组合问题的解决方案
高中数学排列组合问题的实际运用分析
高中数学排列组合问题的实际运用分析在高中数学中，排列组合是一个重要的概念，它在实际生活中有着广泛的应用。
本文将从几个具体的例子入手，分析排列组合问题在实际生活中的运用，并探讨其中的解题技巧。
一、购买彩票的中奖概率计算假设有一种彩票，号码从1到49，每次摇出6个号码作为中奖号码。
我们想知道购买一张彩票中奖的概率是多少。
这个问题可以用组合数的概念来解决。
购买一张彩票，需要选择6个号码，而中奖号码也是6个号码，所以我们要计算的是从49个号码中选择6个号码的组合数。
根据组合数的计算公式，我们可以得到：C(49, 6) = 49! / (6! * (49-6)!) = 13,983,816所以，购买一张彩票中奖的概率是1/13,983,816。
通过这个例子，我们可以看到排列组合在概率计算中的应用。
在解决类似的问题时，我们可以利用组合数的计算公式来得到准确的答案。
二、密码锁的解锁方式计算假设有一个密码锁，密码是4位数字，每个位上的数字都是从0到9中选择的。
我们想知道这个密码锁的解锁方式有多少种。
这个问题可以用排列数的概念来解决。
密码锁的每个位上的数字都是独立选择的，所以我们要计算的是从0到9中选择4个数字的排列数。
根据排列数的计算公式，我们可以得到：P(10, 4) = 10! / (10-4)! = 10 * 9 * 8 * 7 = 5,040所以，这个密码锁的解锁方式有5,040种。
通过这个例子，我们可以看到排列组合在密码学中的应用。
在解决类似的问题时，我们可以利用排列数的计算公式来得到准确的答案。
三、座位安排的方案计算假设一个教室里有30个学生，他们要坐在一排30个座位上。
我们想知道有多少种座位安排的方案。
这个问题可以用排列数的概念来解决。
每个学生都有一个独立的座位选择，所以我们要计算的是从30个座位中选择30个座位的排列数。
根据排列数的计算公式，我们可以得到：P(30, 30) = 30! / (30-30)! = 30!所以，座位安排的方案有30!种。
组合优化问题的解决方法探究
组合优化问题的解决方法探究组合优化问题是指在一组有限元素中，找到一个最优的子集，使其满足特定的条件。
这类问题广泛存在于各个领域，例如生产调度、网络优化、人员分配等等。
因此，研究组合优化问题的解决方法具有重要的理论和实践价值。
一、贪心算法贪心算法是一种简单而有效的解决组合优化问题的方法。
它基于局部最优解来构造全局最优解。
在每一步操作中，贪心算法总是选择局部最优解，并在此基础上进行下一步操作。
例如，在旅行商问题中，贪心算法可以按照距离从近到远地选择下一个城市，直到遍历完所有城市为止。
这种方法的优点在于简单易懂，而且有时候可以得到全局最优解。
但是，在有些问题中，贪心算法可能会陷入局部最优解而无法得到全局最优解。
二、动态规划动态规划是一种基于递推的高效解决组合优化问题的方法。
它将原问题分解成若干个相互重叠的子问题，然后通过计算每个子问题的最优解来构造原问题的最优解。
例如，在背包问题中，动态规划算法可以通过构造状态转移方程来计算每个物品是否放入背包，从而得到最大价值的解决方案。
这种方法的优点在于能够得到全局最优解，而且在某些情况下比贪心算法更为高效。
但是，动态规划算法需要存储大量的中间结果，因此需要消耗大量的存储空间。
三、分支定界算法分支定界算法是一种高效而通用的解决组合优化问题的算法。
它将原问题不断分解成子问题，并通过剪枝操作来排除无效的分支，从而找到最优解。
例如，在旅行商问题中，分支定界算法可以通过将问题分解成多个子问题，然后仅仅保留最有可能得到最优解的子问题，逐步缩小搜索空间，最终找到全局最优解。
这种方法的优点在于不需要存储大量的中间结果，而且能够在相对短的时间内找到最优解。
但是，分支定界算法要求问题中的约束条件能够被形式化表达，否则会难以应用。
四、模拟退火算法模拟退火算法是一种基于概率的解决组合优化问题的方法。
它通过随机化搜索，以一定概率接受不满足约束条件的解，从而避免陷入局部最优解。
例如，在旅行商问题中，模拟退火算法可以通过随机化选择下一个城市的方式，以一定概率接受差于当前解的解决方案。
如何求解组合问题
如何求解组合问题组合问题是数学中的一个重要分支，也是许多实际问题中常遇到的一种情况。
求解组合问题的方法有很多种，下面将介绍一些常见的解决思路和技巧。
一、排列与组合的基本概念在进入具体的解题方法之前，我们首先来了解一下组合问题的基本概念。
排列是指从给定的n个元素中选取m个元素进行排列的方式，记作A(n,m)；组合是指从给定的n个元素中选取m个元素进行组合的方式，记作C(n,m)。
