六不等式基础教师版
基本不等式的比较几大题型(教师版)
基本不等式的比较几大题型(教师版)基本不等式是数学中的重要概念，它帮助我们比较数字大小关系并解决实际问题。
在这份文档中，我们将介绍基本不等式的比较几大题型，帮助教师更好地教授这一知识点。
1. 常见的不等式类型在教学中，我们常见到以下几种类型的不等式：- 单变量一次不等式：类似于 $ax + b < 0$ 或 $cx + d > 0$ 的形式。
- 单变量二次不等式：类似于 $ax^2 + bx + c < 0$ 或 $dx^2 + ex + f > 0$ 的形式。
- 双变量不等式：例如 $ax + by < c$ 或 $dx + ey > f$ 的形式。
针对每种类型的不等式，我们可以采用不同的解题方法和策略，下面将介绍其中的一些重点。
2. 单变量一次不等式的解法对于单变量一次不等式，我们可以通过以下步骤来解题：1. 将不等式转化成等式，确定不等式的基准点。
2. 根据基准点将数轴划分成不等式的区间。
3. 在每个区间内选择一个测试点，并判断测试点是大于还是小于基准点。
4. 根据测试点的结果确定每个区间的解集。
5. 将所有区间的解集合并得出最终解集。
通过这种方法，我们可以清晰地展示单变量一次不等式的解题过程，并帮助学生理解不等式的含义。
3. 单变量二次不等式的解法单变量二次不等式的解法也可以采用类似的步骤：1. 将不等式转化成等式，确定不等式的基准点。
2. 根据基准点将数轴划分成不等式的区间。
3. 在每个区间内选择一个测试点，并判断测试点是大于还是小于基准点。
4. 根据测试点的结果确定每个区间的解集。
5. 将所有区间的解集合并得出最终解集。
单变量二次不等式相对于一次不等式来说更加复杂，因此需要更多的练和理解。
4. 双变量不等式的解法对于双变量不等式，我们需要利用平面直角坐标系的图形来解题。
通过绘制不等式的图形，我们可以找到满足条件的区域。
常见的解题方法包括：- 绘制不等式的边界线，确定边界线上的点是否满足不等式。
5.含参不等式及基本不等式(教师版) WPS文字 文档
参数不等式与基本不等式学习目标：① 含参数的一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式； ②不等式的解集与方程的根相关； ③基本不等式及其应用一、基础知识1、含参不等式20ax bx c ++≥需讨论二次项系数正负或零以及两根的大小； 2、含参分式不等式先将其转化为整式不等式；3、基本不等式222()22a b a b ab ++≤≤ 4、利用重要不等式求函数最值时，谨记：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针5、不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题1).恒成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <2). 能成立问题（有解问题 ）若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立, 则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立, 则等价于在区间D 上的()min f x B <.如3). 恰成立问题不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价()A x f >的解集为D ； 不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价()B x f <的解集为D .二、题型归类（一）含字母参数一元二次不等式的问题1. 当0a <时，不等式22420x ax a +-≤的解集是____________2. 已知不等式210ax bx ++≥的解集为{51}x x -≤≤，则2a b +=____________ 3. 实数k 在什么范围内取值时，不等式220kx kx -+>的解集是实数集R ？解集会不会是空集？4. 若不等式组()22201ax x x x a x ⎧--≤⎨-≥-⎩的解集为R ,求a 的取值范围是____________5.已知关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集为}212|{->-<x x x 或。
7、不等式及其性质- 教师版
【课内练习】1． （1）用“＞”号或“＜”号填空，并简说理由。
① 6+2 > -3+2； ② 6×（-2） < -3×（-2）； ③ 6÷2 > -3÷2； ④ 6÷（-2） < -3÷（-2） （2）如果a ＞b ，则不能确定，不能确定，〉，〈2．利用不等式的基本性质，填“＞”或“＜”： （1）若a ＞b ，则2a+1 > 2b+1; （2）若＜10，则y > -8；（3）若a ＜b ，且c ＞0，则ac+c > bc+c ； （4）若a ＞0，b ＜0， c ＜0，（a-b ）c < 0。
3. 按照下列条件，写出仍能成立的不等式，并说明根据。
（1）a ＞b 两边都加上-4； （2）-3a ＜b 两边都除以-3； （3）a ≥3b 两边都乘以2； （4）a ≤2b 两边都加上c ； （1）（3）（4）仍成立4、设a ＞b .用“＜”或“＞”号填空.（1）a －3 〉 b －3; （2）2a > 2b; （3）－4a < －4b ; （4）5a > 5b ;（5）当a ＞0, b > 0时，a b ＞0; （6）当a ＞0, b < 0时，a b ＜0; （7）当a ＜0, b < 0时，a b ＞0; （8）当a ＜0, b > 0时，a b ＜0.5．当x 取何值时，不等式3x ＜5x+1成立（C ）A.-B.-1C.0D.-3.5 6．下列不等式的变形中，正确的是（AB ） A.若2x ＜-3，则x ＜- , B.若-x ＜0，则x ＞0C.若- ，则x ＞y 。
D.若- ，则x ＜-67．若关于x 的不等式ax ＞b （a ≠0），有x ＜ ,那么a 一定是（ B ）A.正数B.负数C.非正数D.任何数 8．若a ＞b 且a ≠0,b ≠0，则（C ） A.B.C.a ＞b ＞0时，b ＜a ＜0时，，D.ab 同号时， ,a 、b 异号时，知识点2 不等式的解集及求不等式的整数解 1.不等式的解集：（1）在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. （2）不等式的解的全体叫做不等式的解集. （3）求不等式的解集的过程叫做解不等式.（4）在数轴上表示不等式的解集：先画数轴，再定界点，后定方向.大于向右，小于向左，含等号画实心圆，没等号画空心圆. 例题：已知不等式57.5x ->.（1）x 的下列这些值：-5、-3.5、-2.5、0、1.5中，哪些是不等式57.5x ->的解？哪些不是？（2）利用不等式的基本性质求出不等式的解，并把它的解集表示在数轴上. -5, -3.5 X<2.5 练习1.下列说法中错误的是（ D ）.A.0是不等式12043x x+->的解 B.2x <的解有无数个C.2x <的整数解有无数个D.2x <的正数解只有有限多个例1：解不等式521123x x ++-≤，并把解集在数轴上表示出来. X ≥7例2：解不等式3112x x --≤-，并在数轴上表示它的解集. X ≥3 练习1.在数轴上表示不等式的解集：（1）1x >-， （2）1x ≤， （3）122x <， （4）314x ≥-.略2.已知关于x 的不等式23x a ->-的解集如图所示，求a 的值. 12. 一元一次不等式的简单应用一元一次不等式的应用与列方程解应用题类似，根据某个量所满足的不等关系，列出不等式，从而求出这个量的取值范围.1.爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s ，人跑开的速度是5m/s ，为了使点火的战士在施工时能跑到100m 以外的安全地区，导火索至少需要多长？ 解：设导火索的长度为x 米8.0x≥100÷5 x ≥162.一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成，则以后平均每天至少要比原计划多完成多少方土？ 解：设以后平均每天要比原计划多完成x 方土a<49-3.已知不等式2x－1＞x 与ax －6＞5x 同解，试求a 的值. a=24.如果关于x 的不等式－k －x ＋6＞0的正整数解为1，2，3，正整数k 应取怎样的值？-3≤k ≤-25.不等式a (x －1)>x +1－2a 的解集是x <－1,请确定a 是怎样的值. a<1巩固练习 一．填空题1.把“x 的3倍与b 的和是负数”用不等式表示为 3x+b<0 .2.如果x y <，且mx my >，则m <0 ；若a b <，则31a -+ > 31b -+.3.如果0x m +≥的解集是4x ≥，那么m = -4 ；不等式1543x ->的解集为 x<-203 . 4.当x ≥-1/8 时，2313x x ++≥；当x <0 时，2(3)6x +-的值是负的.5.不等式310x -<的负整数解为 -1,-2,-3 ；23xx +<的最小整数解是 4 .6.如果一个工人每小时装配12个零件，那么至少需要 11 个工人才能使一小时装配的零件不少于130个.7.不等式(1)(0)a x x a a +≥+<的解是 x ≤1 . 8.根据数轴比较下列各式的大小：（1）a c - > b c -； （2）ac < bc ； （3）2b < b -； （4）ac> a -.。
(word完整版)不等式的应用-教师版
