高考文科数学试题汇编立体几何

G单元立体几何G1空间几何体的结构8．G1，G6[2013·北京卷] 如图1－2，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有()1－2A．3个B．4个C．5个D．6个8．B[解析] 设棱长为1，∵BD1＝3，∴BP＝33，D1P＝2 33.联结AD1，B1D1，CD1，得△ABD1≌△CBD1≌△B1BD1，∴∠ABD1＝∠CBD1＝∠B1BD1，且cos∠ABD1＝3 3，联结AP，PC，PB1，则有△ABP≌△CBP≌△B1BP，∴AP＝CP＝B1P＝63，同理DP＝A1P＝C1P＝1，∴P到各顶点的距离的不同取值有4个．18．G1，G4，G5[2013·广东卷] 如图1－4(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F是BC的中点，AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到如图1－4(2)所示的三棱锥A －BCF ，其中BC ＝22.图1－4(1)证明：DE ∥平面BCF ；(2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F －DEG 的体积．18．解：G2 空间几何体的三视图和直观图10．G2，G7[2013·北京卷] 某四棱锥的三视图如图1－3所示，该四棱锥的体积为________．图1－310．3 [解析] 正视图的长为3，侧视图的长为3，因此，该四棱锥底面是边长为3的正方形，且高为1，因此V ＝13×(3×3)×1＝3.18．G2，G4[2013·福建卷] 如图1－3，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，BC ＝5，DC ＝3，AD ＝4，∠PAD ＝60°.(1)当正视方向与向量AD →的方向相同时，画出四棱锥P －ABCD 的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；(2)若M 为PA 的中点，求证：DM ∥平面PBC ；(3)求三棱锥D －PBC 的体积．图1－318．解：(1)在梯形ABCD 中，过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E. 由已知得，四边形ADCE 为矩形，AE ＝CD ＝3，在Rt △BEC 中，由BC ＝5，CE ＝4，依勾股定理得BE ＝3，从而AB ＝6.又由PD ⊥平面ABCD 得，PD ⊥AD.从而在Rt △PDA 中，由AD ＝4，∠PAD ＝60°，得PD ＝4 3. 正视图如图所示．(2)方法一：取PB 中点N ，联结MN ，CN.在△PAB 中，∵M 是PA 中点，∴MN ∥AB ，MN ＝12AB ＝3.又CD ∥AB ，CD ＝3，∴MN ∥CD ，MN ＝CD ，∴四边形MNCD 为平行四边形，∴DM ∥CN.又DM 平面PBC ，CN 平面PBC ，∴DM ∥平面PBC.方法二：取AB的中点E，联结ME，DE.在梯形ABCD中，BE∥CD，且BE＝CD，∴四边形BCDE为平行四边形，∴DE∥BC.又DE 平面PBC，BC 平面PBC，∴DE∥平面PBC.又在△PAB中，ME∥PB，ME 平面PBC，PB 平面PBC，∴ME∥平面PBC. 又DE∩ME＝E，∴平面DME∥平面PBC.又DM 平面DME，∴DM∥平面PBC.(3)V D－PBC＝V P－DBC＝13S△DBC·PD，又S△DBC＝6，PD＝4 3，所以V D－PBC＝8 3.6．G2[2013·广东卷] 某三棱锥的三视图如图1－2所示，则该三棱锥的体积是()图1－2A.16B.13C.23 D ．16．B [解析] 由三视图得三棱锥的高是2，底面是一个腰为1的等腰直角三角形，故体积是13×12×1×1×2＝13，选B.5．G2[2013·广东卷] 执行如图1－1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是( )图1－1A ．1B ．2C ．4D ．75．C [解析] 1≤3，s ＝1＋0＝1，i ＝2；2≤3，s ＝1＋1＝2，i ＝3；s ＝2＋2＝4，i ＝4；4>3，故输出s ＝4，选C.7．G2[2013·湖南卷] 已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( ) A.32 B ．1 C.2＋12 D. 27．D [解析] 由题可知，其俯视图恰好是正方形，而侧视图和正视图则应该都是正方体的对角面，故面积为2，选D.8．G2[2013·江西卷] 一几何体的三视图如图1－2所示，则该几何体的体积为( )图1－2A ．200＋9πB ．200＋18πC ．140＋9πD ．140＋18π8．A [解析] 该几何体上面是半圆柱，下面是长方体，半圆柱体积为12π·32·2＝9π，长方体体积为10×5×4＝200.故选A.13．G2[2013·辽宁卷] 某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的体积是________．图1－313．16π－16[解析] 由三视图可知该几何体是一个圆柱里面挖去了一个长方体，所以该几何体的体积为V＝4π×4－16＝16π－16.9．G2[2013·新课标全国卷Ⅱ] 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()图1－39．A[解析] 在空间直角坐标系O－xyz中画出三棱锥，由已知可知三棱锥O－ABC为题中所描叙的四面体，而其在zOx平面上的投影为正方形EBDO，故选A.图1－44．G2[2013·山东卷] 一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图1－1所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是()图1－1A ．4 5，8B ．4 5，83C ．4(5＋1)，83D ．8，84．B [解析] 由正视图知该几何体的高为2，底面边长为2，斜高为22＋1＝5，∴侧面积＝4×12×2×5＝4 5，体积为13×2×2×2＝83.12．