排列和组合的区别在于是否考虑顺序，即排列中元素的顺序是有意义的，而组合中元素的顺序是无意义的。
二、递归法递归法是解决组合问题的一种常见方法。
递归是指在函数内部调用自身的过程。
在解决组合问题时，可以通过递归的方式来遍历所有可能的情况。
以求解C(n,m)为例，我们可以将问题分解为两个子问题：第一种情况是包含第n个元素的组合，即从剩余的n-1个元素中选取m-1个元素进行组合，记为C(n-1,m-1)；第二种情况是不包含第n个元素的组合，即从剩余的n-1个元素中选取m个元素进行组合，记为C(n-1,m)。
则C(n,m)的求解公式为C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)。
通过递归的方式，我们可以将组合问题不断分解为规模更小的子问题，直到问题规模足够小，可以直接计算出结果。
递归法求解组合问题的时间复杂度较高，需要考虑递归的层数和每层递归的时间复杂度。
三、动态规划法动态规划法是解决组合问题的另一种常见方法。
动态规划是通过将问题分解为若干个重叠子问题，并将子问题的解保存起来以便重复使用的一种算法思想。
以求解C(n,m)为例，我们可以采用动态规划法来求解。
定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示从i个元素中选取j个元素进行组合的解个数。
动态规划的求解公式为dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]，其中dp[i-1][j-1]表示包含第i个元素的组合个数，dp[i-1][j]表示不包含第i个元素的组合个数。
解排列组合应用题的26种策略
解排列组合应用题的26种策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握.解排列组合问题的基础是两个基本原理，分类用加法原理，分步用乘法原理，问题在于怎样合理地进行分类、分步，特别是在分类时如何做到既不重复，又不遗漏，正确分每一步，这是比较困难的。
要求我们周密思考，细心分析，理解并掌握解题的常用方法和技巧，掌握并能运用分类思想、转化思想、整体思想、正难则反等数学思想解决排列组合问题。
实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1、相邻排列——捆绑法：n个不同元素排列成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，有多少种不同排法？先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其它元素一起排列，共有种排法．然后再将“捆绑”在一起的元素进行内部排列，共有种方法．由乘法原理得符合条件的排列，共种．例1.五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有（）A、60种B、48种C、36种D、24种解析：把视为一人，且固定在的右边，则本题相当于4人的全排列，种，答案：.例2 有3名女生4名男生站成一排，女生必须相邻，男生必须相邻，共有多少种不同的站法？解：先把3名女生作为一个整体，看成一个元素，4名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排列成一排共有种排法；女生内部的排法有种，男生内部的排法有种．故合题意的排法有种．2.相离排列——插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.将n个不同元素排成一排，其中k个元素互不相邻，有多少种排法？先把个元素排成一排，然后把k个元素插入个空隙中，共有排法种．例3 五位科学家和五名中学生站成一排照像，中学生不相邻的站法有多少种？解：先把科学家作排列，共有种排法；然后把5名中学生插入6个空中，共有种排法，故符合条件的站法共有种站法．例4.七位同学并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种，选.3、定序问题---倍缩法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.此法也被叫消序法.将n个不同元素排列成一排，其中某k个元素的顺序保持一定，有多少种不同排法？n个不同元素排列成一排，共有种排法；k个不同元素排列成一排共有种不同排法．于是，k个不同元素顺序一定的排法只占排列总数的分之一．故符合条件的排列共种．