静电场习题课

1 k 2 E = ∫ dE = ∫ kx′dx′ = b 02 ε0 4ε0
x
（3）
E = 0 ， 2x2 b2 = 0 ， x = ( 2 / 2)b
n
方法II： 方法 ：高斯定理 （1）
n
E
S S O x′ dx′ b
E S xn
P
1
x
i
Φ = ∫ E dS = ES + ES = 2 ES = S
E′
x
i
dq = ρdV =
1 2 kSx E′S + ES = 2ε0 k 2 k 2 k E′ = x b = (2x2 b2 ) 2ε0 4ε0 4ε0
∑q ε 1 ，∑q = dq = kx′Sdx′ = kSx2 kx′Sdx′ ∫ ∫ 2
0 内
x
i 内
1
0
例：电荷体密度按 ρ = ρ0 cos x 分布于空间之中 求：电场的分布 解：cos(x) = cos x 电荷分布关于 YOZ 平面对称 电场分布关于 YOZ 平面对称
R 1
σ
R2
例：求轴线上 解：
U
dS = 2πrdr dq = σdS = σ 2πrdr
dU =
=
σ
R
dr
r
O
1 4πε0
dq
x P
x
1 4πε0
σ 2πrdr
R
x2 + r 2
σ = 2ε0 x2 + r 2
σ 2ε0
rdr x2 + r 2
rdr x2 + r 2
U = ∫ dU = ∫ 0
R2
ρ ρ 2 2 r′dr′ = (R2 r ) U2 = ∫ dU2 = ∫r 2ε0 ε0 2R3 ρ 2 (3R2 r2 1 ) = U =U1 +U2 6ε0 r
R2
例：侧面均匀带电 证明：O 的电势与高度无关
O
dx 证： dS = 2 r π cosθ dx dq = σdS = σ 2πr cosθ
Φ = ∫ E dS = E2πrl = S
1
ε0
∑q
内
R
i
∑
r
′ dr′ l0 r
∑
（2） r < R ， U =
∫
l0
P
E dl =
∫
l0
P
Ecosθdl
= =
∫
∫
R
P
R
Ecosθdl +
A 2 r dr + 3ε0
∫
∫
l0
R
l0
Ecosθdl
AR3 1 dr 3ε0 r
r
R
AR3 l0 A 3 3 ln (R r ) + = 3ε0 R 9ε0
σ σ 2 2 R x +r = ( x2 + R2 x ) = 0 2ε0 2ε0
例：无限大带电平板， ρ = kx ， 0 ≤ x ≤ b 无限大带电平板， ：（1 求：（1）板外的电场 （2）板内的电场 （3） E = 0 的位置 方法I： 解：方法 ： 1 σ dE = kx′dx′ （1） dE =
dq
2
R2
例：均匀带电球壳 求：壳中半径 r 处的电势 解： U =U1 +U2 q1 1 4 U1 = = ρ π (r3 R13 ) 4πε0r 4πε0r 3
ρ
O
R 1
r′ rP
dr′
3 ρ 2 R1 = (r ) 3ε0 r 2 dq = ρdV = ρ4πr′2dr′ dV = 4πr′ dr′ ， ρ ρ4πr′2dr′ dq dU2 = = r′dr′ = 4πε0r′ 4πε0r′ ε0
例：无限长带电圆柱体 （ R、ρ = Ar， A 为常数 ） ：（1 求：（1）电场 处为电势零点， （2）取圆柱外到轴线 l0 处为电势零点，求电势 ：（1 解：（1） r < R
dq dV = 2πr′dr′l ， = ρdV = Ar′2πr′dr′l l r 2 2 qi = dq = 2πAlr′ dr′ = πAlr3 ∫ ∫0 3 内 A 2 2 3 πAlr ，E = r E2πrl = 3ε0 3ε0 1 qi r > R ， Φ = ∫ E dS = E2 rl = π S ε0 内 R qi = dq = 2πAlr′2dr′ = 2πAlR3 ∑ ∫ ∫0 内 3 AR3 1 2 πAlR3 ， E2πrl = E = 3ε r 3ε0 0
YOZ
O
x
Φ = ∫ E dS = ES + ES S
n
E
n
YOZ
n
O x′dx′ S x
ε0 内 ， dV = Sdx′ dq = ρdV = ρ0 cos x′Sdx′
i
= 2 ES =
1
∑q
x
E
xS
E
x
∑q = ∫ dq = ∫x ρ0 cos x′Sdx′ =
i
2ρ0Ssin x 内 ρ0 1 2ρ0Ssin x ， E = sin x 2 ES = ε0 ε0 E > 0 ，沿 x轴正向 ， E < 0 ，沿 x 轴负向
R1
Q=
Q 1 1 =∫ dr = ( ) 2 R1 4 πε0r 4πε0 R R2 1 4πε0R R2V 1
R2
Q
R2 R 1
E=
Q 4πε0r2
R R2V 1 = 1 2 R2 R r 1
静电场习题课
例：均匀带电球壳 求：腔内电势 解：方法I： 方法I 方法II： 方法II
U = ∫ E dl
P
∞
ρ
2
dV = 4πr dr
2
O R 1
r
P
dr
dq = ρdV = ρ4πr dr
ρ4πr dr ρ dU = = rdr = 4πε0r 4πε0r ε0 R2 ρ ρ 2 2 rdr = (R2 R ) U = ∫ dU = ∫R 1 1 ε 2ε0 0
r > R ， U = ∫P E dl =
l0
∫
l0
P
Ecosθdl
=
∫
l0
r
AR3 1 AR3 l0 dr = ln 3ε0 r 3ε0 r
求：两球壳之间的电场 解：设内球壳带电 Q
E=
Q 4πε0r
R2 R1
2
，
R < 1
R2
r < R2
R 1
O
R2
V = ∫ E dl = ∫ E cosθ dl
dV = Sdx′ ， dq = ρdV =
b
kx′Sdx′
ε0
∑q
内
1 2 ∑qi = ∫ dq = ∫0 kx′Sdx′ = 2 kSb 内 k 2 1 2 2 ES = kSb ， E = b 2ε0 4ε0
(2)
n
E S S n n O x′ dx′ P x b
Φ = ∫ E dS = E′S + ES = S
S =1
2ε0 2ε0 σ = ρ 1 dx′ = kx′dx′
b
O
x′dx′ b PdE x
x
1 （2） dE = kx′dx′ 2ε0 x 1 b 1 x E=∫ kx′dx′ ∫ kx′dx′ O x′ dx′ x 2 0 2 Pb ε0 ε0 k k 2 k 2 2 (2x2 b2 ) = x (b x ) = 4ε0 4ε0 4ε0
dU = 1 4πε0 dq x +r
2 2
xr σ
θ
dx
h R
x2 + r2
=
σ U = ∫ dU = ∫ tgθdx 0 2 ε0 σ tgθ h = σR = 2ε0 σ 2ε0 UO = (R2 R ) 1 2ε0
h
4πε0
1 σ 2πrdx / cosθ
σ x tgθdx = 2ε0 O