G2[2013·陕西卷] 某几何体的三视图如图1－2所示，则其表．面积为________．图1－212．3π [解析] 由三视图得该几何体为半径为1的半个球，则表面积为半球面＋底面圆，代入数据计算为S ＝12×4π×12＋π×12＝3π.11．G2[2013·新课标全国卷Ⅰ] 某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的体积为( )图1－3A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π11．A [解析] 该空间几何体的下半部分是一个底面半径为2，母线长为4的半圆柱，上半部分是一个底面边长为2、高为4的正四棱柱．这个空间几何体的体积是12×π×4×4＋2×2×4＝16＋8π.5．G2[2013·浙江卷] 已知某几何体的三视图(单位： cm)如图1－1所示，则该几何体的体积是( )图1－1A ．108 cm 3B ．100 cm 3C ．92 cm 3D ．84 cm 35．B [解析] 此直观图是由一个长方体挖去一个三棱锥而得，如图所示其体积为3×6×6－13×12×3×4×4＝108－8＝100(cm 3)．所以选择B.19．G2和G5[2013·重庆卷] 如图1－4所示，四棱锥P －ABCD中，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2 3，BC ＝CD ＝2，∠ACB ＝∠ACD ＝π3.(1)求证：BD ⊥平面PAC ；(2)若侧棱PC 上的点F 满足PF ＝7FC ，求三棱锥P －BDF 的体积．图1－419．解：(1)证明：因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又∠ACB ＝∠ACD ，故BD ⊥AC.因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥BD ，从而BD 与平面PAC 内两条相交直线PA ，AC 都垂直，所以BD ⊥平面PAC.(2)三棱锥P －BCD 的底面BCD 的面积S △BCD ＝12BC ·CD ·sin ∠BCD ＝12·2·2·sin 2π3＝ 3.由PA ⊥底面ABCD ，得V P －BCD ＝13·S △BCD ·PA ＝13×3×2 3＝2.由PF ＝7FC ，得三棱锥F －BCD 的高为18PA ，故V F －BCD ＝13·S △BCD ·18PA ＝13×3×18×2 3＝14，所以V P －BDF ＝V P －BCD －V F －BCD ＝2－14＝74.8．G2和G7[2013·重庆卷] 某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的表面积为( )图1－3A ．180B ．200C ．220D ．2408．D [解析] 该几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，其腰为5的等腰梯形，所以底面面积和为12(2＋8)×4×2＝40.四个侧面的面积和为(2＋8＋5×2)×10＝200，所以该直四棱柱的表面积为S ＝40＋200＝240，故选D.G3 平面的基本性质、空间两条直线G4空间中的平行关系17．G4，G5，G7[2013·北京卷] 如图1－5，在四棱锥P－ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.图1－517．证明：(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE，所以ABED为平行四边形，所以BE∥AD.又因为BE 平面PAD，AD 平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又因为AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF，所以CD⊥平面BEF，所以平面BEF⊥平面PCD.18．G2，G4[2013·福建卷] 如图1－3，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC＝3，AD＝4，∠PAD＝60°.→的方向相同时，画出四棱锥P－ABCD的(1)当正视方向与向量AD正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；(2)若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC；(3)求三棱锥D－PBC的体积．图1－318．解：(1)在梯形ABCD 中，过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E. 由已知得，四边形ADCE 为矩形，AE ＝CD ＝3，在Rt △BEC 中，由BC ＝5，CE ＝4，依勾股定理得BE ＝3，从而AB ＝6.又由PD ⊥平面ABCD 得，PD ⊥AD.从而在Rt △PDA 中，由AD ＝4，∠PAD ＝60°，得PD ＝4 3. 正视图如图所示．(2)方法一：取PB 中点N ，联结MN ，CN.在△PAB 中，∵M 是PA 中点，∴MN ∥AB ，MN ＝12AB ＝3.又CD ∥AB ，CD ＝3，∴MN ∥CD ，MN ＝CD ，∴四边形MNCD 为平行四边形，∴DM ∥CN.又DM 平面PBC ，CN 平面PBC ，∴DM ∥平面PBC.方法二：取AB的中点E，联结ME，DE.在梯形ABCD中，BE∥CD，且BE＝CD，∴四边形BCDE为平行四边形，∴DE∥BC.又DE 平面PBC，BC 平面PBC，∴DE∥平面PBC.又在△PAB中，ME∥PB，ME 平面PBC，PB 平面PBC，∴ME∥平面PBC. 又DE∩ME＝E，∴平面DME∥平面PBC.又DM 平面DME，∴DM∥平面PBC.(3)V D－PBC＝V P－DBC＝13S△DBC·PD，又S△DBC＝6，PD＝4 3，所以V D－PBC＝8 3.18．