27.1.3 圆周角2017年秋九年级数学下册同步作业课件 华师大版
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2017春华师大九年级下27.圆周角课件
3、 如图，在直径为AB的半圆 中，O为圆心，C、D为半圆上 的两点，∠COD=500，则 ∠CAD=___2_5__º___
做做看，收获知多少？
一、判断
1、顶点在圆上的角叫圆周角。 ×
2、圆周角的度数等于所对弧的度数的一半。 √
二、计算
1、半径为R的圆中，有一弦分圆 周成1：4两部分，则弦所对的圆 周角的度数是 36º或14。4°
① 角的顶点在圆上.
A
.
O
B
C
② 角的两边都与圆相交.
练习：
1 、判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理
由。
不
不
是
是
是
图３
图１
图２
不
不
是
是
图４
图５
2、指出图中的圆周角。
∠ACO ∠ACB ∠ BCO ∠OAB ∠BAC ∠OAC ∠ABO ∠CBO ∠ABC
O
A
C
B
思考：
• 问题：画一个圆，以A、C为弧的端点 能画多少个圆周角？它们有什么关系？
5、如图，在⊙O中，B⌒C=2D⌒E， ∠ BOC=84°，求 ∠A的度数。
解:连接CD ∵∠BOC=84º∴∠BAD= ∠BOC=42º ∵B⌒C=2D⌒E∴D⌒E为42º的弧 ∴∠DCE=42º× =21º ∴∠A=∠BDC-∠DCE=42º-21º=21º
拓展 化心动为行动
• 1.如图,在⊙O中,∠BAD =50°,求∠C的大小.
证明：∠ACB= ∠AOB
∠BAC= ∠BOC
∠AOB=2∠BOC
O
∠ACB=2∠BAC A
C
规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问B题,
27.1.3 圆周角 课件华东师大版数学九年级下册
（4）
探究 2 ：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°
线段AB是⊙O的直径 ，点C是⊙O 上的任意一点（除点A、B外），那么，
∠ACB 就是直径AB所对的圆周角.想 A
想看，∠ACB会是怎样的角？
C？
O
B
我们可以看到，OA = OB = OC ， 所以△AOC、△BOC 都是等腰三角形， 因而 ∠OAC = ∠OCA , ∠OBC = ∠OCB
观察∠ACB、 ∠ADB、 ∠AEB，这样的角有什么特点？
讨论：点C，D，E在什么位置？
D A
∠ACB、 ∠ADB、 ∠AEB的顶点 C O
都在圆上，并且两边都与圆相交，这样
的角叫做圆周角.
B E
找一找下面哪些是圆周角？
（1）
（2）
（3）
圆周角的顶点在圆上，它的两边与圆相交. 圆周角与其他角的区别
1
2O
2
A
∠2 = 1 ∠BOD ，
BD
2 ∴ ∠ACB = ∠1－∠2= 1 （∠AOD －∠BOD）
2
=
1 2
∠AOB .
由此我们可以得到： 圆周角定理 在同圆或等圆中,同弧或等弧所
对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半； 相等的圆周角所对的弧相等.
探究 4 ：外接圆、内接多边形
由圆周角定理，可以得到以下推论: 推论1：90°的圆周角所对的弦是直径.
12
O
B
A D
（2）
1
2O
A B （3）
共有三种情况：（1）圆心在圆周角的一边上;
（2）圆心在圆周角的内部; （3）圆心在圆周角的外部.
C
C
O
A B
华师大版九年级数学下册课件：27.1.3 圆周角(共18张PPT)
Βιβλιοθήκη 45∠5=∠8
探索3：探究一条弧所对的圆周角 和圆心角之间有什么关系 ？
C
D
O B A
圆周角定理:
同弧 (等弧) 所对的 圆周角相等. 都等于这条弧所对的 圆心角的一半.
相等的圆周角所对的弧也相等。
试一试: 如图，AB是⊙O的直径AB=10cm, 弦AC=6cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D . 求 BC, AD ,BD 的长.
.A
A
.
O
.
.
A O B
.
.
O B C
C
B
C
思考：三个图中的∠BAC的顶点A各在圆的什么位置？ 角的两边和圆是什么关系？
探索1:
你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗?
圆周角定义: 顶点在圆
上,并且两边都和圆有 另有一个交点的角叫圆 周角.
特征：
B
A
O C
.
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交 有2个交点.
一. 复习引入:
1、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
D B C
B O
O A
B' A O' A'
在同圆或等圆中， 如果两个圆心角、 两条弧、 两条弦 中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量都分别相等
2.圆心角的定义? 答:顶点在圆心,两边与圆相交的角叫圆心角
O
.
