最新人教版高中数学选修2-3《离散型随机变量的均值》知识讲解2
离散型随机变量的均值PPT课件(人教版)
问题提出
某商场将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的三种糖果 按3︰2︰1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？
把3种糖果的价格看成随机变量X的概率散布列：
X
18
24
36
3
2
1
P
6
6
6
思考：每1kg混合糖果的合理定价与这个散布列有什么关系？
合理定价＝随机变量的每个取值×其对应的概率
已知离散型随机变量X的散布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
思考：
设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量．
（1） Y的散布列是什么？ （2） EY= aEX b
Y ax1+b ax2+b … axi+b … axn+b
P
p1
p2
…
pi
…
pn
例题选讲
【例1】已知离散型随机变量 ξ的散布列为：
ξ
0
P
1/4
1/2
1/4
求η1=3ξ+2与 η2=ξ2 的散布列和期望。
期望的运算只能用于线性关系的情况
例题选讲
【例2】篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中得0 分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分 X的均值是多少？
基本结论
1、若随机变量X服从两点散布，则 EX=p 2、若X～B(n，p)，则 EX＝np
概念生成
一般地，若离散型随机变量X的散布列为
X
x1
x2
…
xi
…
《离散型随机变量的均值》知识解读
《离散型随机变量的均值》知识解读1.离散型随机变量的均值的概念 一般地,若离散型随机变量X 的分布列为则称11221()ni i n n i i i E X x p x p x p x p x p ==+++++=∑为随机变量X 的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 2.对离散型随机变量的均值的理解均值(数学期望)是随机变量的一个重要特征数,它反映了随机变量取值的平均水平.随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位.均值这一概念是建立在随机变量分布列的基础之上的,分布列中随机变量X 的一切可能值i x 与对应的概率()i P X x =的乘积的和就叫作随机变量X 的均值. 由于离散型随机变量X 的每一种可能取值的概率满足11ni i p ==∑,因而离散型随机变量X 的均值()E X 是以概率i p 为权数的加权平均.离散型随机变量的分布列和均值虽然都是从整体上刻画随机变量的,但二者大有不同.分布列只给出了随机变量取所有可能值的概率,而均值建立在分布列的基础之上,它反映了随机变量取值的平均水平或集中位置. 3.随机变量的均值(数学期望)与平均数 对于n 个数()12121,,,,n n x x x x x x x n=+++为这n 个数的平均数.从随机变量的角度解决这个问题,设X 为从这n 个数中任取的一个数,则X 所有可能的取值便为12,,,n x x x .因为(P X =)1(1,2,,)i x i n ==,所以X 的分布列为1231111()n E X x x x x n n nn =⋅+⋅+⋅++⋅(2311)n x x x x n=++++.不难看出均值(数学期望)的定义是初中所学平均数定义的推广. 4.随机变量的均值与样本的平均值的区别和联系区别:随机变量的均值是一个常数,它不依赖样本的抽取,而样本的平均值是一个随机变量,它是随着样本的不同而变化的.联系:对于简单随机抽样,随着样本容量的增加,样本的平均值越来越接近总体的均值.因此,我们常用样本的平均值来估计总体的均值. 5.对随机变量均值的线性性质的理解如果Y aX b =+,其中X 是随机变量,,a b 是常数,随机变量X 的均值是()E X . (1)当0a =时,()E b b =,即常数的均值就是这个常数本身.(2)当1a =时,()()E X b E X b +=+,即随机变量X 与常数之和的均值等于X 的均值与这个常数之和.(3)当0b =时,()()E aX aE X =,即常数与随机变量X 乘积的均值等于这个常数与X 的均值的乘积. 公式证明:如果Y aX b =+,其中,a b 为常数,X 是随机变量,那么Y 也是随机变量.因为()(),1,2,3,,i i P Y ax b P X x i n =+===,所以Y 的分布列为于是()()()1122()n n E Y ax b p ax b p ax b p =++++++=()()112212()n n n a x p x p x p b p p p aE X b +++++++=+,即()()E aX b aE X b +=+.。
人教课标版高中数学选修2-3：《离散型随机变量的均值与方差(第2课时)》教案-新版
2.3 离散型随机变量的均值与方差（第2课时）一、教学目标 1．核心素养通过对离散型随机变量的方差的学习，更进一步提高了学生的数学建模能力和数学运算能力． 2．学习目标（1）通过实例，理解取得有限值的离散型随机变量的方差的概念 （2）能计算简单离散型随机变量的方差 （3）并能够解决一些实际问题. 3．学习重点离散型随机变量的方差的概念、公式及其应用. 4．学习难点灵活利用公式求方差.． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 任务1阅读教材P64－P67，思考：方差、标准差的定义是什么？它们各自反应了什么？ 任务2若随机变量X 服从两点分布，则方差为多少？若服从二项分布呢？ 任务3根据方差的计算过程，可得到它的什么性质？ 2．预习自测（1）已知随机变量x 的分布列则()X D =__________.（2）若随机变量⎪⎭⎫⎝⎛3210~，B X ，则方差DX=________.（二）课堂设计 1．