G1，G4，G5[2013·广东卷] 如图1－4(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图1－4(2)所示的三棱锥A －BCF ，其中BC ＝22.图1－4(1)证明：DE ∥平面BCF ；(2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F －DEG 的体积．18．解：8．G4、G5[2013·广东卷] 设l 为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若l ⊥α，l ⊥β，则α∥βC ．若l ⊥α，l ∥β，则α∥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β8．B [解析] 根据空间平行、垂直关系的判定和性质，易知选B.16．G4，G5[2013·江苏卷] 如图1－2，在三棱锥S －ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB.过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.图1－216．证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB 的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.因为EF 平面ABC，AB 平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF 平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC 平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB 平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA 平面SAB，所以BC⊥SA.15．G4[2013·江西卷] 如图1－5所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．图1－515．4[解析] 直线EF与正方体左右两个面平行，与其他四个面相交．图1－418．G4，G5[2013·辽宁卷] 如图1－4，AB是圆O的直径，PA 垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.18．证明：(1)由AB是圆O的直径，得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面PAC，所以BC⊥平面PAC.(2)联结OG并延长交AC于M，联结QM，QO，由G为△AOC的重心，得M为AC中点，由Q为PA中点，得QM∥PC.又O为AB中点，得OM∥BC.因为QM∩MO＝M，QM 平面QMO.MO 平面QMO，BC∩PC＝C，BC 平面PBC，PC 平面PBC，所以平面QMO∥平面PBC.因为QG 平面QMO，所以QG∥平面PBC.18．G4，G7，G11[2013·新课标全国卷Ⅱ] 如图，直三棱柱ABC －A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，求三棱锥C－A1DE的体积．图1－718．解：(1)证明：联结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．又D是AB中点，联结DF，则BC1∥DF.因为DF 平面A1CD，BC1 平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.图1－8(2)因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD.由已知AC ＝CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB.又AA 1∩AB ＝A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1.由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝2 2得∠ACB ＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3，故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE ⊥A 1D.所以VC －A 1DE ＝13×12×6×3×2＝1.19．G4，G5[2013·山东卷] 如图1－5，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ⊥PA ，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F ，G ，M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点．(1)求证：CE ∥平面PAD ；(2)求证：平面EFG ⊥平面EMN.图1－619．证明：(1)证法一：取PA 的中点H ，联结EH ，DH. 因为E 为PB 的中点，所以EH ∥AB ，EH ＝12AB.又AB ∥CD ，CD ＝12AB ，所以EH ∥CD ，EH ＝CD.因此四边形DCEH 是平行四边形．所以CE ∥DH.又DH 平面PAD ，CE 平面PAD ，因此CE ∥平面PAD.证法二：联结CF.因为F 为AB 的中点，所以AF ＝12AB.又CD ＝12AB ，所以AF ＝CD.又AF ∥CD ，所以四边形AFCD为平行四边形．因此CF∥AD.又CF 平面PAD，所以CF∥平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又EF 平面PAD，所以EF∥平面PAD.因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.又CE 平面CEF，所以CE∥平面PAD.(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又AB⊥PA，所以AB⊥EF.