2021届浙江省绍兴市诸暨市高三适应性考试数学试题Word版含答案

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浙江省绍兴市高三3月适应性模拟考试数学试题及答案

浙江省高考科目考试绍兴市适应性试卷数学试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.2. 已知为虚数单位，复数满足，则（）A. B. C. D.3. 如图是由半球和圆柱组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.4. 已知，则“”是“是偶函数”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 若，满足约束条件，则的最大值为（）A. 0B.C.D.6. 在中，内角为钝角，，，，则（）A. B. C. D.7. 如图，已知双曲线：的左焦点为，为虚轴的一端点.若以为圆心的圆与的一条渐近线相切于点，且，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.8. 已知，函数满足：存在，对任意的，恒有.则可以为（）A. B. C. D.9. 如图，在中，，，为的中点.将沿着翻折至，使得，则的取值不可能．．．为（）A. B. C. D.10. 已知，，且，则（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11. 在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数表，表中除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数之和.利用这一性质，__________，__________．（用数字作答）12. 若离散型随机变量的分布列为则常数__________，的数学期望__________．13. 设为等差数列的前项和，满足，，则__________，公差________．14. 已知正数，满足，则当__________时，取得最小值为__________．15. 某单位安排5个人在六天中值班，每天1人，每人至少值班1天，共有__________种不同值班方案.（用数字作答）16. 已知正三角形的边长为4，是平面上的动点，且，则的最大值为_______．17. 已知，函数在区间上的最大值是2，则__________．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18. 已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若，且，求的值.19. 如图，在三棱锥中，，，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.20. 已知函数.（Ⅰ）当时，判断的单调性；（Ⅱ）当时，恒有，求的取值范围.21. 已知椭圆：的离心率为，，分别为的右顶点和上顶点，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若，分别是轴负半轴，轴负半轴上的点，且四边形的面积为2，设直线和的交点为，求点到直线的距离的最大值.22. 已知数列满足：，.（其中为自然对数的底数，）（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）设，是否存在实数，使得对任意成立？若存在，求出的一个值；若不存在，请说明理由.浙江省高考科目考试绍兴市适应性试卷数学试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】由题得，所以，故选B.2. 已知为虚数单位，复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】由题得. 故选C.3. 如图是由半球和圆柱组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B，故选B.4. 已知，则“”是“是偶函数”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C所以.所以“”是“是偶函数”的充要条件.故选C.5. 若，满足约束条件，则的最大值为（）A. 0B.C.D.【答案】B【解析】由题得不等式组对应的平面区域如下图所示：设z=3x+y,所以y=-3x+z，当直线y=-3x+z经过点B（1,0）时，直线的纵截距最大，z最大.此时，故选B.6. 在中，内角为钝角，，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题得，由余弦定理得故选A.7. 如图，已知双曲线：的左焦点为，为虚轴的一端点.若以为圆心的圆与的一条渐近线相切于点，且，则该双曲线的离心率为（）【答案】D【解析】由题得双曲线的第一、三象限的渐近线方程为，所以点A到渐近线的距离，因为，所以A,B,F三点共线.由题得,所以，故选D.8. 已知，函数满足：存在，对任意的，恒有.则可以为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】对于选项A,由于在上是增函数，值域是，所以不满足恒成立；对于选项B，在上是增函数，在是减函数，值域是，所以不满足恒成立；对于选项C，在在上是增函数，值域是，所以不满足恒成立；对于选项D,在x>0时的值域为[-1,1],总存在，对任意的，恒有.故选D. 点睛：本题的难点在于图像分析，函数满足：存在，对任意的，恒有.实际上就是说函数在x>0时，必须有最大值和最小值.9. 如图，在中，，，为的中点.将沿着翻折至，使得，则的取值不可能．．．为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图所示:把继续旋转,一直旋转到平面ABC里面,这时,在位置，这时此时，是直线和BM所成的最小角，，所以不可能.故选A.点睛：本题的难点在于思维问题的方法，本题属于难题.本题考虑到沿着翻折至时的一种极端情况，即把继续旋转一直旋转到平面ABC里面，从而找到分析推理的依据.10. 已知，，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以,令是增函数.综上所述，故选C.点睛：本题的难点在于要解题思路的探寻，本题是一个难度较大的题目，其中要用到结论.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11. 在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数表，表中除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数之和.利用这一性质，__________，__________．（用数字作答）【答案】(1). 20(2). 35【解析】,故填（1）20，（2）35.12. 若离散型随机变量的分布列为则常数__________，的数学期望__________．【答案】(1). (2).【解析】由题得. 故填（1）（2）.13. 设为等差数列的前项和，满足，，则__________，公差________．【答案】(1). -14(2). 4【解析】由得由得所以，故填（1）-14（2）4.14. 已知正数，满足，则当__________时，取得最小值为__________．【答案】(1). (2).【解析】由题得当且仅当时取等.故填（1）（2）.15. 某单位安排5个人在六天中值班，每天1人，每人至少值班1天，共有__________种不同值班方案.（用数字作答）【答案】1800【解析】第一步：从六天中选一天，有种选法；第二步，从5个人中选一个人值刚才选出的那一天值班，有种选法；第三步：把剩下的五天进行全排列，有种排法；第四步：把刚才的数的乘积除以2，因为出现了重复的情况，且刚好重复了一倍，(假设选的是星期一，选的人是甲，所以甲在星期一值班，如果甲也值星期二的班，甲值星期一和星期二的班.