整数解问题【例1】 在一次爆破中，用1米的导火索来引爆炸药，导火索的燃烧速度为0.5cm/s ，引爆员点着导火索后，至少以每秒_____米的速度才能跑到600m 或600m 以外的安全区域？【答案】3m/s【例2】 一次普法知识竞赛共有30道题，规定答对一道题得4分,答错或不答一道题得－1分，在这次竞赛中，小明获得优秀（90分或 90分以上）则小明至少答对了 道题．【答案】24【例3】 现用甲、乙两种运输车将46吨抗旱物资运往灾区,甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排（ ）A ．4辆B ．5辆C ．6辆D ．7辆【答案】C【例4】 初中九年级一班几名同学，毕业前合影留念，每人交0.70元，一张彩色底片0.68元，扩印一张照片0.50元，每人分一张，将收来的钱尽量用掉的前提下，这张照片上的同学最少有（ )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【例5】 工程队原计划6天内完成300土方工程,第一天完成60土方,现决定比原计划提前两天超额完成，问后几天每天平均至少要完成多少土方？【解析】设后几天每天平均完成x 土方，根据题意，得:60(612)300x +--≥，解得80x ≥， 每天平均至少挖土80土方．【答案】每天平均至少挖土80土方【例6】 小华家距离学校2.4千米．某一天小华从家中去上学恰好行走到一半的路程时，发现离到校时间只有12分钟了．如果小华能按时赶到学校,那么他行走剩下的一半路程的平均速度至少要达到多少？不等式的应用知识讲解【解析】设他行走剩下的一半路程的速度为x ，则122.4 1.260x -≥所以6x ≥． ∴他行走剩下的一半路程的速度至少为6千米/小时．【答案】6千米/小时．【例7】 若干名学生合影留念，需交照像费20元(有两张照片），如果另外加洗一张照片，又需收费1.5元，要使每人平均出钱不超过4元钱，并都分到一张照片，至少应有几名同学参加照像?【解析】设有x 位同学参加照像，根据题意得：20 1.5(2)4x x +-≤，解得 6.8x ≥，所以至少应有7名同学参加照像．【答案】7【例8】 某工人9月份计划生产零件180个,前10天每天平均生产6个，后经改进生产技术，提前2天并且超额完成任务，这个工人改进技术后平均每天至少生产零件多少个？【解析】这个工人改进技术后平均每天至少生产零件x 个，根据题意得：610(30102)180x ⨯+-->,263x >，这个工人改进技术后平均每天至少生产零件7个．【答案】7个【例9】 八戒去水果店买水果，八戒有45元，买了5斤香蕉，若香蕉每斤3元,西瓜每个8元,请问八戒至多能买几个西瓜？【解析】设八戒买了x 个西瓜，则35845x ⨯+≤，解得154x ≤,故八戒至多买3个西瓜． 【答案】3个【例10】 在保护地球爱护家园活动中，校团委把一批树苗分给初三⑴班同学去栽种．如果每人分2棵,还剩42棵；如果前面每人分3棵，那么最后一人得到的树苗少于5棵(但至少分得一棵)． ⑴ 设初三⑴班有x 名同学，则这批树苗有多少棵？(用含x 的代数式表示）． ⑵ 初三⑴班至少有多少名同学？最多有多少名【解析】⑴ 242x +;⑵ ()1242315x x +--<≤，则4044x <≤,至少有41名同学；最多有44名同学．【答案】⑴ 242x +；⑵ 至少有41名同学；最多有44名同学．【例11】 某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有A 、B 两种型号的车可供调用,已知A 型车每辆可装20吨，B 型车每辆可装15吨，在每辆车不超载的条件下,把300吨物资装运完，问：在已确定调用5辆A型车的前提下至少还需调用B 型车多少辆？【例12】【解析】设至少还需要B 型车x 辆，依题意得20515300x ⨯+≥解得1133x ≥，∴14x =．【答案】14【例13】 商业大厦购进某种商品l000件，售价定为进价的125%．现计划节日期间按原售价让利l0％，至多售出l00件商品;而在销售淡季按原定价的60%大甩卖．为使全部商品售完后赢利，在节日和淡季之外要按原定价销售出至少多少件商品?【解析】设进价为a 元,按原定价售出x 件，节日让利售出y 件（0100y <≤）．依题意有125%125%(1a x a y ⋅⋅+⋅⋅⋅-10%)(1000)125%60%1000x y a a +--⋅⋅⋅>，整理得432000x y +>，由于0100y <≤，所以425x >，因此按原定价至少销售426件．【答案】426件求范围以及具体数目问题【例14】 一堆有红、白两种颜色的球各若干个，已知白球的个数比红球少,但白球个数的2倍比红球多．若把每一个白球都记作“2”,每一个红球都记作“3”，则总数为60,那么，白球与红球各有多少个？【解析】设白球有x 个，红球有y 个，依题意有22360x y xx y <<⎧⎨+=⎩，解得7.512x <<又由26033(20)x y y =-=-，知x 是3的倍数．故白球共有9个，红球共有l4个．【答案】白球共有9个，红球共有l4个．【例15】 “六一"儿童节前夕，某消防队官兵了解到汶川地震灾区一帐篷小学的小朋友喜欢奥运福娃，就特意买了一些，送给这个小学的小朋友做为节日礼物．如果每班分10套,那么欲5套；如果前面的每个班级分13套，那么最后一个班级虽然分有福娃，但不足4套．问：该小学有多少个班级？奥运福娃共有多少套？【解析】设该小学有x 个班,则奥运福娃共有()105x +套．由题意,得()()1051314105131x x x x ⎧+<-+⎪⎨+>-⎪⎩解之，得1463x <<． ∵x 只能取整数，所以5x =，此时10555x +=．【答案】5个班级，55套福娃【例16】 某企业人事招聘工作中,共安排了五个测试项目，规定每通过一项测试得1分，未通过不得分，此次前来应聘的26人平均得分不低于4.8分,其中最低分3分，而且至少有3人得4分，则得5分的共有多少人?【解析】共有22人．设x 人得3分,y 人得4分，则得5分的共有26x y --人,则可知：()34526 4.82613x y x y x y ++--⨯⎧⎪⎨⎪⎩≥≥≥解得13x y ==，，所以2622x y --= 即得5分的共有22人．【答案】得5分的共有22人．【例17】 暑假期间小张一家为体验生活品质,自驾汽车外出旅游,计划每天行驶相同的路程．如果汽车每天行驶的路程比原计划多19公里，那么8天内它的行程就超过2200公里；如果汽车每天的行程比原计划少12公里，那么它行驶同样的路程需要9天多的时间．求这辆汽车原来每天计划的行程范围(单位：公里)．【解析】设原计划每天的行程为x 公里，由题意，应有：8(19)22008(19)9(12)x x x +>⎧⎨+>-⎩，解得256260x x >⎧⎨<⎩答：所以这辆汽车原来每天计划的行程范围为超过256公里且不到260公里．【答案】这辆汽车原来每天计划的行程范围为超过256公里且不到260公里．【例18】 有人问一位老师他所教的班有多少学生，老师说:“一半的学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在念外语，还剩不足六位同学在操场踢足球".试问：这个班共有多少学生？【答案】设该班共有x 名学生,由题意可得()6247x x x x -++<，∴3628x<，即56x <又∵x 、2x、4x 、7x 都是整数，∴28x = 答：这个班有28名学生方案决策问题【例19】 2008年北京奥运会的比赛门票开始接受公众预定．下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷准备用12000元预定15张下表中球类比赛的门票:(1)若全部资金用来预定男篮门票和乒乓球门票,问这个球迷可以预订男篮门票和乒乓球门票各多少张？（2)若在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下，这个球迷想预定上表中三种球类门票，其中足球门票与乒乓球门票数相同，且足球门票的费用不超过男篮门票的费用，问可以预订这三种球类门票各多少张？【解析】(1）设预定男篮门票x 张，则乒乓球门票()15x -张．得：()10005001512000x x +-=，解得：9x = ∴151596x -=-=（2)设足球门票与乒乓球门票数都预定y 张，则男篮门票数为()152y -张，得8005001000(152)120008001000(152)y y y y y ++-≤⎧⎨≤-⎩解得：2545714y ≤≤． 由y 为正整数可得5y =，1525y -=【答案】 （1）男篮门票9张，则乒乓球门票6张； (2)乒乓球、足球门票、男篮门票各5张.【例20】 某零件制造车间有工人20名，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元,在这20名工人中，车间每天安排x 名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件．⑴请写出此车间每天所获利润y （元)与x （人）之间的关系式;⑵若要使每天所获利润不低于24000元,你认为至少要派多少名工人去制造乙种零件才合适？【解析】（1）依题意,得()()150626052040026000020y x x x x =⨯+⨯-=+≤≤．(2）依题意得，4002600024000x -+≥．解得5x ≤，2020515x -=-=．答：至少要派15名工人去制作乙种零件才合适． 【答案】（1）()()150626052040026000020y x x x x =⨯+⨯-=+≤≤（2）至少要派15名工人去制作乙种零件才合适．【例21】 某童装加工企业今年五月份，工人每人平均加工童装150套,最不熟练的工人加工的童装套数为平均套数的60%．为了提高工人的劳动积极性,按照完成外商订货任务，企业计划从六月份起进行工资改革．改革后每位工人的工资分两部分：一部分为每人每月基本工资200元；另一部分为每加工1套童装奖励若干元．(1）为了保证所有工人的每月工资收入不低于市有关部门规定的最低工资标准450元，按五月份工人加工的童装套数计算，工人每加工1套童装企业至少应奖励多少元（精确到分)？（2)根据经营情况,企业决定每加工1套童装奖励5元．工人小张争取六月份工资不少于1200元，问小张在六月份应至少加工多少套童装？【解析】(1）设企业每套奖励x 元，由题意得：20060%150450x +⨯≥．解得： 2.78x ≥．因此，该企业每套至少应奖励2.78元；（2）设小张在六月份加工y 套,由题意得：20051200y +≥, 解得200y ≥．【答案】（1）2.78元；（2）200【例22】 2008年8月,北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心举行．观看帆船比赛的船票分为两种：A 种船票600元/张，B 种船票120元/张．某旅行社要为一个旅行团代购部分船票，在购票费不超过5000元的情况下，购买A B ，两种船票共15张，要求A 种船票的数量不少于B 种船票数量的一半．若设购买A 种船票x 张，请你解答下列问题：（1)共有几种符合题意的购票方案?写出解答过程； (2）根据计算判断:哪种购票方案更省钱?【解析】(1)由题意：()()6001201550001152x x x x +-⎧⎪⎨-⎪⎩≤≥ 解得：2053x ≤≤∵x 为整数，∴56x =，∴共两种购票方案：方案一：A种船票5张,B种船票10张方案二：A种船票6张,B种船票9张(2)因为B种船票价格便宜，因此B种船票越多，总购票费用少．∴第一种方案省钱，为5600120104200⨯+⨯= (元)【答案】（1）共两种购票方案：方案一：A种船票5张，B种船票10张方案二：A种船票6张，B种船票9张(2）第一种方案省钱【例23】某超市销售有甲、乙两种商品，甲商品每件进价10元，售价15元;乙商品每件进价30元，售价40元．（1）若该起市同时一次购进甲、两种商品共80件，恰好用去1600元，求能购进甲乙两种商品各多少件？（2)该超市为使甲、乙两种商品共80元的总利润（利润=售价—进价）不少于600元,但又不超过610元,请你帮助该超市设计相应的进货方案．【解析】(1）商品进了x件,则乙种商品进了80x-件，依题意得()+-⨯=1080301600x x解得：40x=即甲种商品进了40件，乙种商品进了804040-=件．（2）设购买甲种商品为x件，则购买乙种商品为()80x-件，依题意可得：()()()-+--≤≤6001510403080610x x解得：38≤x≤40即有三种方案，分别为：第一种方案：甲38件，乙42件；第二种方案：甲39件，乙41件；第三种方案：甲40件,乙40件．