江西省南康中学2019_2020学年高二数学上学期第一次月考试题理
江西省赣州市南康中学2019-2020学年高二上学期期中数学试卷1 (有解析)
江西省赣州市南康中学2019-2020学年高二上学期期中数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.某中学共有1400名学生，其中高二年级有540人，用分层抽样的方法抽取样本容量为70的样本，则高二年级抽取的人数为()A. 18B. 21C. 26D. 272.为营造“平安春运，快乐新年”氛围，某重要路段限速70km/ℎ，现通过该路段的n辆汽车的车速进行检测，统计并绘成频率分布直方图(如下图)，若速度在60km/ℎ∼70km/ℎ之间的车辆为150辆，则这n辆汽车中车速高．于．限速的汽车有多少辆．()A. 190B. 160C. 500D. 403.已知数据x1,x2,…,x10的均值为2，那么数据2x1+3,2x2+3,⋯,2x10+3的均值为()A. 2B. 5C. 7D. 44.根据如表数据，得到的回归方程为ŷ=b̂x+9，则b̂=()x45678y54321B. 1C. 0D. −15.若点P(−π6,2)是函数f(x)=sin(ωx+φ)+m(ω>0,|φ|<π2)的图象的一个对称中心，且点P到该图象的对称轴的距离的最小值为π2，则()A. f(x)的最小正周期是πB. f(x)的值域为[0,4]C. f(x)的初相φ=π3D. f(x)在[4π3,2π]上单调递增6.已知直线ax+y−2+a=0在两坐标轴上的截距相等，则实数a=()A. 1B. −1C. −2或1D. 2或17.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A. 若α⊥β，m⊥α，则m//βB. 若m//α，n⊂α，则m//nC. 若α∩β=m，n//α，n//β，则m//nD. 若α⊥β，且α∩β=m，点A∈α，直线AB⊥m，则AB⊥β8.在空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA，且AC=BD，E、F分别是AB、CD的中点，则异面直线AC与EF所成角为()A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘9.如图，在三棱锥B−ACD中，∠ABC=∠ABD=∠DBC=π3，AB=3，BC=BD=2，则三棱锥B−ACD的外接球的表面积为()A. 19π2B. 19π C. 76√5π D. √7π10.如图，在四面体ABCD中，AC⊥DB，AC=2，DB=3，平面EFGH平行棱AC、BD，记四边形EFGH的面积为y，设BEAB=x，则下列说法正确的是()A. 函数y=f(x)的值域为(0,1]B. y=f(x)满足f(x)=f(2−x)C. y=f(x)的最大值为2D. y=f(x)在(0,12)上单调递增11.两圆x2+y2+2ax+a2−4=0和x2+y2−4by−1+4b2=0恰有三条公切线，若a∈R,b∈R，且ab≠0，则1a2+1b2的最小值为()A. 19B. 49C. 1D. 312.如图，边长为2的正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为P，则四面体P−AEF的高为()A. 13B. 23C. 34 D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 一组数据1，3，x 的方差为23，则x =________．14. 直线x −y −1=0与圆x 2+y 2=5交于A ，B 两点，则|AB|=______． 15. 一个四面体的棱长都为1，四个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为______ ．16. 如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，已知AB =AA 1=3，点P 在棱CC 1上，则三棱锥P −ABA 1的体积为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 设向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2)，向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ //OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．18. .已知函数f(x)=2cos 2x +√3sin2x ，x ∈R ．(1)求f(x)的最大值及相应的x 的取值集合． (2)求f(x)的单调递增区间．19. 某水果种植户对某种水果进行网上销售，为了合理定价，现将该水果按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x(元) 7 8 9 11 12 13 销量y(kg)120118112110108104(1)已知销量与单价之间存在线性相关关系求y 关于x 的线性回归方程；(2)若在表格中的6种单价中任选3种单价作进一步分析，求销量恰在区间[110,118]内的单价种数ξ的分布列和期望．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2，a ̂=y −−b ̂x −．20. 对一批电子元件进行寿命追踪调查，从这批产品中抽取N 个产品(其中N ≥200)，得到频率分布直方图如下：(1)求m 的值；(2)从频率分布直方图估算这批电子元件寿命的平均数、中位数的估计分别是多少？ (3)现要从300 400及400 500这两组中按照分层抽样的方法抽取一个样本容量为36的样本，则在300 400及400 500这两组分别抽多少件产品．21.如图，四棱锥P−ABCD中，侧面PAD为等边三角形，且平面PAD⊥底面ABCD，AB=BC=1AD=1，∠BAD=∠ABC=90°．2(1)证明：PD⊥AB；(2)取AD中点E，求点E到平面PAC的距离．22.已知圆C的圆心在直线x−2y+4=0上，且与x轴交于两点A(−5,0)，B(1,0)．(1)设圆C与直线x−y+1=0交于E，F两点，求|EF|的值；(2)已知Q(2,1)，点P在圆C上运动，求线段PQ中点M的轨迹方程．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题主要考查了分层抽样，考查学生的计算能力，属于基础题．根据分层抽样即可得高一年级抽取的人数．【解答】解：∵1400名学生抽取样本容量为70的样本，抽样比为701400=120，∴根据分层抽样高一年级抽取的人数为540×120=27，故选D．2.答案：A解析：【分析】本题主要考查的是频率分布直方图及其应用，可由条件先求出n再求解．【解答】解：由频率分布直方图得60km/ℎ∼70km/ℎ之间的频率为1−(0.008+0.024+0.028+0.01)×10=0.3，所以n=1500.3=500，又因为高于限速的汽车的频率为(0.028+0.01)×10=0.38，所以高于限速的汽车有500×0.38=190辆，故选A．3.答案：C解析：【分析】本题主要考查了根据一组数据的平均数计算另一组数据的平均数问题，是基础题．根据数据x1，x2，…，x10的均值为x−，数据ax1+b，ax2+b，…，ax10+b的均值为X−=ax−+b，计算即可．【解答】解：由数据x1，x2，…，x10的均值为x−=2，则数据2x1+3，2x2+3，…，2x10+3的均值为X−=2x−+3=2×2+3=7．故选C．4.答案：D解析：【分析】本题考查直线回归方程，属于基础题．由题意得到样本中心点，代入回归方程可求出b̂．【解答】解：由题意可得：x=1×(4+5+6+7+8)=6，5×(5+4+3+2+1)=3，y=15∴回归直线ŷ=b̂x+9过点(6,3)，∴3=6b̂+9，解得b̂=−1，故选D．5.答案：D解析：【分析】本题主要考查了由函数部分图象的性质求解函数解析式，然后由所求函数的解析式再进行求解函数的周期、函数的值域、函数的初相及函数的单调区间．点P(−π6，2)是函数f(x)=sin(ωx+φ)+m的图象的一个对称中心，根据函数对称性可得，m=2，sin(−π6ω+φ)=0又点P到该图象的对称轴的距离的最小值π2有，T4=π2所以T=2π，ω=1可求f(x)=sin(x+φ)+2，利用排除法找出正确选项即可【解答】解：因为点P(−π6，2)是函数f(x)=sin(ωx+φ)+m(ω>0,|φ|<π2)的图象的一个对称中心，根据函数对称性可得，m=2，sin(−π6ω+φ)=0又点P到该图象的对称轴的距离的最小值π2，T4=π2所以T=2π，ω=1所以f(x)=sin(x+φ)+2，把已知点(−π6，2)代入可得sin(−π6+φ)=0由已知|φ|<π2可得φ=π6所以f(x)=sin(x+π6)+2A.函数的最小正周期为：2π，故错误B.函数的值域为：[1,3]，故错误C.函数的初相为：φ=π6，故错误故选：D．6.答案：D解析：解：−2+a=0，即a=2时，直线ax+y−2+a=0化为2x+y=0，它在两坐标轴上的截距为0，满足题意；−2+a≠0，即a≠2时，直线ax+y−2+a=0化为ax2−a +y2−a=1，它在两坐标轴上的截距为2−aa=2−a，解得a=1；综上所述，实数a=2或a=1．故选：D．根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a的值．本题考查了直线在两坐标轴上的截距应用问题，是基础题．7.答案：C解析：【分析】本题考查平面与平面之间的位置关系，直线与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线与线，线与面，面与面之间的关系的判定方法及性质定理是解答本题的关键，属于中档题．从空间中的线、面间的位置关系及平行垂直的判定定理和性质定理入手，判断四个命题的真假，可以借助于图形，举反例解答．【解答】解：A选项不正确，因为当α⊥β，m⊥α时，还可能有m⊂β；B选项不正确，若m//α，n⊂α，则m//n或异面；C选项正确，因为α∩β=m，n//α，n//β，过直线n的平面α′∩平面α=a，过直线n的平面β′∩平面β=b，如图所示，∵n//α，n//β，∴n//a，n//b，∴a//b，∵b⊂β，a⊄β，∴a//β，又∵α∩β=m，a⊂α，∴a//m，∴n//m；D选项不正确，画图如下：故选C．8.答案：B解析：【分析】本题考查的是异面直线所成的角的求法，是中档题．取BC的中点G，连结EG，FG，则EG//AC，所以EG与EF所成的角就是AC与EF所成的角，再取AC的中点H，从而可以证明AC⊥BD，所以GF⊥EG，所以△EGF是等腰直角三角形，即可得解．【解答】解：如图取BC的中点G，连结EG，FG，则EG//AC，GF//BD，所以EG与EF所成的角∠GEF就是AC与EF所成的角，且EG=12AC，GF=12BD．因为AC=BD，所以，EG=GF．取AC的中点H，边接BH，DH，因为AB=BC，DA=DC，所以，BH⊥AC，DH⊥AC，BH∩DH=H，BH、DH⊂平面BDH，则AC⊥平面BDH，又BD⊂平面BDH，所以，AC⊥BD，所以GF⊥EG，所以△EGF是等腰直角三角形，所以∠EGF=45°，即异面直线AC与EF所成角为45°，故选B．