知识回顾(1)均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 n n p x p x p x E +++=...2211ξ为ξ的均值或数学期望，简称期望．(2)均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (3)均值或期望的一个性质:若b aX Y +=，其中b a ,是常数(X 是随机变量)，则Y 也是随机变量， 且有b aEX b aX E +=+)(①当0=a 时，b b E =)(，即常数的数学期望就是这个常数本身；②当1=a 时，b EX b X E +=+)(，即随机变量X 与常数之和的期望等于X 的期；③当0=b 时，aEX aX E =）（，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.(4)①若X 服从两点分布，则p X E =)(； ②若ξ～),,(p n B 则np X E =)(. 2．问题探究问题探究一 随机变量方差的定义要从两名同学中挑选出一名同学代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数的分布列为如果每班只能一人参加年级比赛，你觉得应该让甲乙谁代表班级参赛? 通过计算分析： E （X 1）=5， E （X 2）=5，所以从均值比较不出两名同学的水平高低．数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示随机变量在随机试验中取值的平均值．但有时两个随机变量只用这一个特征量是无法区别它们的，还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行刻画．但显然两名同学的水平是不同的，要进一步去分析成绩的稳定性． 我们可以定义离散型随机变量的方差．(给出定义)方差：对于离散型随机变量X ，如果它所有可能取的值是n x x x ,....,,21，且取这些值的概率分别是n p p p ,....,,21，那么，n n p X E x p X E x p X E x X D ⋅-++⋅-+⋅-=2222121))((...))(())(()(称为随机变量X 的方差，式中的)(X E 是随机变量X 的均值．标准差：)(X D 的算术平方根)(X D 叫做随机变量X 的标准差，记作)(X σ．随机变量X 的方差、标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；数值越大，说明随机变量取值波动越大，越不稳定；请分别计算探究中两名同学各自的射击成绩的方差.(进一步探究认识用随机变量方差来反映取值的稳定情况)第一名同学5.1)(,8)(==X D X E 第二名同学82.0)(,8)(==X D X E结论：第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于8环左右.对“探究”的再思考(1)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该派哪一名选手参赛？ (2)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在8环左右，本班应该派哪一名选手参赛？ 问题探究二 常见随机变量方差及随机变量方差的性质 ①若X 服从两点分布，则)1()(p p X D -= 若),(~p n B X ，则)1()(p np X D -=．②方差的性质：)()(2X D a b aX D =+；22))(()()(X E X E X D -=. 3.运用新知例1有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为X ，求)(X E ，)(X D .【知识点：期望、方差】解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以X ～B(200,1%)．因为np X E =)(，)1()(p np X D -=，这里n ＝200，p ＝1%.所以)(X E =200×1%＝2，)(X D ＝200×1%×99%＝1.98. 例2已知随机变量X 的分布列为若E (X )＝23. (1)求D (X )的值；(2)若Y ＝3X －2【知识点：离散型随机变量期望、方差及方差的性质】 解:由12＋13＋p ＝1，得p ＝16.又E (X )＝0×12＋1×13＋16x ＝23， ∴x ＝2.(1)D (X )＝(0－23)2×12＋(1－23)2×13＋(2－23)2×16＝1527＝59. (2)∵Y ＝3X －2，∴D (Y )＝D (3X －2)＝9D (X )．==练习1 设X ～B (n ，p )，且E (X )＝12，D (X )＝4，则n 与p 的值分别为( ) A ．18，13 B ．12，23C ．18，23D ．12，13 【知识点：离散型随机变量方差及方差的性质】答案：由X ～B (n ，p )，则4)(,12)(====npq X D np X E ，所以32,18==p n . 练习2 设p 为非负实数，随机变量X 的概率分布为：求E (X )与D (X )的最大值． 解:根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤p <1，0≤12－p <1，解得0≤p ≤12.因为E (X )＝－1×(12－p )＋0×p ＋1×12＝p ， 所以当p ＝12时，E (X )取得最大值，为12.因为D (X )＝(－1－p )2(12－p )＋(0－p )2p ＋(1－p )2×12＝－p 2－p ＋1＝－(p ＋12)2＋54，故当p ＝0时，D (X )取得最大值为1.【知识点：离散型随机变量期望、方差及二次函数的性质】 4．课堂总结 重点难点突破（1）求离散型随机变量均值与方差的方法步骤： ①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； ②求X 取每个值的概率； ③写出X 的分布列； ④由方差的定义求)(X D ．