【答案】（1）甲种商品进了40件,乙种商品进了40件．(2)有三种方案，分别为：第一种方案:甲38件，乙42件；第二种方案:甲39件，乙41件;第三种方案:甲40件,乙40件．【例24】 某饮料厂开发了A B ，两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙含量如下表所示,现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A B ，两种饮料共100瓶．设生产A 种饮料x 瓶,解答下列问题:⑴ 有几种符合题意的生产方案？写出解答过程;⑵ 如是A 种饮料每瓶的成本为2.60元，B 种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y 元，请写出y 与x 之间的关系式，并说明x 取何值会使成本总额最低?原料名称 饮料名称甲乙Ａ 20克40克Ｂ30克 20克【解析】⑴ 设生产A 种饮料x 瓶，生产B 种饮料100x -瓶．则()()2030100280040201002800x x x x ⎧+-⎪⎨+-⎪⎩≤≤，解得2040x ≤≤,由x 为整数，共有21组解， 所有符合题意的生产方案共有21种．⑵ ()2.6 2.8100y x x =+-，整理得0.2280y x =-+，∵x 的系数为0.2-, ∴y 随x 的增大而减小．当40x =时,成本总额最低．【答案】（1)21；（2）0.2280y x =-+，当40x =时，成本总额最低．【例25】 开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品,小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小 亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本． ⑴ 求每支钢笔和每本笔记本的价格；⑵ 校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出．【解析】⑴ 设每支钢笔x 元，每支笔记本y 本．3182531x y x y +=⎧⎨+=⎩，∴35x y =⎧⎨=⎩． ⑵ 设购买钢笔a 支，笔记本b 个．4835200a b a b b a+=⎧⎪+⎨⎪⎩≤≥,∴2028a b ⎧⎨⎩≥≤，则共有五种购买方案20,21,22,23,2428,27,26,25,24a b =⎧⎨=⎩．【答案】（1）每支钢笔3元，每支笔记本5本．(5）五种方案:20,21,22,23,2428,27,26,25,24 ab=⎧⎨=⎩【例26】2007年我市某县筹备20周年县庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A B，两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧,已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．⑴某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计,问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．⑵若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明（1)中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？【解析】⑴设搭配A种造型x个,则B种造型为(50)x-个，依题意,得：8050(50)34904090(50)2950x xx x+-≤⎧⎨+-≤⎩，解得：3331xx≤⎧⎨≥⎩,∴3133x≤≤∵x是整数,∴x可取31，32，33，∴可设计三种搭配方案：①A种园艺造型31个，B种园艺造型19个；②A种园艺造型32个，B种园艺造型18个；③A种园艺造型33个，B种园艺造型17个．⑵(法1)：由于B种造型的造价成本高于A种造型成本．所以B种造型越少，成本越低，故应选择方案③，成本最低，最低成本为：338001796042720⨯+⨯=(元）(法2)：方案①需成本：318001996043040⨯+⨯=(元）方案②需成本：328001896042880⨯+⨯=（元)方案③需成本:338001796042720⨯+⨯=（元）【答案】（1)可设计三种搭配方案：①A种园艺造型31个，B种园艺造型19个；②A种园艺造型32个，B种园艺造型18个；③A种园艺造型33个，B种园艺造型17个．(2)方案③成本最低,最低成本为:42720(元)【例27】在车站开始检票时，有a名旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后,仍有旅客继续前来排队同步练习检票进站,设旅客按固定的速度增加，检票中检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需要30分钟才可将等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需要10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？【解析】设检票开始后每分钟增加旅客为x 人,检票速度为每个检票口每分钟检票y 人,5分钟内检票完毕要同时开放n 个检票口依题意得30301021055a x ya x y a x n y +=⎧⎪+=⨯⎨⎪+≤⋅⎩①②③②3⨯-①，得15a y =,代入①便得30a x =，再把所求的x 、y 代入③便有63a aa n +≤⋅ 因为0a >，所以11163n +≤⋅,即 3.5n ≥,n 取最小的整数,所以4n =答：至少需要同时开放4个检票口．【答案】至少需要同时开放4个检票口【例28】 某高速公路收费站有m （0m >)辆汽车排队等候通过，假设通过收费站得车流量保持不变,每个收费窗口的收费检票的速度也是不变的，若开放一个收费窗口，则需20min 才能将原来排队等候的汽车以及后来到的汽车全部收费通过。
2023年高三一轮复习专题一基本不等式及其应用-教师版
高三一轮复习专题一基本不等式及其应用【考点预测】 1.基本不等式如果00>>b a ，，那么2b a ab +≤，当且仅当b a =时，等号成立．其中，2ba +叫作b a ，的算术平均数，ab 叫作b a ，的几何平均数．即正数b a ，的算术平均数不小于它们的几何平均数．基本不等式1：若a b ∈，R ，则ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号； 基本不等式2：若a b ∈，+R ，则ab ba ≥+2（或ab b a 2≥+），当且仅当b a =时取等号. 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致. 【方法技巧与总结】 1.几个重要的不等式（1）()()()20,00,0.a a R a a a a R ≥∈≥≥≥∈ （2）基本不等式：如果,a b R +∈，则2a bab +≥(当且仅当“a b =”时取“”). 特例：10,2;2a ba a ab a>+≥+≥（,a b 同号）. （3）其他变形：①()2222a b a b ++≥(沟通两和a b +与两平方和22a b +的不等关系式)②222a b ab +≤(沟通两积ab 与两平方和22a b +的不等关系式)③22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(沟通两积ab 与两和a b +的不等关系式)④重要不等式串：)222,1122a b a b ab a b R a b+++≤≤≤∈+即 调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件). 2.均值定理 已知,x y R +∈.（1）如果x y S +=(定值)，则2224x y S xy +⎛⎫≤=⎪⎝⎭(当且仅当“x y =”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果xy P =(定值)，则x y +≥=(当且仅当“x y =”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 3.常见求最值模型 模型一：)0,0(2>>≥+n m mn xnmx ，当且仅当m n x =时等号成立； 模型二：)0,0(2)(>>+≥+-+-=-+n m ma mn ma ax na x m a x n mx ，当且仅当m n a x =-时等号成立；模型三：)0,0(2112>>+≤++=++c a bac xc b ax c bx ax x ，当且仅当a cx =时等号成立； 模型四：)0,0,0(4)21)()(22mnx n m m n mx n mx m m mx n mx mx n x <<>>=-+⋅≤-=-（，当且仅当mnx 2=时等号成 立.【题型归纳目录】题型一：基本不等式及其应用 题型二：直接法求最值 题型三：常规凑配法求最值 题型四：消参法求最值 题型五：双换元求最值 题型六：“1”的代换求最值 题型七：齐次化求最值题型八：利用基本不等式解决实际问题【典例例题】题型一：基本不等式及其应用例1．（2022·江苏·高三专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．0,0)2a ba b +≥>> B ．220,0)a b a b +≥>>C ．20,0)aba b a b ≤>>+ D ．0,0)2a b a b +>>【答案】D 【解析】 【分析】设,AC a BC b ==，得到2a br OF +==，2a b OC -=，在直角OCF △中，利用勾股定理，求得222=2a b FC +，结合FO FC ≤，即可求解.【详解】设,AC a BC b ==，可得圆O 的半径为122a br OF AB +===， 又由22a b a bOC OB BC b +-=-=-=， 在直角OCF △中，可得2222222()()222a b a b a b FC OC OF -++=+=+=，因为FO FC ≤，所以2a b +≤a b =时取等号． 故选：D.例2．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））下列不等式中一定成立的是（ ） A ．()2111x x >∈+R B ．()12,sin sin xx k x k π+>≠∈Z C ．21ln ln (0)4x x x ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭D ．