南开大学2000微分几何考博试题
南开考博历年试题(微宏)
微观部分一、许多省区都把汽车工业作为本省的支柱产业，请用经济学原理分析，汽车工业的发展是否能促进我国经济的良性循环。
二、白领的月薪为几万元，而工人才几百元，请用经济学原理分析，现阶段我国收入差距过大的原因。
三、如果不考虑契约的风险性，“公司+农户”模式是否农民增收的有效途径。
四、证明利润一定时成本最小化问题和成本一定时利润最大化问题是对偶问题。
五、建立经济学模型，说明药品价格高是否因为中间环节太多。
“药品价格居高不下，最大的问题在于药品流通的中间环节太多，经过一、二、三级批发之后，药价就上去了。
药店之所以比医院便宜，关键在于减少了中间环节，消灭了中间商。
”中国制药工业近几年发展很快，生产力严重过剩，药品种类多而且替代性强，增加了医院的选择空间，哪一类药品加价空间大，医院就采购哪个品种，这是“规矩”，全国的医院没有例外。
没有办法强迫医院不要这样做而去改卖最便宜的药。
这是抬升药价的一个重要环节。
药品价格形成的关键性症结是因为流通环节过于庞杂，还有医院的垄断渠道。
医院是药业市场的需求终端，对于药品消费有着主宰权。
在中国药品消费总量中，医院占到80%，另外20%则从药店或其他渠道销售。
这种情形决定了医院在药品消费中扮演着一种不可替代的角色。
1.资源配置效率的含义是什么？X非效率的含义是什么？两者有何区别？2.逆向选择现象及其原因3.某产品市场有两家企业，每家企业的边际成本均为0，已经市场需求曲线为P(Y)=100-Y，其中Y=y1+y2, 竞争均衡下的总产出？企业为古诺竞争者，y2给定条件下，求企业1的最佳产量？每个古诺均衡下的产量？卡特尔下总产出？如果1是追随者，2是领导者，计算每个企业在斯塔格伯均衡下的产出？4.如果研究中国垄断和收入分配的关系，你将如何进行课题设计？5.阿罗不可能定理是用四个条件来规定的。
请对阿罗不可能定理作出定义，并解释这四个条件中每一个条件都是不可缺少的。
6.法国经济学家瓦尔拉斯(Walras)最早研究了竞争性市场体系的均衡问题并提出了瓦尔拉斯法则(Walras’Law)，试证明瓦尔拉斯法则。
南开大学2000年试题与分析.doc
南开大学2000年试题与分析一、选择题1. 一个栈的输入序列为12345 ,则下列序列屮不可能是栈的输出序列的是_________ OA . 23415B ・54132C . 23145D ・154322. 一棵非空的二叉树的先序遍历序列与后序遍历序列正好相反，则该二叉树一定满足__________ oA・所有的结点均无左孩子B・所有的结点均无右孩子C .只有一个叶子结点D・是任意一棵二叉树3.某线性表中最常用的操作是在最后一个元素之后插入一个元素和删除第一个元素，则采用_________ 存储方式最节省运算时间。
A •单链表B・仅有头指针的单循环链表C・双链表D・仅有尾指针的单循环链表4・下列排序算法中，_____________ 算法可能会岀现下面情况：在最后一趟开始之前，所有元素都不在其最终的位置上。
A •堆排序13・冒泡排序C •快速排序D •插入排序5 •对初始状态为递增序列的表按递增顺序排序，最省时间的是算法，最费时间的是_________ 算法。
A .堆排序B・快速排序C .插入排序D •归并排序二、简答题1• 一棵二叉树的中序序列是DCEFBIIGAKJLIM ,后序序列是DFECI1GBKLJMIA , 请构造出这棵二叉树，并写出它的先序序列。
2.回答下列问题:（1 ）什么叫Huffman树？（ 2 ）什么叫B树？（3 ）什么是图的生成树（4 ）什么是最小一一最大堆？3.设由空树开始，依次插入关键字D、E、F、K、G、B、C、J、A > I ,构成平衡二叉树（AVL树）。
要求画出这棵平衡二叉树的生成过程，每插入一个关键字就画出一个树形，并要求由失去平衡到恢复平衡的变换。
在树的各结点中标明关键字及平衡因子。
4・什么是AOE网？求出图15. 1所示AOE网中的关键路径（要求标明每一个顶点的最早发生时间和最迟发生时间，并画出关键路径）°图15. 1 AOE 网5 •对于有向无环图：（1）叙述求拓扑有序序列的步骤；（2 ）对于如图15.2所示的图，写出它的四种不同的拓扑序理。
微分几何模拟卷
微分几何模拟卷微分几何模拟卷A一、判断题（正确打√，错误打×）（每小题2分，共10分）1、等距变换一定是保角变换 ( )2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定. ( )3、二阶微分方程22A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线.4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的 ( )5、坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =，这里F 是第一基本量( ).二、填空题（每小题3分，共15分）1. 半径为R 的圆的曲率为_________.2. 曲面的坐标曲线网正交的充要条件是_____________,3. 坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是______________.4. 在脐点处曲面的第一, 第二类基本量满足____________________,5. 使法曲率达到最大值和最小值的方向是________________方向.三、计算题（第1小题各18分，，第2、3、4小题各10分，共48分）1、已知空间正则参数曲线32(){cos ,sin ,cos2}r t t t t =(1) 求基本向量,,αβγ.(2) 求()r t 的曲率和挠率(0)2t π<<.2、求抛物面22()z a x y =+在原点处的主曲率、高斯曲率和平均曲率，并判断原点是否为脐点.3、设一个曲面的第一基本形式为22222(),ds du u a dv =++求它上面两条曲线0,0u v u v +=-=的交角. 4.确定螺旋面{}cos ,sin ,r u v u v cv = 上的曲率线。
1. 证明挠曲线(0τ≠的曲线)的主法线曲面是不可展曲面.2、证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量e ，那么这曲线是直线或平面曲线.3、设在两条曲线Γ、Γ的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行。
我的南开滑铁卢——考博南开的一点失败经验
2009年，我来到南开大学，我的考博之路开始了，这里师兄和师姐们向给我介绍了南开大学考博的经验，并且极力推荐我们报考，因为考南开有三大好处：第一，南开大学极其公平，差不多是全国高校考博中最为公平的，分数透明，试题统一，几乎没有走关系和做手脚的机会。
第二，南开竞争不激烈，一般情况下只要每门60分以上就可以考上，因为每个导师可以招两个人，而实际上往往没有两个人可以过线。
第三，考试题目也比较正规而简单，5道简答，2-3道计算，2道论述，答题和改卷的不确定性也较低。
师兄还告诉我们，我们学校应届生考南开大学的博士生是从来没有落榜的。
于是我决定，报考南开。
我复习的很充分，英语不但认真做阅读，做翻译，还背了7篇作文范文，还天天听VOA，BBC之类的快速听力，就连考博十年真题汇编的词汇我也大部分背下来了。
微观看了高鸿业、范里安现代观点、马斯克莱尔（这本浏览而已），范里安高级和微观经济学十八讲；宏观看了高鸿业、曼昆、多恩布什和罗默。
而且都不止看了一遍。
2月初，我已复习的精熟，带着厚厚的笔记本和资料回到家过年，这个时候，我已经不需要书本，因为书本上的有用知识点和重要的论述已经被我详细的抄在笔记本上了，我也不需要单词表，因为我已经把托福单词、考博词汇、六级词汇、常用词组和历年考博真题中的难词全部整理在电脑上的一个EXCEL表里了。
寒假的那些天，我就将自己的资料过了几遍，保证不后退。
2月25日，我再次回到学校，开始了半个月的冲刺，3月10日，我开始了考博之旅，5点钟坐上绿皮车轰隆隆来到天津，早晨排了2个小时的队伍报了名，不知道为什么考博的报道和考试差了两天，10号报道，而12号才考试，我不是天津考生，只好等在天津，为了省钱，让师兄给我找了地方住。
这时候的心情非常紧张，真是度日如年，我找到南开经济学院可以上自习的地方，花了点时间看了看真题，想想自己会不会做，其实这时候的感觉就是基本上都会，但是都有些模糊，只能在有压力的时候被压出来。
南开大学2000年和2001年数学分析考研试题及解答
南开大学2000年数学分析考研试题.1. 设()()()()()()()22sin ,,0,0,0,0,0x y xy x y x y f x y x y +⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩，， 证明(),f x y 在点()0,0处连续，但不可微.2. 设()f u 具有连续的导函数，且()lim 0u f u A →+∞'=>，，(){}222,:,,0D x y x y R x y =+≤≥，()0R >， （1）证明 ()lim u f u →+∞=+∞；（2）求()22R DdI f x y dxdy '=+⎰⎰；（3）求2limRR I R →+∞.3.（1）叙述()f x 于区间I 上一致连续的定义； （2）设()f x ，()g x 都于区间I 上一致连续且有界， 证明()()()F x f x g x =也于I 上一致连续，4.设函数列(){}n f x 于区间I 上一致收敛于()f x ，且存在数列{}n a ，使得当x I ∈时，总有()n n f x a ≤，证明()f x 于I 上有界.5.设0n a >，()1,2,n =L ，1nn k k S a ==∑，证明（1）若1nn na S ∞=∑收敛，则1n n a ∞=∑也收敛.（2)如果1λ>，1nn na S λ∞=∑收敛，问1n n a ∞=∑是否也收敛？说明理由.6.设(),f x t 于[)[],,a c d +∞⨯上连续，(),af x t dx +∞⎰于[),c d 上一致收敛，证明(),af x d dx +∞⎰收敛.南开大学2000年数学分析考研试题解答1.解：()0,00f =，()22,x y xyf x y x y+⋅≤+ ()222212x y x y x y +⋅+≤+()12x y ≤+， ()()()(),0,0lim,0,00x y f x y f →-=，于是(),f x y 在点()0,0处连续.显然()0,00x f =，()0,00y f =，0→时，,0,00,0f x y f x f y ⎡⎤∆∆-∆+∆sin x y x y ∆+∆∆⋅∆=的极限不存在，所以(),f x y 在点()0,0处不可微. 2.（1）证明 由()lim 0u f u A →+∞'=>，存在0M >，当u M ≥时，有()2A f u '≥， ()()()()f u f u f M f M =-+ ()()()f u M f M ξ'=-+ ()()2Au M f M ≥-+， 由此，可知()lim u f u →+∞=+∞； （2）解 ()22R DI f x y dxdy '=+⎰⎰()220Rd f r rdr πθ'=⎰⎰()()21022f R f π⎡⎤=⋅-⎣⎦； （3）解 ()()2220lim lim 4R R R f R f I R R π→+∞→+∞-=()22lim 42R f R R Rπ→+∞'⋅=()2lim 44R f R A ππ→+∞'==.3、简略。