如果刚开始选的是星期二，选的人也是甲，所以甲再星期二值班，如果后面甲又值星期一的班，故甲也值星期一和星期二的班. 这两个是重复的).故.故填1800.16. 已知正三角形的边长为4，是平面上的动点，且，则的最大值为_______．【答案】【解析】如图所示,建立直角坐标系,设.由题得，所以动点O的轨迹是圆，所以，所以-4x的最大值为.故填点睛:本题的难点在于想到利用解析法来解析,本题如果不用解析法解答,用其它方法,比较复杂,很难化简，但是利用解析法，先求出动点的轨迹，后面就简单了. 遇到正三角形、直角三角形、菱形等，可以尝试利用解析法解答.17. 已知，函数在区间上的最大值是2，则__________．【答案】3或【解析】当时，=函数，对称轴为，观察函数的图像可知函数的最大值是.令，经检验，a=3满足题意.令，经检验a=5或a=1都不满足题意.令，经检验不满足题意.当时，,当时，,函数，对称轴为，观察函数的图像可知函数的最大值是.令，令,所以.综上所述，故填3或.点睛：本题的难点在于通过函数的图像分析函数的性质. 本题绝对值里面是一个闭区间上的二次函数，要求它的最大值，所以要先画出二次函数的图像，再结合二次函数的图像分析出最大值的可能情况.三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18. 已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若，且，求的值.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）第（Ⅰ）问，直接化简函数，再利用三角函数的周期公式求解. (2)第（Ⅱ）问，先解方程得到的值，再求的值.试题解析：（Ⅰ）.即.所以的最小正周期.（Ⅱ）由，得，又因为，所以，即.所以.19. 如图，在三棱锥中，，，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（1）第（Ⅰ）问，直接转化为证明平面. （2）第（Ⅱ）问，可以利用几何法求，也可以利用向量法求直线与平面所成角的正弦值.试题解析：（Ⅰ）如图，取的中点，连结，.因为为正三角形，所以；因为，所以.又，，平面，所以平面.因为平面，所以.（Ⅱ）解法一：过点作的垂线，垂足为，连结.因为平面，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，故平面.所以直线与平面所成角为.在中，，，，由余弦定理得，所以.所以，.又，故，即直线与平面所成角的正弦值为.解法二：如图，以原点，以，为，轴建立空间直角坐标系.可求得，则，，，.平面的一个法向量为，.设直线与平面所成角为，则.20. 已知函数.（Ⅰ）当时，判断的单调性；（Ⅱ）当时，恒有，求的取值范围.【答案】(1) 在上单调递增(2)【解析】试题分析：（1）第（Ⅰ）问利用导数求导，研究函数的单调性. (2)对进行分类讨论，探究每一种情况是否满足.试题解析：（Ⅰ）当时，，.故在上单调递增.（Ⅱ）由于，即，解得.①当时，，当时，，所以在上单调递增，符合题意.②当时，，，存在，使得，故在单调递减，在单调递增.因为，所以，.由单调性知.符合题意.③当时，，，在上递减，在上递增，且.符合题意.④当时，，，，，对称轴.故在内有两个不同的实根，，设，则在单调递减，在单调递增，在单调递减.必有，不符合题意.综合①②③④，所以的取值范围是.21. 已知椭圆：的离心率为，，分别为的右顶点和上顶点，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若，分别是轴负半轴，轴负半轴上的点，且四边形的面积为2，设直线和的交点为，求点到直线的距离的最大值.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）第（Ⅰ）问，根据题意得到关于的方程组，解方程组即可. (2)第（Ⅱ）问，先转化四边形的面积为2，得到点的轨迹，再结合点P的轨迹球点P到AB的距离的最大值.试题解析：（Ⅰ）由得.又，所以，.所以椭圆的方程为.（Ⅱ）设，，，其中，.因为，，所以，，得，.又四边形的面积为2，得，代入得，即，整理得.可知，点在第三象限的椭圆弧上.设与平行的直线与椭圆相切.由消去得，，.所以点到直线的距离的最大值为.点睛：本题的难点在于转化条件得到动点P的轨迹，对于四边形的面积为2的转化，最好是把这个四边形分成两个三角形的面积来求解.22. 已知数列满足：，.（其中为自然对数的底数，）（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）设，是否存在实数，使得对任意成立？若存在，求出的一个值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析(2) 不存在满足条件的实数【解析】试题分析：（1）第（Ⅰ）问，先证明一个不等式，再利用该不等式证明.(2)第（Ⅱ）问，先利用数学归纳法证明，再利用该不等式证明不存在实数M.试题解析：（Ⅰ）证明：设，令，得到.当时，，单调递减；当时，，单调递增.故，即（当且仅当时取等号）.故，所以.（Ⅱ）先用数学归纳法证明.①当时，.②假设当时，不等式成立，那么当时，，也成立.故对都有.所以.取，.即.所以，对任意实数，取，且，，则.故，不存在满足条件的实数.点睛：本题难点在于思路的找寻，本题难度较大. 第（Ⅰ）问，先证明一个不等式，第（Ⅱ）问，先利用数学归纳法证明，之所以要证明这两个不等式，当然是对试题整体分析的结果.。

浙江绍兴诸暨中学2021高三数学上10月测试(解析版)

2021届浙江省绍兴市诸暨中学高三上学期10月测试数学试题一、单选题1．函数()()2ln f x x x =+的定义域是（）A ．0,B ．[)0,+∞ C ．1,D ．[)1,+∞ 【答案】A【分析】由()f x 解析式的性质即可求定义域；【详解】由()f x 解析式，知：2ln()x 中0x ≠，x 中0x ≥，∴综上，有：0x >；故选：A【点睛】本题考查了具体函数定义域的求法，属于简单题； 2．若12z i =+，则41izz =- A ．1 B ．-1C ．iD ．-i【答案】C【解析】试题分析：441(12)(12)1i ii zz i i ==-+--，故选C ．【解析】复数的运算、共轭复数．【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成−1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解．3．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，正视图中的虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的体积为( )A．23B ．1C ．2D ．4【答案】C【分析】由三视图中的数据，根据棱柱的体积公式求出该“堑堵”的体积．【详解】解：由图可知，底面是一个等腰直角三角形，直角边为22112+=，斜边为2，又该“堑堵”的高为2， ∴该“堑堵”的体积122222V =⨯⨯⨯=，故选：C ．【点睛】本题主要考查由三视图还原直观图，考查棱柱的体积公式，属于基础题．4．设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则z ＝2x ＋y 的最小值是（）A ．－15B ．－9C ．1D ．9【答案】A【分析】作出可行域，z 表示直线2y x z =-+的纵截距，数形结合知z 在点B (－6，－3)处取得最小值. 【详解】作出不等式组表示的可行域，如图所示，目标函数2z x y =+，z 表示直线2y x z =-+的纵截距，()223066,3303x y x B y y +-==-⎧⎧⇒⇒--⎨⎨+==-⎩⎩，数形结合知函数2y x z =-+在点B (－6，－3)处纵截距取得最小值，所以z 的最小值为－12－3＝－15.