（2）方差的性质：（1）)()(2X D a b aX D =+；22))(()()(X E X E X D -=. （2）若X 服从两点分布，则()=(1)D X p p -； （3）若ξ～),,(p n B 则(1)D np p ξ=-；（4）方差DX 表示，DX 越大，表示，说明X 的取值越分散；DX 越小，表示，说明X 的取值越集中稳定.（5）方差公式的几种形式：22122))(()())(())(()(X E X E p X E x X E X E X D i ni i -=⋅-=-=∑=.方差的意义数学期望反映了随机变量取值的平均水平，但有时只知道数学期望还不能解决问题，还需要知道随机变量的取值在均值周围变化的情况，即方差．①随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．②随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；③标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛. 5．随堂检测1.若随机变量X 满足P （x ＝c ）＝1，其中c 为常数，则()X E =________，()X D _______.2.已知随机变量X 的分布列为则()X E 与()X D 的值为( )(A) 0.6和0.7 (B)1.7和0.3 (C) 0.3和0.7 (D)1.7和0.213.已知()5.0100~，B X 则()X E =___,()X D =____. ()12-X E =____,()12-X D =____.4.有一批数量很大的商品，其中次品占1％，现从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为X ，则()X E =_____, ()X D =_______.5.已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x 1、x 2的分布列如下：试比较两名射手的射击水平.如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？（三）课后作业 基础型 自主突破1．已知随机变量ξ满足P (ξ＝1)＝0.3，P (ξ＝2)＝0.7，则E (ξ)和D (ξ)的值分别为( )A ．0.6和0.7B ．1.7和0.09C ．0.3和0.7D ．1.7和0.21 2．已知X 的分布列为则D (X )等于( )A ．0.7B ．0.61C ．－0.3D ．0 3．D (ξ－D (ξ))的值为( )A ．无法求B ．0C ．D (ξ) D ．2D (ξ) 能力型 师生共研4．甲、乙两台自动车床生产同种标准产品1 000件，ξ表示甲机床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙机床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，ξ，η的分布列分别是：据此判定()A．甲比乙质量好B．乙比甲质量好C．甲与乙的质量相同D．无法判定5．若ξ是离散型随机变量，P(ξ＝X1)＝23，P(ξ＝X2)＝13，且X1<X2，又已知E(ξ)＝43，D(ξ)＝29，则X1＋X2的值为()A.53 B.73C．3 D.1136．设ξ～B(n，p)，则有()A．E(2ξ－1)＝2np B．D(2ξ＋1)＝4np(1－p)＋1 C．E(2ξ＋1)＝4np＋1D．D(2ξ－1)＝4np(1－p)7．若随机变量X1～B(n,0.2)，X2～B(6，p)，X3～B(n，p)，且E(X1)＝2，D(X2)＝32，则σ(X3)的值是()A．0.5 B. 1.5 C. 2.5 D．3.5自助餐1.已知离散型随机变量X的分布列如下表．E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.2.变量ξ的分布列如下：其中a，b，c成等差数列．若E(ξ)＝13，则D(ξ)的值是________．3．抛掷一枚质地均匀的骰子，用X表示掷出偶数点的次数．(1)若抛掷一次，求E(X)和D(X)；(2)若抛掷10次，求E(X)和D(X)．4．有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上0,1,2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令ξ＝x·y.求：(1)ξ所取各值的分布列；(2)随机变量ξ的数学期望与方差．（四）参考答案预习自测 1.1.2 2.920 随堂检测 1.c ,0 2. D3.50, 25, 99, 1004. 2，1.985. 解：92.0106.092.081=⨯+⨯+⨯=ξE ，94.0102.094.082=⨯+⨯+⨯=ξE∴甲、乙两射手的射击平均水平相同.又8.0,4.021==ξξD D∴甲射击水平更稳定.如果对手在8环左右,派甲；如果对手在9环左右,派乙. 课后作业 基础型 1.D 2.B 3.C 能力型 4.A 5.C 6.D 7.C 自助餐 1.512, 14 2.593.解:(1)X 服从两点分布，∴E (X )＝p ＝12.D (X )＝p (1－p )＝12×(1－12)＝14. (2)由题意知，X ～B (10，12)． ∴E (X )＝np ＝10×12＝5， D (X )＝npq ＝10×12×(1－12)＝52.4.解:(1)随机变量ξ的可能取值有0,1,2,4，“ξ＝0”是指两次取的卡片上至少有一次为0，其概率为 P (ξ＝0)＝1－23×23＝59；“ξ＝1”是指两次取的卡片上都标着1，其概率为 P (ξ＝1)＝13×13＝19；“ξ＝2”是指两次取的卡片上一个标着1，另一个标着2，其概率为P (ξ＝2)＝2×13×13＝29； “ξ＝4”是指两次取的卡片上都标着2，其概率为P (ξ＝4)＝13×13＝19. 则ξ的分布列为(2)E (ξ)＝0×59＋1×19＋2×29＋4×19＝1，D (ξ)＝(0－1)2×59＋(1－1)2×19＋(2－1)2×29＋(4－1)2×19＝169.。