南开大学2000空间解析几何与高等代数试题
南开大学2000年硕士入学考试试题――高等代数1、（10分）求直线⎩⎨⎧=++=+++02201z y x z y x 在平面0123=+++z y x 上的垂直投影。
2、（10分）求过点(0,1,0)且与两条直线⎩⎨⎧=+=++0201y x y x ，⎩⎨⎧=+=+++02013y x z y x 均相交的直线方程。
3、（10分）设这线L 和平面π平行，则直线L 上任一点到平面π的距离均相等，称之为直线L 到平面π的距离。
求和下面两条直线⎩⎨⎧=-=--01032z y x ⎩⎨⎧=-=+-0201y z x 距离相等的平面方程。
4、（10分）设2R 是实数域R 上的2维向量空间，线性变换22:R R T →在基)0,1(1=e ，)1,0(2=e 下的矩阵是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2012证明：（1）设1W 是由1e 张成的2R 的子空间，则1W 是T 的不变子空间 （2）2R 不能表示成T 的任一不变子空间2W 与1W 的直和。
5、（15分）设2R 是实数域R 上的2维向量空间22:R R T → ),(),(2221x x x x → 是线性变换（1）求T 在基)2,1(1=α，)1,1(2-=α下的矩阵；（2）证明对于每个实数c ，线性变换cE T -是可逆变换，这里E 是2R 上的恒等变换6、（15分）设n 级矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001001001001000， 求可逆矩阵T 使得矩阵AT T B 1-=是对角形，并求矩阵B 。
7、（15分）设S 是数域P 上n 维线性空间V 上线性变换。
证明（1）01≠-n S ，0=n S 则V 中存在一个基使得S 在这个基下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010001000000010000001000000（2）如M ，N 是数域P 上两个n 级方阵，110--≠≠n n NM，0==nnNM，则M 和N 相似8、（15分）设)(x f 是数域P 上的n 次多项式，这里1>n ；且设)(x f 的一阶微商可以整除)(x f ，证明nb x a x f )()(-=，0,,≠∈a P b a。
南开大学博士研究生入学考试英语试题附答案和解析
南开大学20XX年博士研究生入学考试英语试题Part ⅠListening Comprehension(略)Part ⅡReading Comprehension (20 points)Passage 1Traffic statistics paint a gloomy picture.To help solve their traffic woes, some rapidly growing U.S. cities have simply built more roads. But traffic experts say building more roads is a quick-fix solution that will not alleviated the traffic problem in the long run. Soaring land costs, increasing concern over social and environmental disruptions caused by road-building, and the likelihood that more roads can only lead to more cars and traffic are powerful factors bearing down on a 1950s-style construction program.The goal of smart-highway technology is to make traffic systems work at optimum efficiency by treating the road and the vehicles traveling on them as an integral transportation system. Proponents of the advanced technology say electronic detection systems, closed-circuit television, radio communication, ramp metering, variable message signing, and other smart-highway technology can now be used at a reasonable cost to improve communication between drivers and the people who monitor traffic.Pathfinder, a Santa Monica, California-based smart-highway project in which a 14-mile stretch of the Santa Monica Freeway, making up what is called a “smart corridor”, is being instrumented with buried loops in the pavement.Closed-circuit television cameras survey the flow of traffic, while communication linked to property equipped automobiles advise motorists of the least congested routes or detours.Not all traffic experts, however, look to smart-highway technology as the ultimate solution to traffic gridlock.Some say the high-tech approach is limited and can only offer temporary solutions to a serious problem.“Electronics on the highway addresses ju st one aspect of the problem: how to regulate traffic more efficiently,” explains Michael Renner, senior researcher at the world-watch Institute.“It doesn't deal with the central problem of too many cars for roads that can't be built fast enough. It sends people the wrong message.They start thinking ‘Yes, there used to be a traffic congestionproblem, but that's been solved now because we have, advanced high-tech system in place.'” Larson agrees and adds, “Smart highways is just one of the tools that we u se to deal with our traffic problems.It's not the solution itself, just part of the package.There are different strategies.”Other traffic problem-solving options being studied and experimented with include car pooling, rapid mass-transit systems, staggered or flexible work hours, and road pricing, a system whereby motorists pay a certain amount for the time they use a highway.It seems that we need a new, major thrust to deal with the traffic problems of the next 20 years. There has to be a big change.1．What is the appropriate title for the passage?A．Smart Highway Projects—The Ultimate Solution to Traffic Congestion.B．A Quick Fix Solution for the Traffic Problems.C．A Venture to Remedy Traffic Woos.D．Highways Get Smart—Part of the Package to Relieve Traffic Gridlock.2．The compound word “quick-fix” in Paragraph 1, sentence 3 is closest in meaning to ______.A．an optional solution B．an expedient solutionC．a ready solution D．an efficient solution3．According to the passage, the smart-highway technology is aimed to ______.A．develop sophisticated facilities on the interstate highwaysB．provide passenger vehicle with a variety of servicesC．optimize the highway capabilitiesD．improve communication between driver and the traffic monitors4．According to Larsen, to redress the traffic problem, ______.A．car pooling must be studiedB．rapid mass transit system must be introducedC．flexible work hours must be experimentedD．overall strategies must be coordinated5．