故选：A【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属于基础题. 5．已知,a b ∈R ，则“a b e e >”是“|a |>|b|”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】a b e e >化简得a b >，结合充分与必要条件的判断方法即可求解【详解】由a b e e a b >⇒>，显然由 a b>|a |>|b|，比如2323>->-，又|a |>|b|a b >，比如3232->->，故“a b e e >”是“|a |>|b|”的既不充分也不必要条件，故选：D【点睛】结论点睛：本题考查既不充分也不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．6．已知等比数列{}n a 中51a =，若246811115a a a a +++=，则2468a a a a +++=（） A ．4 B ．5C ．16D ．25【答案】B【分析】根据已知化简246811115a a a a +++=，由此求得表达式的值. 【详解】依题意得355553115q q a a a q a q +++=，即33115q q q q +++=，而2468a a a a +++=33555533115a a a q a q q q q q q q +++=+++=. 【点睛】本小题主要考查等比数列通项的基本量计算，属于基础题. 7．函数sin ln xy x e x =+的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据0x >、0x <分类讨论sin ln xy x e x =+的图象，利用导函数研究它在各个区间上的单调性，分别判断两个区间某一部份的单调性即可得到它的大致图象；【详解】1、当0x >时，sin ln xy x e x =+，即1cos (ln )xy x e x x'=++，令1()(ln )xg x e x x=+，则1()ln (2)x xe g x e x x x'=+-，∴1x >时，()0g x '>即()g x 单调递增，故()(1)g x g e >=，∴此时，cos ()cos 0y x g x x e '=+>+>，即y 在(1,)x ∈+∞单调递增，故排除D 选项； 2、当0x <时，sin ln()x y x e x =+-，令()ln()x g x e x =-，则1()[ln()]xg x e x x'=-+，∴1()(1)0eg e e e-'-=->，1(1)0g e -'-=-<，故0(,1)x e ∃∈--有00001()[ln()]0x g x e x x '=-+=即001ln()x x -=-，所以000001()ln()x x e g x e x x e=-=-<，∴在1x <-上010()()g x g x e<<<，而sin [1,1]x ∈-，故sin ln()xy x e x =+-在1x <-上一定有正有负，则有B 正确；故选：B【点睛】本题考查了利用导数研究函数单调性，并确定函数的大致图象，注意按区间分类讨论，以及零点、极值点的讨论8．已知,a b ∈R ，不等式22122x ax bx x ++<++在x ∈R 上恒成立，则（） A ．0a < B ．0b <C ．02ab <<D ．04ab <<【答案】D【分析】由题意，原不等式转化为2222x ax b x x ++<++，两边同时平方并化简得()()22a x b -+-⎡⎤⎣⎦()()22220x a x b ⎡⎤++++<⎣⎦，由此分析出20a -=，进而得到()2016820b b -<⎧⎨∆=-+<⎩，由此可解出答案．【详解】解：∵22122x ax b x x ++<++，且()22221110x x x ++=++≥>， ∴2222x ax b x x ++<++， ∴()()222222x ax b xx ++<++，∴()()222222x ax bx x ++-++()()22a x b =-+-⎡⎤⎣⎦()()22220x a x b ⎡⎤++++<⎣⎦，∵上述不等式恒成立，∴20a -=，即2a =（否则取22bx a -=-，则左边0=，矛盾），此时不等式转化为()()222420b x x b ⎡⎤-+++<⎣⎦，∴()2016820b b -<⎧⎨∆=-+<⎩，解得02b <<，∴04ab <<，故选：D ．【点睛】本题主要考查一元二次不等式的应用，考查转化与化归思想，属于难题．9．将6个数2，0，1，9，20，19将任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0），则产生的不同的8位数的个数是（） A ．546B ．498C ．516D ．534【答案】B【分析】根据题意，由排除法分析：先求出将2，0，1，9，20，19的首位不为0的排列数，排除2的后一项是0，且1的后一项是9的排列，2的后一项是0，但1的后一项不是9的排列，1的后一项是9，但2的后一项不是0的排列，分析可得答案【详解】解：将2，0，1，9，20，19的首位不为0的排列的全体记为A ，记为A 为A 的元素全数，则555600A A =⨯=，将A 中的2的后一项是0，且1的后一项是9的排列的全体记为B ，A 中2的后一项是0，但1的后一项不是9的排列的全体记为C ，A 中1的后一项是9，但2的后一项不是0的排列的全体记为D ，则454454,,4B A B C A B D A =+=+=⨯，可得24,96,72B C D ===，由B 中排列产生的每一个8位数，恰对应B 中的224⨯=个排列（这样的排列中，20可与“2，0”互换，19可与“1，9”互换），类似地，由C 或D 中排列产生的每个8 位数，恰对应C 或D 中的2个排列，因此满足条件的8位数的个数为：42B C DA B CD +-++342B C D A +=--600184836498=---=，故选：B【点睛】方法点睛：此题考查排列组合的应用问题，解决排列组合问题应注意：（1）对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可采用间接法（2）对于相邻问题采用捆绑法，不相邻问题采用插空法 10．如图所示，平面α平面l β=，二面角,43l ππαβ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，已知A α∈，B β∈，直线AB 与平面α，平面β所成角均为θ，与l 所成角为γ，若()sin 1γθ+=，则()sin γθ-的最大值是（）A ．114B ．17C ．314D ．