()212x x x +≥∈R【答案】D 【解析】 【分析】 由211x +≥得211x +的范围可判断A ；利用基本不等式求最值注意满足一正二定三相等可判断B ；作差比较214x +与x 的大小可判断C ；作差比较21x +与2x 的大小可判断D.【详解】因为x ∈R ，所以211x +≥，所以21011x <≤+，故A 错误； 1sin 2sin x x+≥只有在sin 0x >时才成立，故B 错误； 因为2211042x x x ⎛⎫-+=-≥ ⎪⎝⎭，所以214x x +≥，所以21ln ln 4x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，故C 错误；因为()221210x x x +-=-≥，所以212x x +≥，故D 正确. 故选：D.（多选题）例3．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中最小值为6的是（ ） A ．9ln ln y x x=+B ．36sin 2sin y x x=+C ．233xxy -=+ D ．2y =【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项. 【详解】解：对于A 选项，当()0,1x ∈时，ln 0x <，此时9ln 0ln x x+<，故A 不正确.对于B 选项，36sin 62sin y x x =+≥，当且仅当36sin 2sin x x =，即1sin 2x =时取“=”，故B 正确.对于C 选项，2336x x y -=+≥=，当且仅当233x x -=，即1x =时取“=”，故C 正确.对于D 选项，26y ≥=，=27x =-无解，故D 不正确.故选：BC.（多选题）例4．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）设0a >，0b >，下列结论中正确的是（ ）A ．()1229a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭B ．()2221a b a b +≥++C ．22b a a b a b+≥+D ．22a b a b+≥+【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断ACD 选项的正误，利用特殊值法可判断B 选项的正误. 【详解】对于A 选项，()12222559b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立，A 对；对于B 选项，取1a b ==，则()2221a b a b +<++，B 错；对于C 选项，22b a b a +≥=，22a b a b +≥=， 所以，2222b a a b a b a b +++≥+，即22b a a b a b+≥+，当且仅当a b =时，等号成立，C 对；对于D 选项，因为222a b ab +≥，则()()2222222a b a b ab a b +≥++=+，所以，()()22222a b a b a ba b a b +++≥=≥++a b =时，两个等号同时成立，D 对.故选：ACD. 【方法技巧与总结】熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.题型二：直接法求最值例5．（2022·河南河南·三模（理））已知二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，则14c a+的最小值为（ ） A ．4- B ．4 C ．8 D ．8-【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 的值域求得1ac =，结合基本不等式求得14c a+的最小值.【详解】由于二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，所以0Δ440a ac >⎧⎨=-=⎩，所以1,0ac c =>，所以144c a +≥=，当且仅当14c a =即12,2a c ==时等号成立.故选：B例6．（2022·湖北十堰·三模）函数()1111642x x x f x -=++的最小值为（ ） A ．4 B ．C ．3D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式性质以及基本不等式求解. 【详解】因为116224xx x +≥⨯，当且仅当1164x x =，即0x =时等号成立，1122222422x x x x -⨯+=⨯+≥=，当且仅当2222xx⨯=，即0x =时等号成立， 所以()f x 的最小值为4. 故选：A（多选题）例7．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高三阶段练习）已知a ，b 是两个正数，4是2a 与16b 的等比中项，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 的最小值是1 B ．ab 的最大值是1 C ．11a b+的最小值是94D ．11a b +的最大值是92【答案】BC 【解析】 【分析】根据等比中项整理得44a b +=，直接由基本不等式可得ab 的最大值，可判断AB ；由111()(4)4a b a b +⋅+⋅展开后使用基本不等式可判断CD. 【详解】因为22164a b ⋅=，所以4422a b +=，所以4424a b ab +=，可得1ab ，当且仅当4a b =时等号成立， 所以ab 的最大值为1，故A 错误，B 正确．因为1111419()(4)(14)(524444b a a b a b a b +⋅+⋅=++++=， 故11a b +的最小值为94，无最大值，故C 正确，D 错误． 故选：BC【方法技巧与总结】直接利用基本不等式求解，注意取等条件.题型三：常规凑配法求最值例8．（2022·全国·高三专题练习（理））若11x -<< ，则22222x x y x -+=-有（ ）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值1【答案】A 【解析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得. 【详解】因11x -<<，则012x <-<，于是得21(1)1111[(1)]121212x y x x x -+=-⋅=--+≤-⋅---，当且仅当111x x-=-，即0x =时取“=”， 所以当0x =时，22222x x y x -+=-有最大值1-.故选：A例9．（2022·全国·高三专题练习）函数131y x x =+-(1)x >的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．D ．3【答案】D 【解析】 由()13131y x x =-++-，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为1x >，所以()131331y x x =-++≥-3=，当且仅当()1311x x -=-，即1x =+时等号成立.所以函数131y x x =+-(1)x >的最小值是3. 故选：D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 例10．（2022·全国·高三专题练习）若0x >，0y >且x y xy +=，则211x yx y +--的最小值为（ ）A ．3B ．52C ．3D ．3+【答案】D 【解析】利用给定条件确定1,1x y >>，变形211x y x y +--并借助均值不等式求解即得. 【详解】因0x >，0y >且x y xy +=，则xy x y y =+>，即有1x >，同理1y >， 由x y xy +=得：(1)(1)1x y --=，于是得11222123()33111111x y x y x y x y +=+++=++≥+=+------当且仅当2111x y =--，即11x y =+=“=”，所以211x y x y +--的最小值为3+ 故选：D例11．（2022·上海·高三专题练习）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.【答案】3 【解析】 【分析】由2111111x x y x x x -+==-++--，及1x >，利用基本不等式可求出最小值.【详解】由题意，()()()()222211111111111111x x x x x x x y x x x x x -++-+-+-+-+====-++----，因为1x >，所以111131y x x =-++≥=-，当且仅当111x x -=-，即2x =时等号成立.所以函数211x x y x -+=-的最小值为3.故答案为：3.例12．（2021·江苏·常州市北郊高级中学高一阶段练习）已知1xy =，且102y <<，则22416x yx y -+最大值为______．【解析】由1xy =且102y <<，可得1(2)y x x=>，可得40x y ->，再将22416x y x y -+化为18(4)4x y x y-+-后利用基本不等式求解即可． 【详解】解：由1xy =且102y <<，可得1(2)y x x =>，代入440x y x x-=->，又222441816(4)8(4)4x y x y x y x y xy x y x y--==≤=+-+-+-当且仅当844x y x y-=-，即4x y -= 又1xy =，可得x =y =时，不等式取等， 即22416x y x y -+，． 【方法技巧与总结】1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2．注意验证取得条件．题型四：消参法求最值例13．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若直线30(0,0)ax by a b --=>>过点(1,1)-，则___________.【答案】【解析】 【分析】将点(1,1)-代入直线方程可得3a b +=. 【详解】直线30ax by --=过点(1,1)-，则3a b += 又0,0a b >>，设t =0t >2126t a b =++++=+由()()2121292a b a b +++⎛⎫++≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12+=+a b ，即2,1a b ==时等号成立.所以2612t =+≤，即t ≤2,1a b ==时等号成立. 故答案为：例14．（2022·全国·高三专题练习）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy z取得最大值时，212x y z+-的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．94D ．