B
C
二、探索新知：
圆心角顶点发生变化时,我们得到几种情况?
C 6 O P 10 B
A
D
练习： 1.求圆中角X的度数。
35°
O
A
70° x
120°
120°
探索3：探究一条弧所对的圆周角 和圆心角之间有什么关系 ？
C
D
O B A
圆周角定理:
同弧 (等弧) 所对的 圆周角相等. 都等于这条弧所对的 圆心角的一半.
相等的圆周角所对的弧也相等。
试一试: 如图，AB是⊙O的直径AB=10cm, 弦AC=6cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D . 求 BC, AD ,BD 的长.
.A
A
.
O
.
.
A O B
.
.
O B C
C
B
C
思考：三个图中的∠BAC的顶点A各在圆的什么位置？ 角的两边和圆是什么关系？
探索1:
你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗?
圆周角定义: 顶点在圆
上,并且两边都和圆有 另有一个交点的角叫圆 周角.
特征：
B
A
O C
.
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交 有2个交点.
一. 复习引入:
1、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
D B C
B O
O A
B' A O' A'
在同圆或等圆中， 如果两个圆心角、 两条弧、 两条弦 中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量都分别相等
2.圆心角的定义? 答:顶点在圆心,两边与圆相交的角叫圆心角
O
.
B
C
二、探索新知：
圆心角顶点发生变化时,我们得到几种情况?
C 6 O P 10 B
A
D
练习： 1.求圆中角X的度数。
35°
O
A
70° x
120°
120°
27.圆周角课件华东师大版九年级下册
C
∴∠AOB =∠AOD-∠BOD=2(∠ACD-∠BCD)=2∠ACB.
CB
D
O
同弧所对的圆心角的度数=2×圆周角的度数，不受检测
课堂总结
归纳总结
圆周角定理: 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧
所对的圆心角的一半.相等的圆周角所对的弧相等.
O
B
推论1：90°的圆周角所对的弦是直径.
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
问题2：如果在☉O内任意画一个多边形，多边形的各个顶点在圆周上，
这个圆和这个多边形有什么关系呢？ 如果一个圆经过一个多边形的各个顶点， 这个圆就叫做这个多边形的外接圆；
A
B
C O
这个多边形就叫做这个圆的内接多边形；
E
D
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
问题3：如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的
外接圆. 四边形的四个角有什么关系呢？你能证明吗？
猜想：∠A+∠C=180º，∠B+∠D=180º. 如图所示，分别连接OB、OD.
A
B
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角
∴，∠A＋∠C＝180°，
课堂总结
探究二：圆周角定理的推论
问题1：圆周角和直径的关系：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于
90°.如果把条件和结论反过来，还能成立吗？即圆周角是 90º（直角）
所对的弦是直径吗？ C
∵一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，
∴90°圆周角∠ACB所对的圆心角∠AOB＝180°， A
∴A,O,B三点在同一直线上，故弦AB为圆的直径.
∴∠AOB =∠AOD-∠BOD=2(∠ACD-∠BCD)=2∠ACB.
CB
D
O
同弧所对的圆心角的度数=2×圆周角的度数，不受检测
课堂总结
归纳总结
圆周角定理: 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧
所对的圆心角的一半.相等的圆周角所对的弧相等.
O
B
推论1：90°的圆周角所对的弦是直径.
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
问题2：如果在☉O内任意画一个多边形，多边形的各个顶点在圆周上，
这个圆和这个多边形有什么关系呢？ 如果一个圆经过一个多边形的各个顶点， 这个圆就叫做这个多边形的外接圆；
A
B
C O
这个多边形就叫做这个圆的内接多边形；
E
D
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
问题3：如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的
外接圆. 四边形的四个角有什么关系呢？你能证明吗？
猜想：∠A+∠C=180º，∠B+∠D=180º. 如图所示，分别连接OB、OD.
A
B
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角
∴，∠A＋∠C＝180°，
课堂总结
探究二：圆周角定理的推论
问题1：圆周角和直径的关系：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于
90°.如果把条件和结论反过来，还能成立吗？即圆周角是 90º（直角）
所对的弦是直径吗？ C
∵一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，
∴90°圆周角∠ACB所对的圆心角∠AOB＝180°， A
∴A,O,B三点在同一直线上，故弦AB为圆的直径.
数学下册第27章圆27.1圆的认识27.1.3圆周角第1课时圆周角定理作业课件(新版)华东师大版
A．44° B．45° C．54° D．67°
7．(2022·山西)如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B＝20°，则 ∠CAD的度数是( C )
A．60° B．65° C．70° D．75°
8．(黑龙江中考)如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC的长为5 cm，点D在圆上且 ∠ADC＝30°，则⊙O的半径为__5__cm.