27【答案】B【分析】由题意知2πγθ+=，作辅助线找到θ，γ及二面角ϕ，四边形32ACH H 为正方形进而得到B BC '∆为等腰三角形，利用所得直角三角形用边表示sin θ、cos2ϕ，即有它们的等量关系，利用()2sin 12sinγθθ-=-结合二面角,43ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即可求()sin γθ-的最大值；【详解】直线AB 与平面α，平面β所成角均为θ，与l 所成角为γ，而[0,]2πθ∈，[0,]2πγ∈，又()sin 1γθ+=，可知： 2πγθ+=，若令二面角l αβ--为ϕ，作AA l '⊥于A '，BB l '⊥于B '；过A 作//AC l ，过B '作B C l '⊥与AC 交于C 点； ∴l ⊥面BB C '，又l ⊂α，l ⊂β，故面BB C '⊥α，面BB C '⊥β，即BB C ϕ'∠=；过B 作//BD l ，过A '作A D l '⊥与BD 交于D 点； ∴l ⊥面AA D '，又l ⊂α，l ⊂β，故面AA D '⊥α，面AA D '⊥β，即AA D ϕ'∠=；作1BH B C '⊥于1H ，2AH A D '⊥于2H ，连接1AH 、2BH ，即有12BAH ABH θ∠=∠=，且BAC DBA γ∠=∠=；∵12sin cos BH AH AC BDAB AB AB ABθγ=====，即12BH AH AC BD ===，作3CH BB '⊥有四边形32ACH H 为正方形，即3CH AC =，∴31CH BH=，有31Rt CH B Rt BH C∆≅∆，故B BC'∆为等腰三角形且B B B C''=，令x AC=，y BC=，则22AB x y=+22sinx yθ=+，而12CBHϕ∠=，∴cos2xyϕ=，,43ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，又()2sin sin(2)cos212sin2πγθθθθ-=-==-，∴()22222221sin121112711cos1xx yxyγθϕ-=-⋅=-=-≤++++当3πϕ=时等号成立故选：B【点睛】本题考查了应用辅助线，根据已知条件以及线面角、线线角、面面角的性质，得到它们的三角函数间等量关系，并化简目标三角函数式，结合二面角的范围求目标式的最值；二、填空题11．在ABC∆中，3,3sin2sinAC A B==，且1cos4C=，则AB=____________10【分析】根据正弦定理求出BC，再利用余弦定理求出AB.【详解】由正弦定理可知：sin sinAC BCB A=，又3sin2sinA B=sin22sin3AC ABC ACB⋅⇒===由余弦定理可知：22212cos 94232104AB AC BC AC BC C =+-⋅=+-⨯⨯⨯= 10AB ∴=本题正确结果：10【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题，属于基础题.12．已知F 为抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点，点A 在抛物线上，点B 在抛物线的准线上，且A ，B 两点都在x 轴的上方，若FA FB ⊥，1tan 3FAB ∠=，则直线FA 的斜率为______．【答案】34【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用解直角三角形的正弦函数和正切函数的定义，求得A 的坐标，由斜率公式计算可得所求值．【详解】解：22(0)y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，如图，设A 在x 轴上的射影为N ，准线与x 轴的交点为M ，由FA FB ⊥，1tan 3BF FAB AF∠==，可设3AF t =，BF t =，可得AFN FBM ∠=∠，sin sin 3A y p AFN FBM t t∠==∠=，即有3A y p =，92A x p =，则直线AF 的斜率为33442A A y p p p x ==-．故答案为34．【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，注意运用解直角三角形，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 13．已知平面向量a ，b ，c 满足||1a =，||3b =，0a b ⋅=，c a -与c b -的夹角是6π，则()c b a ⋅-的最大值为__________. 【答案】5【分析】建直角坐标系，设(0,1),(,)A B c OC x y ==，由条件可得点C 在两圆弧22((2)4x y -+-=或22(1)4x y ++=上，求出 ()c b a ⋅-，设其为k ，代入圆弧方程，由0∆=可求得结果【详解】解：如图，设(0,1),(,)A B c OC x y ==，因为c a -与c b -的夹角是6π，所以6ACB π∠=，所以点C 所在的圆中，弧AB 所对的圆心角为3π，所以点C 在两圆弧22((2)4x y -+-=或22(1)4x y ++=上，因为()3c b a x y ⋅-=-y k -=，把y k =-代入22((2)4x y -+-=中化简得224)430x x k k -+++=，因为此方程有解，所以0∆≥即22)16(43)0k k -++≥，化简得22150k k --≤，解得35k -≤≤；把y k =-代入22(1)4x y ++=中化简得224)230x x k k ++--=，因为此方程有解，所以0∆≥即22)16(23)0k k ---≥，化简得22150k k --≤，解得35k -≤≤；所以()c b a⋅-的最大值为5【点睛】关键点点睛：此题平面向量的综合应用，属于中档题，解题的关键是建立平面直角坐标系，将向量坐标化，由c a-与c b-的夹角是6π，利用数形结合和平面几何的知识得点C在两圆弧22(3)(2)4x y-+-=或22(1)4x y++=上，是解此题的突破口三、双空题14．若3log2m=，则m=________；2log30323log9++=________.【答案】9 6【分析】利用对数的运算可得9m=，再利用对数的运算性质即可求解.【详解】若3log2m=，则9m=，2log30323log93126++=++=.故答案为：9 ；6【点睛】本题考查对数的运算，需熟记对数的运算性质，属于基础题.15．设等差数列{}n a的前n项和为()*nS n N∈，若35a=，53a=，则na=__________，7S=___________.【答案】8n-28【分析】由35a=，53a=，可得112543a da d+=⎧⎨+=⎩，从而可求出1a和d，进而可求出n a，再利用等差数列的性质和前n项和公式可求出7S【详解】解：设等差数列{}n a的公差为d，因为35a =，53a =，所以112543a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得171a d =⎧⎨=-⎩，所以1(1)7(1)(1)8n a a n d n n =+-=+-⋅-=-，173577()7()7(53)28222a a a a S ++⨯+==== 故答案为：8n -，2816．二项展开式(1+2x )5=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5，则a 4=___________，a 1+a 3+a 5=___________. 【答案】80 122【分析】直接利用二项式展开式通项公式求解即可【详解】解：因为(1+2x )5= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5，且其展开式的通项公式为152r r rr T C x +=⋅⋅所以a 44452C =⋅=80.a 1+a 3+a 51355552832C C C =⋅+⋅+⋅=122.故答案为：80；122.【点睛】此题考查二项式定理的应用，属于基础题17．已知函数()01,0x f x x x >=+≤⎪⎩，则()()5f f -=_______﹔若实数a 满足()()f f a a ≥，则a 的取值范围是_______.【答案】2 (],1-∞【分析】根据()f x 的解析式可直接求出()()5f f -，然后分0a >、0a ≤两种情况解不等式()()f f a a ≥即可.【详解】因为()01,0x f x x x >=+≤⎪⎩，所以()()()542f f f -===当0a >时，()f a =，所以()()ff a a =≥，解得1a ≤，所以01a <≤当0a ≤时，()1f a a =+，所以()()f f a a =≥，此不等式对0a ≤恒成立所以a 的取值范围是(],1-∞ 故答案为：2；(],1-∞.【点睛】本题考查的是分段函数，考查了分类讨论的思想，属于基础题.四、解答题18．已知函数2()cos cos f x x x x =+．