1【答案】D 【解析】 【分析】利用22340x xy y z -+-=可得143xy x y z y x=+-，根据基本不等式最值成立的条件可得22,2x y z y ==，代入212x y z++可得关于y 的二次函数，利用单调性求最值即可.【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=， 2234z x xy y ∴=-+．∴22111434432?xy xy x y z x xy y x y y x===-++-， 当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =．∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212xyz+-的最大值是1． 故选：D 【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题.例15．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（ ） A ．2 B．2 C．2 D ．6【答案】B 【解析】 【分析】根据220ab a +-=变形得22a b =+，进而转化为a b b b +=++842， 用凑配方式得出()b b ++-+8222，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由220ab a +-=，得22a b =+，所以()a b b b b b b +=+=++-⋅=+++888422222222， 当且仅当,a b b b ==+++28222，即a b ==2取等号. 故选：B.例16．（2022·浙江·高三专题练习）若正实数a ，b 满足32+=b a ab ，则2+a bab 的最大值为______． 【答案】12【解析】 【分析】由已知得a ＝23b b -，代入2+a b ab ＝32323bb b b b +--＝222b b -+＝﹣2 （112b -）2+12，然后结合二次函数的性质可求． 【详解】因为正实数a ，b 满足b +3a ＝2ab ， 所以a ＝23bb -，则2+a b ab ＝32323bb b b b +--＝222b b -+＝﹣2 （112b -）2+12， 当112b =，即b ＝2 时取得最大值12．故答案为：12． 【点睛】思路点睛：b +3a ＝2ab ，可解出a ，采用二元化一元的方法减少变量，转化为1b的一元二次函数，利用一元二次函数的性质求最值.例17．（2022·全国·高三专题练习）若,x y R +∈，23()()-=x y xy ，则11x y+的最小值为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据题中所给等式可化为211()xy y x-=，再通过平方关系将其与11x y +联系起来，运用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为23()()-=x y xy 且,x y R +∈，则两边同除以2()xy ，得211()xy y x-=，又因为224(111111()44)xy y y x xy xy x -+=+=+≥，当且仅当14xy xy =，即22x y ==211x y+.故答案为:2例18．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若220,0,422>>+-=a b a b ab ，则12++ab a b的取值范围是_________．【答案】23⎡⎢⎣⎦【解析】 【分析】根据已知可得2(2)206a b ab +-=>，求得2a b +>2(2)26a b ab +=+结合基本不等式可求得02a b <+≤12++ab a b变形为14262a b a b ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭，采用换元法，利用导数求得结果. 【详解】由题意220,0,422>>+-=a b a b ab 得：2(2)206a b ab +-=> ，则2a b +>，又222(2)26232+⎛⎫+=+≤+⨯ ⎪⎝⎭a b a b ab ，当且仅当2b a ==时取等号，故02a b <+≤2a b <+≤ 所以1142262ab a b a b a b +⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭，令2,t a b t =+∈ ，则14()()6f t t t =+ ，222144()(1)66t f t t t -'=-=，2t << 时，()0f t '<，()f t 递减，当2t <≤时，()0f t '>，()f t 递增，故min 2()(2)3f t f ==，而f = ，f =，故2()[3f t ∈，即2[312ab a b ∈++，故答案为：23⎡⎢⎣⎦【方法技巧与总结】消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！题型五：双换元求最值例19．（2022·浙江省江山中学高三期中）设0a >，0b >，若221a b +=，则2ab -的最大值为（ ）A ．3B ．C ．1D ．2+【答案】D 【解析】【分析】法一：设c b =-，进而将问题转化为已知221a c +=，求ac 的最大值问题，再根据基本不等式求解即可；法二：由题知221()14a b +=进而根据三角换元得5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，再根据三角函数最值求解即可. 【详解】解：法一：（基本不等式）设c b =-2ab -=)a b ac -=，条件222211a b a c +=⇔+=，2212a c ac +=+≥，即2≤ac 故选：D.法二：（三角换元）由条件221()14a b +=，故可设cos sin 2a b θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即cos ,2sin a b θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 由于0a >，0b >，故cos 02sin 0θθθ⎧>⎪⎨>⎪⎩，解得506πθ<<所以，5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，22sin 22ab θ-=≤+当且仅当4πθ=时取等号.故选：D.例20．（2022·天津南开·一模）若0a >，0b >，0c >，2a b c ++=，则4a ba b c+++的最小值为______．【答案】2+ 【解析】 【分析】令2,,(0,0)c m c n m n -==>> ，则2m n +=，由此可将4a b a b c+++变形为421m n +-，结合基本不等式，即可求得答案。
第六章第3讲基本不等式(教师)
第3讲基本不等式
a＋b1．ab 2
(1)基本不等式成立的条件：．
(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号．
2．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
3．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y
有最小值是(简记：积定和最小)
2
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当xy．(简记：和定积最大) [做一做]
1．已知a，b∈(0，＋∞)，若ab＝1，则a＋b的最小值为________；若a＋b＝1，则ab的最大值为________．
a＋b2?解析：由基本不等式得a＋b≥ab＝2，当且仅当a＝b＝1时取到等号；ab≤?2＝
11a＝b＝
421答案：2 4
1．辨明两个易误点
(1)使用基本不等式求最值，“一正，二定、三相等”三个条件缺一不可；
(2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．
2．活用几个重要的不等式
baa2＋b2≥2ab(a，b∈R)；≥2(a，b同号)． ab
a＋b2a＋b2a2＋b2??ab≤?2(a，b∈R)；?2≤2(a，b∈R)．
3．巧用“拆”“拼”“凑”
在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
[做一做]
a＋b2．“a>0且b>0”是“ab”成立的( ) 2
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A。
第7讲 不等式(教师与学生版)
第7讲 不等式【知识梳理】1. 比较大小的方法：(1) 作差比较法：0;0;0a b a b a b a b a b a b ->⇔>-=⇔=-<⇔<.步骤：作差——变形——定号——结论. (2) 作商比较法：若0b >，则1;1;1a a aa b a b a b b b b>⇔>=⇔=<⇔<. (3) 性质法；(4) 单调性法； (5) 图象法； (6) 特值法 (选填题) .2.不等式的性质：(1)对称性：a b b a >⇔<.(2)传递性：,a b b c a c >>⇒>.(3)可加性：a b a c b c >⇔+>+.(4)可乘性：,0a b c ac bc >>⇒>；,0a b c ac bc ><⇒<. (5)加法法则：,a b c d a c b d >>⇒+>+. (6)乘法法则：0,0a b c d ac bd >>>>⇒>.(7)乘方、开方法则：00rra b a b >>⇒>>(r 为正有理数) . (8)倒数法则：11,0a b ab a b>>⇔<，同号取倒反向. 3. 一元二次不等式的解法：数形结合：开口方向、根的情况⇔解集. 4.基本不等式：(1) 若,a b R ∈，则222a b ab +≥(和转积).当且仅当a b =时等号成立.变形：若,a b R ∈，则：①222a b ab +≥ (和转积)；②222a b ab +≤(积转和)；③22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭(和转和)，记忆：平方均不小于均平方.(2) 均值不等式：若0,0a b >>，则2a b+≥和转积)，当且仅当a b =时等号成立.变形：若0,0a b >>，则：①a b +≥和转积)2a b+≤(积转和)；③22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(积转和) .(3) 不等式链：若0,0a b >>，则22ab a b a b +≤≤≤+5．求最值:如果,x y 都是正数，那么:(1) 若积xy 是定值P ,则当x y =时，和x y +有最小值(2) 若和x y +是定值S ，则当x y =时，积xy 有最大值22S ⎛⎫⎪⎝⎭.点拨：(1) 正、定、等三个条件缺一不可；(2) 关键是获得定值条件，常需拆项、添项、配凑、“1” 代换等; (3) 多次放缩必需同时取等号才可取得最值.【典例精析】例1. (1)设0,0>>y x ，1x y A x y +=++，11x yB x y=+++，则A B 、的大小关系为 ．(2)已知三个不等式：①0>ab ，②bda c >，③ad bc >。