例5.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数是（）A、24种B、60种C、90种D、120种解析：在的右边与在的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种，选.例6. A，B，C，D，E五个元素排成一列，要求A在B 的前面且D在E的前面，有多少种不同的排法？解：5个不同元素排列一列，共有种排法． A，B两个元素的排列数为；D，E两个元素的排列数为．因此，符合条件的排列法为种．4、标号排位问题---分步法：把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例7.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6种B、9种C、11种D、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选.5、留空排列——借元法例8、一排10个坐位，3人去坐，每两人之间都要留空位，共有种坐法。
排列组合问题的几种巧解方法
排列组合问题的几种巧解方法排列组合应用问题是历年高考必考题目，因其内容比较抽象、题型繁多、灵活多变、解题方法独特，与学生原有解题经验甚不相同，而成为高中数学教学的一个难点。
但只要我们认真审题，明确题目属于排列还是组合问题，或是排组混合问题，抓住问题本质特征，把握基本思想，灵活应用基本原理，注意讲究一些基本策略和方法技巧，善于分类讨论，适当转化，就能开拓思路，化难为易，使问题迎刃而解。
求解排列组合问题除了掌握两个基本原理(加法原理和乘法原理)外，没有现成的方法可套，只能根据具体问题灵活采用各种技巧。
本文就此通过一些实例介绍一下解决此类问题的一些常见的技巧。
一、对等法。
在有些问题中，某种限制条件的肯定与否定是对等的，各占全体的二分之一，在求解中只要求出全体，就可以得到所求。
例如：期中安排考试科目9门，语文要在数学之前考，有多少种不同的安排顺序？分析：对于任何一个排列问题，就其中的两个元素来讲的话，他们的排列顺序只有两种情况，并且在整个排列中，他们出现的机会是均等的，因此要求其中的某一种情况，能够得到全体，那么问题就可以解决了。
并且也避免了问题的复杂性。
解：不加任何限制条件，整个排法有种，“语文安排在数学之前考”，与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的，所以语文安排在数学之前考的排法共有种。
二、插入法。
对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题，可以用插入法，即先排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素后的空档之中即可。
例如：学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。
8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法?分析：此题涉及到的是不相邻问题，并且是对老师有特殊的要求，因此老师是特殊元素，在解决时就要特殊对待。
所涉及问题是排列问题。
解：先排学生共有种排法，然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插，选其中的4个空档，共有种选法。
根据乘法原理，共有的不同坐法为种。
解决排列组合问题的九种方法
例９ ８人排成前后两 排 ， 每排 ４人 ， 其 中甲乙在前 排 ，
共有 多少种 不同的排法？ 况较少 ， 于是可将 甲 乙两人 所有 的选 法 ， 减 去两人 所选 两 丙在后排 ， 分 析 原 题 可 以转 化 为 ８个 人 排 成 一 排 ， 其 中 甲 乙 必 门都 不 同 的选 法 。 而丙 必须 排在后 ４个位 置中。 解 可先求出所有两人各选修 ２ ｆ １ 的种数 Ｃ ： Ｃ ； ＝ ３ ６ ， 须排在前 ４个位置 中，
般地 ， 将 ｎ 个相 同 的元 素分成 ｍ份 （ ｎ ， ｍ为正 整数 ） ， 每 排的 ｎ一１ 个空 隙中 ， 所有分法数为 ｃ Ｌ － 。
八、 顺 序 固定 问题 作 除 法
份至少一个元素 ， 可以用 ｍ一１ 块 隔板 ， 插入 ｎ个元素 排成
一
例８ 若 把组成 下列单 词 中的每个字母 作各种 排列 ， 恰 好有 ４ ２ ０种 排 法 的单 词 是 （
再求出两人所选两门都不同的种数均为 ｃ ｃ ； ＝ ６ ， 故至少
