湖南省衡阳市衡东县欧阳遇实验中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题【含答案】

湖南省衡阳市衡东县欧阳遇实验中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，则（ ）{}{}13,1,0,2,3A x N x B =∈-≤<=-=A B A.B.C.D.{}0,2{}-102，，{}2{}023，，【答案】A 【解析】解：1，，故选：A ．化简集合A ，然后直接利用交集运算得答案．本题考查了交集及其运算，是基础题． 2.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是 A.B.C. D.3a ≥【答案】B【解析】【分析】本题考查全称量词的意义与充分、必要条件，还涉及恒成立问题，属基础题．先找出命题为真命题的充要条件，从集合的角度充分不必要条件应为的真子集，由选项不难得出答案．【解答】解：，，要使恒成立，则恒成立，即，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有B 符合，故选B ．3.设向量，且方向相反，则x 的值是．A. 2B.C.D. 0【答案】B【解析】【分析】本题考查向量向量共线，由方向相反，可得，，则有，由此能求出x 的值．【解答】解：因为与方向相反，所以，，则有，所以解得．又因为，所以，所以．4.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了几何体的三视图，把三视图还原成几何体是解题的关键，是一般题．【解答】解：该几何体是圆锥与圆柱的组合体，由三视图可知圆柱底面圆的半径，底面圆的周长，圆锥的母线长，圆柱的高，所以该几何体的表面积，故选C．5.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，的面积为，则A. 2B.C.D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了三角形面积计算公式和余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用三角形面积计算公式可得出，再利用余弦定理即可求得a．【解答】解：由题意可得，即，所以．由余弦定理得，即．故选D．6.已知，，则m，n之间的大小关系是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考点是基本不等式在最值问题中的应用，考查了利用基本不等式求最值，利用指数函数的单调性求最值，解题的关键是熟练掌握基本不等式及指数函数的单调性，是一般题．由题意，可先由基本不等式求出m的最小值，再由指数函数的单调性求出n的最大值，再由中间量法比较即可得出两数的大小，选出正确选项．【解答】解：当且仅当时取等号，，，故选A．7.已知函数是定义域为R 的偶函数，且，若在上是减函数，记，，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查偶函数的定义，函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间上，根据单调性去比较函数值大小．确定函数是周期为2的周期函数，在上单调递增，并且，，，即可比较出a，b，c的大小．【解答】解：，，函数是周期为2的周期函数；为偶函数，在上是减函数，在上单调递增，并且，，，．故选A．8.已知函数是定义域为R的奇函数，且当时，若函数有六个零点，分别是，，，，，，则的取值范围是A. B. C. D.21(10,210(3,35(2,)2(2,4)【答案】C【解析】【分析】本题考查函数零点与方程根的关系及函数图象的应用，同时考查二次函数和对数函数的性质及函数的奇偶性，属于较难题．由奇函数的定义得时的解析式，然后画出和的图象，利用二次函数的性质得到；利用对数函数的性质得到，，根据对勾函数的性质求解即可．【解答】解：因为函数是定义域为R的奇函数，且当时，所以当时，因为函数有六个零点，所以函数与函数的图象有6个交点，画出两函数的图象如下图，不妨设，由图知关于直线对称，关于对称，所以，而，所以，所以，且，因为，根据对勾函数的性质可得，所以．故选A．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）9.已知，，则下列正确的是A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】本题主要考察不等式的性质，属于基础题．通过特殊值，排除错误选项，结合基本不等式性质即可解答．【解答】解：A中，，又，所以根据不等式的性质可得，故A正确B中，，，故B错误C中，，，故C正确D中，，故D错误．故选AC．10.将曲线上每个点的横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变，得到的图像，则下列说法正确的是A. 的图像关于直线对称B. 在上的值域为C. 的图像关于点对称D. 的图像可由的图像向右平移个单位长度得到【答案】BD【解析】【分析】本题考查三角恒等变换，考查函数的图像和性质，属于中档题．根据三角恒等变换化简函数的解析式，根据的图像和性质求解即可．【解答】解：因为，所以．对于A选项，令，得，所以函数图像的对称轴为，故A错误对于B选项，因为，所以，所以，所以在上的值域为，故B正确对于C选项，令，得，所以的图像的对称中心为，所以的图像关于点对称，故C错误对于D选项，由的图像向右平移个单位长度，得到的图像，故D正确．故选BD．11.给出下列命题，其中是错误命题的是A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为；B. 函数的单调递减区间是；C. 若定义在R上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则在R上是单调增函数；D. ，是定义域内的任意的两个值，且，若，则是减函数．【答案】ABC【解析】【分析】本题主要考查函数定义域和单调性的概念，属于基础题．根据抽象函数定义域及函数单调性定义，逐项判断即可．【解析】解：若函数的定义域为，则函数的定义域为，故A错误；B.函数的单调递减区间是，故B错误；C.若定义在R上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则在R上不一定为单调增函数，故C错误；D为单调性的定义，正确．故答案为ABC．12.如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，CD的中点，则正确的为A. 直线与BD的夹角为B. 平面平面C. 点到平面的距离为D. 若正方体每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面只能是三角形和六边形【答案】ABD【解析】【分析】本题主要考察空间几何体的相关性质的运用，包括异面直线的夹角、面面垂直的判定等等，具有一定难度，根据选项逐一判断即可．【解答】解：依题意，对A，连接BD，因为是正方体，故连接，因为，再连接，显然易知三角形为等边三角形，故直线与BD的夹角为，故A正确；对B，，又面，则平面平面，故B正确；对C，设点到平面的距离为h，，故C错误；若正方体每条棱所在直线与平面所成的角相等，易知截此正方体所得截面只能是三角形和六边形，故D正确．