人教A版高中数学选修2-3课件2.3.1离散型随机变量的均值2
k n k n k
(k 0,1,2, , n)
0 n 1 1 n 1 Eξ 0 C 0 p q 1 C n np q k n k n n 0 kCk p q nC n np q
0 n 1 1 1 n 2 np(C0 p q C p n 1 n 1 q
挡住小洪水。
方案3：不采取措施，希望不发生洪水。
试比较哪一种方案好。
3.某商场的促销决策： 统计资料表明，每年国庆节商场内促销活 动可获利2万元；商场外促销活动如不遇下雨 可获利10万元；如遇下雨则损失4万元。9月 30日气象预报国庆节下雨的概率为40%，商 场应选择哪种促销方式？
X P 0 1
3
2
2
3
0.3
C 0.7 0.3
1 3
C 0.7 0.3
2 3 2
0.7
3
1 2 (2) EX 0 0.33 1 C3 0.7 0.32 2 C3 0.72 1 3 0.7
证明：若ξ～B(n，p)，则Eξ＝np
2. 决策问题：
根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为 0.25， 有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型 设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时 要损失10000元。为保护设备，有以下种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3800元。 方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能
你动心了吗?
五、巩固应用
1.一次英语单元测验由20个选择题构成，每 个选择题有4个选项，其中有且只有一个选 项是正确答案，每题选择正确答案得5分， 不作出选择或选错不得分，满分100分，学 生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在 测验中对每题都从4个选项中随机地选择一 个。求学生甲和乙在这次英语单元测验中的 成绩的期望。
选修2-3离散型随机变量及其分布知识点
离散型随机变量及其分布知识点一：离散型随机变量的相关概念；随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。
若ξ是随机变量，a b ηξ=+，其中a 、b 是常数，则η也是随机变量连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量ξ可能取的值为12i x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅、ξ取每一个值()1,2,i x i =⋅⋅⋅的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 知识点二：离散型随机变量分布列的两个性质；任何随机事件发生的概率都满足:0()1P A ≤≤，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：(1) 01,2,i p i ≥=⋅⋅⋅，；12(2) 1P P ++=特别提醒：对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即1()()()k k k P x P x P x ξξξ+≥==+=+知识点二：两点分布：若随机变量X 的分布列: 则称X 的分布列为两点分布列.特别提醒：(1)若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1)为成功率.(2)两点分布又称为0-1分布或伯努利分布(3)两点分布列的应用十分广泛,如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等；都可以用两点分布列来研究.知识点三：超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则(),0,1,,min{,},,,.k n kM N MnNC C P X k k m m M n n N M N C --===⋅⋅⋅=≤≤其中称超几何分布列.为超几何分布列，知识点四：离散型随机变量的二项分布；在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是kn k k n n q p C k P -==)(ξ，（0,1,2,3,k =…， p q -=1）于是得到随机变量ξ的概率分布如下：由于k k n knC p q -恰好是二项式展开式： 00111()n n n k k n kn n n n n n p q C p q C p q C p q C p q --+=+++++中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作(,)B n p ξ，其中n ，p 为参数，并记(,,)k k n kn C p q b k n p -=知识点五：离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ，()k p A p =，(), (1)k p A q q p ==-，那么112311231()()()()()()()k k k k k P k P A A A A A P A P A P A P A P A q p ξ---====(0,1,2,k =…，p q -=1)于是得到随机变量ξ的概率分布如下：称这样的随机变量ξ服从几何分布， 记作1(,),0,1,2,,1.k g k p q p k q p -===-其中知识点六：求离散型随机变量分布列的步骤；(1)要确定随机变量ξ的可能取值有哪些.明确取每个值所表示的意义；(2)分清概率类型，计算ξ取得每一个值时的概率（取球、抽取产品等问题还要注意是放回抽样还是不放回抽样；(3)列表对应，给出分布列，并用分布列的性质验证. 几种常见的分布列的求法：(1)取球、投骰子、抽取产品等问题的概率分布，关键是概率的计算.所用方法主要有划归法、数形结合法、对应法等对于取球、抽取产品等问题，还要注意是放回抽样还是不放回抽样.(2)射击问题：若是一人连续射击，且限制在n 次射击中发生k 次，则往往与二项分布联系起来；若是首次命中所需射击的次数，则它服从几何分布，若是多人射击问题，一般利用相互独立事件同时发生的概率进行计算.(3)对于有些问题，它的随机变量的选取与所问问题的关系不是很清楚，此时要仔细审题，明确题中的含义，恰当地选取随机变量，构造模型，进行求解. 知识点六：期望数学期望:则称=ξE +11p x 22p x n n 数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