同理可证AB⊥FG.又EF∩FG＝F，EF 平面EFG，FG 平面EFG，因此AB⊥平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD.又AB∥CD，所以MN∥AB，因此MN⊥平面EFG.又MN 平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.18．G4，G11[2013·陕西卷] 如图1－5，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝ 2.图1－5(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．18．解：(1)证明：由题设知，BB1瘙 綊DD1，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1.又BD 平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.∵A1D1瘙 綊B1C1瘙 綊BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C.又A1B 平面CD1B1，∴A1B∥平面CD1B1.又∵BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1.(2)∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O是三棱柱ABD－A1B1D1的高．又∵AO＝12AC＝1，AA1＝2，∴A1O＝AA21－OA2＝1，又∵S△ABD＝12×2×2＝1，∴V ABD－A1B1D1＝S△ABD·A1O＝1.19．G4，G5，G7，G11[2013·四川卷]图1－8如图1－8，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1＝2，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l ⊥平面ADD 1A 1；(2)设(1)中的直线l 交AC 于点Q ，求三棱锥A 1－QC 1D 的体积．(锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)19．解：(1)如图，在平面ABC 内，过点P 作直线l ∥BC ，因为l 在平面A 1BC 外，BC 在平面A 1BC 内，由直线与平面平行的判定定理可知，l ∥平面A 1BC.由已知，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，所以，BC ⊥AD ，则直线l ⊥AD.因此AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥直线l.又因为AD ，AA 1在平面ADD 1A 1内，且AD 与AA 1相交， 所以直线l ⊥平面ADD 1A 1.(2)过D 作DE ⊥AC 于E.因为AA 1⊥平面ABC ，所以DE ⊥AA 1.又因为AC ，AA 1在平面AA 1C 1C 内，且AC 与AA 1相交， 所以DE ⊥平面AA 1C 1C.由AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，有AD ＝1，∠DAC ＝60°，所以在△ACD 中，DE ＝32AD ＝32.又S △A 1QC 1＝12A 1C 1·AA 1＝1，所以V A 1－QC 1D ＝VD －A 1QC 1＝13DE ·S △A 1QC 1＝13×32×1＝36.因此三棱锥A 1－QC 1D 的体积是36.17．G4，G5、G11[2013·天津卷] 如图1－3所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，且各棱长均相等，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，A 1C 1的中点．(1)证明EF ∥平面A 1CD ；(2)证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1；(3)求直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值．图1－317．解：(1)证明：如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，联结ED ，在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC的中点，所以DE ＝12AC 且DE ∥AC ，又因为F 为A 1C 1的中点，可得A 1F ＝DE ，且A 1F ∥DE ，即四边形A 1DEF 为平行四边形，所以EF ∥DA 1.又EF 平面A 1CD ，DA 1 平面A 1CD ，所以，EF ∥平面A 1CD.(2)证明：由于底面ABC是正三角形，D为AB的中点，故CD⊥AB，又由于侧棱AA1⊥底面ABC，CD 平面ABC，所以A1A⊥CD，又A1A∩AB＝A，因此CD⊥平面A1ABB1，而CD 平面A1CD，所以平面A1CD⊥平面A1ABB1.(3)在平面A1ABB1内，过点B作BG⊥A1D交直线A1D于点G，联结CG，由于平面A1CD⊥平面A1ABB1，而直线A1D是平面A1CD 与平面A1ABB1的交线，故BG⊥平面A1CD，由此得∠BCG为直线BC与平面A1CD所成的角．设三棱柱各棱长为a，可得A1D＝5a2，由△A1AD∽△BGD，易得BG＝5a5.在Rt△BGC中，sin∠BCG＝BGBC＝55.所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为5 5.4．G4，G5[2013·浙江卷] 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β4．C[解析] 对于选项C，若m∥n，m⊥α，易得n⊥α.所以选择C.G5空间中的垂直关系图1－518．