2024版高考数学总复习：不等式的性质与基本不等式教师用书
第四节不等式的性质与基本不等式考试要求：1．理解不等式的概念，掌握不等式的性质．2．掌握基本不等式푎 ≤푎+2(a >0，b >0)，能用基本不等式解决简单的最值问题．一、教材概念·结论·性质重现1．两个实数比较大小的依据(1)a －b >0⇔a >b .(2)a －b ＝0⇔a ＝b .(3)a －b <0⇔a <b .2．不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔b <a .(2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c .(3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ，a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d .(同向可加性)(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ，a >b >0，c >d >0⇒ac >bd .(正数同向可乘性)(5)可乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)．(6)可开方性：a >b >0푎(1)a ＞b ，ab ＞0⇒ 3．基本不等式푎 ≤푎+2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中푎+2称为正数a ，b 的算术平均数，푎 称为正数a ，b 的几何平均数．4．利用基本不等式求最值已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2�(简记：积定和最小)．(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是�24(简记：和定积最大)．1．使用基本不等式求最值时，2．“当且仅当(1)푎2+ 22≥(a ，b ∈R )．(2) 푎+푎≥2(ab ＞0)(当且仅当a ＝b 时取等号)．(3)21푎+1≤푎 ≤푎+2≤a ＞0，b ＞0)．(4)若a ＞b ＞0，m ＞0，则 푎＜+�푎+�； 푎＞−�푎−�(b －m ＞0)．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数，不等号方向不变．(×)(2)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(×)(3)不等式a 2＋b 2≥2ab 与푎+2≥푎 成立的条件是相同的．(×)(4)函数f (x )＝sinx ＋4sin �的最小值为4.(×)2．设b <a ，d <c ，则下列不等式中一定成立的是()A．a －c <b －d B．ac <bd C．a ＋c >b ＋dD．a ＋d >b ＋cC 解析：由同向不等式具有可加性可知C 正确．3．当x >0时，函数f (x )＝2��2+1有()A．最小值1B．最大值1C．最小值2D．最大值2B 解析：f (x )＝2�+1�≤x ＝1�(x >0)，即x ＝1时取等号，所以f (x )有最大值1.4．已知a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1，则P ＝(ax ＋by )2与Q ＝ax 2＋by 2的关系是()A．P ≤Q B．P <Q C．P ≥Q D．P >QA解析：不妨取a ＝b ＝12，则P －Q ＝14(x ＋y )2－12x 2－12y 2＝－14(x －y )2≤0，所以P ≤Q .5．若0＜a＜b，且a＋b＝1，将a，b，12，2ab，a2＋b2从小到大排列为_______________．a＜2ab＜12＜a2＋b2＜b解析：令a＝13，b＝23，代入2ab＝49，a2＋b2＝59，所以a＜2ab＜12＜a2＋b2＜b.考点1不等式的性质——基础性1．下列命题正确的是()A．若a>b，则1푎<1B．若a>b，则a2>b2C．若a>b，c<d，则a－c>b－dD．若a>b，c>d，则ac>bdC解析：对于A，若a>b，取a＝1，b＝－1，则1푎<1 不成立；对于B，若a>b，取a＝0，b ＝－1，则a2>b2不成立；对于C，若a>b，c<d，则a－c>b－d，正确；对于D，若a>b，c>d，取a＝1，b＝－1，c＝1，d＝－2，则ac>bd不成立．2．(多选题)对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为()A．若a>b，则ac<bcB．若ac2>bc2，则a>bC．若a<b<0，则a2>ab>b2D．若a>0>b，则|a|<|b|BC解析：当c＝0时，ac＝bc，A为假命题；若ac2>bc2，则c≠0，c2>0，故a>b，B为真命题；若a<b<0，则a2>ab且ab>b2，即a2>ab>b2，C为真命题；当a＝1，b＝－1时，|a|＝|b|，故D为假命题．3．(2022·济南质量检测)已知实数a，b，c满足a<b<c，且ab<0，那么下列各式中一定成立的是()A．푎 >푎�B．a(c－b)<0C．ac2>bc2D．ab(b－a)>0B解析：因为a<b<c，且ab<0，所以a<0<b<c.所以c－b>0，a<0，可得a(c－b)<0，选项B 正确；取a＝－1，b＝1，c＝2，则푎 <푎�，ac2<bc2，ab(b－a)<0，即选项A，C，D都不正确．4．已知实数b>a>0，m<0，则mb________ma， −�푎−�______ 푎.(填“>”或“<”)＜＜解析：因为b >a >0，m <0，所以b －a >0.因为mb －ma ＝m (b －a )<0，所以mb <ma .因为−�푎−�−푎＝<0，所以 −�푎−�< 푎.解决这类问题一是要充分利用不等式的性质，作差法比较两个代数式的大小．考点2利用基本不等式求最值——综合性考向1配凑法求最值(1)已知0＜x ＜1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________；23解析：因为0＜x ＜1，所以4－3x >0，所以x (4－3x )＝13·3�4−3�≤13＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，等号成立．(2)当�+�+1x ＝_______．4解析：��＋1＋9－1＝5，当且仅当�＋1＝x ＝4时，等号成立．(1)依据：基本不等式．(2)技巧：通过添项、拆项、变系数、凑因子等方法凑成和为定值或积为定值的形式，即符合(1)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则1푎+1的最小值为_________．4解析：因为a ＋b ＝1，所以1푎+1＝+a ＋b a ＝b ＝12时，等号成立．(2)已知x ＋2y ＝xy (x >0，y >0)，则2x ＋y 的最小值为_________．9解析：由x＋2y ＝xy 得2�+1�＝1，所以2x ＋y ＝(2x ＋y +＝5＋2��+2��≥5＋2＝9，当且仅当2��＝2��，即x ＝y 时，等号成立，所以2x ＋y 的最小值为9.(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)．(2)把确定的定值(常数)变形为(1)已知正数a ，b ，c 满足2a －b ＋c ＝0，则푎�2的最大值为()A．8B．2C．18D ．16C 解析：因为a ，b ，c 都是正数，且满足2a －b ＋c ＝0，所以b ＝2a ＋c ，所以푎�2＝푎�4푎2+4푎�+�2＝14푎�+�푎+4≤＝18，当且仅当c ＝2a ＞0时，等号成立．(2)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是_________．45解析：方法一：由5x 2y 2＋y 4＝1，可得x2＝1−�45�2，由x 2≥0，可得y 2∈(0，1]，则x 2＋y2＝1−�45�2＋y 2＝1+4�45�2＝154�2+≥15·2＝45，当且仅当y 2＝12，x 2＝310时，等号成立，故x 2＋y 2的最小值为45.方法二：4＝(5x 2＋y 2)·4y 2＝254(x 2＋y 2)2，当且仅当5x 2＋y 2＝4y 2＝2，即y 2＝12，x 2＝310，等号成立，故x 2＋y 2≥45，即x 2＋y 2的最小值为45.(1)消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，(2)如果出现多元的问题，(多选题)设正实数m ，n 满足m ＋n ＝2，则()A．1�+2�的最小值为22B．�+�的最小值为2C．��的最大值为1D．m 2＋n 2的最小值为2CD 解析：因为正实数m ，n 满足m ＋n ＝2，所以1�+2�＝m ＋n )×12＝123+��+≥123+＝3+222，当且仅当��＝2��且m ＋n ＝2，即m ＝22－2，n ＝4－22时取等号，A 错误；(�+�)2＝m ＋n ＋2��＝2＋2��≤2＋2×�+�2＝4，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，所以�+�≤2,即最大值为2，B 错误；由mn＝1,当且仅当m ＝n ＝1时取等号，此时��2取最大值12，C 正确；m 2＋n 2＝(m ＋n )2－2mn ＝4－2mn ≥2，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，即m 2＋n 2的最小值为2，D 正确．考点3利用基本不等式解决实际问题——应用性某公司生产的商品A ，当每件售价为5元时，年销售10万件．(1)据市场调查，价格每提高1元，销量相应减少1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多可提高多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件x 元，公司拟投入12(x 2＋x )万元作为技改费用，投入�4万元作为宣传费用．试问：技术革新后生产的该商品销售量m 至少应达到多少万件时，才能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？解：(1)设商品的单价提高a 元，则(10－a )·(5＋a )≥50，解得0≤a ≤5.所以商品的单价最多可以提高5元．