《离散型随机变量的均值》人教版高中数学选修2-3PPT课件(第2.3.1课时)
新知探究
例题5 某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km时租车费为10元，若行驶路程超出4km， 则按每超出lkm加收2元计费(超出不足lkm的部分按lkm计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路 程为15km．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车 时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的 行车路程ξ是一个随机变量．设他所收租车费为η.
新知探究
例题2 随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数X的均值.
x
1
2
3
4
5
6
P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
解 ：EX = 1 1 + 2 1 + ... + 6 1 = 7
66
62
新知探究
例题3 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球 1次的得分X的均值是多少？
18× (1/2)+24× (1/3)+36× (1/6)=23(元/kg).
它是三种糖果价格的一种加权平均，这里的权数分别是1/2，1/3和1/6. 权是秤锤，权数是起权衡轻重作用的数值.加权平均是指在计算若干个数量的平均数时，考虑到 每个数量在总量中所具有的重要性不同，分别给予不同的权数. 如果混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，你能解释权数的实际含义吗？
18
24
36
P
1/2
1/3
1/6
因此权数恰好是随机变量X取每种价格的概率.
新知探究
知识要点 1.均值
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
人教新课标版数学高二-选修2-3课件离散型随机变量的均值
解析答案
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课堂检测
1.若随机变量 X 服从二项分布 B4，13，则 E(X)的值为( A )
4
8
13
8
A.3
B.3
C. 3
D.9
解析 E(X)＝np＝4×13＝43.
1234
解析答案
2.某射手射击所得环数ξ的分布列如下表：
答案
1.离散型随机变量的均值或数学期望 若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝ x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 为随机变量X的均值或数学期望， 它反映了离散型随机变量取值的 平均水平 . 2.均值的性质： 若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量， ①Y也是随机变量； ②E(aX＋b)＝ aE(X)＋b .
b
(1)求b； 解 由随机变量的分布列的性质，得0.5＋0.1＋b＝1， 解得：b＝0.4.
解析答案
(2)求a； 解 E(ξ)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3. 解得：a＝7. (3)若η＝2ξ－3，求E(η). 解 由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b 得：E(η)＝E(2η－3)＝2E(η)－3＝2×6.3－3＝9.6
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E(Y)＝np＝10×0.4＝4.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练2 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购 买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立. (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率； (2)X表示该地的100位车主中甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的均 值. 解 设该车主购买乙种保险的概率为p，由题意知p×(1－0.5)＝0.3，解得p ＝0.6. (1)设所求概率为P1，则P1＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8. 故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8. (2)对每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为(1－0.5)×(1－0.6)＝0.2. ∴X～B(100,0.2)，∴E(X)＝100×0.2＝20. 所以X的均值是20人.