Which of the following best describes the organization of the whole passage?A．Two contrasting views of a problem are presented.B．A problem is examined and complementary solutions are proposed or offered.C．Latest developments are outlined in order of importance.D．An innovation is explained with its importance emphasized.Passage 2A strange thing about humans is their capacity for blind rage.Rage is presumably an emotion resulting from survival instinct, but the surprising thing about it is that we do not deploy it against other animals.If we encounter a dangerous wild animal—a poisonous snake or a wildcat—we do not fly into a temper. If we are unarmed, we show fear and attempt to back away; if we are suitably armed, we attack, but in a rational manner not in a rage. We reserve rage for our own species. It is hard to see any survival value in attacking one's own, but if we take account of the long competition which must have existed between our own subspecies and others like Neanderthal mar —indeed others still more remote from us than Neanderthal man—man rage becomes more comprehensible.In our everyday language and behavior there are many reminders of those early struggles. We are always using tile words “us and them”.“Our” side is perpetually trying to do dow n the “other”side.In games we artificially create other subspecies we can attack.The opposition of “us” and “them” is the touchstone of the two-party system of “democratic” politics.Although there are no very serious consequences to many of this modern psychological representation of the “us” and “them” emotion, it is as well to remember that the original aim was not to beat the other subspecies in a game but to exterminate it.The readiness with which human beings allow themselves to be regimented has permitted large armies to be formed, which, taken together with the “us” and “them” blind rage, has led to destructive clashes within our subspecies itself.The First World War is an example in which Europe divided itself into two imaginary subspecies. And there is a similar extermination battle now in Northern Ireland. The idea that there is a religious basis for this clash is illusory, for not even the pope has been able to control it. The clash is much more primitive than the Christian religion, much older in its emotional origin.The conflict in Ireland is unlikely to stop until a greater primitive fear is imposed from outside the community, or until tile combatants become exhausted.6．A suitable title for this passage would be ______.A．Wily Human Armies Are Formed B．Man's Anger Against the WorldC．The Human Capacity for Rage D．Early Struggles of Angry Mail7．According to the author, the surprising aspect of human anger is ______.A．its lengthy and complex developmentB．a conflict such as is now going on in Northern IrelandC．that we do not fly into a temper more oftenD．that we reserve anger for mankind8．The passage suggests that ______.A．historically, we have created an “us” versus “them” societyB．humans have had a natural disinclination toward formal groupingC．the First World War is an example of how man has always avoided dominationD．the emotional origin of the war in Ireland is lost in time9．From the passage we can infer that ______.A．the artificial creation of a subspecies unlike us is something that never happensB．games are psychologically unhealthyC．any artificially created subspecies would be our enemyD．the real or imagined existence of an opposing subspecies is inherent in man's activities 10．The author believes that a religious explanation for the war in Northern Ireland is ______.A．founded in historical fact B．deceptiveC．apparent D．accuratePart ⅢVocabulary (5 points)Directions: There are 10 incomplete sentences in this part. For each sentence, there are four choices marked A, B, C and D．Choose the ONE that best completes the sentence.1．Most of the young people hold the mistaken belief that goods produced in our own country are ______ to imported ones.A．inadequate B．inappropriate C．inferior D．interior2．It is not a question of how much a man knows, but what use he ______ what he knows.A．makes for B．makes of C．makes up D．makes out3．Throughout the empire of Kublai Khan, money made of paper was used for business_______, something unheard of in Europe.A．transformations B．transmissions C．transitions D．transactions4．As the pressure ______ the liquid rock is forced up through channels in the resistant rock to the earth's surface.A．intensifies B．magnifies C．heightens D．deviates5．The strong scent of Kate's perfume ______ the air in the small room.A．radiated B．permeated C．extracted D．dispersed6．The scientific and medical prizes have proved to be the least ______, while those for literature and peace by their very nature have been the most exposed to critical differences.A．radical B．prominent C．confidential D．controversial7．