04级信息数字信号处理试卷B答案

04级信息数字信号处理试卷B 答案
一、判断题 （10分，每题1分）
√，√，√，╳，╳ ╳，╳，√，√，╳
二、简答题 （45分）
1 IIR 与FIR 滤波器相比有什么主要优点（10分）。

优点：(1)单位抽样响应h(n)是有限长的，因此FIR DF 一定是稳定的（1分）。

(2)经延时移位，h(n)总可变成因果序列，所以FIRDF 总可以由因果系统实现。

（1分）
(3) h(n)为有限长，可以用FFT 实现FIRDF （2分）。

(4)FIR 的系统函数是Z-1的多项式，是全零点系统，故IIR 的设计方法不适用。

（1分）
(5)FIR 的相位特性可以是线性的,可以在通带内对信号无失真传输（2分）。

(6)FIR 滤波器可以设计出理想正交变换器、理想微分器、线性调频器、多通带多组带等各种网络,适应性较广（3分）。

2 简述用FFT 和IFFT 的圆周卷积计算长度为N 1的x(n)与长度为M 的h(n)的线性卷积y(n)=x(n)*h(n)主要步骤，并统计运算量，解释该替代算法的有效性（10分）。

主要步骤为
(1)将x(n)和h(n)进行周期延拓，周期N ≥(N 1+M-1)。

（1分）
(2)计算X(K)=FFT(x(n))，H(K)=FFT(h(n))，Y(K)=X(K)*H(K)。

（4分）
(3)y(n)=IFFT(Y(K))。

（1分）y(n)中前（N 1+M-1）个非零项即为线性卷积的结果。

（2分） 统计运算量及算法的有效性：第（3）的乘法运算次数为N N N +2log 2
*3（1分），直接卷积运算量为N 1*M （1分）。

当 M=L 时,用圆周卷积计算线性卷积的速度快,点数越多,速度越快N ≥64时,速度增加明显（1分）。

3 简述设计IIR HP DF(无限冲击响应高通数字滤波器)的过程（10分）
答：(A)利用双线性Z 变换法将高通数字滤波器的性能指标转换成对应的高通模拟滤波器的性能指标。

(2分)
（B ）根据高通模拟滤波器与低通模拟滤波器的频率互为倒数转换关系，将高通模拟滤波器的性能指标转换成低通模拟滤波器的性能指标。

(2分)
（C ）根据巴特沃斯或锲比雪夫模型求解低通模拟滤波器的传递函数G(p)。

(2分)
（D ）再根据高通模拟滤波器与低通模拟滤波器的频率互为倒数转换关系,将G(p)转换成高通模拟滤波器的H(s)。

(2分)
（E ）再根据双线性Z 变换法,将H(s)转换成高通z 数字滤波器的H(z)。

(2分)
4 结合第八章有限字长效应中的相关知识论述绪论中提到的数字信号处理系统为什么比模拟信号处理系统精度高？并说明有限字长效应在数字系统中有何不良影响？如何克服它？（15分）
答：模拟信号处理系统一般是由电阻、电容、电感、运算放大器等组成各种有源或无源系统实现对信号处理，而数字信号处理则是将信号进行离散化后，以数值计算为特点对信号进行处理（3分）。

因此，模拟信号处理系统的精度取决于所用元器件，它们的精度都不高，一般为10-3；（2分）而数字信号处理系统的精度决定于所用字长（2分）。

如一个字长是32位的数字系统若用定点法表示小数的精度（1分），则它能表示的最小数的绝对值为312-，用十进制科学技术法表示它相当于1010-，所以数字信号处理系统比模拟信号处理系统处理的
精度要高（2分）。

有限字长效应在数字系统中有不良影响：数字系统中量化误差的统计特性是白色的，它通过线性系统在输出端产生的输出功率叠加在信号上，由于它与信号之间是不相关的，所以它在系统中的作用相当于噪声，称为有限字长效应（3分）。

