 解：∵α、β均为锐角， ∴cos α＝1－sin 2
α＝255，
cos β＝1－sin 2
β＝
310
10
. ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝
255×31010－55×1010＝2
2
. 又∵α、β为锐角， ∴0<α＋β<π. ∴α＋β＝π4
.
12．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝25
5.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，且sin β＝－5
13
，求sin α的值．
解：(1)∵a ＝(cos a ，sin α)，b ＝(cos β，sin β)， ∴a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)． 又∵|a －b |＝25
5，
∴
α－cos β
2
＋α－sin β
2
＝255
，
即2－2cos(α－β)＝45，cos(α－β)＝3
5.
(2)∵0＜α＜π2，－π
2＜β＜0，∴0＜α－β＜π.
又∵cos(α－β)＝35，sin β＝－5
13，
∴sin(α－β)＝45，cos β＝12
13
.
∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)·cos β＋cos(α－β)·sin β＝45×
12
13＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝3365
.
1．运用两角和与差的三角函数公式关键在于构造角的和差．在构造过程中，要尽量使其中的角为特殊角或已知角，这样才能尽可能地利用已知条件进行化简或求值．
2．灵活运用公式的关键在于观察分析待化简、要求值的三角函数式的结构特征，联想具有类似特征的相关公式．然后经过适当变形、拼凑，再正用或逆用公式解题．。