They are ______ to industrialists, who need the valuable copper and nickel in them.A．tempting B．tickling C．tormenting D．tricking8．Another popular misconception is the ______ that great talent is usually highly specific.A．notion B．dilemma C．domain D．analogy9．You can ______ the loudness of the radio by turning the knob to right or left.A．change B．vary C．alter D．transform10．The distance between the earth and the sun may be said to be ______.A．enormous B．huge C．vast D．immensePart ⅣError Correction (10 points)Directions: In the following passage, there are 10 mistakes, one in each numbered line. You may have to add a word, cross out a word, or change a word. Mark out the mistakes and put the corrections in the blanks provided, If you cross out a word, put a slant (/) in the blank.When a consumer finds that an item she or he bought is in faulty or insome other way does not live to the manufacturer's claim for it, the firststep is to present the warranty or any other records which might help, at the store of purchase.In most cases, this action will produce results. Moreover,if it does not, there are various means the consumer may use to gain satisfaction.1．_____ ___2．_____ ___3．_____ ___A simple and common method used by many consumers is to complain directly to the store manager.In general, the “high up” the consumertakes his or her complaint, the faster he or she can expect to be settled. In such case, it is usually settled in the consumer's favor, assumed heor she has a just claim. Consumers should complain about in person whenever possible, but if it cannot get to the place of purchase, it is acceptable to phone or write the complaint with a letter. Complaining is usually most effective when it is done politely but firmly, and especially when the consumer can demonstrate that is wrong with the item in question.4．_____ ___5．_____ ___6．_____ ___7．_____ ___8．_____ ___9．_____ ___10．____ ____Part ⅤWriting (10 points)Directions: For this part, you are asked to write a composition on the topic “It pays to be honest”.Your composition should be no less than 150 words based on the given outline. Remember to write clearly on the ANSWER SHEET.Outline:1．Honest is the best policy.2．Give examples to support your point of view.3．Conclusion.南开大学20XX年博士研究生入学考试英语试题参考答案与解析Part ⅠListening Comprehension(略)Part ⅡReading Comprehensionpassage 11．【答案】D【解析】本题中，A项与第四段第一句话的意思不符；B项不正确，本文主要讲的不是修路；C项在文中未被提及。
微分几何练习题库及参考答案(已修改)
微分几何练习题库及参考答案(已修改)《微分几何》复习题与参考答案一、填空题1．极限232lim[(31)i j k]t t t →+-+=r r r 138i j k -+rr r ．2．设f ()(sin )i j t t t =+r r r ，2g()(1)i j t t t e =++r r ，求0lim(()())t f t g t →⋅=r r 0 ．3．已知{}42r()d =1,2,3t t -⎰r ， {}64r()d =2,1,2t t -⎰r ，{}2,1,1a =r，{}1,1,0b =-r ，则4622()()a r t dt+b a r t dt=⨯⋅⋅⎰⎰r r rr r {}3,9,5-.4．已知()r t a '=r r （a r 为常向量），则()r t =r ta c +r r． 5．已知()r t ta '=r r ，（a r 为常向量），则()r t =r 212t a c +r r ．6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____.7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ .8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ .9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 .10. 曲线()r r t =r r 在t = 2处有3αβ=v v &，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 .11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ⨯≠rr r ，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点.12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++r r r ，()(sin )(cos )g t t i t j =-r r r ，0t >，则40()d f g dt dt ⋅=⎰r r4cos 62-．13．曲线{}3()2,,t r t t t e =r在任意点的切向量为{}22,3,t t e ．14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =r在0t =点的切向量为{}0,,a a ．15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =r在0t =点的切向量为{}0,,a b ．16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为2111-=--=-z ee y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是 方向(d) 与u －曲线 的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = .22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-r ，其中2,sin u t v t ==，则drd t=r{}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+．23．已知{}r(,)cos cos ,cos sin ,sin a a a ϕθϕθϕθϕ=r，其中t =ϕ，2t =θ，则dr(,)d tϕθ=r{}sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos a at a at a ϕθϕθϕθϕθϕ---+． 24．设(,)r r u v =r r 为曲面的参数表示，如果0u v r r ⨯≠rr r ，则称参数曲面是正则的；如果:()r G r G →r r是 一一对应的 ，则称曲面是简单曲面．25．如果u -曲线族和v -曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为 正规坐标网 ．26．平面{}r(,),,0u v u v =r的第一基本形式为22d d u v +，面积微元为d d u v ．27．悬链面{}r(,)cosh cos ,cosh sin ,u v u v u v u =r第一基本量是22cosh 0,cosh E u F G u ===，． 28．曲面z axy =上坐标曲线0x x =，0y y =200222200(1)(1)a x a y ++.29．正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r的第一基本形式是2222d ()d u u b v ++．30．双曲抛物面{}r(,)(),(),2u v a u v b u v uv =+-r的第一基本形式是2222222222(4)d 2(4)d d (4)d a b v u a b uv u v a b u v +++-++++．31．正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r的平均曲率为 0 ．32．方向(d)d :d u v =是渐近方向的充要条件是22()020n k d Ldu Mdudv Ndv =++=或． 33. 方向(d)d :d u v =和(δ)δ:δu v =共轭的充要条件是(,)0()0dr δr Ldu δu M du δv dv δu Ndv δv =+++=II r r或． 34.