高三数学-2018--第九章直线、平面、简单几何体 精品

第九章直线、平面、简单几何体1．（2018年福建卷）已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于 （ D ）（A） （B）3 （C）3 （D）32．（2018年福建卷）对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是 （C ） （A ）若,,m m n α⊥⊥则n α∥ （B ）若m αα∥,n ∥,则m ∥n（C ）若,m n αα⊂∥,则m ∥n （D ）若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n3．（2018年安徽卷）表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为A．3 B ．13π C ．23π D．3解：此正八面体是每个面的边长均为a 的正三角形，所以由8=1a =，A 。

4．（2018年安徽卷）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1，2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面α的距离可能是：①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7 以上结论正确的为______________。

（写出所有正确结论的编号．．） 解：如图，B 、D 、A 1到平面α的距离分别为1、2、4，则D 、A 1的中点到平面α的距离为3，所以D 1到平面α的距离为6；B 、A 1的中点到平面α的距离为52，所以B 1到平面α的距离为5；则D 、B 的中点到平面α的距离为32，所以C 到平面α的距离为3；C 、A 1的中点到平面α的距离为72，所以C 1到平面α的距离为7；而P 为C 、C 1、B 1、D 1中的一点，所以选①③④⑤。

5．（2018年广东卷）给出以下四个命题①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面; ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是A.4B.3C.2D.15、①②④正确，故选B. 6．（2018年广东卷）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为ABCDA 1B 1C 1D 1第16题图α6、ππ274233332==⇒=⇒=R S R d 7．（2018年陕西卷）已知平面α外不共线的三点,,A B B 到α的距离都相等，则正确的结论是 （D ）（A ）平面ABC 必不垂直于α （B ）平面ABC 必平行于α （C ）平面ABC 必与α相交（D ）存在ABC ∆的一条中位线平行于α或在α内 8．（2018年陕西卷）水平桌面α上放有4个半径均为2R 的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）。

在这4个球的上面放一个半径为R 的小球，它和下面的4个球恰好相切，则小球的球心到水平桌面α的距离是＿3R ＿。

(4) ( 2018年重庆卷)对于任意的直线l 与平同a ,在平面a 内必有直线m ,使m 与l (C) (A)平行 （B ）相交(C)垂直 (D)互为异面直线9. （2018年上海春卷）正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为316. 10．（2018年全国卷II ）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为(A )（A ）316 (B )916 (C )38 (D )93211．（2018年全国卷II ）如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β， AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6，过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，则A B ∶A ′B ′＝ (A ) （A ）2∶1 （B ）3∶1 （C ）3∶2 （D ）4∶312．（2018年四川卷）已知二面角l αβ--的大小为060，,m n 为异面直线，且,m n αβ⊥⊥，则,m n 所成的角为（B ）（A ）030 （B ）060 （C ）090 （D ）012013．（2018年四川卷）已知球O 的半径是1，,,A B C 三点都在球面上，,A B 两点和,A C 两点的球面距离都是4π，,B C 两点的球面距离是3π，则二面角B OA C --的大小是（C ） （A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）23π14．（2018年四川卷）在三棱锥0ABC -中，三条棱,,OA OB OC 两两互相垂直，且,OA OB OC M ==是AB 边的中点，则OM 与平面ABC 所成角的大小是αβA B A ′B ′_____（用反三角函数表示）15．（2018年天津卷）设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（ B ）A ．βαβα⊥⇒⊥⊂⊥n m n m ,,B ．n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,,//C ．n m n m ⊥⇒⊥⊥βαβα//,,D ．ββαβα⊥⇒⊥=⊥n m n m ,, 16．（2018年天津卷）如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，1=AB ．若二面角1C AB C --的大小为60，则点C 到平面1ABC 的距离为_____34________． 17. （2018年湖北卷）关于直线m 、n 与平面α、β，有下列四个命题：①βα//,//n m 且βα//，则n m //； ②βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥； ③βα//,n m ⊥且βα//，则n m ⊥； ④βα⊥n m ,//且βα⊥，则n m //. 其中真命题的序号是：（D ）A. ①、②B. ③、④C. ①、④D. ②、③ 17．解选D 。

在①、④的条件下，,m n 的位置关系不确定。

18．（2018年全国卷I ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π18．由V Sh =，得4S =，得正四棱柱底面边长为2。