数学人教A版选修2-3知识导航：2.3离散型随机变量的均
2.3 离散型随机变量的均值与方差知识梳理1.离散型随机变量的均值则称_____________为随机变量X的均值或数学期望.(2)离散型随机变量X的均值或数学期望反映了离散型随机变量取值的_____________.(3)若Y=aX+b，其中a、b为常数，则EY=E(aX+b)=____________.(4)若随机变量X服从两点分布，则EX=____________.(5)若X—B(n,p)，则EX=____________.2.离散型随机变量的方差则称DX=______________为随机变量X的方差(variance),其算术平方根DX为随机变量X 的______________,记作______________.(2)随机变量的方差和标准差反映了随机变量取值偏离于均值的______________，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的______________.3.D(aX+b)= ______________.若X服从两点分布，则DX=______________.若X—B(n,p)，则DX=______________.知识导学要学好离散型随机变量的均值与方差，首先要理解什么是随机变量，其次是能列出随机变量的分布列，这归根到底是要掌握概率的相应知识.这一节内容事实上是概率知识的引申，而随机变量的均值与方差是统计中两个最重要的量.对于离散型随机变量的均值，要理解随机变量的均值Eξ是一个数值，是随机变量ξ本身所固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平.对于离散型随机变量的方差，要了解掌握它的必要性.因为在实际问题中，有时仅凭均值还难以确切地反映随机变量的分布特征，还必须进一步考虑其偏离均值的离散程度，即方差大小.方差与均值相同，也是随机变量ξ本身所固有的一个数字特征，也不具有随机性，它反映随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.疑难突破1.求离散型随机变量的均值或方差剖析:求离散型随机变量的均值常分为两步：①列出随机变量的分布列；②计算随机变量的均值.求离散型随机变量的方差常分为以下三步：①列出随机变量的分布列；②求出随机变量的均值；③求出随机变量的方差.2.如何证明下列结论？(1)D(aX+b)=a2DX；(2)若X服从两点分布，则DX=p(1-p)；(3)若X—B(n,p)，则DX=np(1-p).剖析:证明：(1)D(aX+b)=∑=+-+ni i ip b aX E b ax12)]()[(=DX a p EX xap aEX ax ni i ini i i212212)()(=-=-∑∑==.(2)若X 服从两点分布，则EX=p ，所以 DX=(0-p)2(1-p)+(1-p)2p=p(1-p).(3)若X —B(n,p)，则EX=np ，设q=1-p ， DX=kn k k n nk kn k k nnk q p C p n npk k qp Cnp k -=-==+-=-∑∑022202)2()( =∑∑∑=--==-+-nk k n k k nkn knk k nnk kn k knq p Cpn qp kC np qp C k220022=22022p n np np q p C knk k n k k n +∙-∑=-=∑=--nk k n k k n p n q p C k0222=∑∑=-=-+-nk kn k k n nk kn k knq p kC qp Ck k 0)1(, 而np q p C k k qp C knk kn k k n nk kn k kn+-=∑∑=-=-22)1( =∑=------+-nk k n k k n np q p Cpn n 2)2()2(2222)1(=n(n-1)p 2+np,∴DX=n(n-1)p 2+np-n 2p 2=np(1-p) =np q p C k k qp kC qp Ck k kn k k n nk nk kn kk nnk kn k k n+-=+--==-=-∑∑∑2)1()1( =)2()2(22222)1(----=--∑-k n k nk k n q p Cpn n +np=n(n-1)p 2+np.∴DX=n(n-1)p 2+np-n 2p 2=np(1-p).。
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2.3.1 离散型随机变量的均值1．离散型随机变量的均值或数学期望(1)则称________________为随机变量X 的均值或数学期望． (2)意义：离散型随机变量X 的均值或数学期望反映了离散型随机变量取值的________． (3)性质：如果X 为离散型随机变量，则Y ＝aX ＋b (其中a ，b 为常数)也是随机变量，且E (Y )＝E (aX ＋b )＝________.预习交流1(1)随机变量的均值与样本平均值有何联系与区别？ (2)随机变量X 的分布列为则其数学期望为( )． A ．1 B.13C ．4.5D ．2.2(3)若随机变量X 的期望为E (X )＝2，则E (2X ＋1)＝__________. 2．两点分布、二项分布的均值(1)若随机变量X 服从两点分布，则E (X )＝__(p 为成功概率)． (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝____. 预习交流2若随机变量X ～B (5,0.3)，则E (X )＝__________.答案：1．(1)E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n (2)平均水平 (3)aE (X )＋b 预习交流1：(1)提示：①随机变量的均值是常数，而样本的均值随样本的不同而变化；②对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本均值就越来越接近总体的均值．(2)提示：E (X )＝1×0.5＋3×0.3＋4×0.2＝2.2. (3)提示：5 2．