9.答案：A解析：解：∵在三棱锥B−ACD中，∠ABC=∠ABD=∠DBC=π3，AB=3，BC=BD=2，∴取CD的中EE，由题意解得CE=DE=1，EA=√6，EA、EB、EC两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则A(√6,0，0)，B(0,0，√3)，C(0,−1,0)，D(0,1，0)，令三棱锥B−ACD的外接球的球心为O(x,y，z)，由题意OA2=OB2=OC2=OD2=R2，∴(x−√6)2+y2+z2=x2+y2+(z−√3)2=x2+(y+1)2+z2=x2+(y−1)2+z2=R2，解得x=52√6，y=0，z=√33，∴R 2=(2√6−√6)2+02+(√33)2=198，∴三棱锥B −ACD 的外接球的表面积为： S =4πR 2=19π2．故选：A ．取CD 的中眯E ，由题意解得CE =DE =1，EA =√6，EA 、EB 、EC 两两垂直，建立空间直角坐标系，令三棱锥B −ACD 的外接球的球心为O(x,y ，z)，由OA 2=OB 2=OC 2=OD 2=R 2，求出x =2√6y =0，z =√33，由此能求出三棱锥B −ACD 的外接球的表面积．本题考查三棱锥外接球的表面积的求法，考查三棱锥及外接球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．10.答案：D解析： 【分析】本题主要考查空间四边形和函数的综合以及与一元二次函数有关的性质，综合性较强，涉及的知识点较多，属于较难题．根据空间四边形的性质证明四边形EFGH 为矩形，然后根据比例关系求出函数f(x)的表达式，结合一元二次函数的性质进行判断即可． 【解答】解：∵AC//平面EFGH ，BD//平面EFGH ，平面ABC ∩平面EFGH =EF ，平面ACD ∩平面EFGH =HG ， 平面BCD ∩平面EFGH =FG ，平面ABD ∩平面EFGH =HE ， ∴AC//EF ，AC//HG ，BD//EH ，BD//FG ， 则四边形EFGH 为平行四边形， ∵AC ，BD 互相垂直，∴EH ⊥EF ，则四边形EFGH 为矩形， ∵BE AB=x ，在三角形ABD 中∴EH BD=1−x ，即EH =(1−x)BD =3(1−x)， 同理EFAC =BEAB =x ，则EF =x ⋅AC =2x ， 则四边形EFGH 的面积为;y =EH ⋅EF =2x ⋅3(1−x)=6(x −x 2)=−6(x −12)2+32，∵x ∈(0,1)，∴当x =12时，函数取得最大值32，故A ，C 错误．函数的对称轴为x =12，则函数在(0,12)上是单调递增函数，故D 正确． ∵函数的对称轴为x =12，∴函数y =f(x)满足f(x)=f(1−x)，故B 错误． 故选：D ．11.答案：C解析： 【分析】本题考查两圆的位置关系，两圆相外切的性质，圆的标准方程的特征，基本不等式的应用． 由题意可得两圆相外切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，由√a 2+4b 2=3，得到a 2+4b 2 9=1，1a2+1b2=a 2+ 4b 29a 2+a 2+ 4b 29b 2=19 +49+4b 29a2+a 29b2，使用基本不等式求得1a +1b 的最小值． 【解答】解：由题意可得两圆相外切，两圆的标准方程分别为(x +a)2+y 2=4，x 2+(y −2b)2=1， 圆心分别为(−a,0)，(0,2b)，半径分别为2和1，故有√a 2+4b 2=3， ∴a 2+4b 2=9，∴a 2+4b 2 9=1，∴1a 2+1b 2=a 2+ 4b 29a 2+a 2+ 4b 29b2 =19 +49+4b 29a2+a 29b 2≥59+2√481=1，当且仅当4b 29a2=a 29b 2时，等号成立，故选C ．12.答案：B解析： 【分析】本题考查了棱锥的体积计算，棱锥的高的计算，考查空间想象能力，属于中档题． 根据等体积法列方程计算P 到平面AEF 的距离即可．【解答】解：由题意，沿AE ，AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，得到的四面体如图所示：可知PA ，PE ，PF 两两垂直，PE ，PF ⊂平面PEF ，PE ∩PF =P ， ∴PA ⊥平面PEF ，∴V A−PEF =13S △PEF ⋅PA =13×12×1×1×2=13， 设P 到平面AEF 的距离为h ，又S △AEF =22−12×1×2−12×1×2−12×1×1=32， ∴V P−AEF =13×32×ℎ=ℎ2， ∴ℎ2=13， 所以ℎ=23， 故选B ．13.答案：2解析： 【分析】本题考查方差、平均数的计算公式，是基础题.首先表示出这组数据的平均数，再根据方程为23，得关于x 的方程，解方程可得x 的值． 【解答】解：数据1，3，x 的平均数为1+3+x 3=4+x 3，∴方差为13[(1−4+x 3)2+(3−4+x 3)2+(x −4+x 3)2]=23，解得x =2． 故答案为2．14.答案：3√2解析：解：根据题意，圆x 2+y 2=5的圆心为(0,0)，半径r =√5， 圆心到直线x −y −1=0的距离d =√2=√22， 则|AB|=2√r 2−d 2=3√2， 故答案为：3√2．根据题意，求出圆的圆心与半径，分析可得圆心到直线x −y −1=0的距离d =√2=√22，结合直线与圆的位置关系，分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长的计算，属于基础题．15.答案：3π2解析：解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同． ∵正四面体棱长为1，∴正方体的棱长是√22，又∵球的直径是正方体的对角线，设球半径是R ，∴2R =√62∴R =√64，球的表面积为4π(√64)2=3π2．故答案为：3π2．将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的直径关系，求解即可．巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化．若已知正四面体V −ABC 的棱长为a ，求外接球的半径，我们可以构造出一个球的内接正方体，再应用体对角线长等于球的直径可求得．16.答案：9√34解析： 【分析】本题考查几何体的体积的求法，考查空间思维能力，化归与转化思想，是中档题．点P 到平面ABA 1的距离即为△ABC 的高，由此能求出三棱锥P −ABA 1的体积． 【解答】解：∵在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中， AB =AA 1=3，点P 在棱CC 1上，∴点P 到平面ABA 1的距离即为△ABC 的高， 即为ℎ=√32−(32)2=3√32，三棱锥P −ABA 1的体积为： V =13×S △ABA 1×ℎ=13×92×3√32=9√34．故答案为：9√34．17.答案：解：设OC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)，∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴2y −x =0，① 又∵BC⃗⃗⃗⃗⃗ //OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +1,y −2)，∴3(y −2)−(x +1)=0， 即3y −x −7=0，②由①，②解得 x =14，y =7，∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(14,7)， 则OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(11,6)．解析：设OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)，由OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0和BC ⃗⃗⃗⃗⃗ //OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，建立方程组解出x ，y ，再由OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 求得OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标．本题考查两个向量垂直、平行的性质，两个向量坐标形式的运算法则的应用．18.答案：解：(1)∵f(x)=2cos 2x +√3sin2x +1=2sin(2x +π6)+1，当2x +π6=π2+2kπ(k ∈z)，即x =kπ+π6时，f(x)取得最大值3． ∴f(x)的最大值为3，相应的x 的取值集合为{x|x =π6+kπ,k ∈z}．(2)解不等式2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2，(k ∈z)，求得kπ−π3≤x ≤kπ+π6(k ∈Z)， ∴f(x)的递增区间为[kπ−π3,kπ+π6](k ∈Z)．解析：(1)利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的最值，求得f(x)的最大值及相应的x 的取值集合．(2)利用正弦函数的单调性，求得f(x)的单调递增区间．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的最值以及单调性，属于中档题．19.答案：解：(1)x −=16(7+8+9+11+12+13)=10，y −=16(120+118+112+110+108+104)=112．b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2═−7028=−2.5，a ̂=y −−b ̂x −=112−(−2.5)×10=137．∴y 关于x 的线性回归方程为y ̂=−2.5x +137； (2)6种单价中销售量在[110,118]内的单价种数有3种． ∴销量恰在区间[110,118]内的单价种数ξ的取值为0，1，2，3， P(ξ=0)=C 3C 63=120，P(ξ=1)=C 31⋅C 32C 63=920，6P(ξ=3)=C33C63=120．∴ξ的分布列为：期望为E(ξ)=0×120+1×920+2×920+3×120=32．解析：(1)由已知表格中数据求得b̂与â，则线性回归方程可求；(2)求出ξ的所有可能取值为0，1，2，3，求出概率，可得分布列与期望．本题考查线性回归方程的求法，考查离散型随机变量的期望与方差，考查计算能力，是中档题．20.答案：解：(1)由0.001×100+m×100+0.004×100+0.002×100+m×100=1，得m= 0.0015；(2)平均数估计值为x=0.01×150+0.015×250+0.04×350+0.02×450+0.015×550= 36.5，前2组的频率为0.25，前3组的频率为0.65，所以中位数的估计值为300+0.250.004=362.5；(3)300∼400及400∼500这两组的频数之比为0.04×N0.02×N =21，所以在300∼400这一组中抽取36×23=24件，在400∼500这组中抽取36×13=12件.