λ是主曲率的充要条件是0E L F MF MG Nλλλλ--=--．35.(d)d :d u v =是主方向的充要条件是22d d d d 00d d d d dv dudv du E u F v L u M vE F G F u G v M u N vLMN-++==++或． 36. 根据罗德里格斯定理，如果方向(d)(d :d )u v =是主方向，则n n dn k dr k =-r r，其中是沿方向(d)的法曲率． 37．旋转曲面中的极小曲面是平面 或悬链面．38．测地曲率的几何意义是曲面S 上的曲线在P 点的测地曲率的绝对值等于(C )在P 点的切平面∏上的正投影曲线(C*)的曲率．39．,,g n k k k 之间的关系是222g n k k k =+．40．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 ． 41．正交网时测地线的方程为22v u d ds E G G E du dsE dv dsG θθθ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩． 42．曲线是曲面的测地线，曲线(C )上任一点在其切平面的正投影曲线是 直线 . 二、单项选择题1．已知{}(),,t t r t e t e -=r，则r (0)''r 为（ A ）．A. {}1,0,1；B. {}1,0,1-；C. {}0,1,1；D. {}1,0,1-.2．已知()()r t r t λ'=r r ，λ为常数，则()r t r为（ C ）．A. ta λr ；B. a λr； C. t e a λr ； D. e a λr .其中a r为常向量． 3. 曲线(C)是一般螺线，以下命题不正确的是（ D ）．A ．切线与固定方向成固定角；B ．副法线与固定方向成固定角；C ．主法线与固定方向垂直；D ．副法线与固定方向垂直．4. 曲面在每一点处的主方向（ A ）A ．至少有两个；B ．只有一个；C ．只有两个；D ．可能没有. 5．球面上的大圆不可能是球面上的（ D ）A ．测地线；B ．曲率线；C ．法截线；D ．渐近线．.6. 已知{}r(,),,x y x y xy =r ，求(1,2)dr r为（ D ）．A. {}d ,d ,d 2d x y x y +；B. {}d d ,d d ,0x y x y +-；C. {}d -d ,d +d ,0x y x y ；D. {}d ,d ,2d d x y x y +.7．圆柱螺线{}cos ,sin ,r t t t =r的切线与z 轴（ C ）.A. 平行；B. 垂直；C. 有固定夹角4π； D. 有固定夹角3π. 8．设平面曲线:()C r r s =r r，s 为自然参数，αβr r ,是曲线的基本向量．叙述错误的是（ C ）．A. αr 为单位向量；B. αα⊥r r &；C. k αβ=-r r &；D. k βατγ=-+r r r &.9．直线的曲率为（ B ）．A. -1；B. 0；C. 1；D. 2.10．关于平面曲线的曲率:()C r r s =r r不正确的是（ D ）．A. ()()k s s α=r &；B. ()()k s s ϕ=&，ϕ为()s αr 的旋转角；C. ()k s αβ=-⋅r &；D. ()|()|k s rs =r &. 11．对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的（ D ）．A. 充分不必要条件；B. 必要不充分条件；C. 既不充分也不必要条件；D. 充要条件.12．下列论述不正确的是（ D ）．A. ,αβγr r r ,均为单位向量；B. αβ⊥r r ；C. βγ⊥r r ；D. αβrr P . 13．对于空间曲线C ，“挠率为零”是“曲线是直线”的（B ）．A. 充分不必要条件；B. 必要不充分条件；C. 既不充分也不必要条件；D. 充要条件. 14．2sin4),cos 1(),sin (t a z t a y t t a x =-=-=在点2π=t 的切线与z 轴关系为（ D ）． A. 垂直； B. 平行； C. 成3π的角； D. 成4π的角. 15．椭球面2222221x y z a b c++=的参数表示为（ C ）．A. {}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z ϕθϕθϕ=；B. {}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z a b ϕθϕθϕ=；C. {}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z a b c ϕθϕθϕ=；D. {}{},,cos cos ,sin cos ,sin 2x y z a b c ϕθϕθθ=. 16．曲面{}2233(,)2,,r u v u v u v u v =-+-r在点(3,5,7)M 的切平面方程为（ B ）．A. 2135200x y z +-+=；B. 1834410x y z +--=；C. 756180x y z +--=；D. 1853160x y z +-+=.17．球面{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r u v R u v R u v R u =r的第一基本形式为（ D ）．A. 2222(d sin d )R u u v +；B. 2222(d cosh d )R u u v +；C. 2222(d sinh d )R u u v +；D. 2222(d cos d )R u u v +.18．正圆柱面{}(,)cos ,sin ,r u v R v R v u =r的第一基本形式为（ C ）．A. 22d d u v +；B. 22d d u v -； C 222d d u R v +； D. 222d d u R v -. 19．在第一基本形式为222(d ,d )d sinh d u v u u v =+I 的曲面上，方程为12()u v v v v =≤≤的曲线段的弧长为（ B ）．A ． 21cosh cosh v v -；B ． 21sinh sinh v v -；C ． 12cosh cosh v v -；D ． 12sinh sinh v v -．20．设M 为正则曲面，则M 的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（ B ）．A ． 0E =；B ． 0F =；C ． 0G =；D ． 0M =． 21．高斯曲率为零的的曲面称为（ A ）．A ．极小曲面；B ．球面；C ．常高斯曲率曲面；D ．平面． 22．曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（ A ）．A ． 0；B ． 1；C ．2；D ． 3．23．当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为（ B ）． A ．2u E ∂； B ． 2v G ∂C ． 2v E ∂D ．2u G ∂ 24．如果测地线同时为渐近线，则它必为（ A ）．A ． 直线；B ． 平面曲线；C ． 抛物线；D ． 圆柱螺线． 三、判断题（正确打√，错误打×）1. 向量函数()r r t =r r 具有固定长度，则()()r t r t '⊥r r. √2. 向量函数()r r t =r r 具有固定方向，则()()r t r t 'r rP . √3. 向量函数()r t r关于t 的旋转速度等于其微商的模()r t 'r . ×4. 曲线Γ的曲率、挠率都为常数，则曲线Γ是圆柱螺线. ×5. 若曲线Γ的曲率、挠率都为非零常数，则曲线Γ是圆柱螺线. √6. 圆柱面{cos ,sin ,},r R R z θθ=rz -线是渐近线. √ 7. 两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例. × 8. 两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例. √ 9. 等距变换一定是保角变换. √10. 保角变换一定是等距变换. × 11. 空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定. × 12. 在光滑曲线的正常点处，切线存在但不唯一． × 13. 若曲线的所有切线都经过定点，则该曲线一定是直线．√ 14. 在曲面的非脐点处，有且仅有两个主方向． √ 15. 高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量． ×16. 曲面上的直线一定是测地线．√17. 微分方程A(,)B(,)0u v du u v dv +=表示曲面上曲线族. ×18. 二阶微分方程22(,)2(,)(,)0A u v du B u v dudv C u v dv ++=总表示曲面上两族曲线. × 19. 坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =，这里F 是第一基本量. √ 20. 高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面. √ 21. 连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的. × 22. 球面上的圆一定是测地线. × 23. 球面上经线一定是测地线. √24. 测地曲率是曲面的内蕴量. √四、计算题1．求旋轮线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=的π20≤≤t 一段的弧长．解 旋轮线{}()(sin ),(1cos )r t a t t a t =--r 的切向量为{}()cos ,sin r t a a t a t '=-r，则在π20≤≤t 一段的弧长为：220()d 21cos d 8s r t t a t t a ππ'==-=⎰⎰r．2．求曲线t te z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的切向量、主法向量、副法向量．解 由题意知 {}()sin cos ,cos sin ,t t r t t t t t t t e te '=+-+r，{}()2cos sin ,2sin cos ,2t t r t t t t t t t e te ''=---+r，在原点，有 (0)(0,1,1),(0)(2,0,2)r r '''==r r，又 ()(), r r r r r r r r r r r αβ'''''''''⋅-⋅=='''''⋅⨯r r r r r r r r r r r r r，r r r r γ'''⨯='''⨯r r r r r ， 所以有22666333(),(αβγ===r r r . 3．圆柱螺线为{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =r，①求基本向量,,αβγr r r； ②求曲率k 和挠率τ.