(1)p (2)np预习交流2：提示：E (X )＝5×0.3＝1.5.一、求离散型随机变量的均值从装有2个红球，2个白球和1个黑球的袋中逐一取球，已知每个球被抽到的可能性相同．若抽取后不放回，设取完红球所需的次数为X ，求X 的分布列及期望．思路分析：先确定好抽取次数X 的取值，再求出对应的概率，从而得到X 的分布列及期望．在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； (2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望．求离散型随机变量ξ的均值的步骤：(1)根据ξ的实际意义，写出ξ的全部取值； (2)求出ξ的每个值的概率； (3)写出ξ的分布列； (4)利用定义求出均值．二、离散型随机变量的期望的性质已知随机变量ξ若η＝aξ＋3，E (η)＝73，则a ＝( )．A ．1B ．2C ．3D ．4思路分析：先由分布列的性质求出m ，从而可求E (ξ)，利用期望的性质E (η)＝aE (ξ)＋3求出a .设ξ的分布列为，又设η＝2ξ＋5，则E (η)＝__________.若给出的随机变量ξ与X 的关系为ξ＝aX ＋b ，a ，b 为常数．一般思路是先求出E (X )，再利用公式E (aX ＋b )＝aE (X )＋b 求E (ξ)．三、二项分布的均值及其应用某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为12，若中奖，商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2 300元的台式电脑一台，得到奖券4张．每次抽奖互不影响．(1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为ξ，求ξ的分布列；(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为η(元)，用ξ表示η，并求η的数学期望．思路分析：由题意知抽奖券4次，相当于独立重复试验4次，每次中奖的概率为12，所以ξ服从二项分布，从而求解相应的问题．某俱乐部共有客户3 000人，若俱乐部准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为4%.问俱乐部能否向每一位客户都发出领奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，俱乐部至少应该准备多少礼品？(1)如果随机变量X 服从两点分布，则其期望值E (X )＝p (p 为成功概率)．(2)如果随机变量X 服从二项分布即X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，以上两特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程．四、数学期望的应用(2011福建高考，理19)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，…，8，其中X ≥5为标准A ，X ≥3为标准B.已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件．假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．(1)且X 1的数学期望E (X 1)＝6，求a ，b 的值．(2)为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 56 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的数学期望． (3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：(1)产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望产品的零售价；(2)“性价比”大的产品更具可购买性． 思路分析：(1)根据题意，结合均值的计算与概率分布列的性质列方程组，解之即可；(2)将频率视为概率，先由数据得到样本的频率分布列，进而可得其概率分布列，由均值公式可得答案；(3)由题意及(2)的结论，可得两厂产品的均值，结合题意，计算可得他们产品的“性价比”，比较其大小，可得答案．某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品，则获利4万元，若是二等品，则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品，则获利6万元，若是二等品，则亏损2万元．两种产品生产的质量相互独立．设生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润为X ，求X 的分布列和该工厂生产甲、乙产品各1件获得利润的期望．(1)实际问题中的均值问题均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计．(2)概率模型的解答步骤①审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些． ②确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值． ③对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．答案：活动与探究1：解：由题意知X 的取值为2,3,4,5. 当X ＝2时，表示前2次取的都是红球，∴P (X ＝2)＝A 22A 25＝110；当X ＝3时，表示前2次中取得一红球，一白球或黑球，第3次取红球，∴P (X ＝3)＝C 12C 13A 22A 35＝15；当X ＝4时，表示前3次中取得一红球，2个不是红球，第4次取红球，∴P (X ＝4)＝C 12C 23A 33A 45＝310； 当X ＝5时，表示前4次中取得一红球，3个不是红球，第5次取红球，∴P (X ＝5)＝C 12C 33A 44A 55＝25.