解析：本题考查频率分布直方图、平均数、中位数及分层抽样．(1)根据题意可得0.001×100+m×100+0.004×100+0.002×100+m×100=1，进而即可求得结果；(2)根据频率分布直方图中的数据即可求得结果；(3)根据题意可得300∼400及400∼500这两组的频数之比为0.04×N0.02×N =21，进而即可得到结果．21.答案：证明：(I)∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD =AD ，又∵∠BAD =90°，∴AB ⊥平面PAD ．∵PD ⊂面PAD∴PD ⊥AB ．(II)以AD 的中点E 为原点，EC 为x 轴，ED 为y 轴，EP 为z 轴，建立空间直角标系，E(0,0，0)，P(0,0，√3)，A(0,−1,0)，C(1,0，0)， PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，−√3)，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,−√3)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，−√3)，设平面PAC 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−y −√3z =0n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x −√3z =0，取z =1，得n ⃗ =(√3,−√3,1)，∴点E 到平面PAC 的距离d =|n ⃗⃗ ⋅PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√3√7=√217．解析：(I)取AD 的中点E ，连结PE ，CE ，通过平面PAD ⊥平面ABCD ，推出BA//CE ，CE ⊥PE ，证明BA ⊥PE ，然后证明BA ⊥平面PAD ，由此能证明PD ⊥AB ．(II)以AD 的中点E 为原点，EC 为x 轴，ED 为y 轴，EP 为z 轴，建立空间直角标系，利用向量法能求出点E 到平面PAC 的距离．本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．22.答案：解：(1)由圆C 与x 轴交于A(−5,0)，B(1,0)，可得圆心C 在AB 的中垂线上，即C 在直线x =−2上，与x −2y +4=0联立， 可得C(−2,1)，半径r =√(−2−1)2+(1−0)2=√10， 则圆C 的方程为(x +2)2+(y −1)2=10， 圆心到直线x −y +1=0的距离d =|−2−1+1|√2=√2，则|EF|=2√r 2−d 2=2√10−2=4√2； (2)设M(x,y)，M 为PQ 的中点， 且Q(2,1)，可得P(2x −2,2y −1)，由P 在圆C 上运动，将其坐标代入圆C 的方程可得， (2x −2+2)2+(2y −1−1)2=10， 即为x 2+(y −1)2=52．则线段PQ中点M的轨迹方程为x2+(y−1)2=5．2解析：本题考查直线和圆相交的性质，以及线段的中点的轨迹方程的求法，注意运用代入法，考查运算能力，属于中档题．(1)由题意可得圆心C在AB的中垂线上，即C在直线x=−2上，与x−2y+4=0联立，可得圆心的坐标，进而得到半径r，求得圆心到直线x−y+1=0的距离，运用弦长公式计算可得|EF|；(2)设M(x,y)，M为PQ的中点，运用中点坐标公式，可得P的坐标，再将其代入圆C的方程，化简可得所求轨迹方程．。
南康区高级中学2019-2020学年高二上学期第一次月考测试数学
南康区高级中学2019-2020学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． “m=1”是“直线（m ﹣2）x ﹣3my ﹣1=0与直线（m+2）x+（m ﹣2）y+3=0相互垂直”的（ ）A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2． 已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，且120a =-，在区间()3,5内任取一个实数作为数列{}n a 的公差，则n S 的最小值仅为6S 的概率为（ ）A ．15 B ．16 C ．314 D ．13 3． 已知在平面直角坐标系xOy 中，点),0(n A -，),0(n B （0>n ）.命题p ：若存在点P 在圆1)1()3(22=-++y x 上，使得2π=∠APB ，则31≤≤n ；命题：函数x xx f 3log 4)(-=在区间)4,3(内没有零点.下列命题为真命题的是（ ）A ．)(q p ⌝∧B ．q p ∧C ．q p ∧⌝)(D ．q p ∨⌝)( 4． 执行如图所示的程序框图，若输入的分别为0，1，则输出的（ ）A ．4B ．16C ．27D ．365． 抛物线y 2=2x 的焦点到直线x ﹣y=0的距离是（ ）A ．B ．C ．D ．6．江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距（）A．10米B．100米C．30米D．20米7．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（ax+1）≤f（x﹣2）对任意都成立，则实数a的取值范围为（）A．[﹣2，0] B．[﹣3，﹣1] C．[﹣5，1] D．[﹣2，1）8．如图，已知平面=，．是直线上的两点，是平面内的两点，且，，，．是平面上的一动点，且有，则四棱锥体积的最大值是（）A． B． C． D．9．设函数f（x）在x0处可导，则等于（）A．f′（x0）B．f′（﹣x0）C．﹣f′（x0）D．﹣f（﹣x0）10．如图，三行三列的方阵中有9个数a ij（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（）A．B．C．D．11．已知点P（1，﹣），则它的极坐标是（）A．B．C．D．12．已知圆C1：x2+y2=4和圆C2：x2+y2+4x﹣4y+4=0关于直线l对称，则直线l的方程为（）A．x+y=0 B．x+y=2 C．x﹣y=2 D．x﹣y=﹣2二、填空题13．定义：分子为1且分母为正整数的分数叫做单位分数．我们可以把1拆分为无穷多个不同的单位分数之和．例如：1=++，1=+++，1=++++，…依此方法可得：1=++++++++++++，其中m，n∈N*，则m+n=．14．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】函数()2ln f x x x =-的单调递增区间为__________． 15．一船以每小时12海里的速度向东航行，在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°，行驶4小时后，到达C 处，看到这个灯塔B 在北偏东15°，这时船与灯塔相距为 海里．16．设某总体是由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方 法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为 ________．【命题意图】本题考查抽样方法等基础知识，意在考查统计的思想．17．如图，E ，F 分别为正方形ABCD 的边BC ，CD 的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是 ．18．若直线y ﹣kx ﹣1=0（k ∈R）与椭圆恒有公共点，则m 的取值范围是 ．三、解答题19．已知复数z的共轭复数是，且复数z 满足：|z ﹣1|=1，z ≠0，且z 在复平面上对应的点在直线y=x 上．求z 及z 的值．20．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC=3，BC=4，AA 1=4，AB=5，点D 是AB 的中点．（1）求证：AC ⊥BC 1； （ 2）求证：AC 1∥平面CDB 1．1818 0792 4544 1716 5809 7983 86196206 7650 0310 5523 6405 0526 623821．本小题满分12分如图，在边长为4的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，点E 、F 分别在边CD 、CB 上．点E 与点C 、D 不重合，EF AC ⊥，EF AC O =，沿EF 将CEF ∆翻折到PEF ∆的位置，使平面PEF ⊥平面ABFED ．Ⅰ求证：BD ⊥平面POA ；Ⅱ记三棱锥P ABD -的体积为1V ，四棱锥P BDEF -的体积为2V ，且1243V V =，求此时线段PO 的长．22．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，S 2=4，且a 2，a 5，a 14成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）从数列{a n }中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，…，按原来顺序组成一个新数列{b n }，记该数列的前n 项和为T n ，求T n 的表达式．PABCDOEF FEO DCA23．已知函数f（x0=．（1）画出y=f（x）的图象，并指出函数的单调递增区间和递减区间；（2）解不等式f（x﹣1）≤﹣．24．求点A（3，﹣2）关于直线l：2x﹣y﹣1=0的对称点A′的坐标．南康区高级中学2019-2020学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1． 【答案】B【解析】解：当m=0时，两条直线方程分别化为：﹣2x ﹣1=0，2x ﹣2y+3=0，此时两条直线不垂直，舍去；当m=2时，两条直线方程分别化为：﹣6y ﹣1=0，4x+3=0，此时两条直线相互垂直；当m ≠0，2时，两条直线相互垂直，则×=﹣1，解得m=1．综上可得：两条直线相互垂直的充要条件是：m=1，2．∴“m=1”是“直线（m ﹣2）x ﹣3my ﹣1=0与直线（m+2）x+（m ﹣2）y+3=0相互垂直”的充分不必要条件．故选：B ．【点评】本题考查了直线相互垂直的充要条件、充要条件的判定，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．2． 【答案】D 【解析】考点：等差数列． 3． 【答案】A 【解析】试题分析：命题p ：2π=∠APB ,则以AB 为直径的圆必与圆()()11322=-++y x 有公共点,所以121+≤≤-n n ,解得31≤≤n ,因此,命题p 是真命题.命题：函数()xxx f 3log 4-=，()0log 1443<-=f ,()0log 34333>-=f ,且()x f 在[]4,3上是连续不断的曲线,所以函数()x f 在区间()4,3内有零点，因此,命题是假命题.因此只有)(q p ⌝∧为真命题．故选A ．考点：复合命题的真假．【方法点晴】本题考查命题的真假判断,命题的“或”、“且”及“非”的运算性质,同时也考查两圆的位置关系和函数零点存在定理,属于综合题.由于点P 满足2π=∠APB ,因此在以AB 为直径的圆上,又点P 在圆1)1()3(22=-++y x 上，因此P 为两圆的交点,利用圆心距介于两圆半径差与和之间,求出的范围.函数x xx f 3log 4)(-=是单调函数,利用零点存在性定理判断出两端点异号,因此存在零点.4． 【答案】D【解析】【知识点】算法和程序框图【试题解析】A=0，S=1，k=1，A=1，S=1，否；k=3，A=4，S=4，否；k=5，A=9，S=36，是， 则输出的36。