解 ①{}()sin ,cos ,r t a t a t b '=-r ，{}()cos ,sin ,0r t a t a t ''=--r，又由公式()(), ,r r r r r r r r r r r r r r r αβγ''''''''''''⋅-⋅⨯===''''''''⋅⨯⨯r r r r r r r r r r r r r r r rr r }{}}2222sin ,cos ,,cos ,sin ,0,sin ,cos ,a t a t b t t b t b t a a ba bαβγ∴=-=--=-++rr r②由一般参数的曲率公式3()r r k t r '''⨯='r r r 及挠率公式2(,,)()r r r t r r τ''''''='''⨯r r rr r有22a k a b =+，22b a b+=τ. 4．求正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r的切平面和法线方程．解 {}cos ,sin ,0u r v v =r ，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-r，切平面方程为cos sin cos sin 00sin cos x u v y u v z bv v v u vu vb---=-，sin cos 0,b v x b u y uz buv ⇒⋅-⋅+-=法线方程为cos sin sin cos x u v y u v z bvb v b v u---==-． 5．求球面{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r a a a ϕθϕθϕθϕ=r上任一点处的切平面与法线方程．解 {}sin cos ,sin sin ,cos r a a a ϕϕθϕθϕ=--r， {}cos sin ,cos cos ,0r a a θϕθϕθ=-r ，312sin cos sin sin cos cos sin cos cos 0e e e r r a a a a a ϕθϕθϕθϕϕθϕθ⨯=---r r r r r{}2cos cos cos ,cos sin ,sin a ϕϕθϕθϕ=---∴ 球面上任意点的切平面方程为{}{}2cos cos ,cos sin ,sin cos cos cos ,cos sin ,sin 0,x a y a z a a ϕθϕθϕϕϕθϕθϕ---⋅---=即cos cos cos sin sin 0x y z a θϕϕθϕ⋅+⋅+⋅-=， 法线方程为2(cos cos ,cos sin ,sin )cos (cos cos ,cos sin ,sin ),x a y a z a a ϕθϕθϕλϕϕθϕθϕ---=⋅---即cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin x a y a z a ϕθϕθϕϕθϕθϕ---==．6．求圆柱螺线cos ,sin ,x a t y a t z t ===在点(,0,0)a 处的密切平面. 解 (){sin ,cos ,1},r t a t a t '=-r (){cos ,sin ,0},r t a t a t ''=--r所以曲线在原点的密切平面的方程为00sin cos 10cos sin 0x a y z a t a t =a ta t------， 即sin )(cos )sin 0t x t y az a t -+-=(.7．求旋转抛物面22()z a x y =+的第一基本形式．解 参数表示为{}22(,),,()r x y x y a x y =+r ，{}1,0,2x r ax =r ，{}0,1,2y r ay =r，2214x x E r r a x =⋅=+r r，24x y F r r a xy =⋅=r r ，2214y y G r r a y =⋅=+r r ，2222222(d ,d )(14)d 8d d (14)d x y a x x a xy x y a y y ∴=++++I ．8．求正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r的第一基本形式．解 {}cos ,sin ,0u r v v =r ，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-r，1u u E r r =⋅=r r ，0u v F r r =⋅=r r ，22v v G r r u b =⋅=+r r，2222(d ,d )d ()d u v u u b v ∴=++I ．9．计算正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r的第一、第二基本量．解 {}cos ,sin ,0u r v v =r ，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-r，{}0,0,0uu r =r ，{}sin ,cos ,0uv r v v =-r ，{}cos ,sin ,0vv r u v u v =--r，{}cos sin 0sin ,cos ,sin cos u v i j kr r v v b v b v u u v u v b⨯==--r r rr r，22sin ,cos ,u v u v b v b v u r r n r r b u-⨯==⨯+r rr r r ， 1u u E r r =⋅=r r ，0u v F r r =⋅=，22v v G r r u b =⋅=+r r，0uu L r n =⋅=r r ，22uv M r n b u =⋅=+r r ，0vv N r n =⋅=r r．10．计算抛物面22z x y =+的高斯曲率和平均曲率．解 设抛物面的参数表示为{}22(,),,r x y x y x y =+r，则{}1,0,2x r x =r ，{}0,1,2y r y =r ，{}0,0,2xx r =r ，{}0,0,0xy yx r r ==r r ，{}002yy r =r，，，{}1022,2,1012x y i j kr r x x y y⨯==--r r r r r，222,2,1||441x y x y r r x y n r r x y ⨯--==⨯++r r rr r ， 214x x E r r x =⋅=+r r， 4x y F r r xy =⋅=r ， 214y y G r r y =⋅=+r r ， 22441xx L r n x y =⋅=++r r ， 0xy M r n =⋅=r r ， 22441yy N r n x y =⋅=++r r，222222222244441(14)(14)(4)(441)LN M x y K EG F x y xy x y --++===-++-++，2232222124422(441)GL FM EN x y H EG Fx y -+++=⋅=-++． 11. 计算正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v av =r的高斯曲率. 解 直接计算知1E =，0F =，22G u a =+，0L =，22M u a=+，0N =，222222()LN M a K EG F u a -∴==--+． 12. 求曲面2z xy =的渐近线.解 2z xy =，则2z p y x∂==∂，2z q xy y ∂==∂，220z r x ∂==∂，22z s y x y ∂==∂∂， 222z t x y ∂==∂ 所以，L =0， 42214M y x y =++，42214N y x y =++242242201414y x y y x y =++++，化简得(2)0dy ydx xdy +=， 020dy ydx xdy =+=或 渐近线为y=C 1，x 2y =C 213. 求螺旋面{}cos ,sin ,r u v u v bv =r上的曲率线. 解 u v r {cos ,sin v,0},r {u sin v,u cos v,b}v ==-rr2222u u v v E r 1,F r r 0,G r u b ,===⋅===+r r r r{}{}u v22u v bsin v,bcos v,u bsin v,bcos v,u r r n r r bsin v,bcos v,u b u--⨯===⨯-+r rr r r {}{}{}uu uv vv r =0,0,0,r =sin v,cos v,0,r ucos v,usin v,0-=--r r r，22L 0,M N 0u b===+曲率线的微分方程为:222222dv dudv du 10u b =00u b-++ 或du bu dv 221+±=积分得两族曲率线方程:222212v ln(u u b )c v ln(u b u)c .=++=++和14. 求马鞍面22{,,}r u v u v =-r在原点处沿任意方向的法曲率.解 {1,0,2},{0,1,2}==-r ru v r u r v ，22214,4,14==+==-=+r r rg u u v E r u F r r uv G v2222(14)8(14)=+-++u du uvdudv v dv Ⅰu v22u v 2u,2v,1r r n r r 4u 4v 1-⨯==⨯++r rr r r ， uu 22L n r 4u 4v 1==++r r g uv M n r 0,==r rg vv 22N n r 4u 4v 1==++r r g222222144144=++++u vu vⅡ，22n du dv )14u 4v k =-++（ⅡⅠ. 15. 求抛物面22()z a x y =+在(0,0)点的主曲率.解 曲面方程即22{,,()},=+rr x y a x y{1,0,2},{0,1,2},==r rx y r ax r ay E(0,0)F(0,0)G(0,0)=1,=0,=1,{0,0,2},{0,0,0},{0,0,2}===r r rxx xy yy r a r r a ，L(0,0)a M(0,0)N(0,0)=2,=0,=2a,代入主曲率公式，NN2a k 0002a k -=-，所以两主曲率分别为 12k k 2a == .16. 求曲面22{,,}r u v u v =+r在点(1,1)的主方向.解 {}u r =,u r 1,02,{},vr ,v r=01,2 2214,4,14E u F uv G v =+==+(1,)5(1,)4(1,)5;E F G 1=,1=,1= 22220,4444L M N u +v +1u +v +1===2(1,1)(1,1),(1,1)0,3L N M === 代入主方向方程，得()()0du dv du dv +-=,即在点(1,1)主方向:1:1;:1:1du dv u v δδ=-=.17. 求曲面23(,){,,}r u v u v u v =+r上的椭圆点，双曲点和抛物点． 解 由23{,,},r u v u v =+r 得{}u r =,u r 1,02,{}2,v r ,v r=01,3{}{}{}u u u v v v r =,r =,r =,v r r r0,02,0,00,0,06,24240,491491L M N u +v +u +v +===2241241vLN M .u +9v +-=①v >0时，是椭圆点；②v<0时，是双曲点；③v =0时，是抛物点.18. 