等差等比数列的性质总结

等差等比数列的性质总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

一、等差数列

1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；

2．等差数列通项公式：

*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ，首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=．从而m

n a a d m

n --=；

3．等差中项

（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2

b a A +=

或b a A +=2

（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a

4．等差数列的前n 项和公式：

1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22

d n a d n =+-2An Bn =+

（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项

()()()12121121212

n n n n a a S n a +++++=

+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间

项）

5．等差数列的判定方法

（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列．

（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。（4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

6．等差数列的证明方法

定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列．

7.提醒：

（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：

①一般可设通项1(1)n a a n d =+-

②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；

③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ）

8..等差数列的性质：（1）当公差0d ≠时，

等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；

前n 和211(1)()222

n n n d d

S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.

（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.

注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???，

（4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列

(5) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列

（6）数列{}n a 为等差数列,每隔k(k ∈*N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++???)仍为等差数列

（7）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和

1.当项数为偶数n 2时，

()

121135212n n n n a a S a a a a na --+=+++???+=

=奇 ()

22246212

n n n n a a S a a a a na ++=+++???+==偶

()11n n n n S S na na n a a ++-=-=-偶奇 11

n n n n S na a S na a ++==奇偶

2、当项数为奇数12+n 时，则

21(21)(1)1n S S S n a S n a S n S S a S na S n +?=+=+=+?+????=??

-==????

n+1n+1

奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶（其中a n+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）．

（8）、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且

()n

A f n

B =，则

(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--.

（9）等差数列{}n a 的前n 项和m S n =，前m 项和n S m =，则前m+n 项和()m n S m n +=-+

(10)求n S 的最值

法一：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*n N ∈。

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和

即当，，001<>d a 由???≤≥+0

1n n a a 可得n S 达到最大值时的n 值．

（2） “首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。

即当，，001>

1n n a a 可得n S 达到最小值时的n 值．

或求{}n a 中正负分界项

法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n 项和的图像是过原点的二次函数，故n 取离二次函数对称轴最近的整数时，n S 取最大值（或最小值）。若S p = S q 则其对称轴为

2p q

n +=

注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于1a 和d 的方程；

②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．

二、等比数列

1. 等比数列的定义：()()*1

2,n

n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2. 通项公式：

()11110,0n n

n n a a a q q A B a q A B q

-==

=??≠?≠，首项：1a ；公比：q 推广：n m n m a a q -=，从而得n m n m a q a -=

或n q =3. 等比中项

（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2A ab =

或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为

相反数）

（2）数列{}n a 是等比数列?211n n n a a a -+=?

4. 等比数列的前n 项和n S 公式： (1) 当1q =时， 1n S na = (2) 当1q ≠时，()11111n n n a q a a q

S q

--=

-- 11''11n n n a a

q A A B A B A q q

-=-?=---（,,','A B A B 为常数） 5. 等比数列的判定方法

（1）用定义：对任意的n,都有1

1(0)n n n n n

a a qa q q a a ++==≠或

为常数，?{}n a 为等比数列（2）等比中项：211n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）?{}n a 为等比数列

（3）通项公式：()0n n a A B A B =??≠?{}n a 为等比数列

（4）前n 项和公式：()'',,','n n n n S A A B S A B A A B A B =-?=-或为常数?{}n a 为等比数列

6. 等比数列的证明方法依据定义：若

()()*1

2,n

n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1n n a qa +=?{}n a 为等比数列 7. 注意

（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及n S ，其中1a 、q 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；11n n a a q -=

如奇数个数成等差，可设为…，22,,,,a a

a aq aq q q …（公比为q ，中间项用a 表示）；

8. 等比数列的性质 (1) 当1q ≠时

①等比数列通项公式()1110n n

n n a a a q q A B A B q

-===??≠是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q ②前n 项和()111111''1111n n n n n n a q a a q a a S q A A B A B A q

q q q

--=

=-=-?=-----，系数和常数项是互为

相反数的类指数函数，底数为公比q

(2) 对任何m,n ∈*N ,在等比数列{}n a 中,有n m n m a a q -=,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。

(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t ∈*N ),则n m s t a a a a ?=?.特别的,当n+m=2k 时,得2n m k a a a ?= 注：12132n n n a a a a a a --?=?=???

(4) 列{}n a ,{}n b 为等比数列,则数列{}n

a ,{}n k a ?,{}k n a ,{}n n k a

b ??{}n n a b (k 为非零常数) 均为等比数列.

(5) 数列{}n a 为等比数列,每隔k(k ∈*N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++???)仍为等比数列 (6) 如果{}n a 是各项均为正数的等比数列,则数列{log }a n a 是等差数列 (7) 若{}n a 为等比数列,则数列n S ，2n n S S -，32,n n S S -???，成等比数列

(8) 若{}n a 为等比数列,则数列12n a a a ??????, 122n n n a a a ++??????, 21223n n n a a a ++???????成等比数列

(9) ①当1q >时， ②当1q <0<时，

110{}0{}{

n n a a a a ><，则为递增数列，则为递减数列, 110{}0{}{

n n a a a a ><，则为递减数列，则为递增数列

③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; ④当q<0时,该数列为摆动数列.

(10)在等比数列{}n a 中, 当项数为2n (n ∈*N )时,

1S S q

=奇偶,. (11)若{}n a 是公比为q 的等比数列,则n n m n m S S q S +=+?

例1、（1）设{}n a 是等差数列，且21512841=+---a a a a a ，求133a a +及S 15值。（2）等比数列{}n a 中，661=+n a a ，12812=-n a a ，前n 项和S n =126，求n 和公比q 。（3）等比数列中，q=2，S 99=77，求a 3+a 6+…+a 99；

（4）项数为奇数的等差数列{}n a 中，奇数项之和为80，偶数项之和为75，求此数列的中间项与

项数。

解：（1）由已知可得28-=a ，所以133a a +=248-=a ，S 15=

()30152

158151-==+a a a

()2由题

66,12811=+=n n a a a a ，所以???==6421n a a 或???==2

1n a a

又12611=--=q q a a S n n ,所以???==62n q 或?????==

21n q ()

()()()

()

99149726983699369936992311144

S a a a a a a a a a a a a a a a q

q =++

++++++++

+??

=++++

+∴+++= ???

评注：分解重组，引导发现（1497a a a +++）、（2698a a a +++）与（3699a a a +++）的关

系，从而使问题获得简单的解法。

()4设等差数列共2n-1项,则

()()1675

)

1(2

222121=?=-=

-++=

--n n n n a a n

a a S S n n 偶

奇所以此数列共31项.中间项57580=-=-=偶奇S S

评注：（1）在项数为21n +项的等差数列{}n a 中，2+1=(+1),=,=(2+1)n S n a S na S n a 奇中偶中中；

（2）在项数为2n 项的等差数列{}n a 中2+11=,=,=()n n n n n S na S na S n a a +++1奇偶．