克服它的办法是增长数字信号处理系统的位数（2分）。

三、求以下序列)(n x 的频谱)(ωj e X （10分）。

(1) )(0n n -δ (2) )cos()(0n n u e an ω-
解：分析：
可以先求序列的Z 变换)(z X 再求频率
ωωωj j j e z z X e X e X ==)()( )(
即(ωj e X 为单位圆上的Z 变换（2分），或者直接求序列的傅里叶变换
∑∞-∞=-=
n n j j e n x e X ωω)()(（1分）
对题中所给的)(n x 先进行z 变换再求频谱得：
[][])
1( )( )()( )1(00分n z n n Z n x Z z X -=-==∙
∙
∙δ
ωωω0 |)()(jn e z j e z X e X j -===∴（2分） []
)cos()()()2(0n n u e Z z X an ω-=∙∙∙ a a a e z e z e z 22010
1cos 21cos 1------+--=ωω（2分）
∴ωωj e z j z X e X ==|)()(
a j a j a j e e e e e e 2200
cos 21cos 1------+--=ωωωωω（2分）
四、计算题（10分）
分）（对于本题分）（分）（间隔。

是频谱抽样之间的频谱频谱的周期的是以角频率为变量其中分）（证明3625.15512
80005128:32,
222: 00000000
0 Hz F N KHz f N
f F N F f F f F f s s s s s s s s s ==∴===
∴=ΩΩ=∴ΩΩΩΩ=∴Ω=Ω=
∙∙∙π
π
五、滤波器设计
分别利用矩形窗与Blackman 窗设计具有线性相位的FIR 低通滤波器，具体要求：
⎪⎩⎪⎨⎧≤=-else e e H c j j d ,0,)(ωωωαω
其中Blackman 窗频谱的主瓣宽度为 N /12π，是矩形窗的三倍，其时域函数如下：
)()]1
4cos(08.0)12cos(5.042.0[)(blackm an n R N n N n n w N -+--=ππ ;1,12rad s c ==ωα试分别写出在这两种窗函数下FIR LP DF 的时域抽样函数h(n)的表达式，（N 各点的具体数值可以不求出），并定性比较在这两种窗函数下滤波器的频响特性有何主要区别？（15分）
解：（1）由于)(ωj d e H 是一理想LF ，所以)(n h d 可以得出
)()](sin[)(απαω--=n n n h c d （2分）
（2）确定N
由于相位函数ωαωθ-=)(，所以)(n h d 呈偶对称（1分），其对称中心为 2/)1(-=N α，（1分）因此
2512=+=αN （1分），则有 )
12()12sin(1)(--=
n n n h d π（1分）。

（3）加矩形窗 )()()()()(25Rectangle n R n h n w n h n h d d == ]24,0[N ∈（2分）
（3）加Blackman 窗
)()()()()(25Blackm an n R n h n w n h n h d d == ]24,0[N ∈（2分）
定性比较在这两种窗函数下滤波器的频响特性:
窗函数频谱的主瓣影响滤波器过渡带的衰减速度（2分），它的边瓣影响滤波器的阻带衰落速度（2分）, 由于Blackman 窗频谱的主瓣宽度为 N /12π，是矩形窗的三倍，所以，)(Rectangle n h 的过渡带衰减速度比)(Blackman n h 的快（1分）；而阻带衰落速度比)(Blackm an n h 的慢（1分）。

六、分析画图题（10分）
设有两序列
⎩⎨⎧≤≤=⎩⎨⎧≤≤=n n n y n y n n n x n x 其他其他,0140),()(,050),()(
各作15点的DFT ，然后将两个DFT 相乘，再求乘积的IDFT ，设所得结果为f(n)，问f(n)的哪些点（用序号n 表示）对应于)()(n y n x *应该得到的点。

答：序列x(n)的点数为N 1=6,y(n)的点数为N 2=15，故x(n)* y(n)的点数应为
N=N 1+N 2-1=20 （1分）
又f(n)为x(n)与y(n)的15点的圆周卷积，即L=15。

所以，混叠点数为N-L=20-15=5。

即线性卷积以15为周期延拓形成圆周卷积序列f(n)时，一个周期内在n=0到n=4(=N-L)这5点处发生混叠，（3分）即f(n)中只有n=5到n=14的点对应于x(n)*y(n)应该得到的点。

（3分）
0 4 15 19。