求曲面32(,){,,}r u v v u u v =+r上的抛物点的轨迹方程．解 由32(,){,,},r u v v u u v =+r 得{}u r =u,r 0,21,{}2,v r v ,r=30,1{}{}{}u u u v v v r =,r =,r =v ,r r r0,20,0,00,6,00, 2220,L M N EG-FEG-F===令3220LN M .EG-F-=得u =0 或v =0所以抛物点的轨迹方程为 {}r=v ,,v r 30或{}0r=,u ,u r2.19.求圆柱螺线(){cos ,sin ,}r t a t a t bt =r自然参数表示.解 由(){cos ,sin ,},r t a t a t bt =r 得{sin ,cos ,}r a t a t b '=r-， 22()+,r t a b '=r弧长22220()++,t s t a b dt a b t =⎰22+t a b =曲线的自然参数表示为222222(){sin}.+++r s a a a ba ba b=r20. 求挠曲线的主法线曲面的腰曲线.解 设挠曲线为a a s r r=(),则主法线曲面为：r=a s v s ,βr r r ()+()则,a =a=α'r r r &,b ==-k βατγ'+r r r r &a b =k,''-r r g 2,22b =k +τ'r所以腰曲线是222a b k r=a s s =a s s k bββτ'''r r r r g r r rr ()-()()+()+ 21．求位于正螺面cos ,sin ,x u v y u v z av ===上的圆柱螺线00cos ,sin ,x u v y u v z av ===（0u =常数）的测地曲率．解 因为正螺面的第一基本形式为2222d ()d u u a v =++Ι，螺旋线是正螺面的v -曲线0u u =，由2πθ=得d 0d s θ=．由正交网的坐标曲线的测地曲率得02202u g u k u aG E ==+． 五、证明题1. 设曲线：(s),r r =r r 证明：2()k -;r ,r ,r =k .ταγτ=⋅r r r r r &&&&&&&&⑴⑵ 证明 ⑴由伏雷内公式，得=k =-,αβγτβr r r r &&， 两式作点积，得=-k =-k,αγτββτ⋅⋅r r r r &&k =-.ταγ∴⋅r r &&⑵r=r==k ,ααβr r r r r &&&&， 2()r=k +k =k +k -k +=-k +k +k βββατγαβτγr r r r r r r r r &&&&&&&22()()()r ,r ,r =,k ,-k +k +k =,k ,k =k .αβαβτγαβτγτ∴r r r r r r r r r r r &&&&&&&2. 设曲线：(s),r r =r r 证明：3()()r ,r ,r =k k -k .ττr r r &&&&&&&&&&& 证明 由伏雷内公式，得r==k αβr r r &&&， 2()r=k +k =k +k -k +=-k +k +k βββατγαβτγr r r r r r r r r &&&&&&&323()(2)r =-kk +-k +k-k +k +k ατβττγr r r r &&&&&&&&&232()(())(3()(2))r ,r ,r =k -k +k +k -kk +-k +k-k +k +k βαβτγατβττγ⨯r r r r r r r r r r &&&&&&&&&&&&&&&g3232()(3()(2))=k +k -kk +-k +k-k +k +k γταατβττγr r r r r &&&&&g 33432=-k k +k k +k τττ&&&3()=k k -k ττ&&3. 曲线Γ:()r r s =r r 是一般螺线，证明1:r R ds αβΓ=-⎰r r r也是一般螺线（R 是曲线Γ的曲率半径）．证明 1r R ds αβ=-⎰r r r，两边关于s 微商，得11ds R R ds αααβ=+-r r r r &&1R R R αββ=+-r r r &R α=r &，1αα∴r r P ，由于Γ是一般螺线，所以Γ也是一般螺线. 4. 证明曲线(){sin (),s (),}(r t a t dt a co t dt bt a,b ϕϕ=⎰⎰r是常数）是一般螺线．证明 (){sin (),cos (),},r t a t a t b ϕϕ'=r(){()cos (),()sin (),0},r t a t t a t t ϕϕϕϕ''''=-r2()(){cos (),sin (),0}(){sin ()cos ()0}r t a t t t a t t t ϕϕϕϕϕϕ''''''=-+-r，,22(,r r a t a b ϕ''''⨯=+r r 32()()r r r a b t ϕ'''''''=-r r r ,,，322(),r r ak t a b r ϕ'''⨯'==+'r rr ()222(),r r r b t a b r r τϕ'''''''==-+'''⨯r r r r r ,,k abτ∴=- .5．曲面S 上一条曲线(C), P 是曲线(C)上的正常点，n g k ,k ,k 分别是曲线(C)在点P 的曲率、法曲率与测地曲率，证明222n g k =k +k ．证明 测地曲率()g k k k n βεβα=⋅=⋅⨯r r r r r (,,)k n k n αβγ==⋅r r r r rsin k .θ=±(θ是主法向量βr 与法向量n r的夹角)法曲率cos n k k n k βθ=⋅=r r，222n g k =k +k .∴6. 证明曲线{}cos ,sin ,0t t r e t e t =r的切向量与曲线的位置向量成定角．证明 对曲线上任意一点，曲线的位置向量为{}cos ,sin ,0t t r e t e t =r，该点切线的切向量为：{}(cos sin ),(sin cos ),0t t r e t t e t t '=-+r，则有：22cos 22t t tr r r r e e θ'⋅==='⋅r r r r ，故夹角为4π.由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角．7．证明：若r 'r 和r ''r对一切t 线性相关，则曲线是直线．证明 若r 'r 和r ''r对一切t 线性相关，则存在不同时为0的(),()f t g t 使()()()()0f t r t g t r t '''+=r r r，则 ,()()0, t r t r t '''∀⨯=r r r又3()r r k t r '''⨯='r r r ，故t ∀有()0k t =.于是该曲线是直线．8． 证明圆柱螺线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 的主法线和z 轴垂直相交．证明 由题意有{}{}()sin ,cos ,,()cos ,sin ,0r t a t a t b r t a t a t '''=-=--r r，由()()r r r r r r r r r β''''''''⋅-⋅=''''⋅⨯r r r r r r r r r r知{}cos ,sin ,0t t β=--r . 另一方面z 轴的方向向量为{}0,0,1a =r ，而0a β⋅=r r ，故a β⊥r r，即主法线与z 轴垂直． 9．证明曲线t a z t t a y t a x cos ,cos sin ,sin 2===的所有法平面皆通过坐标原点．证明 由题意可得{}()sin 2,cos2,sin r t a t a t a t '=-r，则任意点的法平面为0)cos (sin )cos sin (2cos )sin (2sin 00000020=---+-t a z t a t t a y t a t a x t a 将点（0,0,0）代入上述方程有左边)cos 0(sin )cos sin 0(2cos )sin 0(2sin 00000020t a t a t t a t a t a t a ---+-===0右边， 故结论成立．10．证明曲线222132225,1x t+t ,y t t z t =+=-+=-为平面曲线，并求出它所在的平面方程.证明 {}222132225,1r t+t ,t t t =+-+-r，{}34210,2r +t,t t '=-+-r ，{}410,2r ,''=-r ，{}00,0r ,'''=r (,,)0r r r ,''''''=r r r0τ=，所以曲线是平面曲线. 它所在的平面就是密切平面 {}(0)32,0r ,'=-r ， {}(0)410,2r ,''=-r密切平面方程为12132004102x y z -=-－－－， 化简得其所在的平面方程是2x +3y +19z –27＝0.11. 证明如果曲线的所有切线都经过一个定点，那么它是直线.证明设曲线方程()r r s =r r，定点的向径为0R v ，则0()()r s R s λα-=r r r两边求微商，得()()()()s s s s k αλαλαλαλβ=+=+r r r r r &&&(1())()0s s k λαλβ--=r r r & 由于,αβr r 线性无关，∴100k λλ⎧-⎨⎩&＝＝∴ k ＝0曲线是直线.12. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么它是平面曲线.证明 取定点为坐标原点，曲线的方程为 ()r r t =r r，则曲面在任一点的密切平面方程为 ((),(),())0r t r t r t ρ'''-=r r r r因任一点的密切平面过定点，所以((),(),())0o r t r t r t '''-=r r r r , 即 ((),(),())0r t r t r t '''=r r r所以 ()r r t =r r 平行于固定平面， 所以 ()r r t =r r是平面曲线.13. 若一条曲线的所有法平面包含非零常向量e ρ，证明曲线是直线或平面曲线.证明 根据已知条件，得0.............e α⋅=r r①，①两边求导，得 0e α⋅=r r &，由伏雷内公式得 0k e β⋅=r r ， ⅰ)0k =，则曲线是直线；ⅱ)0e β⋅=r r 又有①可知 γr ‖e r因e r是常向量，所以γr 是常向量，于是 ||||0,τγ==r&所以0τ= ，所以曲线为平面曲线.14. 设在两条挠曲线,ΓΓ的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应的点的副法线互相平行，证明它们在对应点的切线和主法线也分别平行.证明 γγ±rr１２＝ , 21ds ds γγ±gg r r １２＝由伏雷内公式得211ds ds τβτβ±v v １２２＝12ββ∴±r r = 进而12αα=±r r15. 证明挠曲线（0τ≠）的主法线曲面是不可展曲面.