2019-2020学年江西省赣州市南康区南康中学高二上学期10月月考数学试题(解析版)
2019-2020学年江西省赣州市南康区南康中学高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{|124}x A x =<≤，{|ln(1)}B x y x ==-，则A B =（ ）A.{|12}x x ≤<B.{|12}x x <≤C.{|02}x x <≤D.{|02}x x ≤<【答案】B【解析】{|124}x A x =<≤(0,2],= (){|ln 1}B x y x ==-(1,)=+∞ ,所以{|12}A B x x ⋂=<≤,选B.2．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】从正视图和侧视图上分析，去掉的长方体的位置应该在的方位，然后判断俯视图的正确图形． 【详解】由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的右侧， 由以上各视图的描述可知去掉的长方体在原长方体的右上方，其俯视图符合C 选项． 故选C ．点评：本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义． 【考点】三视图．3．如图，'''A B C 是ABC △的直观图，其中''''A B A C =，那么ABC △是（）A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形 【答案】D【解析】根据斜二测画法中，与横轴平行的线段长度不变，与纵轴平行的线段长度变为原来的一半，与原坐标轴平行的直线，平行关系不变，可以选出正确答案. 【详解】根据斜二测画法中，与横轴平行的线段长度不变，与纵轴平行的线段长度变为原来的一半，与原坐标轴平行的直线，平行关系不变，可以知道ABC △是直角三角形， 且2AC AB =，故本题选D. 【点睛】本题考查了斜二测法的作图原理，属于基础题.4．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A.n αβ=，m α⊂，//m β//m n ⇒B.αβ⊥，m αβ=，m n ⊥n β⇒⊥C.m n ⊥，m α⊂，n β⊂αβ⇒⊥D.//m α，n ⊂α，//m n ⇒ 【答案】A【解析】对每一选项进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证明一下即可． 【详解】对于A ，根据线面平行性质定理即可得A 选项正确；对于B ，当αβ⊥，m αβ⋂=时，若n m ⊥，n α⊂，则n β⊥，但题目中无条件n α⊂，故B 不一定成立；对于C ，若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则α与β相交或平行，故C 错误；对于D ，若//m α，n α⊂，则m 与n 平行或异面，则D 错误，故选A.【点睛】本题考查的知识点空间直线与平面垂直的判定定理，性质定理，定义及几何特征，其中熟练掌握空间中线线垂直，线面垂直，面面垂直的相互转化是解答本题的关键． 5．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） A ．x-2y-1=0 B ．x-2y+1=0C ．2x+y-2=0D ．x+2y-1=0【答案】A【解析】设出直线方程，利用待定系数法得到结果. 【详解】 设与直线平行的直线方程为，将点代入直线方程可得，解得．则所求直线方程为．故A 正确．【点睛】本题主要考查两直线的平行问题，属容易题．两直线平行倾斜角相等，所以斜率相等或均不存在．所以与直线平行的直线方程可设为．6．直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C 【解析】【详解】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B 1A 1到E ，使A 1E =A 1B 1，连结AE ，EC 1，则AE ∥A 1B ，∠EAC 1或其补角即为所求，由已知条件可得△AEC 1为正三角形，∴∠EC 1B 为60，故选C ．7．已知直线l 和平面α，若//l α，P α∈，则过点P 且平行于l 的直线（ ） A.只有一条，不在平面α内 B.只有一条，且在平面α内 C.有无数条，一定在平面α内D.有无数条，不一定在平面α内【解析】假设m 是过点P 且平行于l 的直线， n 也是过点P 且平行于l 的直线，则与平行公理得出的结论矛盾，进而得出答案. 【详解】假设过点P 且平行于l 的直线有两条m 与n ，则m ∥l 且n ∥l 由平行公理得m ∥n ，这与两条直线m 与n 相交与点P 相矛盾， 故过点P 且平行于l 的直线只有一条，又因为点P 在平面内，所以过点P 且平行于l 的直线只有一条且在平面内． 故选：B 【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面的位置关系．过一点有且只有一条直线与已知直线平行．8．已知向量a ，b 满足||1a =，||2b =，()()28a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．2πB ．3π C ．4π D ．6π 【答案】B【解析】将()()28a b a b +⋅-=-变形解出夹角的余弦值，从而求出a 与b 的夹角。
江西省南康中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学(理)试题
南康中学2018～2019学年度第二学期高二第一次大考数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设()sin cos f x x x =-，则()f x 在4x π=处的导数()4f π'=（ ）AB ．C ．0D 2、双曲线2221x y -=的离心率为（ ）AB CD 3、下列3个命题：①命题“若20x x -=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则20x x -≠”；②若2:(2)0,:log 1p x x q x -≤≤，则是的充要条件；③若命题:p x R ∃∈，使得22x x <，则:p ⌝x R ∀∈，均有22x x ≥. 其中正确命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个4、利用数学归纳法证明22111(1,)1n n a a a aa n N a+++-++++=≠∈-时，在验证1n =成立时，左边应该是（ ） A ．B ．1a +C ．21a a ++D ．231a a a +++5、如图示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形为( ) A ．43B ．83C ．23D ．无法计算6、抛物线28y x =的焦点为，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且||4||MF OF =，则MFO ∆的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．67、设实数,x y 满足约束条件021x x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则18()4xy -的最大值为（ ）A ．64B ．32C ．D ．8、如图可能是下列哪个函数的图象（）A ．221xy x =--B ．2sin 41x xy x =+C．ln x y x=D ． 2(2)x y x x e =-9、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．13π+B ．23π+C ．123π+D ．223π+ 10、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点对称点为B ，F 为其右焦点，若,6AF BF ABF π⊥∠=，则该椭圆的离心率为（ ）A ．2B 1C ．12D 11、已知球的直径2SC =，,A B 是该球球面上的两点，1,45AB ASC BSC =∠=∠=︒，则棱锥S ABC-的体积为（ ） AB C D 12、已知函数21()xax f x e+=（为自然对数的底数），函数()g x 满足()()2()g x f x f x ''=+，其中正视图俯视图(),()f x g x ''分别为函数()f x 和()g x 的导函数，若函数()g x 在[1,1]-上是单调函数，则实数的取值范围为（ ） A ．1a ≤B ．113a -≤≤ C ．1a >D ．13a ≥-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把正确答案填在题中相应的横线上. 13、函数4()3(0)f x x x x=+>的最小值为 14、函数()x f x xe =在点(1,(1))f 处的切线的斜率是15、已知()sin(1)f x x =-，若{}1,3,5,7p ∈，则()0f p ≤的概率为16、若双曲线222(0)x y a a -=>的左、右顶点分别是,A B ，点是第一象限内双曲线上的点，若直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ，那么αβ+=三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17、（本小题满分10分）为了美化校园环境，某校计划对学生乱扔垃圾现象进行罚款处理。
江西南康中学2018-2019学年高二数学上学期第一次月考试题 文