点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则tan ∠ADC＝__2__．
Hale Waihona Puke 12．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为 AB 上一点，∠BOC＝50°，AD∥OC，AD 交⊙O 于点 D，连结 AC，CD，那么∠ACD＝_4_0_°_．
13．(临沂中考)如图，已知在⊙O 中， AB ＝ BC ＝ CD ，OC 与 AD 相交于点 E. 求证：(1)AD∥BC； (2)四边形 BCDE 为菱形．
10．(眉山中考)如图，在以 AB 为直径的⊙O 中，点 C 为圆上的一点， BC ＝ 3 AC ，弦 CD⊥AB 于点 E，弦 AF 交 CE 于点 H，交 BC 于点 G.若点 H 是 AG 的中点，则∠CBF 的度数为( C ) A．18° B．21° C．22.5° D．30°
11．(本溪中考)如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格 3
解：(1)连结 BD 交 CE 于点 F，∵ AB ＝ CD ，∴∠ADB＝ ∠CBD，∴AD∥BC (2)连结 CD，∵AD∥BC，∴∠EDF＝ ∠CBF，∵ BC ＝ CD ，∴BC＝CD，∴BF＝DF，又∠DFE ＝∠BFC，∴△DEF≌△BCF(ASA)，∴DE＝BC，∴四边形 BCDE 是平行四边形，又 BC＝CD，∴四边形 BCDE 是菱形
14．(2022·武汉)如图，以 AB 为直径的⊙O 经过△ABC 的顶点 C，AE，BE 分 别平分∠BAC 和∠ABC，AE 的延长线交⊙O 于点 D，连结 BD.
7．(2022·山西)如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B＝20°，则 ∠CAD的度数是( C )
A．60° B．65° C．70° D．75°
8．(黑龙江中考)如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC的长为5 cm，点D在圆上且 ∠ADC＝30°，则⊙O的半径为__5__cm.
点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则tan ∠ADC＝__2__．
Hale Waihona Puke 12．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为 AB 上一点，∠BOC＝50°，AD∥OC，AD 交⊙O 于点 D，连结 AC，CD，那么∠ACD＝_4_0_°_．
13．(临沂中考)如图，已知在⊙O 中， AB ＝ BC ＝ CD ，OC 与 AD 相交于点 E. 求证：(1)AD∥BC； (2)四边形 BCDE 为菱形．
10．(眉山中考)如图，在以 AB 为直径的⊙O 中，点 C 为圆上的一点， BC ＝ 3 AC ，弦 CD⊥AB 于点 E，弦 AF 交 CE 于点 H，交 BC 于点 G.若点 H 是 AG 的中点，则∠CBF 的度数为( C ) A．18° B．21° C．22.5° D．30°
11．(本溪中考)如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格 3
解：(1)连结 BD 交 CE 于点 F，∵ AB ＝ CD ，∴∠ADB＝ ∠CBD，∴AD∥BC (2)连结 CD，∵AD∥BC，∴∠EDF＝ ∠CBF，∵ BC ＝ CD ，∴BC＝CD，∴BF＝DF，又∠DFE ＝∠BFC，∴△DEF≌△BCF(ASA)，∴DE＝BC，∴四边形 BCDE 是平行四边形，又 BC＝CD，∴四边形 BCDE 是菱形
14．(2022·武汉)如图，以 AB 为直径的⊙O 经过△ABC 的顶点 C，AE，BE 分 别平分∠BAC 和∠ABC，AE 的延长线交⊙O 于点 D，连结 BD.
九年级数学下册27.1.3圆周角课件2(新版)华东师大版
例3、试分别求出图中∠x的大小。
四、练习
小结
圆心角
圆周角定理及推论
圆周角
一、认识圆周角
• 圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角 叫做圆周角。
判定下列角是否是圆周角，为什么？
圆外角
圆周角
圆内角
圆心角
二、学习圆周角定理般弧所对的圆周角，又有什么规律呢？
小组探索
我们可以发现，圆周角的度数没有变化， 并且圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心 角度数的一半。
（3）圆心在∠ACB外部时也一样。
圆周角定理及推论
• 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对 的圆周角相等，都等于 该弧所对的圆心角的一半； 相等的圆周角所对的弧相等。 推论1、90°的圆周角所对的弦是直径。
推论2、圆的内接四边形对角互补。
三、学习例题
• 例2、如图，AB是⊙O的直径，∠A＝80°， 求∠ABC的大小。