有 １门相 同的 选 法 有 ３ ６—６＝ ３ ０种 。
解
８ 人 排前后两排 ， 相 当于 ８人 坐 ８把椅子 ， 可以把
椅 子 排 成 一 排 。先 排 前 ４个 位 置 的 特 殊 元 素 甲 乙 有
再排后 ４个位置上 的特 殊元 素丙有 种 ， 其 余 的 ５人 从 正面 直接计算不 复杂时就 直接进行计算 ， 若 种 ， 则共有 Ａ ２ Ａ １ 种。 直接计算情况较为复杂时， 可以先不考虑题设条件的限制求 在 ５个 位置上任意排列有 种 ， 点评 ｆ ｛ Ｉ 方法数 ， 再减去不符合条件 的方法 数即可求解 ， 这就是 间
再把它们看成一 个元 素 ， 和 剩余元 素 进行 全排 列 ， 这种 方
排列组合问题的类型及解答策略
排列组合问题的类型及解答策略
排列组合问题是组合数学的基本问题，主要涉及对象的排列和组合，一般分为以下几种类型：
1. 排列问题：求n个不同元素按照一定规律排列的方案数，其中每个元素只能出现一次。
例如，从8个人中选取3个人组成一支队伍，求按照一定顺序排列的方案数。
解策略：使用排列公式an = n！/ (n-r)！，其中n表示元素个数，r表示选取个数。
2. 组合问题：求n个不同元素中选取r个元素的方案数，其中
元素的顺序不重要。
例如，从8个人中选取3个人组成一支队伍，不考虑人的排列顺序，求方案数。
解策略：使用组合公式Cn,r = n!/ (r!(n-r)! )，其中n表示元素
个数，r表示选取个数。
3. 含有限制条件的问题：在组合问题的基础上，加入限制条件，例如某些元素必须或者不能一起选取。
例如，从6个男人和4
个女人中选择3人组成一个委员会，其中必须有至少一名女性。
解策略：分别考虑满足和不满足限制条件的情况，分别计算方案数并相加。
4. 区分问题与不区分问题：确定是否考虑对象间的区分性。
例如，从8个相同的球中选取3个球，不考虑球的区分性，求方
案数。
解策略：对于不区分问题，使用组合公式；对于区分问题，使用排列公式。
5. 带替换问题：从n个元素中选取r个元素，其中每个元素可以重复选取s次。
例如，从5个牌子中选取3个牌子，其中每个牌子可以选取多次。
解策略：使用带替换的组合公式，即C(n+r-1,r)。
通过以上不同类型排列组合问题的解答策略，能够有效解决各种实际问题。
解决排列组合问题的常用方法
含顶点A的棱有三条，每条棱上有3个点，它们与所对棱的中点共面，共有3种取法
根据分类计数原理和点A共面三点取法共有 种
（2）取出的4点不共面比取出的4点共面的情形要复杂，故采用间接法：先不加限制任取4点（ 种取法）减去4点共面的取法
（4）分三类：①一位数，共有6个；②两位数，共有5×5=25个；③三位数共有5×5×4=100个．因此，比1000小的自然数共有6+25+100=131个．
（5）分四类：①千位数字为3，4之一时，共有2×5×4×3=120个；
②千位数字为5，百位数字为0，1，2，3之一时，共有4×4×3=48个；
③千位数字是5，百位数字是4，十位数字为0，1之一时，共有2×3=6个；
【变式】求不同的排法种数：
（1）6男2女排成一排，2女相邻；（2）6男2女排成一排，2女不能相邻；
（3）4男4女排成一排，同性者相邻；（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻．
解：（1）是“相邻”问题，用捆绑法解决：
（2）是“不相邻”问题，可以用插空法直接求解．6男先排实位，再在7个空位中排2女，即用插孔法解决： 。另法：用捆绑与剔除相结合：
（2）排列数的定义：从 个不同元素中，任取 （ ）个元素的所有排列的个数叫做从 个元素中取出 元素的排列数，用符号 表示。即 ＝ （ ）
（3）组合的概念：一般地，从 个不同元素中取出 个元素并成一组，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个组合
（4）组合数的概念：从 个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出 个元素的组合数．用符号 表示．
2、从 五个数字中每次取出三个不同的数字组成三位数，求所有三位数的和．
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A B
组合问题的解决方案
一、对应思想解组合问题，即所研究的问题对应着某些元素的组合．解决此类问题要注意把握每一具体问题中“对应”的确切含义．
例1(1)圆上有10个点,两两连成弦,这些弦在圆内最多可形成_____个交点.