（1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）若13,0,2103f απα⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos α的值.【答案】(1)1；(2) 4cos 10α=【分析】（1）利用倍角公式、辅助角公式化简1()sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再把3x π=代入求值；（2）由13,0,2103f απα⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，43sin ,cos 6565ππαα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用角的配凑法得：66ππαα=+-，再利用两角差的余弦公式得cos α=.【详解】解:（1）因为21cos21()cos cos sin 2226x f x x x x x x π+⎛⎫=+==++ ⎪⎝⎭，所以121511sin sin 132362622f ππππ⎛⎫⎛⎫=++=+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）由13,0,2103f απα⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得43sin ,cos 6565ππαα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4cos cos cos cos sin sin 66666610ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本题考查三角恒等变换中的倍角公式、辅助角公式、两角差的余弦公式等，考查角的配凑法，考查运算求解能力.19．如图，在平行四边形ABCD 中，2AB BC =，23ABC π∠=，E 为线段AB 的中线，将ADE ∆沿直线DE 翻折成A DE ∆'，使平面A DE ⊥平面BCD ，F 为线段A C '的中点. （1）求证：//BF 平面A DE ；（2）设M 为线段DE 的中点，求直线FM 与平面A DE 所成角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）12. 【分析】（1）取A D '的中点G ，连接FG 、EG ，证明四边形BEGF 是平行四边形，可得出//BF EG ，再利用直线与平面平行的判定定理可得出//BF 平面A DE ；（2）取A E '的中点N ，连接CE 、FN ，证明CE DE ⊥，利用面面垂直的性质定理得出CE ⊥平面A DE ，由中位线性质可得//FN CE ，可得出FN ⊥平面A DE ，由此得出直线FM 与平面A DE 所成角为FMN ∠，并设BC a =，计算出FMN ∆的三边长，即可得出直线FM 与平面A DE 所成角的余弦值【详解】（1）取A D '的中点G ，连接FG 、EG ，F 、G 分别为A C '、A D '的中点，则//FG CD 且12FG CD =.四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴，E 为AB 的中点，//BE CD ∴且12BE CD =，//BE FG ∴， ∴四边形BEGF 是平行四边形，//BF EG ∴.BF ⊄平面A DE ，EG ⊂平面A DE ，//BF ∴平面A DE ；（2）在平行四边形ABCD 中，设BC a =，则2AB CD a ==，AD AE EB a ===. 连接CE ，因为120ABC ∠=，在BCE ∆中，可得3CE a =，在ADE ∆中，可得DE a =，在CDE ∆中，因为222CD CE DE =+，所以CE DE ⊥，平面A DE '⊥平面BCD ，平面A DE'平面BCD DE =，CE ⊂平面BCD ，CE ∴⊥平面A DE ，F 、N 分别为A C '、A E '的中点，//FN CE ∴，且12FN CE =，FN ∴⊥平面A DE ，则FMN ∠为直线FM 与平面A DE 所成角. MN ⊂平面A DE ，FN MN ∴⊥.在Rt FMN ∆中，32FN a =，12MN a =，FM a =，1cos 2MN FMN FM ∴∠==. 所以直线FM 与平面A DE 所成角的余弦值为12.【点睛】本题考查直线与平面平行的证明以及直线与平面所成角的计算，解题的关键就是找出线面垂直关系，考查逻辑推理能力与空间想象能力，属于中等题. 20．如图所示，在()f x x =的图像下有一系列正三角形()*1n n n A A B n N +∈△，记1n n n A A B +的边长为n a ，32n n f a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足()()()11111n n n n n n n c b b b b b b --++=+++，证明：2312n c c c +++<. 【答案】（1）23n a n =，n b ；（2）证明见解析. 【分析】先建立等量关系得到()21123n n n S S a +++=，再判断数列{}n a 是以23为首项，23为公差的等差数列，最后求n a 和n b ；（2）先化简n c ，再用裂项相消法求和证明结论.【详解】（1）解：设()1,0n n A S -，则12n n n S S B -⎛+⎝. ()2123n n n nS S a -=⇒+=，()21123n n n S S a +++=. 两式相减：()()()11112323n n n n n n n n a a a a a a a a +++++-=+⇒-=. 易知123a =，故数列{}n a 是以23为首项，23为公差的等差数列. 故23n a n =，n b . （2）证明：由题意可知：n c=12=12=.故23202012c c c +++=112=<. 故命题得证.【点睛】本题考查函数与数列的关系、等差数列的判断、裂项相消法求和，是中档题.21．已知椭圆2222:1(0)x y Ca b a b +=>>与直线=x 有且只有一个交点，点P 为椭圆C 上任意一点，1(1,0)-P ，2(1,0)P，且12PP PP ⋅的最小值为2a. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于不同两点A ，B ，点O 为坐标原点，且1OM (OA OB)2=+，当AOB 的面积S 最大时，判断12T MP MP =+是否为定值，若是求出其值并证明，若不是请说明理由.【答案】（1）22142x y +=；（2）定值为【分析】（1）设点(),P x y ，根据题意，得到a =，根据向量数量积的坐标表示，得到22121PP PP y a ⋅=-+-，根据其最小值，求出2,a b ==，即可得出椭圆方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，由弦长公式，以及点到直线距离公式，求出AOB 的面积S 的最值，得到2221m k =+；得出点M 的轨迹为椭圆()221:102x C y y +=≠，即可得出12T MP MP =+为定值. 