故选ABD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.，则的值是【解析】【分析】本题主要考查了诱导公式与二倍角的余弦公式求值，是基础题．设，则，利用诱导公式及二倍角公式即可求出．【解答】解：设，则，且，则，14．若满足约束条件，则的最小值为_____x y ，402400x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩2z x y =+【答案】6【解析】【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】由约束条件作出可行域如图阴影所示，化目标函数z ＝2x +y 为y ＝﹣2x +z ，由图可知，当直线y ＝﹣2x +z 过A 时直线在y 轴上的截距最小，z 最小，联立4y x y x =-+⎧⎨=⎩得A （2,2），故z 的最小值为6故答案为6【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.已知，，且，若恒成立，则实数m 的取值范围是 ．【答案】【解析】【分析】本题考查了基本不等式的应用和恒成立问题的转换，应注意基本不等式中等号成立的条件，属于基础题．根据，利用基本不等式得出，即，求解即可得到得出m 的范围．【解答】解：因为，所以当且仅当时等号成立．因为恒成立，所以，解得．故答案为16.已知函数的图象关于直线对称，则________，的最小值为________．【答案】5；【解析】【分析】本题主要考查函数的性质的应用，属于中档题．运用函数的对称性，解方程组求出函数解析式，然后采用换元法把函数转化为二次函数求解即可．【解答】解：由，，联立得到：解得：所以，即，设，，转化为，的最小值，显然，当时取最小值为，故答案为5；．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）设实数x满足，．若，且p，q都为真命题，求x的取值范围若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】解：若，则可化为，得．若q为真命题，则．，q都为真命题时，x的取值范围是．由，得．，q是p的充分不必要条件，，则，得．实数a的取值范围是【解析】本题考查命题的真假和充分、必要条件，考查推理能力和计算能力，属于一般题．由p为真时，得，由p，q都为真命题，即可求出x的范围；由充分不必要条件的定义，得，则解之即可．18.（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，，．求数列的通项公式．设，数列的最小项是第几项求出最小项的值．【答案】解：设数列的公差为d，则有即解得所以数列的通项公式为．，所以，当且仅当，即时上式取等号，故数列的最小项是第4项，该项的值为23．【解析】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式，考查利用基本不等式求最值，考查推理能力和计算能力，属于中档题．设公差为d，根据，列出方程组求出首项与公差，进而可得通项公式；由可得，利用基本不等式即可求解．19.（本小题满分12分）在中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，向量，，且．//m n 求B ；若，，求a ．【答案】解：因为，所以，因为，故B．因为，，，所以，所以，在中，由正弦定理可得：，解得．【解析】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查了两角差的正弦函数公式和向量平行，属于中档题．由，得，可得，进而求出角B 的值；由，，得，进而求出，然后运用正弦定理求出a 的值．20.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，，，M ，N 分别为AB ，的中点．求证：平面；若丄，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】解：取的中点E，连接EM，EN，在中，E，M分别是，AB的中点，则，且，又N为的中点，，所以，，从而有且，所以四边形EMCN为平行四边形，所以．又因为平面，平面，所以平面；因为，M为AB的中点，所以，直三棱柱中，由平面ABC，平面ABC，得，又因为，所以平面，又平面，从而，又因为，，所以平面，又平面，从而有，因为，，，所以．由知，所以平面ABC．以M为坐标原点，，，为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，则0，，0，，0，，0，，2，，2，所以0，，0，，2，设平面的法向量为y，，则，即取，则0，，平面的法向量为0，，，，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．【解析】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于较难题．取的中点E，连接EM，EN，证得平面；由平面ABC，得，推导出平面ABC，以M为坐标原点，，，为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值．21.（本小题满分12分）已知函数是偶函数，函数是奇函数．求的值；设，若对任意恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：由于为奇函数，且定义域为R，，即，经检验，符合题意；，，是偶函数，，得恒成立，故，综上所述，可得；，，又在区间上是增函数，当时，，由题意，得因此实数a的取值范围是：．【解析】本题考查了函数的奇偶性，函数的单调性，不等式的恒成立问题，属于中档题．利用是奇函数可得n的值，利用是偶函数可得m的值，由此可得答案；易得在区间上是增函数，可得的最小值，结合对数函数的性质可得，解不等式即可．22.（本小题满分12分）已知向量，，函数的最小值为，当时，求的值；求；已知函数为定义在R上的增函数，且对任意的都满足问：是否存在这样的实数m，使不等式对所有恒成立，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】解：，令，，，当时，，对称轴为，在上单调递减，时，，．令，，对称轴为，当，即时，在上单调递增，当，即时，在上单调递减，在上单调递增，当，即时，在上单调递减，．．，可令，可得，由，，可得，可得函数为R上的奇函数，使不等式对所有恒成立，只需使不等式对所有恒成立，，函数为定义在R上的增函数，，令，，，，原问题等价于对恒成立，对恒成立，，，设，任取，且，，，，，，，即，在上为减函数，或由对勾函数的图象和性质直接可得减函数，时，不等式对所有恒成立．【解析】本题综合考查了三角函数综合，函数奇偶性和单调性的应用，二次函数最值，向量数量积的坐标表示，考查恒成立问题，属于难题．把，代入相应的向量坐标表示式，然后，利用向量数量积的坐标表示，化简函数解析式即可；转化成二次函数问题，对对称轴与区间的位置关系进行讨论；利用函数为R上的奇函数，得到，然后，再根据函数的单调性，转化成，最后，利用换元法令，转化成，求解函数在的最大值为3，从而解决问题．。