∴X 的分布列为∴数学期望E (X )＝2×110＋3×15＋4×310＋5×25＝4.迁移与应用：解：只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数．(1)设A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P (A )＝1－P (A )＝1－C 23C 26＝1－15＝45.(2)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4，且 P (ξ＝0)＝5C 26＝13，P (ξ＝1)＝4C 26＝415，P (ξ＝2)＝3C 26＝15，P (ξ＝3)＝2C 26＝215，P (ξ＝4)＝1C 26＝115.从而知ξ∴E (ξ)＝0×13＋1×415＋2×15＋3×215＋4×115＝43.活动与探究2：B 解析：由分布列的性质得12＋13＋m ＝1，∴m ＝16.∴E (ξ)＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13.∴E (η)＝E (aξ＋3)＝aE (ξ)＋3＝－13a ＋3＝73，∴a ＝2.迁移与应用：323 解析：E (ξ)＝1×16＋2×16＋3×13＋4×13＝16＋26＋66＋86＝176.∴E (η)＝E (2ξ＋5)＝2E (ξ)＋5＝2×176＋5＝323.活动与探究3：解：(1)由于每张奖券是否中奖是相互独立的， 因此ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，12. ∴P (ξ＝0)＝C 04×⎝⎛⎭⎫124＝116， P (ξ＝1)＝C 14×⎝⎛⎭⎫124＝14， P (ξ＝2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫124＝38，P (ξ＝3)＝C 34×⎝⎛⎭⎫124＝14， P (ξ＝4)＝C 44×⎝⎛⎭⎫124＝116. 其分布列为(2)∵ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，12， ∴E (ξ)＝4×12＝2.又由题意可知η＝2 300－100ξ，∴E (η)＝E (2 300－100ξ)＝2 300－100E (ξ) ＝2 300－100×2＝2 100元． 即所求变量η的期望为2 100元．迁移与应用：解：设来领奖的人数ξ＝k (k ＝0，1，…，3 000)，所以P (ξ＝k )＝C k 3 000(0.04)k (1－0.04)3 000－k， 则ξ～B (3 000,0.04)，那么E (ξ)＝3 000×0.04＝120(人)＞100(人)． ∴俱乐部不能向每一位客户都发送领奖邀请．若要使每一位领奖人都得到礼品，俱乐部至少应准备120份礼品．活动与探究4：解：(1)因为E (X 1)＝6， 所以5×0.4＋6a ＋7b ＋8×0.1＝6， 即6a ＋7b ＝3.2.又由X 1的概率分布列得0.4＋a ＋b ＋0.1＝1， 即a ＋b ＝0.5.由⎩⎪⎨⎪⎧6a ＋7b ＝3.2，a ＋b ＝0.5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.3，b ＝0.2.(2)用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X 2的概率分布列如下：所以E (X 2)＝3P (X 2＝3)＋4P (X 2＝4)＋5P (X 2＝5)＋6P (X 2＝6)＋7P (X 2＝7)＋8P (X 2＝8)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8.即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. (3)乙厂的产品更具可购买性．理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为66＝1.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为4.84＝1.2. 据此，乙厂的产品更具可购买性．迁移与应用：解：由题设知，X 的取值为10,5,2，－3.P (X ＝10)＝0.8×0.9＝0.72，P (X ＝5)＝0.2×0.9＝0.18，P (X ＝2)＝0.8×0.1＝0.08，P (X＝－3)＝0.2×0.1＝0.02.∴X 的分布列为E (X )＝10×0.72＋5∴获得利润的期望为8.2万元．1．若随机变量ξ则E (ξ)＝( )． A ．1 B ．1.8C ．2.4D ．0.62．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝14，k ＝1,2,3,4，则E (X )的值为( )．A ．2.5B ．3.5C ．0.25D ．2 3．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．则E (ξ)＝( )．A ．1.48B ．0.76C ．0.24D ．14．若随机变量η～B (5,0.2)，则E (2η＋1)的值为__________．5．(2011ξ的概率分布列如下表：请小牛同学计算ξ的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝__________.答案：1．B 解析：E (ξ)＝0×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝1.8.2．A 解析：E (X )＝1×14＋2×14＋3×14＋4×14＝2.5.3．A 解析：ξE (ξ)＝1×0.76＋3×0.24＝1.48.4．3 解析：E (η)＝np ＝5×0.2＝1， ∴E (2η＋1)＝2E (η)＋1＝3.5．2 解析：设P (ξ＝1)＝P (ξ＝3)＝a ，P (ξ＝2)＝b ，则2a ＋b ＝1. 于是，E (ξ)＝a ＋2b ＋3a ＝2(2a ＋b )＝2.。