该正四棱柱的主对角线即为球的直径，所以：球的体积()222222'44224242D V r D πππππ⎛⎫====++= ⎪⎝⎭。

选C 。

正棱柱要满足的两个条件：⑴ 侧棱与底面垂直；⑵ 底面是正多边形。

19．（2018年全国卷I ）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为面所成的二面角等于_____3π（或60︒）__________。

19．底面正方形面积(21122S ==，底面边长a =3Vh S =，二面角的余切值tan /2ha θ=。

代入数据，得：tan θ====又θ必为锐角，所以3πθ=。

20．（2018年江苏卷）两相同的正四棱锥组成如图1何体，可放棱长为1ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点．．．体的面上，则这样的几何体体积的可能值有 （A）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）无穷多个解：法一：本题可以转化为一个正方形可以有多少个内接正方形，显然有无穷多个法二：通过计算，显然两个正四棱锥的高均为12，考查放入正方体后，面ABCD 所在的截面，显然其面积是不固定的，取值范围是1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭，所以该几何体的体积取值范围是11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭点评：本题主要考查学生能否迅速构造出一些常见的几何模型，并不是以计算为主 21．（2018年江西卷）如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A －BEFD 与三棱锥A －EFC 的表面积分别是S 1，S 2，则必有（ ）A. S 1<S 2B. S 1>S 2C. S 1=S 2D. S 1，S 2的大小关系不能确定 解：连OA 、OB 、OC 、OD则V A －BEFD ＝V O －ABD ＋V O －ABE ＋V O －BEFD V A －EFC ＝V O －ADC ＋V O －AEC ＋V O －EFC 又V A －BEFD ＝V A －EFC 而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S ABD ＋S ABE ＋S BEFD ＝S ADC ＋S AEC ＋S EFC 又面AEF 公共，故选C 22．（2018年江西卷）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90︒，AC ＝6，BC ＝CC 1P 是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1的最小值是___________解：连A 1B ，沿BC 1将△CBC 1展开与△A 1BC 1在同一个平面内，如图所示，连A 1C ，则A 1C 的长度就是所求的最小值。

通过计算可得∠A 1C 1C ＝90︒又∠BC 1C ＝45︒ ∴∠A 1C 1C ＝135︒ 由余弦定理可求得A 1C ＝CC 1C B23．（2018年辽宁卷）给出下列四个命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行.②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等,则12,l l 互相平行. ④若直线12,l l 是异面直线,则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线.其中假．命题的个数是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】利用特殊图形正方体我们不难发现①、②、③、④均不正确，故选择答案D 。

【点评】本题考查了空间线面的位置关系以及空间想象能力，同时考查了立体几何问题处理中运用特殊图形举例反证的能力。

24．（2018年辽宁卷）若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α,则cos α=______ 【解析】不妨认为一个正四棱柱为正方体,与正方体的所有面成角相等时,为与相交于同一顶点的三个相互垂直的平面所成角相等,即为体对角线与该正方体所成角.故cos α==【点评】本题考查了直线与平面所成角的定义以及正四棱柱的概念,充分考查了转化思想的应用.25．（2018年北京卷）已知,,A B C 三点在球心为O ，半径为R 的球面上，AC BC ⊥，且AB R =，那么,A B 两点的球面距离为___13R π____________，球心到平面ABC 的距离为R ___. 26．（ 2018年浙江卷）如图，O 是半径为l 的球心，点A 、B 、C 在球面上，OA 、OB 、OC 两两垂直，E 、F 分别是大圆弧AB 与AC 的中点，则点E 、F 在该球面上的球面距离是( B )C 1B 1A(A)4π (B)3π (C)2π (D)42π 27．（ 2018年浙江卷）正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB ∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是1]2.28. ( 2018年湖南卷）棱长为2一个截面如图1,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是29．(2018年山东卷）如图，已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的 中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为 4/5 .（15题图） 30．(2018年山东卷）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2,∠DAB =60°,E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则P －DCE 三棱锥的外接球的体积为(C) (A)2734π (B)26π (C)86π (D)246π（12题图）图131．（2018年北京卷）如图，在底面为平行四边表的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点.（Ⅰ）求证：AC PB ⊥；（Ⅱ）求证：//PB 平面AEC ； （Ⅲ）求二面角E AC B --的大小.31. （Ⅰ）略；（Ⅱ）略；（Ⅲ）135。