(2)平面上有4条水平直线,5条竖直直线,能形成矩形______个.
（3）马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以 把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，
有多少种不同的关灯方法？
（4）如图是由12个小正方形组成的43⨯矩形网格，一质点
沿网格线从点A 到点B 的不同路径之中 条
解析：(1)每一个交点对应着两条相交弦，而两条相交弦又对应着圆
上4点，故交点数等于从圆上的10个点中取4点的方法数，为410C 个.
(2) 每一个矩形对应着两条水平直线和两条竖直直线，所以形成的矩形数等于2524C C ⋅个.（3）把问题想象成在可以移动的10盏灯中关掉3盏灯后剩下7盏灯，在7盏灯产生的6
个空位中选出3个位置安排移走的3盏灯（为熄灭的灯）所对应的方法数，为36C 种；
（4）相邻两点算作一步，则从点A 到点B 的最短路径对应着7步，其中横向安排4步、纵
向安排3步，所以最短路径对应着7步中安排4步横向走的方法数,有4735C =．
附：1、（2004湖北文科）将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不．一致的放入方法种数为（ ）
A ．120
B ．240
C ．360
D ．720
解析：每一种符合要求的方法对应着10个位置选定7个对号安排和余下3个位置的完全不
对号安排，10个位置选定7个的方法数为710C 种，3个位置的完全不对号安排有2种，故总
数为7102240C ⨯=种．故选（ B ）
． 2、（2001全国，16）圆周上有2n 个等分点（n ＞1），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 .
解析：每一种符合要求的方法对应着选定一条直径的两个端点和在余下的2n-2个点中选择1点，方法数为()()1
2221n C n n n ⨯-=-种．
二、至多至少组合问题:即分类后某元素个数满足至多多少个或至少多少个的要求的组合问题.可分类或用间接法,体会两者是可以相互转化的．此类问题一定要注意避免不完全分组会产生重复造成记数出错．
例2、某班有54位同学，正、副班长和学习委员各1名，现选派6名同学参加某课外小组，在下列各种情况中，各有多少种不同的选法？
（1）正、副班长和学习委员至少有一人入选
（2）正、副班长和学习委员至多有一人入选
解析：（1）正、副班长和学习委员至少一人入选可分为只有一人入选、有两人入选和三
人都入选三类，方法数为152433351351351
C C C C C C ⋅+⋅+⋅，本题也可用间接法：没有任何限制的选法为654C ，而不
符合要求即正、副班长和学习委员都不入选的方法数为
651C ，所以满足题目要求的选法数为665451
C C -；对本题的进一步理解：从54人中选出题目要求的选法可画图
理解为如图的分类，由此可见本题既可用直接分类法也可用间接排除法解决，这对至多至少组合问题具有一般性．
（2）由以上分类易知正、副班长和学习委员至多有一人入选包含两类:3人均不入选和3
人中恰有1人入选，则满足要求的方法数为61551351C C C +.