南康中学2018～2019学年度第一学期高二第一次大考数学（文科）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，将正确答案的序号填在答题卡上） 1.下列推理错误的是( )A.A ∈l ，A ∈α，B ∈l ，B ∈α⇒l αB.A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β⇒α∩β＝ABC.,l A l A αα⊄∈⇒∉D.A ∈l ，l α⇒A ∈α2. 已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么原△ABC 的面积是( ) A. 3B.2 2C.32D.344．下列函数中，最小值是4的是( )A ．4y x x=+B ．4sin sin y x x=+ C ．22xxy -=+D ．22131y x x =+++ 5. 已知等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且a 7＝b 7，则b 5＋b 9＝( )A ．8B ．4C ．16D ．126. 如果0a b <<，则下列不等式成立的是（ ）A ．11a b< B ．2ab b < C ．2ab a -<- D ．11a b-<- 7．正方体AC 1中，E ，F 分别是DD 1，BD 的中点，则直线AD 1与EF 所成角的余弦值是( )A.12B.32C.63D.628．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是111,AA D C 的中点，G 是正方形11BCC B 的中心，则空间四边形AEFG 在该正方体各面上的正投影不可能是( )A ．B ．C ．D ．9.已知数列{}n a 为等差数列，若11101a a <-，且它们的前n 项和n S 有最大值，则使得0n S >的n 的最大值为( )A.19B.20C.17D.1810. 如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论： ①BD ⊥AC ；②△BCA 是等边三角形；③三棱锥D ABC 是正三棱锥；④平面ADC ⊥平面ABC . 其中正确的是( ) A ．①②④ B ．①②③ C ．②③④D ．①③④11．已知ABC c b a ∆分别是,,三个内角A ，B ，C 所对的边，若0=⋅⎫⎛BC 且ABC ∆的面积4222b c a S ABC-+=∆，则三角形ABC ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个为030的等腰三角形12．若直线1y kx =-与曲线y =有公共点，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，43B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，43C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 D ．[0,1]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在横线上） 13. 点A (2，1-)关于直线x ＋y －5＝0的对称点的坐标是______.14. 若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0x ＋3≥0y －2≤0，则z ＝2x －y 的最大值为______.15. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为_______.16. 若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，且ab ≥m 恒成立，则实数m 的取值范围是 .三．解答题（本大题共6小题，共70分，写出必要的解答过程） 17. （本题满分10分）求圆心为(2,1)且与已知圆2230x y x +-=的公共弦所在直线经过点(5,2)-的圆的方程.18.（本题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足cos (2)cos().b A c a B π=+- （1）求角B 的大小；（2）若4,b ABC =∆，求ABC ∆的周长．19．（本题满分12分）如图，在三棱锥A BCD -中，,AB AD BC BD ⊥⊥，平面ABD ⊥平面BCD ，点,E F （E 与,A D 不重合）分别在棱,AD BD 上，且.EF AD ⊥求证：⑴//EF 平面ABC ； ⑵AD AC ⊥.20. （本题满分12分）已知圆22:2430C x y x y ++-+=（1）已知不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等，求直线l 的方程；（2）求经过原点且被圆C 截得的线段长为2的直线方程.21. （本小题满分12分）如图所示，在四棱锥ABCD P -中，⊥AB 平面PAD ，CD AB //，AD PD =，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且AB DF 21=，PH 为PAD ∆边AD 上的高. （1）证明：PH ⊥平面ABCD ；（2）在线段PB 上是否存在这样一点M,使得FM ⊥平面PAB?若存在，说 出M 点的位置。
江西省南康中学高二数学第一学期第一次月考试题 理 北师大版
7 8 994 4 6 4 7 3江西省南康中学2011-2012学年高二第一学期第一次月考数学（理A ）试题满分：150分 时间：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
） 1、下列赋值语句中，正确的为（ ） A 、1+=x xB 、x b =C 、10==y xD 、10=+y x2、频率分布直方图中最高小矩形的中间位置所对数据的数字特征是（ ） A 、中位数B 、众数C 、平均数D 、标准差3、右图是2007年在广州举行的全国少数民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）.A ．84，4.84B ．84，1.6C ．85，1.6D ．85，44．设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)(),f x f x f x f x -=+=,则()y f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．5．高一年级某班63人，要选一名学生做代表，每名学生当选是等可能的，若“选出代表是女生”的概率是“选出代表是男生”的概率的1011，这个班的女生人数为（ ）． A ．20 B. 25 C. 30 D. 35 6、如果执行右边的流程图，那么输出的S 等于（ ） A 、2450B 、2500C 、2550D 、26527、在区间(10，20]内的所有实数中随机取一个实数，则 这个实数＜13的概率是（ ） A 、31B 、7142C 、103 D 、1078．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表广告费用x （万元） 4 2 3 5 销售额y （万元）49263954根据上表可得回归方程y bx a =+中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元9. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．48 B ．C ．D ．8010．设向量,,a b c 满足a =b =1，a b =12-，,a c b c --=060，则c 的最大值等于（ ）ABC ． 2D ．1二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、抛掷两粒质地均匀的骰子，点数之和恰好为8的概率是 。
江西省南康中学高二数学上学期第一次月考试题文(2021年整理)
江西省南康中学2018-2019学年高二数学上学期第一次月考试题文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江西省南康中学2018-2019学年高二数学上学期第一次月考试题文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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南康中学2018～2019学年度第一学期高二第一次大考数学（文科）试卷一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分,将正确答案的序号填在答题卡上) 1.下列推理错误的是( )A.A ∈l ，A ∈α，B ∈l ，B ∈α⇒l αB.A ∈α,A ∈β，B ∈α,B ∈β⇒α∩β＝ABC 。
,l A l A αα⊄∈⇒∉D.A ∈l ，l α⇒A ∈α2. 已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法"得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝错误!，那么原△ABC 的面积是（ ) A 。
错误! B.2错误! C 。
错误!D.错误!3．已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2:x ＋y －1＝0，则l 1，l 2之间的距离为（ )A ．1B ． 2C ．错误!D ．24．下列函数中，最小值是4的是（ ）A ．4y x x =+B ．4sin sin y x x=+ C ．22x x y -=+ D ．22131y x x =+++ 5。
已知等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7,数列{b n }是等差数列,且a 7＝b 7，则b 5＋b 9＝（ ）A ．8B ．4C ．16D ．126。
江西省南康中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题 理(含解析)
江西省南康中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.直线l的方程为，则直线l的倾斜角为（）A. B. C. D.2.在空间直角坐标系中，已知M（-1，0，2），N（3，2，-4），则MN的中点Q到坐标原点O的距离为（）A. B. C. 2 D. 33.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A. 9B. 45C. 126D. 2704.若样本x1，x2，……，x n平均数是4，方差是2，则另一样本3x1+2，3x2+2，……3x n+2的平均数和方差分别为（）A. 12,2B. 14,6C. 12,8D. 14,185.总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取7个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（）7816 6572 08026314 07024369 9728 01983204 9234 4935 8200 36234869 6938 7481A. 02B. 07C. 01D. 066.某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶图如图，则下面结论中错误的一个是（）A. 乙的众数是21B. 甲的中位数是24C. 甲的极差是29D. 甲罚球命中率比乙高7.已知一组数据（1，2），（3，5），（6，8），（x0，y0）的线性回归方程为=x+2，则x0-y0的值为（）A. B. C. D.18.