(2)由题意知，技术革新后的销售收入为mx 万元，若技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和，只需满足mx ＝12(x 2＋x )＋�4＋50(x ＞5)即可，此时m ＝12x ＋34+50�≥234＝434，当且仅当12x ＝50�，即x ＝10时等号成立．故销售量m 至少应达到434万件时，才能使技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和．(1)利用基本不等式解决实际问题时，的函数关系式，然后用基本不等式求解．1．司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析()A．甲合适B．乙合适C．油价先高后低甲合适D．油价先低后高甲合适B解析：设甲每次加m 升油，乙每次加n 元钱的油，第一次加油x 元/升，第二次加油y元/升．甲的平均单价为��+��2�＝�+�2，乙的平均单价为2���+��＝2���+�.因为x ≠y ，所以�+�22���+�＝�2+�2+2��4��>4��4��＝1，即乙的两次平均单价低，乙的方式更合适．2．(多选题)(2022·枣庄期末)如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P 的距离是2km，从P 点沿海岸线正东方向12km 处有一个城镇．假设一个人驾驶小船的平均行进速度为3km/h，步行的平均速度为5km/h，时间t (单位：h)表示他从小岛到城镇的时间，x (单位：km)表示此人将船停在海岸距点P 处的距离．设u ＝�2+4＋x ，v ＝�2+4－x ，则()A．函数v ＝f (u )为减函数B．15t －u －4v ＝32C．当x ＝1.5时，此人从小岛到城镇花费的时间最少D．当x ＝4时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h AC 解析：因为u ＝�2+4＋x ，v ＝�2+4－x ，所以�2+4＝�+�2，x ＝�−�2，uv ＝4，则v ＝4�，其在(0，＋∞)上是减函数，A 正确；t ＝�2+43+12−�5＝�+�6+125−�−�10，整理得15t ＝u ＋4v ＋36，B 错误；15t ＝u ＋16�＋36≥2�·16�＋36＝44，当且仅当u ＝16�，即u ＝4时等号成立，则4＝�2+4＋x ，解得x ＝1.5，C 正确；当x ＝4时，t ＝253+85，t －3＝253−75＝105−2115＝500−44115＞0，则t ＞3，D 错误．3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元．8解析：每台机器运转x 年的年平均利润为��＝18－�25�而x >0，故��≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为8万元．拓展考点绝对值三角不等式定理1如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立定理2如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1.证明：|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )|≤3×16＋2×14＝1，即|x ＋5y |≤1.证明绝对值不等式的3种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．(2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明．(3)转化为函数问题，数形结合进行证明．(多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)若实数x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则()A．x ＋y ≤1B．x ＋y ≥－2C．x 2＋y 2≤2D．x 2＋y 2≥1[四字程序]读想算思若实数x ，y 满足x 2＋y2－xy ＝1不等式的性质、基本不等式、配方法的应用x 2＋y 2，xy ，(x ±y )2的关系转化与化归x ＋y ≤1；x ＋y ≥－2；x 2＋y 2≤2；x 2＋y 2≥11．构造不等式．2．代数换元．3．三角换元1．构造关于所求代数式的不等式．2．令x ＋y ＝t 消y ，依据关于x 的方程有解列不等式．3．求xy 的范围，把x ＋y ，x 2＋y 2看作关于xy 的函数．4．三角换元1.利用基本不等式可以实现积化和、和化积、和化和．2．三角代换的适用条件和新变元范围的确定思路参考：利用xy ，xy ≤�2+�22构造关于x ＋y ，x 2＋y2的不等式，解不等式求范围．BC 解析：由x 2＋y 2－xy ＝1，得(x ＋y )2－1＝3xy ，解得－2≤x ＋y ≤2，当且仅当x＝y 时，取等号，即当x ＝y ＝－1时，x ＋y ＝－2，当x ＝y ＝1时，x ＋y ＝2，所以A 错误，B 正确．由x 2＋y 2－xy ＝1，得(x 2＋y 2)－1＝xy ≤�2+�22，解得x 2＋y 2≤2，当且仅当x ＝y ＝±1时取等号，所以C 正确．当x y x 2＋y 2＝23<1，D 错误．故选BC.思路参考：令x ＋y ＝t 消y ，依据关于x 的方程有解列不等式．BC 解析：令x ＋y ＝t ，则y ＝t －x ，代入x 2＋y 2－xy ＝1得关于x 的方程3x 2－3tx ＋(t 2－1)＝0，则Δ＝(－3t )2－4×3×(t 2－1)≥0，解得－2≤t ≤2，即－2≤x ＋y ≤2.令x 2＋y 2＝m ，则由x 2＋y 2－xy ＝1得xy ＝m －1，于是有m ≥2|m －1|，解得23≤m ≤2，即x 2＋y 2232，所以AD 错误，BC 正确．故选BC.思路参考：求xy 的范围，把x ＋y ，x 2＋y 2看作关于xy 的函数，求函数的值域得范围．BC解析：由xy ＋1＝x 2＋y 2≥2|xy |得xy ∈−13，1，则x 2＋y 2＝xy 232，(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ＝3xy ＋1∈[0，4]，即x ＋y ∈[－2，2]，所以AD 错误，BC 正确．故选BC.1．利用均值不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值，是求解最值问题的常用方法.其中常见的变形手段有拆项、并项、配式及配系数等．2．基于新课程标准，求最值问题一般要有对代数式的变形能力、推理能力和表达能力，本题的解答体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．已知x ＞0，y ＞1，且x ＋2y ＝xy ＋1，则x ＋y 的最小值为_________．5解析：令x ＋y ＝t ，则x ＝t －y .将x ＝t －y 代入x ＋2y ＝xy ＋1，得t ＋y ＝ty －y 2＋1，即y 2＋(1－t )y ＋t －1＝0，Δ＝(1－t )2－4(t －1)＝t 2－6t ＋5≥0，得t ≤1(舍去)或t ≥5.故x ＋y 的最小值为5.课时质量评价(四)A 组全考点巩固练1．(2023·日照模拟)若a ，b ，c 为实数，且a <b ，c >0，则下列不等关系一定成立的是()A．a ＋c <b ＋c B．1푎<1C．ac >bc D．b －a >cA解析：对于A，因为a <b ，c ＝c ，所以由不等式的性质可得，a ＋c <b ＋c ，故A 正确；对于B，令a ＝－2，b ＝－1，满足a <b ，1푎>1，故B 错误；对于C，令a ＝－2，b ＝1，c ＝1，满足a <b ，c >0，但ac <bc ，故C 错误；对于D，令a ＝1，b ＝2，c ＝1，满足a <b ，c >0，但b －a ＝c ，故D 错误．故选A.2．若x >0，y >0，则“x ＋2y ＝22��”的一个充分不必要条件是()A．x ＝y B．x ＝2y C．x ＝2且y ＝1D．x ＝y 或y ＝1C 解析：因为x >0，y >0，所以x ＋2y ≥22��，当且仅当x ＝2y 时，等号成立．故“x ＝2且y ＝1”是“x ＋2y ＝22��”的一个充分不必要条件．3．(2022·滨州三校高三联考)已知a >0，b >0，若不等式4푎+1≥�푎+恒成立，则m 的最大值为()A．10B．12C．16D．9D解析：由已知a >0，b >0，若不等式4푎+1≥�푎+ 恒成立，则ma ＋b )恒成立，转化成求y a ＋b )的最小值．y a ＋b )＝5＋4 푎+푎≥5＋2当且仅当a＝2b 时，等号成立，所以m ≤9.故选D.4．(多选题)已知1푎<1<0，则下列结论正确的有()A．a <b B．a ＋b <ab C．|a |>|b |D．ab <b 2BD 解析：由1푎<1<0，得b <a <0，所以a ＋b <0<ab ，|b |>|a |，b 2>ab .因此BD 正确，AC 不正确．5．《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示，在AB 上取一点C ，使得AC ＝a ，BC ＝b，过点C 作CD ⊥AB 交圆周于点D ，连接OD .作CE ⊥OD 交OD 于点E ，则下列不等式可以表示CD ≥DE 的是()A．푎 ≥2푎푎+(a ＞0，b ＞0)B．푎+2푎 (a ＞0，b ＞0)≥푎+2(a ＞0，b ＞0)D．a 2＋b 2≥2ab (a ＞0，b ＞0)A解析：连接DB ，因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB ＝90°.在Rt△ADB 中，中线OD ＝퐴2＝푎+2.由射影定理可得CD 2＝AC ·BC ＝ab .所以CD ＝푎 .在Rt△DCO 中，由射影定理可得CD 2＝DE ·OD ，即DE ＝��2푂�＝푎푎+ 2＝2푎푎+.由CD ≥DE 得푎 ≥2푎푎+.6．(2023·济南模拟)若正数a ，b 满足ab ＝4，则1푎+9的最小值为_________．3解析：因为a ＞0，b ＞0，且ab ＝4，所以1푎+9≥21푎·9 ＝2×푎＝2×4＝3，当且仅当1푎＝9，即a ＝23，b ＝6时取“＝”，所以1푎+9的最小值为3.7．若a >0，b >0，则1푎+푎2＋b 的最小值为_________．22解析：因为a >0，b >0，所以1푎+푎2＋b ≥21푎·푎 2＋b ＝2＋b ≥22· ＝22，当且仅当1푎＝푎2且2＝b ，即a ＝b ＝2时等号成立，所以1푎+푎2＋b 的最小值为22.8．已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是_________．3解析：由x 2＋2xy －3＝0，得y ＝3−�22�＝32�−12x ，则2x ＋y ＝2x ＋32�−12x ＝3�2+32�≥23�2·32�＝3，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以2x ＋y 的最小值为3.9．