证明 设挠曲线为()r r s =r r，则挠率0τ≠，其主法线曲面的方程是：()()r s t s ρβ=+r r r 取(),()a r s b s β==r r r r，则(),()k a s b s αβατγ''===-g r r r r r r＋所以, (,,)((),(),k )((),(),k )((),(),)0a b b s s s s s s αβατγαβααβτγτ''=-=-≠r rr r r r r r r r r r r ＋＋＝所以挠曲线的主法线曲面不是可展曲面. 16. 证明挠曲线（0τ≠）的副法线曲面是不可展曲面.证明 设挠曲线为()r r s =r r，则挠率0τ≠，其副法线曲面的方程是：()()r s t s ργ=+r rr取(),()a r s b s γ==r r r r ，则(),()a s b s αγτβ''===-g r r r r r所以,(,,)((),(),)0a b b s s αγτβτ''=-=≠r rr r r r ，所以挠曲线的副法线曲面不是可展曲面.17. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.证明 设曲线r r(s),r r ＝则曲线的主法线曲面为r r s +v s βr r r=()() ,s r v k vk v αατγατγ++r r r r r r =+（-）=(1-) ()v r =s βrr ,2s v s v r r n=r r vk v τ⨯⨯+r r r rr r r 2（1-）-（1-）（）沿曲线（v ＝0）n=γr r ，所以主法向量与曲面的法向量夹角,2πθ=n cos 0,k k θ==所以曲线是它的主法线曲面上的渐近线.18. 证明二次锥面{cos ,sin ,}r au bu cu θθ=r沿每一条直母线只有一个切平面.证明 {cos ,sin ,}{cos ,sin ,}0()θθθθϕθ===+r r rr au bu cu u a b c u 为直纹面(0,(),()0ϕθϕθ'=r r r）, 所以，曲面可展，即沿每一条直母线只有一个切平面.也可以用高斯曲率K =0证明.19. 给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一处的副法向量和曲面在该点处的法向量成定角，求证Γ是一平面曲线.证明 设副法向量和曲面在该点处的法向量成定角θ0，则cos γθr rg 0ｎ＝两边求微商，得 0γγg g r r r rg g ｎ＋ｎ＝由于曲线Γ是曲率线，所以αg r rP ｎ，进而0γg r r g ｎ＝，由伏雷内公式得0τβr r g －ｎ＝⑴0τ＝时，Γ是一平面曲线 ⑵n 0βv v g ＝，即n β⊥vv ，n kcos =0k θ=，又因为Γ是曲率线，所以0n dn k dr =-=v v v 即n v是常向量，所以Γ是平面曲线.20．求证正螺面上的坐标曲线（即u -曲线族v -曲线族）互相垂直．证明 设正螺面的参数表示是{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r，则{}cos ,sin ,0u r v v =r ，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-r， {}{}cos ,sin ,0sin ,cos ,0u v r r v v u v u v b ⇒⋅=⋅-=r r，故正螺面上的坐标曲线互相垂直． 21. 证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数. 证明 由欧拉公式2212cos sin θθ=+n k k k*n 1in ππθθ=±-±-k k 222cos （）+k s （）221in cos k θθ=222s +k所以*n n 12k k k k +=+＝常数.22. 如果曲面上非直线的测地线Γ均为平面曲线，则Γ必是曲率线.证明 因为曲线Γ是非直线的测地线，所以沿此曲线有,β=±r rn从而(),κατγ=±-+r r r &n又因为曲线是平面曲线，所以0,τ= 进一步n κα=±r r &.由罗德里格斯定理可知曲线的切线方向为主方向，故所给曲线为曲率线. 23. 证明在曲面()()z f x f y =+上曲线族x =常数，y =常数构成共轭网.证明 曲面的向量表示为 {}(,),,()(),r x y x y f x f y =+rx =常数,y =常数是两族坐标曲线.{1,0,}x r f '=r,{0,1,}y r g '=r . {0,0,},{0,0,0},{0,0,},xx xy yy r f r r g ''''===r r r因为20xy r r M r EG F⨯==-r r r ,所以坐标曲线构成共轭网，即曲线族 x =常数, y =常数构成共轭网.24．证明马鞍面z xy =上所有点都是双曲点．证明 参数表示为{}(,),,r x y x y xy =r，则{}1,0,x r y =r ，{}0,1,y r x =r ，{}0,0,0xx r =r ，{}0,0,1xy r =r ，{}0,0,0yy r =r，{},,1x y r r y x ⨯=--r r ，22,,1||1x yx y r r y x n r r x y ⨯--==⨯++r r r r r ， 0xx L r n =⋅=r r ， 221xy M r n x y =⋅=++r r0yy N r n =⋅=r r，222221100011LN M x y x y ∴-=⨯-=-<++++，故马鞍面z xy =上所有点都是双曲点．25．如果曲面上某点的第一与第二基本形式成比例，即(d ,d )(d ,d )u v u v II I 与方向无关，则称该点是曲面的脐点；如果曲面上所有点都是脐点，则称曲面是全脐的．试证球面是全脐的．证明 设球面的参数表示为 {}(,)cos cos ,cos sin ,sin r u v R v u R v u R v =r，则 {}cos sin ,cos cos ,0u r R v u R v u =-r ，{}sin cos ,sin sin ,cos v r R v u R v u R v =--r， {}cos cos ,cos sin ,0uu r R v u R v u =--r ，{}sin sin ,sin cos ,0uv vu r r R v u R v u ==-r r， {}cos cos ,cos sin ,sin vv r R v u R v u R v =---r，22cos u u E r r R v =⋅=r r ，0u v F r r =⋅=r r ，2v v G r r R =⋅=r r，22cos u v uu L R v EG F ==--r r r ，20u v uv M EG F ==-r r r ，2u v vv N R EG F==--r r r ，1(,,)(,,)L M N E F G R∴=-，故球面是全脐的． 26．证明平面是全脐的．证明 设平面的参数表示为{}(,),,0r x y x y =r，则{}1,0,0x r =r ，{}0,1,0y r =r ，{}0,0,0xx r =r ，{}0,0,0xy r =r ，{}0,0,0yy r =r，1x x E r r =⋅=r r ，0x y F r r =⋅=r r ，1y y G r r =⋅=r r，0xx L r n =⋅=r r ，0xy M r n =⋅=r r ，0yy N r n =⋅=r r(,,)0(,,)L M N E F G ∴=，故平面是全脐的．27．证明曲面3x y z +=的所有点为抛物点．证明 曲面的参数表示为{}1/3(,),,()r x y x y x y =+r，则{}2/3131,0,()x r x y -=+r ， {}2/3130,1,()y r x y -=+r ， {}5/3230,0,()xx r x y -=-+r ，{}5/3290,0,()xy r x y -=-+r ， {}5/3290,0,()yy r x y -=-+r ， {}2/32/31133(),(),1x y r r x y x y --⨯=-+-+r r ， ||x y x y r r n r r ⨯=⨯r r r r r ， {}5/3290,0,()xx L r n x y n -=⋅=-+⋅r r r ，{}5/3290,0,()xy M r n x y n -=⋅=-+⋅r r r ， {}5/3290,0,()yy N r n x y n -=⋅=-+⋅r r r 20LN M ⇒-=，∴曲面3x y z +=的所有点为抛物点．28．求证正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v av =r是极小曲面．证明 {}cos ,sin ,0u r v v =r ，{}sin ,cos ,v r u v u v a =-r，{}0,0,0uu r =r ，{}sin ,cos ,0uv r v v =-r ，{}cos ,sin ,0vv r u v u v =--r，{}cos sin 0sin ,cos ,sin cos u v i j kr r v v a v a v u u v u v a ⨯==--r r rr r，22sin ,cos ,||u v u v a v a v u r r n r r a u -⨯==⨯+r rrr r ， 1u u E r r =⋅=r r ，0u v F r r =⋅=r r ，22v v G r r a u =⋅=+r r，0uu L r n =⋅=r r ，22uv M r n a u =⋅=+r r 0vv N r n =⋅=r r，2221020()()01210,22a u EN FM GL a u H EG F ⋅-⋅⋅-++⋅-++∴=⋅==-故正螺面是极小曲面．29. 圆柱面{cos ,sin ,}r a u a u v =r上的纬线是测地线．证明 由{cos ,sin ,},r a u a u v =r{sin ,cos ,0}u r -a u a u =r ，{0,0,1}v r =r，2,0, 1.E a F G ===22v u g d k ds E G G Eθθθ=+， 纬线是u -线，此时0θπ=或， 0.g k ∴= 所以，纬线是测地线．30．证明极小曲面上的点都是双曲点或平点． 证明 1202k k H +==Q ， 12k k ∴=-， 21220K k k k ∴=⋅=-≤ 当0K =时，120k k ==， ∴极小曲面的点都是平点； 当0K <时，极小曲面的点都是双曲点．31. 证明 (1)如果测地线同时是渐近线，则它是直线；(2)如果测地线同时是曲率线，则它一定是平面曲线.证明 (1) 因为曲线是测地线，所以0=g k ， 曲线又是渐近线，所以，0=n k ，而222=+n g k k k ，所以k=0，故所给曲线是直线. (2) 证法1因曲线是测地线，所以沿此曲线有βr r P n ，所以βr r&P dn ，又曲线是曲率线，所以αrr r P P dn dr ，所以(k )ατγα-+r r rP ，所以0τ=，故所给曲线是平面曲线.证法2因所给曲线既是测地线又为曲率线，所以沿此曲线有,,n nβαv r r v &P P 而γαβ=⨯r r r ，所以,n γα=±⨯r r r 从而()(0)0n n k n γααβ=±⨯+⨯=±-⨯+=r r r r r r r r r &&&，又γτβ=-r r &，所以0τ=，故所给曲线是平面曲线.。