已知空间中不同直线m、n和不同平面α、β，下面四个结论：①若m、n互为异面直线，m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β；②若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β；③若n⊥α，m∥α，则n⊥m；④若α⊥β，m⊥α，n∥m，则n∥β．其中正确的是（）A. B. C. D.9.若执行如图所示的程序框图，输出S的值为3，则判断框中应填入的条件是（）A. ？B. ？C. ？D. ？10.已知正方体的棱长为1，是棱的中点，点在正方体内部或正方体的表面上，且平面，则动点的轨迹所形成的区域面积是（）A. B. C. D.11.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的表面积为（）A.B.C.D.12.如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE（A1∉平面ABCD），若M、O分别为线段A1C、DE的中点，则在△ADE翻转过程中，下列说法错误的是（）A. 与平面垂直的直线必与直线BM垂直B. 异面直线BM与所成角是定值C. 一定存在某个位置,使D. 三棱锥外接球半径与棱AD的长之比为定值二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的办法分成50个部分．如果第一部分编号为0001，0002，…，0020，从中随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为______．14.如图，△A'O'B'为水平放置的△AOB斜二测画法的直观图，且O'A'=2，O'B'=3，则△AOB的周长为______．15.已知点P（t，t-1），t∈R，点E是圆上的动点，点F是圆上的动点，则|PF|-|PE|的最大值为______16.已知边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，沿对角边BD折成二面角A-BD-C为120°的四面体ABCD，则四面体的外接球的表面积为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.某地统计局就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本数据的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500））．（1）求居民月收入在[3000，3500）的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500，3000）的这段应抽多少人？18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=90°，AD=，DC=2AB=2，E为BC中点．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PDE（Ⅱ）线段PC上是否存在一点F，使PA∥平面BDF？若存在，求的值；若不存在，说明理由．319.某书店刚刚上市了《中国古代数学史》，销售前该书店拟定了5种单价进行试销，每种单价（x元）试销1天，得到如表单价x（元）与销量y（册）数据：单价x（元）18 19 20 21 22销量y（册）61 56 50 48 45（2）预计今后的销售中，销量y（册）与单价x（元）服从（1）中的回归方程，已知每册书的成本是12元，书店为了获得最大利润，该册书的单价应定为多少元？附：，，，．20.如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的高为2，点D是A1B的中点，点E是B1C1的中点．（1）证明：DE∥平面ACC1A1；（2）若三棱锥E－DBC的体积为，求该正三棱柱的底面边长．21.在如图所示的几何体中，DE∥AC，AC⊥平面BCD，AC＝2DE＝4，BC＝2，DC＝1，∠BCD=60°．(1)证明：BD⊥平面ACDE；(2)求平面BCD与平面BAE所成二面角的正弦值．22.如图，在直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=4与x轴负半轴交于点A，过点A的直线AM，AN分别与圆O交于M，N两点，设直线AM、AN的斜率分别为k1、k2．（1）若，求△AMN的面积；（2）若k1k2=-2，求证：直线MN过定点．5答案和解析1.【答案】A【解析】解：直线l的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°），直线l的方程为，则tanθ=，解得θ=150°，则直线l的倾斜角为150°，故选：A．直线l的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°），直线l的方程为，则tanθ=，解得θ．本题考查了倾斜角与斜率的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：∵M（-1，0，2），N（3，2，-4），∴MN的中点Q（1，1，-1），∴Q到坐标原点O的距离|QO|==．故选：A．MN的中点Q（1，1，-1），由此能求出Q到坐标原点O的距离|QO|．本题考查两点间距离的求法，考查中点坐标公式、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．3.【答案】C【解析】解：第一次执行循环体后，S=0，k=3，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，S=9，k=6，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，S=45，k=9，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，S=126，k=12，满足退出循环的条件；故输出S值为126，故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4.【答案】D【解析】解：样本x1，x2，……，x n平均数是4，方差是2，则样本3x1+2，3x2+2，……3x n+2的平均数是3×4+2=14，方差为32×2=18．故选：D．根据样本数据的平均数和方差的概念，计算所求样本数据的平均数和方差．本题考查了样本数据的平均数与方差的计算问题，是基础题．5.【答案】C【解析】解：第1行的第3列和第4列数字为16，满足条件，以此是65，72不满足条件，08满足条件，02满足条件，63不满足条件.14满足条件，07满足条件，02重复，43，69，97，28，不满足条件．01满足条件，即满足条件的6个数为16，08，14，02，07，01，则第6个个体编号为01，故选：C．根据随机数表的定义进行选取即可．本题主要考查简单随机抽样的应用，利用随机数表法是解决本题的关键．比较基础．6.【答案】B【解析】解：由茎叶图知，乙的众数是21，故A正确；甲的中位数是=23，故B错误；甲的极差是37-8=29，故C正确；由茎叶图得到甲的数据集中于茎叶图的左下方，乙的数据集中于茎叶图的右上方，所以甲罚球命中率比乙高，故D正确．故选：B．利用茎叶图的性质、众数、中位数、极差的定义求解．本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图的性质、众数、中位数、极差的定义的合理运用．7.【答案】A【解析】解：由题意知=（10+x0），=（15+y0），∵线性回归方程为=x+2，∴（15+y0）=（10+x0）+2，解得：x0-y0=-3，故选：A．利用平均数公式计算预报中心点的坐标，根据回归直线必过样本的中心点可得答案．本题考查了线性回归直线的性质，回归直线必过样本的中心点．8.【答案】D【解析】解：对于①，由面面平行的判定定理可得，若m、n互为异面直线，m∥α，n∥β，则α∥β或相交，又因为m∥β，n∥α，则α∥β，故①正确；对于②，若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β或α，β相交，故②错误，对于③，若n⊥α，m∥α，则n⊥m；故③正确，对于④，若α⊥β，m⊥α，n∥m，则n∥β或n⊂β，故④错误，综上可得：正确的是①③，故选：D．由线面和面面平行和垂直的判定定理和性质定理即可得解．本题考查了线面、面面的位置关系，属中档题．9.【答案】C【解析】解：根据程序框图，运行结果如下：第一次循环,S=log23,k=3;第二次循环,S=log23•log34,k=4;第三次循环,S=log23•log34•log45,k=5;第四次循环,S=log23•log34•log45•log56,k=6;第五次循环,S=log23•log34•log45•log56•log67,k=7;第六次循环,S=log23•log34•log45•log56•log67•log78=log28=3,k=8;故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k＜8?．7故选：C．根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件．本题考查程序框图，尤其考查循环结构，对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律，属于基础题．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查动点F的轨迹所形成的区域面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．分别取棱CC1、BC、AB、AA1、A1D1的中点M、N、G、Q、P，推导出平面EMNGQP∥平面A1BC1，从而动点F的轨迹所形成的区域是平面EMNGQP，由此能求出动点F的轨迹所形成的区域面积．【解答】解：如图，分别取棱CC1、BC、AB、AA1、A1D1的中点M、N、G、Q、P，则PE∥A1C1∥GN，EM∥A1B∥GQ，PQ∥BC1∥MN，易得：平面EMNGQP∥平面A1BC1，∵点F在正方体内部或正方体的表面上，若EF∥平面A1BC1，∴动点F的轨迹所形成的区域是平面EMNGQP，∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，∴PE=EM=MN=NG=GQ=PQ=，PN=，∴E到PN的距离d==，∴动点F的轨迹所形成的区域面积：S=2S梯形PNME=2×=．故选C．11.【答案】A【解析】解：设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，M，N分别是A1B1，A1D1的中点，则三棱锥C-AMN为所求几何体．由图可知AM=AN=，MN=，AC=2，CM=CN=3，由余弦定理得cos∠MAN==，∴sin∠MAN=，∴S△MAN==，同理可得S△MCN=，S MAC=S△NAC=3，∴棱锥的表面积S==．故选：A．以正方体为载体作出三棱锥的直观图，求出棱锥的各棱长，利用余弦定理求出各面面积．