【详解】（1）设点(),P x y，由题意知a =，222:2+=C x y a ，则22221211PP PP x y y a ⋅=+-=-+-，当y b =±时，12PP PP ⋅取得最小值，即2212--=aa b ，212,22⇒-=⇒==a a a b故椭圆C 的标准方程为22142x y +=；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，由2224x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩，得()222214240+++-=k x mkx m ， 122421⇒+=-+mk x x k ，21222421-=+m x x k ，则点O 到直线:l y kx m =+的距离d =，1122S d AB=⋅⋅=()222242221m k mk++-=≤=+S，当且仅当22242=+-m k m即2221m k=+，①此时120222221+==-=-+x x mk kxk m，20021=+=-+=ky kx m mm m，即1=my，22=-=-m xk xy代入①式整理得()2200102xy y+=≠，即点M的轨迹为椭圆()221:102xC y y+=≠，且点12,P P为椭圆1C的左、右焦点，即12+=MP MP，故12T MP MP=+为定值【点睛】关键点睛：本题主要考查求椭圆的方程，考查求椭圆中的定值问题，对于第一问，解题的关键是得出22121PP PP y a⋅=-+-，知道当y b=±时，12PP PP⋅取得最小值；对于第二问，直线与曲线的相交问题，常用步骤是设点设方程，联立方程求解，利用韦达定理求出相关量，本题可用来表示出三角形的面积，求出最值，解题的关键是得出点M的轨迹为椭圆.22．已知实数0a≠，设函数()e axf x ax=-．（1）求函数()f x的单调区间；（2）当12a>时，若对任意的[)1,x∈-+∞，均有()()212af x x≥+，求a的取值范围．注：e 2.71828=为自然对数的底数．【答案】（1）()f x在(,0)-∞内单调递减，在(0,)+∞内单调递增；（2）122a<≤【分析】(1)求导后取出极值点,再分0a>,0a<两种情况进行讨论即可.(2)当0x=时得出a的一个取值范围,再讨论1x=-时的情况,再对(1,)x∈-+∞时构造函数两边取对数进行分析论证122a<≤时()()212af x x≥+恒成立.【详解】(1)由()(1)=0ax axf x a e a a e =-'=⋅-,解得0x =．①若0a >,则当(0,)x ∈+∞时,()0f x '>,故()f x 在(0,)+∞内单调递增；当(,0)x ∈-∞时,()0f x '<,故()f x 在(,0)-∞内单调递减．②若0a <,则当(0,)x ∈+∞时,()0f x '>,故()f x 在(0,)+∞内单调递增；当(,0)x ∈-∞时,()0f x '<,故()f x 在(,0)-∞内单调递减．综上所述,()f x 在(,0)-∞内单调递减,在(0,)+∞内单调递增．(2)2()(1)2a f x x ≥+,即2(1)2ax ae x ≥+．令0x =,得12a≥,则122a <≤．当1x =-时,不等式2(1)2ax a e x ≥+显然成立,当(1,)x ∈-+∞时,两边取对数,即2ln(1)ln 2aax x ≥++恒成立．令函数()2ln(1)ln2aF x x ax =+-+,即()0F x ≤在(1,)-+∞内恒成立．由22(1)()=011a x F x a x x -+'=-=++,得211x a =->-．故当2(1,1)x a ∈--时,()0F x '>,()F x 单调递增；当2(1+)x a∈-∞，时,()0F x '<,()F x 单调递减. 因此22()(1)2ln 2ln 2ln 22a aF x F a a a a ≤-=-++=--．令函数()2ln 2ag a a =--,其中122a <≤,则11()10a g a a a='-=-=,得1a =, 故当1(,1)2a ∈时,()0g a '<,()g a 单调递减；当(1,2]a ∈时,()0g a '>,()g a 单调递增．又13()ln 4022g =-<,(2)0=g ,故当122a <≤时,()0g a ≤恒成立,因此()0F x ≤恒成立,即当122a <≤时,对任意的[1,)x ∈-+∞,均有2()(1)2a f x x ≥+成立．【点睛】本题主要考查了利用求导解决含参的函数的单调性问题以及在区间上恒成立求参数的范围的问题,需要构造函数讨论函数的单调性进行求解,属于难题.。

浙江省高考科目考试绍兴市适应性试卷(2021年4月)数学试题

浙江省高考科目考试绍兴市适应性试卷(2021年4月)数学试题本科试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共6页，选择题部分1至3页，非选择题部分3至6页，满分150分，考试时间120分钟。

考生注意：1.答题前，请务必将自己的学校、班级、姓名、座位号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。

2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 P(A ＋B)＝P(A)＋P(B)如果事件A ，B 相互独立，那么 P(A·B)＝P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 P n (k)＝C n k p k (1－p)n －k (k ＝0，1，2，…，n)台体的体积公式 11221V (S S S S )h 3=+ 其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式 V ＝Sh其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式 V ＝13Sh 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式 S ＝4πR 2球的体积公式 V ＝43πR 3 其中R 表示球的半径第I 卷(共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A ＝{x|x ≤0，或x ≥2}，B ＝{x|－1<x<1}，则A∩B ＝A.(－1，＋∞)B.(－1，1)C.(－1，0]D.[0，1)2.已知i是虚数单位，若z＝－3＋12i，则z2＝A.132i-+ B.132i-- C.132i+ D.132i-3.若实数x，y满足约束条件1230xx yx y≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则2x＋y的最大值是A.73B.3C.72D.44.函数f(x)＝log a(x＋ax)(a>1)的图象可能是5.某几何体由四棱锥和半个圆柱组合而成，其三视图如图所示，则该几何体的体积是A.8＋πB.83＋π C.8＋3πD.83π+6.设m∈R，则“1≤m≤2”是“直线l：x＋y－m＝0和圆C：x2＋y2－2x－4y＋m＋2＝0有公共点”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知无穷数列{a n}是各项均为正数且公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，n∈N*，则A.数列nSn⎧⎫⎨⎬⎩⎭不可能是等差数列 B.数列n2Sn⎧⎫⎨⎬⎩⎭不可能是等差数列C.数列nnSa⎧⎫⎨⎬⎩⎭不可能是等差数列 D.数列nnaS⎧⎫⎨⎬⎩⎭不可能是等差数列8.已知a>0，b>0，a2＋b2－ab＝3，|a2－b2|≤3，则a＋b的最小值是2 B.3 3 D.49.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>和点M(22a b a+，0)。

浙江省绍兴市2021届新高考适应性测试卷数学试题(1)含解析