G5[2013·安徽卷] 如图1－5，四棱锥P－ABCD的底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，已知PB＝PD＝2，PA＝ 6.(1)证明：PC⊥BD；(2)若E为PA的中点，求三棱锥P－BCE的体积．18．解：(1)证明：联结AC，交BD于O点，联结PO.因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，BO＝DO.由PB＝PD知，PO⊥BD.再由PO∩AC＝O知，BD⊥面APC，又PC 平面APC，因此BD⊥PC.(2)因为E是PA的中点，所以V P－BCE＝V C－PEB＝12V C－PAB＝12V B－APC.由PB＝PD＝AB＝AD＝2知，△ABD≌△PBD.因为∠BAD＝60°，所以PO＝AO＝3，AC＝23，BO＝1.又PA＝6，故PO2＋AO2＝PA2，即PO⊥AC.故S△APC＝12PO·AC＝3.由(1)知，BO ⊥面APC ，因此V P －BCE ＝12V B －APC ＝13·12·S △APC ·BO＝12.17．G4，G5，G7[2013·北京卷] 如图1－5，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD ，E 和F 分别是CD 和PC 的中点．求证：(1)PA ⊥底面ABCD ；(2)BE ∥平面PAD ；(3)平面BEF ⊥平面PCD.图1－517．证明：(1)因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且PA 垂直于这两个平面的交线AD ，所以PA ⊥底面ABCD.(2)因为AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点，所以AB ∥DE ，且AB ＝DE ，所以ABED 为平行四边形，所以BE ∥AD.又因为BE 平面PAD ，AD 平面PAD ，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又因为AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF，所以CD⊥平面BEF，所以平面BEF⊥平面PCD.19．G5、G11[2013·全国卷] 如图1－3所示，四棱锥P—ABCD 中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是边长为2的等边三角形．图1－3(1)证明：PB⊥CD；(2)求点A到平面PCD的距离．19．解：(1)证明：取BC的中点E，联结DE，则四边形ABED 为正方形．过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.联结OA，OB，OD，OE.由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD，所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABED对角线的交点．故OE⊥BD，从而PB⊥OE.因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OE∥CD.因此PB⊥CD.(2)取PD的中点F，联结OF，则OF∥PB.由(1)知，PB⊥CD，故OF⊥CD.又OD＝12BD＝2，OP＝PD2－OD2＝2，故△POD为等腰三角形，因此OF⊥PD.又PD∩CD＝D，所以OF⊥平面PCD.因为AE∥CD，CD 平面PCD，AE 平面PCD，所以AE∥平面PCD.因此O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离，而OF＝12PB＝1，所以点A到平面PCD的距离为1.18．G1，G4，G5[2013·广东卷] 如图1－4(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图1－4(2)所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝2 2.图1－4(1)证明：DE ∥平面BCF ；(2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F －DEG 的体积．18．解：8．G4、G5[2013·广东卷] 设l 为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若l ⊥α，l ⊥β，则α∥βC ．若l ⊥α，l ∥β，则α∥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β8．B [解析] 根据空间平行、垂直关系的判定和性质，易知选B.16．G4，G5[2013·江苏卷] 如图1－2，在三棱锥S －ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB.过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.图1－216．证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB 的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.因为EF 平面ABC，AB 平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF 平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC 平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB 平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA 平面SAB，所以BC⊥SA.19．G5，G7[2013·江西卷] 如图1－7所示，直四棱柱ABCD－A 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，AB ＝2，AD ＝2，AA 1＝3，E 为CD 上一点，DE ＝1，EC ＝3.