本题考查了棱锥的结构特征和三视图，作出棱锥的直观图是解题关键，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：对于A，延长CB，DE交于H，连接A1H，由E为AB的中点，可得B为CH的中点，又M为A1C的中点，可得BM∥A1H，BM⊄平面A1DE，A1H⊂平面A1DE，则BM∥平面A1DE，故与平面A1DE垂直的直线必与直线BM垂直，则A正确；对于B，设AB=2AD=2a，过E作EG∥BM，G∈平面A1DC，则∠A1EG=∠EA1H，在△EA1H中，EA1=a，EH=DE=a，A1H==，则∠EA1H为定值，即∠A1EG为定值，则B正确；对于C，连接A1O，可得DE⊥A1O，若DE⊥MO，即有DE⊥平面A1MO，即有DE⊥A1C，由A1C在平面ABCD中的射影为AC，可得AC与DE垂直，但AC与DE不垂直．则不存在某个位置，使DE⊥MO，则C不正确；对于D，连接OA，由直角三角形斜边的中线长为斜边的一半，可得三棱锥A1-ADE外接球球心为O，半径为，即有三棱锥A1-ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值．则D正确．故选：C．对于A，延长CB，DE交于H，连接A1H，运用中位线定理和线面平行的判定定理，可得BM∥平面A1DE，即可判断A；对于B，运用平行线的性质和解三角形的余弦定理，以及异面直线所成角的定义，即可判断B；对于C，连接A1O，运用线面垂直的判定定理和性质定理，可得AC与DE垂直，即可判断C；对于D，由直角三角形的性质，可得三棱锥A1-ADE外接球球心为O，即可判断D．本题考查命题的真假判断与应用，考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，考查空间想象能力和推理能力，是中档题．13.【答案】0795【解析】解：∵系统抽样是先将总体按样本容量分成k=段，再间隔k取一个．又∵现在总体的个体数为1000，样本容量为50，∴k=20∴若第一个号码为0015，则第40个号码为0015+20×39=0795故答案为0795因为系统抽样是先将总体按样本容量分成k=段，再间隔k取一个，所以只需找到k的值，就可计算第40个号码为多少．本题考查了抽样方法中的系统抽样，掌握系统抽样的规律．14.【答案】12【解析】解：根据斜二侧画法得到三角形OAB为直角三角形，底面边长0B=3，高OA=2O'A'=4，∴AB==5，∴直角三角形OAB的周长为3+4+5=12．故答案为：12．．根据斜二侧画法得到三角形OAB为指教三角形，且其底面边长0B=3，高OA=2O'A'=4，AB=5，然后求三角形的周长即可．本题主要考查平面图形的直观图的应用，要求熟练掌握斜二测画法的边长关系，比较基础．15.【答案】49【解析】解：∵P（t，t-1）∴P点在直线y=x-1上，作E关于直线y=x-1的对称点E′，且圆O：关于直线y=x-1对称的圆O1方程为：（x-1）2+（y+1）2=，所以E′在圆O1上，∴|PE|=|PE′|，设圆的圆心为O2，∴|PE′|≥|PO1|-|E′O1|，|PF|≤|PO2|+|FO2|，∴|PF|-|PE|=|PF|-|PE′|≤（|PO2|+|FO2|）-（|PO1|-|E′O1|）=|PO2|-|PO1|+2≤|O1O2|+2=4，当P、E′、F、O1、O2五点共线，E′在线段PO1上，O2在线段PF上时成立．因此，|PF|-|PE|的最大值为4．故答案为：4．结合图象发现两圆位于P点所在直线的不同侧，应先做出圆O关于直线y=x-1对称的圆O1，把|PF|-|PE|转化为|PF|-|PE′|，要使|PF|-|PE′|最大，则必须|PF|最大，|PE′|最小．本题主要考查圆与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，距离和差的最值问题常采用的方法是对称变换．16.【答案】28π【解析】【分析】设两三角形外心分别为O2，O3，球心为O，BD中点为O1，由题意知∠AO1C=120°，OO1=2，OO3=，由此求出球半径，从而能求出四面体的外接球的表面积．本题主要考查了四面体外接球的表面积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．【解答】解：如图，设两三角形外心分别为O2，O3，球心为O，BD中点为O1，由题意知∠AO1C=120°，∴OO1=2，OO3=，∴球半径OC==，∴四面体的外接球的表面积为S=4=28π．故答案为：28π．17.【答案】解：（1）由频率分布直方图可知，居民月收入在[3000，3500）内的频率为0.0003×500=0.15；（2）由频率分布直方图可知，0.0002×（1500-1000）=0.1，0.0004×（2000-1500）=0.2，0.0005×（2500-2000）=0.25∵0.1+0.2+0.25=0.55＞0.5∴样本数据的中位数2000+=2400；（3）居民月收入在[2500，3000]的频率为0.0005×（3000-2500）=0.25，∴10000人中月收入在[2500，3000]的人数为0.25×10000=2500（人），再从10000人用分层抽样方法抽出100人，∴月收入在[2500，3000]的这段应抽取100×=25人．【解析】（1）利用频率分布直方图，小矩形的面积即为频率，从而可得答案；（2）根据频率直方图，先确定中位数的位置，再由公式计算出中位数；（3）利用频率分布直方图和分层抽样的方法即可确定抽取的人数．本题考查频率分布直方图及分层抽样的方法，求解此类题的关键是熟练掌握频率分布直方图的结构及分层抽样的规则，本题属于统计中的基本题型，是这几年高考的热点，在高考的试卷上出现的频率相当高，应对此类题做题的规律好好理解掌握．频率分布直方图中小长方形的面积=组距×=频率，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求频率，属于常规题型．18.【答案】解：（Ⅰ）连接BD在RT△DAB中，BD== …（1分）知△DBC是等腰三角形．又∵E为BC的中点．∴DE⊥BC…（2分）∵PD⊥平面ABCD，且BC⊂平面ABCD∴PD⊥BC…（3分）∵PD∩DE=D∴BC⊥平面PDE…（4分）又∵BC⊂平面PBC∴平面PBC⊥平面PDE…（5分）（Ⅱ）线段PC上存在一点F，且时，有PA∥平面BDF．…（6分）证明如下：连接AC交BD于点O，在平面PAC中过点O作OF∥PA，则交PC于F…（7分）又∵OF⊂平面BDF，PA⊈平面BDF∴PA∥平面BDF…（9分）∵四边形ABCD中AB∥CD，∴易知△ABO∽△CDO又∵CD=2AB=2，∴…（10分）∵OF∥PA∴…（11分）11∴当时，PA∥平面BDF…（12分）【解析】（1）要证平面PBC⊥平面PDE，只要证平面PBC内的直线BC⊥平面PDE即可．（2）由线面平行的性质定理，若使PA∥平面BDF，则过直线PA的平面和平面BDF的交线会和PA平行，故作辅助线OF∥AP，再利用线面平行判定定理证明．确定F的位置，则利用三角形相似的相似比确定的值．本题中考查了空间位置关系（两平面垂直的判定与性质，线面平行的判定与性质），相似比确定线段分点，考查了空间想象能力，分析能力．（1）中证直线BC⊥平面PDE是关键点，（2）中确定OF∥PA是突破点，题型较常规，属于中档题．19.【答案】解：（1）∵，，，，∴，．∴y对x的回归直线方程为：；（2）设获得的利润为W，则W=（x-12）y=-4x2+180x-1584，∵二次函数W=-4x2+180x-1584的开口向下，∴当x=22.5时，W取最大值，故当单价应定为22.5元时，可获得最大利润．【解析】（1）由已知求得与的值，则线性回归方程可求；（2）由题意写出获得的利润W关于x的函数式，再由二次函数求最值．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题．20.【答案】（1）证明：如图，连接AB1，AC1，∴D是A1B的中点，E是B1C1的中点，∴在△B1AC1中，DE∥AC1,∵DE⊄平面ACC1A1，AC1⊂平面ACC1A1,∴DE∥平面ACC1A1.（2）解：由等体积法，得V E-DBC=V D-EBC∵D是A1B的中点，∴点D到平面BCC1B1的距离是点A到平面BCC1B1的距离的一半．如图，作AF⊥BC交BC于点F，由正三棱柱的性质可知，AF⊥平面BCC1B1．设底面正三角形的边长a，则三棱锥D-EBC的高，∴，解得a=1∴该正三棱柱的底面边长为1．【解析】本题考查线面平行的证明，考查正棱柱的底面边长的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．（1）连接AB1，AC1，推导DE∥AC1，由此能证明DE∥平面ACC1A1．（2）由等体积法，得V E-DBC=V D-EBC，点D到平面BCC1B1的距离是点A到平面BCC1B1的距离的一半，作AF⊥BC交BC于点F，由此能求出该正三棱柱的底面边长为1．21.【答案】证明：（1）在△BCD中，BD2=4+1-2×1×2×cos60°=3．∴BC2=BD2+DC2，∴△BCD为直角三角形，BD⊥CD．又∵AC⊥平面BCD，BD平面BCD∴AC⊥BD．而AC∩CD=C，∴BD⊥平面ACDE．解：（2）方法一：如图延长AE，CD相交于G，连接BG，则平面AEB∩平面BCD=BG．二面角A_BG-C就是平面BCD与平面BAE所成二面角．∵DE∥AC，AC=2DE，∴DE是△AGC的中位线．GD=DC=1，这样GC=BC=2，∠BCD=60°，△BGC是等边三角形．取BG的中点为H，连接AH，GH，∵AC⊥平面BCD．∴∠AHC就是二面角A-BG-C的平面角．在Rt△AHC中，AC=4，GH=，所以sin=．∴平面BCD与平面BAE所成二面角的正弦值为．方法二：建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，可得D（0，0，0），B（，0，0），C（0，1，0），E（0，0，2），A（0，1，4）．=（-，1，4），=（0，1，2）．设=（x，y，z）是平面BAE的法向量，则，令z=，得=（2，-2，）．取平面BCD的法向量为=（0，0，1）．设平面BCD与平面BAE所成二面角的平面角为θ，则|cosθ|==，∴s inθ==．∴平面BCD与平面BAE所成二面角的正弦值为．13【解析】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查运用求解能力、空间想象能力、探索能力、转化与化归思想、函数与方程思想，是中档题．（1）推导出BD⊥CD，AC⊥BD，由此能证明BD⊥平面ACDE．（2）法一：延长AE，CD相交于G，连接BG，二面角A_BG-C就是平面BCD与平面BAE 所成二面角．由此能求出平面BCD与平面BAE所成二面角的正弦值．法二：建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出平面BCD与平面BAE所成二面角的正弦值．22.【答案】（1）解：由题知，直线AM的方程为y=2x+4，直线AN的方程为．∴圆心到直线AM的距离，得，同理求得，由题知k1k2=-1，得AN⊥AM，；（2）证明：由题知直线AM的方程y=k1（x+2），直线AN的方程为．联立方程，得，得x=-2或，∴，同理，，∴直线MN为．即，得，∴直线MN恒过定点．【解析】（1）由题意得到直线AM与AN的方程，利用垂径定理分别求得AM与AN的值，再由两直线垂直，代入三角形面积公式求解；（2）由题知直线AM的方程y=k1（x+2），直线AN的方程为．分别与圆的方程联立求得M，N的坐标，写出MN的直线方程，利用直线系方程即可证明线MN过定点．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．。