浙江省绍兴市2021届新高考适应性测试卷数学试题（1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设a ，b ，c 为正数，则“a b c +>”是“222a b c +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不修要条件【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：a Q ，b ，c 为正数， ∴当2a =，2b =，3c =时，满足a b c +>，但222a b c +>不成立，即充分性不成立，若222a b c +>，则22()2a b ab c +->，即222()2a b c ab c +>+>，a b c +>，成立，即必要性成立，则“a b c +>”是“222a b c +>”的必要不充分条件，故选：B ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键．2．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，P 为双曲线在第一象限上的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左，右支于另一点12,,3M N PF PF =若，且260MF N ∠=o ，则双曲线的离心率为( )A B ．3 C ．2 D 【答案】D【解析】【分析】本道题结合双曲线的性质以及余弦定理，建立关于a 与c 的等式，计算离心率，即可．【详解】结合题意，绘图，结合双曲线性质可以得到PO=MO ，而12F O F O =，结合四边形对角线平分，可得四边形12PF MF 为平行四边形，结合0260MF N ∠=，故01260F MF ∠=对三角形12F MF 运用余弦定理，得到，222121212122cos F M F M F F MF MF F MF +-=⋅⋅⋅∠ 而结合213PF PF =，可得12,3MF a MF a ==，122F F c =，代入上式子中，得到 2222943a a c a +-=，结合离心率满足c e a =，即可得出72c e a ==，故选D ．【点睛】本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质，难度偏难． 3．若平面向量,,a b c r r r ，满足||2,||4,4,||3a b a b c a b ==⋅=-+=r r r r r r r ，则||c b -r r 的最大值为（）A ．523B ．523C ．2133D ．2133【答案】C【解析】【分析】可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达，利用向量数量积的性质，化简为三角函数最值.【详解】由题意可得： ()(2)c b c a b a b -=-++-r r r r r r r ，2222|2|(2)||4||444164452a b a b a b a b -=-=+⋅-⋅=+⨯-⨯=r r r r r r r r Q|2|213a b ∴-=r r2222||()[()(2)]|()(2)|c b c b c a b a b c a b a b ∴-=-=-++-=-++-r r r r r r r r r r r r r r22|||2|2|||2|cos ,2c a b a b c a b a b c a b a b =-++-+⋅-+⋅-⋅<-++>r r r r r r r r r r r r r r r3522cos ,2c a b a b =++<-++>r r r r r55cos ,2c a b a b =+<-++>r r r r r55+…2555223+=+⨯=Q ，故选：C【点睛】本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点.本题属中档题.4．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( )A ．12B ．35C ．710D ．45【答案】C【解析】【分析】先计算出总的基本事件的个数，再计算出两张都没获奖的个数，根据古典概型的概率，求出两张都没有奖的概率，由对立事件的概率关系，即可求解.【详解】从5张“刮刮卡”中随机取出2张，共有2510C =种情况，2张均没有奖的情况有233C =（种），故所求概率为3711010-=. 故选:C.【点睛】本题考查古典概型的概率、对立事件的概率关系，意在考查数学建模、数学计算能力，属于基础题. 5．已知正项数列{}{},n n a b 满足：1110n n n n n n a a b b a b ++=+⎧⎨=+⎩，设n n n a c b =，当34c c +最小时，5c 的值为( ) A ．2B ．145C ．3D ．4 【答案】B【解析】【分析】由1110n n n n n n a a b b a b ++=+⎧⎨=+⎩得11911n n n na ab b ++=++，即1911n nc c +=++，所以得3433911c c c c +=+++，利用基本不等式求出最小值，得到32c =，再由递推公式求出5c .【详解】由1110n n n n n n a a b b a b ++=+⎧⎨=+⎩得1110109111n n n n n n n n n n n n a a a b b a a b a b b b ++++===++++，即1911n n c c +=++， 34339161c c c c ∴+=++≥+，当且仅当32c =时取得最小值，此时45349914141115，c c c c =+==+=++. 故选：B【点睛】本题主要考查了数列中的最值问题，递推公式的应用，基本不等式求最值，考查了学生的运算求解能力. 6．在关于x 的不等式2210ax x ++>中，“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】讨论当1a >时，2210ax x ++>是否恒成立；讨论当2210ax x ++>恒成立时，1a >是否成立，即可选出正确答案.【详解】解：当1a >时，440a ∆=-<，由221y ax x =++开口向上，则2210ax x ++>恒成立；当2210ax x ++>恒成立时，若0a =，则210x +> 不恒成立，不符合题意，若0a ≠ 时，要使得2210ax x ++>恒成立，则0440a a >⎧⎨∆=-<⎩ ，即1a > . 所以“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的充要条件.故选:C.【点睛】本题考查了命题的关系，考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时，一般分成两步，若p q ⇒，则推出p 是q 的充分条件；若q p ⇒，则推出p 是q 的必要条件.7．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的右焦点为,F O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点O 及点33,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则双曲线C 的方程为（）A ．2213y x -= B ．22126x y -= C ．2213x y -= D ．22162x y -= 【答案】C【解析】【分析】根据双曲线方程求出渐近线方程：b y x a =，再将点33,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入可得3b a =，连接FA ，根据圆的性质可得2333c -=，从而可求出c ，再由222c a b =+即可求解. 【详解】由双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，则渐近线方程：b y x a=±， 33b a ∴=，连接FA ，则23333FAc b AO a -===2c =，所以2224c a b =+=，解得223,1a b ==.故双曲线方程为2213x y -=. 故选：C【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题.8．