(1)证明：BE ⊥平面BB 1C 1C ；(2)求点B 1到平面EA 1C 1的距离．图1－719．解：(1)证明：过B 作CD 的垂线交CD 于F ，则BF ＝AD ＝2，EF ＝AB －DE ＝1，FC ＝2.在Rt △BEF 中，BE ＝ 3.在Rt △CFB 中，BC ＝ 6.在△BEC 中，因为BE 2＋BC 2＝9＝EC 2，故BE ⊥BC.由BB 1⊥平面ABCD 得BE ⊥BB 1.所以BE ⊥平面BB 1C 1C.(2)三棱锥E －A 1B 1C 1的体积V ＝13·AA 1·S △A 1B 1C 1＝ 2.在Rt △A 1D 1C 1中，A 1C 1＝A 1D 21＋D 1C 21＝3 2.同理，EC 1＝EC 2＋CC 21＝3 2，A 1E ＝A 1A 2＋AD 2＋DE 2＝23.故S △A 1C 1E ＝3 5.设点B 1到平面EA 1C 1的距离为d ，则三棱锥B 1－A 1C 1E 的体积V ＝13·d ·S △A 1C 1E ＝5d ， 从而5d ＝2，d ＝105.图1－418．G4，G5[2013·辽宁卷] 如图1－4，AB 是圆O 的直径，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点．(1)求证：BC ⊥平面PAC ；(2)设Q 为PA 的中点，G 为△AOC 的重心，求证：QG ∥平面PBC.18．证明：(1)由AB 是圆O 的直径，得AC ⊥BC.由PA ⊥平面ABC ，BC 平面ABC ，得PA ⊥BC.又PA ∩AC ＝A ，PA 平面PAC ，AC 平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC.(2)联结OG 并延长交AC 于M ，联结QM ，QO ，由G 为△AOC 的重心，得M 为AC 中点，由Q 为PA 中点，得QM ∥PC.又O为AB中点，得OM∥BC.因为QM∩MO＝M，QM 平面QMO.MO 平面QMO，BC∩PC＝C，BC 平面PBC，PC 平面PBC，所以平面QMO∥平面PBC.因为QG 平面QMO，所以QG∥平面PBC.19．G4，G5[2013·山东卷] 如图1－5，四棱锥P—ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE∥平面PAD；(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.图1－619．证明：(1)证法一：取PA的中点H，联结EH，DH.因为E为PB的中点，所以EH∥AB，EH＝12AB.又AB ∥CD ，CD ＝12AB ，所以EH ∥CD ，EH ＝CD.因此四边形DCEH 是平行四边形．所以CE ∥DH.又DH 平面PAD ，CE 平面PAD ，因此CE ∥平面PAD.证法二：联结CF.因为F 为AB 的中点，所以AF ＝12AB.又CD ＝12AB ，所以AF ＝CD.又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形．因此CF ∥AD.又CF 平面PAD ，所以CF ∥平面PAD.因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点，所以EF ∥PA.又EF 平面PAD，所以EF∥平面PAD.因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.又CE 平面CEF，所以CE∥平面PAD.(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又AB⊥PA，所以AB⊥EF.同理可证AB⊥FG.又EF∩FG＝F，EF 平面EFG，FG 平面EFG，因此AB⊥平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD.又AB∥CD，所以MN∥AB，因此MN⊥平面EFG.又MN 平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.19．G4，G5，G7，G11[2013·四川卷]图1－8如图1－8，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ＝AC ＝2AA 1＝2，∠BAC ＝120°，D ，D 1分别是线段BC ，B 1C 1的中点，P 是线段AD 上异于端点的点．(1)在平面ABC 内，试作出过点P 与平面A 1BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面ADD 1A 1；(2)设(1)中的直线l 交AC 于点Q ，求三棱锥A 1－QC 1D 的体积．(锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)19．解：(1)如图，在平面ABC 内，过点P 作直线l ∥BC ，因为l 在平面A 1BC 外，BC 在平面A 1BC 内，由直线与平面平行的判定定理可知，l ∥平面A 1BC.由已知，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，所以，BC ⊥AD ，则直线l ⊥AD.因此AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥直线l.又因为AD ，AA 1在平面ADD 1A 1内，且AD 与AA 1相交， 所以直线l ⊥平面ADD 1A 1.(2)过D 作DE ⊥AC 于E.因为AA 1⊥平面ABC ，所以DE ⊥AA 1.又因为AC ，AA 1在平面AA 1C 1C 内，且AC 与AA 1相交， 所以DE ⊥平面AA 1C 1C.由AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，有AD ＝1，∠DAC ＝60°，所以在△ACD 中，DE ＝32AD ＝32.又S △A 1QC 1＝12A 1C 1·AA 1＝1，所以V A 1－QC 1D ＝VD －A 1QC 1＝13DE ·S △A 1QC 1＝13×32×1＝36.