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学年度第一学期高二第一次大考南康中学2019-2020 数学（理）试卷只有一项是符分.在每小题给出的四个选项中,一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60.合题目要求之间的距离为，．已知直 21 23?aBA,表示点, 表示直线,）表示平面,则下列叙述中正确的是（2．若?????A?B,?,A?B???AB?AB ,则A．若B,则．若???a?a,a?A????aAB?AA则,D．若,,则．若C???CB?A，那么△ABC的直观图）的面积为（ 3．已知正三角形ABC 的边长为26633 C．D A．． B．442201?)x?y??(a0??y?13axa）垂直，则的值为（与直线 4.已知直线311111??,11,,1??, B． C．A D．．33332216)??5)?(y7(x?）相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ 5. 已知半径为1的动圆与定圆2225?5)?(y?7?)x( A．222215??7)??5)?(y7x)?3(?5)?(y(x．或B229x(?5)?(y?)?7C．22229?y5(7?x(?5)(y?)?25x?)?(?7)．或D粗线画出的某几何体的三视，网格纸上小正方形的边长为如图，6. 1 则此几何体的体积为其中俯视图的右边为一个半圆，（）图，＋4π．A16 ．B16＋2π48＋4π．C ．D48＋2πyoz(1,2,3)A在坐标平面B．点7是点内的射影，则｜｜等于（OB）151013 CD．A．． B ．148．圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6cm，点P是母线BC上一点，2BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（）且PC＝3653)(4?7cm㎝ B．5cm C A．．D．㎝?PA?平面ABC，且PA＝2，则该三棱9．已知三棱锥P-ABC的底面ABC是边长为2的等边三角形，锥外接球的表面积为（）6828????4820 D.C.A. B.33ABCDSA?SB?SC?SD,为正方形，且．如图，在四棱锥中，底面10SCCD,NBC,E,M,MNP上其中的中点，动点分别是在线段BDEP//EP?ACS?ABCD；①；②运动时，下列四个结论：SACSBDEP//?EP面）；④，其中恒成立的为（③面．③④①③ B．A ②③．C．①④ D．在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形11DCABABCD?中，1的正方体叫截面. 如图，在棱长为1111FE,CCC,BBB G则是棱点的中点，分别是棱点的中点，1111EFA AG）的截面的面积为（过线段且平行于平面1891． C．．AD B．298M?2,AB?AC,BC BC?NABCACBCD边上一个为为为12. 在等腰直角中点，中，中点，BCBCD?DCOBDDAAD?ABD上运上的投影为点动点，在沿，点翻折使在面，当点）动时，以下说法错误的是（NO A. 线段为定长2)[1,CO||? B.??ADB180?AMO?? C.O的轨迹是圆弧点D.2.分小题，每小题5分，共20二、填空题：本大题共4yx－1≤0－??x?＋3≥0yxyxz－，则13.若实数的最大值为，满足约束条件＝2??y－2≤0 某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积为14.题图第16题图第14题图第150C?ABABC90ACB??BDBCAAC的中是，，中，侧棱长为2，＝＝15．如图，在直三棱柱111111DF ⊥AB平面C FABBDFEFBB交于点的长为，.要使点，，则线段是上的动点，11111所BAD与平面DC为ABC-A16．如图，已知正三棱柱BC的所有棱长均相等，DAC的中点，则直线. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步111111成角的正弦值为骤:三、解答题本大题共6小题，共75分分）17. （本题满分10220?ym?3l:x?1y：Cx+=O、BA. 两点，已知圆为坐标原点相交于不同的与直线m）求实数的取值范围；（1m3AB?. ）若2的值，求实数（3（本题满分12分）18、分别为和的中点．如图，四棱锥的底面为菱形，，，ABCDP?ABCDPDEABPB?PDF平面．（）求证：PBC∥EF1P．（）求证：平面PAC⊥BD2FD A EC B12分）（本题满分19.2203???C:xy?2x?4y已知圆xll y轴上的截距相等，求直线相切，且在的方程；轴，（1）已知不过原点的直线与圆C. （2）求经过原点且被圆C截得的线段长为的直线方程21220. （本题满分分）ABCD2,2PD?2??ABAD?PAPB?．中，底面如图，在四棱锥是矩形．已知ABCDP?PAD1（）求点B到面的距离；?E,OEOO中点，过作于BDAB2（）取?A??PBD为二面角①求证：PEO的平面角；?. 的正切值PEO②求421．（本题满分12分）P?AB中，如图，四棱锥DBDPADABAB2?,C/B?/,C?BA?2A?D. 角为形正三32PA?.且PBC?PAB 1；）证明：平面平面（ABCDPDEP上一点，的距离为2（2）若点，到底面是线段CDEA?ACEPB. 且，求四面体//平面的体积分）．（本题满分1222O2,BC?4,AB?OCABCDDCE上一动点．现为中，为线段如图1，在长方形的中点，ABCED?AE?AED.折起，形成四棱锥将沿3图2 图1 图OADEBEBD?EAD? 2).1（）若；与重合，且证明：平面 (如图t tDBABCO??EABD.3)2（）若不与重合，且平面平面 (如图，设的取值范围，求5南康中学2019-2020学年度第一学期高二第一次大考数学（理）参考答案分，共60分）一、选择题（每小题520分）二、填空题（每小题5分,共41＋π 15、 16、13、4 14、2452）70分．三、解答题（本大题共6小题，共22?1yx???2201?m?4x??23mxy得----------2分1）由消去，17、解析：（?x3?0y??m??2220??3m)1)?16(m(204m??由已知得，得，m2,2)?(分得实数；的取值范围是---5mm?d?0?y?m3l:x?(0,0)C到直线分的距离为，（2）因为圆心 ----7213?2m222m?4?AB=2r??d1?2所以421??m3m=4?.---10由已知得分，解得P GPC中点为）证明：取，18、解：（1PCPCDG△PDF 中点，中，∵在中点，是是F1G CDFG∥，------------------2∴，且分CDFG?D A2ABCD 又∵底面是菱形，EO CDAB∥，∴CB ABE∵中点，是1CD∥BE，∴，且CDBE?2FG?∥FGBEBE∴，且，BGEF∥BEFG--------------------------------4分，∴四边形是平行四边形，∴PBC??PBCBGEF，平面，平面又PBC∥EF分∴平面．--------------------------------66（）证明：设，则是中点，O?ACBDOBD2∵底面是菱形，ABCD∴，-------------------------8分ACBD⊥又∵，是中点，OBDPDPB?∴，-----------------------------10分POBD⊥又，OPO?AC∴平面．----------------------------12分PAC⊥BD x?y?a.............1分）∵切线在两坐标轴上截距相等且不为零，设直线方程为 19.（12C，..............3-1,2分）到切线的距离等于圆半径∴圆心（?1?2?a2 ...................4分即=2a??1a?3..................5 ∴或分x?y?3?001?x?y?………………6分所求切线方程为：或y轴，此时，交点坐标为(0,1),(0,3),线段长为2，符合2（）当直线斜率不存在时，直线即为x?0.................8分故直线kx?y?0kxy?当直线斜率存在时，设直线方程为，即由已知得，圆心到直线的距离为1，.................9分?k?23?1?k??，.................11分则42?1k3xy??直线方程为43x?0y?x?，综上，直线方程为. ................12分422 PA=AD=2，PD=、（方法1）（1）∵PA=PB=AB=2，20131SS3??2??2?2?2?2，==∴PABPAD??222设点B到平面PAD 的高为h,由V=V得D-PABB-PAD11113h??2gh2g3gADSSggh?即分∴5 ……………………PABPAD??3333方法二：过B作PA的垂线BE7BE?PA，AD?BE,AD?PA?A?BE?面PAD即BE为点B到面PAD距离?PAB为边长为2的正三角形3??3BE?2?2(2)①在△PAB中，PA=PB=AB=2 ∴PO ⊥ABPO?平面PAB ∴PO ⊥ADPAB，由（1）知AD⊥平面ABAD?AAB,AD?平面ABCD∴PO ⊥平面，ABCD而BD?平面∵ABCD ∴PO ⊥BD又OE⊥BD ∴BD ⊥PE ∴BD⊥平面POE∴∠PEO为二面角P-BD-A的平面角……………………9分11222AC??22?OE?3??AOPO?PA，②442PO30 ∴分在△POE中，∠POE=90．……………………12?PEO??6tan?OE22，又为正三角形，，且21．解析：（Ⅰ）证明：，，所以--------------2分，，所以，又， --------------------------------4又分， //，，，--------------------------------5平面分所以平面.---------------------------6平面分，所以平面又因为，因为，（Ⅱ）如图，连接交于点//， --------------------7分，所以，且 //连接，因为分，，所以平面//，则---98，的距离为由（Ⅰ）点2到平面 ----------10到平面分的距离为所以点，所以， .-----------------12分即四面体的体积为重合，则有（Ⅰ）由与,--------------------------2分 22．解析：所以因为，,DEAD?D?BD DE BDEAD?平面分,----------------------4分,平面所以. --------------------6. ,作（Ⅱ）于，连接如图，作于可得故,可得平面由平面平面且平面由,分故在平面图形中，.--------------------8三点共线且,,-------------------10设分，由，故，，所以分 .---------------------129。