附：1、(2005全国卷Ⅰ)从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法有 种．
解：此题是典型的“至多至少组合问题”，可分类（以选出3人中包含女生的人数分为3类），
共有1221346464100C C C C C ⋅+⋅+=种，或用间接法为33106100C C -=种．
2、（2005浙江卷）从集合{ P ，Q ，R ，S }与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任选2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．(用数字作答)．
解：此题为“至多至少组合问题”，计算出满足要求的2字母和2数字的组合的总数（采用
间接法）为221141039
C C C C ⨯-⨯种，故不同排法种数是22114410394()5832C C C C A ⨯-⨯⨯=种．
三、分组搭配组合问题:即对某些元素按一定要求分组或按一定要求分配的问题.要掌握平均分组和不平均分组的处理方法；注意对平均分组又分配和不平均分组又分配的两种处理方法—--“先分（分组）后给（分配）”和“边分（分组）边给（分配）”的把握．
例3、 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法或分法：
(1)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
(2)分为三份，每份两本；
(3)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；
(4)分给甲、乙、丙三人，每人两本；
⑸分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．
解析：(1)此为不平均分组的题目，只须按三个步骤分别选出1本的一份、2本的一份和3
本的一份即可，方法总数为33
2516C C C ⋅⋅种；
(2) 此为平均分组的题目，只须先假定三个位置A 、B 、C ，每个位置安排2本书，按三个步
骤分别选出2本安排在A 、B 和C ，共有22
2426C C C ⋅⋅种方法，而此题为平均分组，上述算法已对每一分组在A 、B 、C 三个位置进行了排列，故满足要求的平均分组为33
222426A C C C ⋅⋅种；(3) 此为不平均分组又分配的题目，可采用先分组后分配的方法，即第一步分组共有33
2516C C C ⋅⋅种方法，第二步每一种分法得到的3组分给甲、乙、丙三人的方法都是33A 种，故采用先分组后分配的方法得分配方法共33
332516A C C C ⋅⋅⋅种；本题也可采用“边分边给”的方法解决，即先选出1本书并将这本书分配给1人的方法数为1163
C C ⋅种，再选出2本书并将这2本书分配给1人的方法数为2152
C C ⋅种，第三步选出3本书并将这3本书分配给1人的方法数为3131
C C ⋅种，故采用“边分边给”的方法得方法总数为112131635231C C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅种；(4)此为平均分组又分配的问题，可采用“先分（分组）后给（分配）”得方法数为2223642333
C C C A A ⋅⋅⋅种；若采用“边分（分组）边给（分配）”的方法理解本题可分三步完成：甲分得2本书、乙分得2本书、丙分得2本书，方法数为222642
C C C ⋅⋅种； ⑸先分类再结合上述解法得方法数为3346A C ⋅+332516A C C ⋅⋅+24
26C C ⋅种． 例4、3名司机和6名售票员分别分配到3辆不同的公交车上,每辆车上1名司机2 名售票员,分配方法共多少种?
解析：将问题分两步：对3名司机和6名售票员分为3组，每组1名司机和2名售票员，先
假定司机不动，则分组方法为222642
C C C ⋅⋅种，再对每一分法分得的3组在3个位置（3辆不同的公交车）进行排列得分配方法共有22236423
()C C C A ⋅⋅⋅种；若采用边分边给的方法则分3步完成：第一、二、三辆公交车分别选1名司机2名售票员,分配方法共()()()2
12121634221C C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅种．
附：1、（2005北京卷）北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为
( )
（A ）124414128C C C （B ）124414128C A A
（C ）12441412833C C C A （D ）12443141283C C C A 解析：本题是典型的分组搭配问题（平均分组），注意对该类问题的两种处理方法—--“先
分（分组）后给（分配）”和“边分（分组）边给（分配）”的把握．在解答本题时请仔细体会“边分（分组）边给（分配）”的运用．答案为(A ).
2、（2005湖北卷）把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人， 每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（ ）
A ．168
B ．96
C ．72
D ．144
解析：本题是典型的分组搭配问题（不平均分组），注意对该类问题的两种处理方法—--“先分（分组）后给（分配）”和“边分（分组）边给（分配）”的把握．本题把一同排6张座位
编号为1，2，3，4，5，6的电影票分为4组的方法数为6种，每一种分组的分配方法均为44A ，
故本题的方法数为446A ⨯种．故选（D ）．请仔细体会“先分（分组）后给（分配）”的运用．
3、（2005江苏卷）四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共顶点的两条棱多代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为 ( )
（A ）96 （B ）48 （C ）24 （D ）0
解析：本题是典型的分组搭配问题（平均分组），本题适用“先分（分
组）后给（分配）”法，没有公共顶点的两条棱一组的分组有（PA ，
BC ）、（PB ，CD ）、（PC ，AD ）、（PD ，AB ）或（PA ，CD ）、（PB ，
DA ）、（PC ，AB ）、（PD ，BC ）共2大组，而每大组的4小组在4
个位置的分配就是4个元素在4个位置的全排列，所以安全存放的
不同方法种数为 44248A ⨯= 种．故选( B)．。