因此三棱锥A 1－QC 1D 的体积是36.17．G4，G5、G11[2013·天津卷] 如图1－3所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，且各棱长均相等，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，A 1C 1的中点．(1)证明EF ∥平面A 1CD ；(2)证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1；(3)求直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值．图1－317．解：(1)证明：如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，联结ED ，在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC的中点，所以DE ＝12AC 且DE ∥AC ，又因为F 为A 1C 1的中点，可得A 1F ＝DE ，且A 1F ∥DE ，即四边形A 1DEF 为平行四边形，所以EF ∥DA 1.又EF 平面A 1CD ，DA 1 平面A 1CD ，所以，EF ∥平面A 1CD.(2)证明：由于底面ABC 是正三角形，D 为AB 的中点，故CD ⊥AB ，又由于侧棱AA 1⊥底面ABC ，CD 平面ABC ，所以A 1A ⊥CD ，又A 1A ∩AB ＝A ，因此CD ⊥平面A 1ABB 1，而CD 平面A 1CD ，所以平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1.(3)在平面A 1ABB 1内，过点B 作BG ⊥A 1D 交直线A 1D 于点G ，联结CG ，由于平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1，而直线A 1D 是平面A 1CD 与平面A 1ABB 1的交线，故BG ⊥平面A 1CD ，由此得∠BCG 为直线BC 与平面A 1CD 所成的角．设三棱柱各棱长为a ，可得A 1D ＝5a 2，由△A 1AD ∽△BGD ，易得BG ＝5a 5.在Rt △BGC 中，sin ∠BCG ＝BG BC ＝55.所以直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值为55.19．G5[2013·新课标全国卷Ⅰ] 如图1－5所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若AB ＝CB ＝2，A 1C ＝6，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积．图1－519．解：(1)取AB的中点O，联结OC，OA1，A1B，因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C 平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC＝OA1＝ 3.又A1C＝6，则A1C2＝OC2＋OA21，故OA1⊥OC.因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高．又△ABC的面积S△ABC＝3，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V ＝S△ABC·OA1＝3.4．G4，G5[2013·浙江卷] 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βC ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αD ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β4．C [解析] 对于选项C ，若m ∥n ，m ⊥α，易得n ⊥α.所以选择C.19．G2和G5[2013·重庆卷] 如图1－4所示，四棱锥P －ABCD中，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2 3，BC ＝CD ＝2，∠ACB ＝∠ACD ＝π3.(1)求证：BD ⊥平面PAC ；(2)若侧棱PC 上的点F 满足PF ＝7FC ，求三棱锥P －BDF 的体积．图1－419．解：(1)证明：因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又∠ACB ＝∠ACD ，故BD ⊥AC.因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥BD ，从而BD 与平面PAC 内两条相交直线PA ，AC 都垂直，所以BD ⊥平面PAC.(2)三棱锥P －BCD 的底面BCD 的面积S △BCD ＝12BC ·CD ·sin ∠BCD ＝12·2·2·sin 2π3＝ 3.由PA ⊥底面ABCD ，得V P －BCD ＝13·S △BCD ·PA ＝13×3×2 3＝2.由PF ＝7FC ，得三棱锥F －BCD 的高为18PA ，故V F －BCD ＝13·S △BCD ·18PA ＝13×3×18×2 3＝14，所以V P －BDF ＝V P －BCD －V F －BCD ＝2－14＝74.G6 三垂线定理8．G1，G6[2013·北京卷] 如图1－2，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为对角线BD 1的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有( )图1－2A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个8．B [解析] 设棱长为1，∵BD 1＝3，∴BP ＝33，D 1P ＝2 33.联结AD 1，B 1D 1，CD 1，得△ABD 1≌△CBD 1≌△B 1BD 1，。