(2022·唐山模拟)已知a >0，b >0，c >0，d >0，a 2＋b 2＝ab ＋1，cd >1.(1)求证：a ＋b ≤2；(2)判断等式푎�+ ＝c ＋d 能否成立，并说明理由．(1)证明：由题意得(a ＋b )2＝3ab 푎+ 2＋1，当且仅当a ＝b 时，等号成立．解得(a ＋b )2≤4.又a >0，b >0，所以a ＋b ≤2.(2)解：不能成立．理由：a >0，b >0，c >0，d >0，由基本不等式得푎�+ ≤푎+�2++2，当且仅当a ＝c 且b＝d 时等号成立．因为a ＋b ≤2，所以푎�+ ≤1＋�+2.因为c >0，d >0，cd >1，所以c ＋d ＝�+2+�+2≥�+2+� >�+2＋1≥푎�+ ，故푎�+ ＝c ＋d 不能成立．B 组新高考培优练10．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，则11+푎+44+的最小值为()A．1B．78C．98D．2C解析：因为a＋b＝3，所以(1＋a)＋(4＋b)＝8，所以11+푎+44+＝18[(1＋a)＋(4＋b＝185+4+1+푎+≥18×(5＋4)＝98，当且仅当4＋b＝2(1＋a)，即2a－b＝2，即a＝53，b＝43时等号成立．11．(2022·滨州联考)已知a>0，b>0，若不等式4푎+1≥�푎+ 恒成立，则m的最大值为() A．10B．12C．16D．9D解析：由已知a>0，b>0，若不等式4푎+1 ≥�푎+ 恒成立，则ma＋b)恒成立，转化成求y a＋b)的最小值．y a＋b)＝5＋4 푎+푎 ≥5＋2当且仅当a ＝2b时，等号成立，所以m≤9.故选D.12．(多选题)(2023·重庆模拟)已知正实数a，b，c满足a2－ab＋4b2－c＝0，当�푎 取最小值时，下列说法正确的是()A．a＝4bB．c＝6b2C．a＋b－c的最大值为34D．a＋b－c的最大值为38BD解析：对于A，由a2－ab＋4b2－c＝0，得c＝a2＋4b2－ab，则�푎 ＝푎 +4 푎－1≥2－1＝3，当且仅当푎 ＝4푎，即a＝2b时等号成立，故A不正确；对于B，当�푎 取最小值时，由�푎 =3，푎=2 ，得c＝6b2，故B正确；对于C，D，a＋b－c＝2b＋b－6b2＝－6b2＋3b＝－6＋38≤38，当且仅当a＝12，b＝14，c＝38时等号成立，所以(a＋b－c)max＝38，故C不正确，D正确．13．若不等式1�+11−4�－m≥0对x∈0m的最大值为()A．7B．8C．9D．10C解析：将不等式化为1�+11−4�≥m，只需当x∈0m+即可．由1�+11−4�＝+x＋1－4x)＝4＋1−4��+4�1−4�＋1≥5＋2＝5＋4＝9，当且仅当x ＝16时，等号成立，故m ≤9.故m 的最大值为9.故选C.14．(2022·贵阳模拟)已知正实数x ，y 满足等式1�+3�＝2.(1)求xy 的最小值；(2)若3x ＋y ≥m 2－m 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)2＝1�+3�≥2xy ≥3，当且仅当x ＝1，y ＝3时等号成立，所以xy 的最小值为3.(2)3x ＋y ＝12(3x ＋y＝126+9��≥126+x ＝1，y ＝3时等号成立，即(3x ＋y )min ＝6，所以m 2－m ≤6，所以－2≤m ≤3.15．已知某工厂每天固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为a 元时，生产x 件产品的销售收入是R (x )＝−14�2＋500x (单位：元)，P (x )为每天生产x 件产品的平均利润(平均利润＝总利润÷总产量)．销售商从工厂每件a 元进货后又以每件b 元销售，b ＝a ＋λ(c －a )，其中c 为最高限价(a ＜b ＜c )，λ为销售乐观系数．据市场调查，λ由当b －a 是c －b ，c －a 的比例中项时来确定．(1)每天生产量x 为多少时，平均利润P (x )取得最大值？求P (x )的最大值．(2)求乐观系数λ的值．(3)若c ＝600，当厂家平均利润最大时，求a 与b 的值．解：(1)依题意，总利润为－14x 2＋500x －100x －40000＝－14x 2＋400x －40000，所以P (x )＝−14�2+400�−40000�＝－14x －40000�＋400≤－200＋400＝200.当且仅当14x ＝40000�，即x＝400时，等号成立，故每天生产量为400件时，平均利润最大，最大值为200元．(2)由b ＝a ＋λ(c －a )得λ＝−푎�−푎.因为b －a 是c －b ，c －a 的比例中项，所以(b －a )2＝(c －b )(c －a )，两边除以(b －a )2，得−푎·�−푎−푎＝−1·�−푎−푎，所以−1·1�，解得λ＝5−12.(3)由(1)知，当x ＝400时，厂家平均利润最大，所以a ＝40000�＋100＋P (x )＝40000400＋100＋200＝400(元)．每件产品的利润为b －a ＝λ(c －a )＝100(5－1)，所以b ＝100(5＋3)，所以a ＝400，b ＝100(5＋3)．。
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六、不等式
一、不等式的解法：
（1）一元一次不等式：
Ⅰ、)0(≠>a b ax ：⑴若0>a ，则 ；⑵若0<a ，则 ；
Ⅱ、)0(≠<a b ax ：⑴若0>a ，则 ；⑵若0<a ，则 ；
（2）一元二次不等式： 一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零；注：要对∆进行讨论： （5）绝对值不等式：若0>a ，则⇔<a x || ；⇔>a x || ；
注意：(1).几何意义：||x ： ；||m x -： ；
(2)解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：
⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值；①若0>a
则=||a ；②若0=a 则=||a ；③若0<a 则=||a ；
(3).通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非负值。
(4).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。
（6）分式不等式的解法：通解变形为整式不等式；
⑴⇔>0)()(x g x f ；⑵⇔<0)
()(x g x f ； ⑶
⇔≥0)()(x g x f ；⑷⇔≤0)()(x g x f ； （7）不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这
个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在
同一条数轴上，取它们的公共部分。
（8）解含有参数的不等式：
二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
若0,>b a ，则
ab b a ≥+2
（当且仅当b a =时取等号） 基本变形：①≥+b a ；≥+2)2(b a ；
②若R b a ∈,，则ab b a 222≥+，222)2
(2b a b a +≥+ 基本应用：①放缩，变形； ②求函数最值：注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。
当p ab =（常数），当且仅当 时， ；
当S b a =+（常数），当且仅当 时， ； 常用的方法为：拆、凑、平方； 如：①函数)2
1(4294>--=x x x y 的最小值 。
②若正数y x ,满足12=+y x ，则y x 11+的最小
值 。
三、绝对值不等式： ≤ ≤ ≤ 注意：上述等号“＝”成立的条件； 四、常用的基本不等式：
（1）设R b a ∈,，则0)(,022≥-≥b a a （当且仅当 时取等号）
（2）a a ≥||（当且仅当 时取等号）；a a -≥||（当且仅当 时取等号）
（3）b a ab b a 110,<⇒>>；⇔<b
a 11 ； 五、证明不等式常用方法：
（1）比较法：作差比较：B A B A ≤⇔≤-0
（2）综合法：由因导果。
（3）分析法：执果索因。
基本步骤：要证……只需证……，只需证……
（4）反证法：正难则反。
（5）放缩法：Ⅰ、k k k k k 21
11
1<++=-+； Ⅱ、k k k k k 111)1(112--=-< ； 111)1(112+-=+>k k k k k
（程度大） （6）换元法：已知222a y x =+，可设θθsin ,cos a y a x ==；
课本题
1．函数)1(1
22)(2->+++=x x x x x f 的图象的最低点的坐标是 。
(0,2)
2．已知正实数y x ,满足
121=+y
x ，则y x 2+的最小值为_________________。
9
3．设实数y x b a ,,,满足3,12222=+=+y x b a , 则by ax +的取值范围为______。
]3,3[-
4．04<<-k 是函数12--=kx kx y 恒为负值的___________条件。
充分非必要
5．不等式)(062R x x x ∈<--的解集是 。
)3,3(-
6．若不等式0252>-+x ax 的解集是⎭
⎬⎫⎩⎨⎧<<221x x ，则不等式0)1(522>-+-a x ax 的解是 。
)2
1,3(-
P71练习3(1)(4), P73习题5,6; P79练习4 ; P83练习2,3;
P93习题2，3，4，5； P96复习题10，11，13。
高考题 1.已知函数2,0()2,
x x f x x x +⎧=⎨-+>≤⎩，则不等式2()f x x ≥的解集是 [1,1]- 2.若121212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且，则下列代数式中值最大的是 A
A ．1122a b a b +
B ．1212a a bb +
C ．1221a b a b +
D ．
12
3. “18a =”是“对任意的正数x ，21a x x
+≥”的充分不必要条件 4.已知a ，b 都是实数，那么“22b a >”是“a >b ”的既不充分也不必要条件
5.已知1230a a a >>>，则使得2(1)1i a x -<(1,2,3)i =都成立的x 取值范围是
（0，1
2a ） 6.不等式11x -＜的解集是 ．（0，2）
7.若不等式｜3x -b ｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围 。
（5，7）
8.已知,,x y z R +
∈，230x y z -+=，则2
y xz 的最小值 ．3
9.不等式31122
x x -+≤的解集为 ．(,3](0,1]-∞-。