已知函数())33x x f x x -=+-，不等式()2(50f f x ++…对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为（）A ．[2,)-+∞B ．(,2]-∞-C ．5,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．5,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 【答案】C【解析】【分析】确定函数为奇函数，且单调递减，不等式转化为2a ⎫=-，利用双勾函数单调性求最值得到答案.【详解】())33(),()x x f x x f x f x --=+-=-是奇函数，())3333x x x x f x x --=+=+--，易知,33x x y y y -==-=均为减函数，故()f x 且在R 上单调递减，不等式()2(50f f x ++…，即()2(5f f x --…，结合函数的单调性可得25x --，即2a ⎫=-，设t =，2t ≥，故1y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭单调递减，故max 52⎫-=-，当2t =，即0x =时取最大值，所以52a -…. 故选：C .【点睛】本题考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式，参数分离求最值是解题的关键.9．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（）A ．方差B ．中位数C ．众数D ．平均数【答案】A【解析】【分析】通过方差公式分析可知方差没有改变，中位数、众数和平均数都发生了改变.【详解】由题可知，中位数和众数、平均数都有变化.本次和上次的月考成绩相比，成绩和平均数都增加了50，所以2)n x x -（没有改变，根据方差公式222181[()()]8S x x x x =-++-L 可知方差不变.故选：A【点睛】本题主要考查样本的数字特征，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．如图，平面α与平面β相交于BC ，AB α⊂，CD β⊂，点A BC ∉，点D BC ∉，则下列叙述错误的是（）A ．直线AD 与BC 异面B ．过AD 只有唯一平面与BC 平行C ．过点D 只能作唯一平面与BC 垂直D ．过AD 一定能作一平面与BC 垂直【答案】D【解析】【分析】根据异面直线的判定定理、定义和性质，结合线面垂直的关系，对选项中的命题判断.【详解】A.假设直线AD 与BC 共面，则A ，D ，B ，C 共面，则AB ，CD 共面，与AB α⊂，CD β⊂矛盾，故正确.B. 根据异面直线的性质知，过AD 只有唯一平面与BC 平行，故正确.C. 根据过一点有且只有一个平面与已知直线垂直知，故正确.D. 根据异面直线的性质知，过AD 不一定能作一平面与BC 垂直，故错误.故选：D【点睛】本题主要考查异面直线的定义，性质以及线面关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题. 11．设复数z 满足i (i i 2i z z -=-为虚数单位)，则z =（） A ．13i 22- B ．13i 22+ C ．13i 22-- D ．13i 22-+ 【答案】B【解析】【分析】易得2i 1iz +=-，分子分母同乘以分母的共轭复数即可. 【详解】由已知，i i 2z z -=+，所以2i (2i)(1i)13i 13i 1i 2222z ++++====+-. 故选：B.【点睛】本题考查复数的乘法、除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 12．已知向量()1,2a =-v ，(),1b x x =-v ，若()2//b a a -v v v ，则x =（）A ．13B ．23C ．1D ．3【答案】A【解析】【分析】利用平面向量平行的坐标条件得到参数x 的值.【详解】由题意得，()22,5b a x x -=+-v v ，()2//b a a v v Q v -， ()2250x x ∴++-=，解得13x =. 故选A.【点睛】本题考查向量平行定理，考查向量的坐标运算，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

浙江省诸暨市高三5月适应性考试数学试题

浙江省诸暨市高三5月适应性考试数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：1．已知集合}2,1{=P ，}3,2{=Q ，全集}3,2,1{=U ，则)(Q P C U 等于（）A ．}3{B ．}3,2{C ．}2{D ．}3,1{2．已知i R b a bi ai i ,,()1)(43(∈=++是虚数单位)，则=a （）A ．43-B ．43C ．34D ．34- 3．已知圆422=+y x 与直线0=-+t y x ，则“22=t ”是“直线与圆相切”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知)(x f 是定义域为R 的奇函数，且)4()(x f x f -=，当02<≤-x 时，||log )(3x x f =，则=)311(f （）A ．11log 13+-B ．11log 13-C ．1D ．1-5．已知1|cos |,1|sin |,,22≤+≤-∈θθb a R b a ，则（）A ．b a +的取值范围是]3,1[-B ．b a +的取值范围是]1,3[-C ．b a -的取值范围是]3,1[-D ．b a -的取值范围是]1,3[-6．等差数列}{n a 的前n 项和是n S ，公差d 不等于零，若632,,a a a 成等比，则（）A ．0,031>>dS d aB ．0,031<>dS d aC ．0,031><dS d aD ．0,031<<dS d a 7．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线截椭圆1422=+y x 所得弦长为334，则此双曲线的离心率为（）A ．2B ．3C ．26 D ．6是（）A ．),1(+∞-B ．)3,1(-C ．),0(+∞D ．)3,0(9．甲盒子装有3个红球，1个黄球，乙盒中装有1个红球，3个黄球，同时从甲乙两盒中取出)3,2,1(=i i 个球交换，分别记甲乙两个盒子中红球个数的数学期望为)(),(21i E i E ，则以下结论错误的是（）A ．)1()1(21E E >B ．)2()2(21E E =C ．4)1()1(21=+E ED ．)1()3(21E E <10．如图，矩形ABCD 中，3,1==Bc Ab ，E 是线段BC （不含点C ）上一动点，把ABE ∆沿AE 折起得到E AB '∆，使得平面⊥AC B '平面ADC ，分别记A B '，E B '与平面ADC 所成角为βα,，平面AE B '与平面ADC 所成锐角为θ，则（）A ．βαθ>>B ．αθ2>C ．βθ2>D ．αθtan 2tan >第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤--≤-+020202x y x y x ，则目标函数y x z +=3的最大值等于 ,最小值等于．12．某几何体的三视图如图所示（单位为cm ），则该几何体的表面积为 2cm ，体积为 3cm.13．ABC ∆中，角C B A ,,所对边分别是c b a ,,，已知C B A sin 45sin sin =+，且ABC ∆的周长为9，则 =c ；若ABC ∆的面积等于C sin 3，则=C cos ．14．已知0144555)12()12()12(a x a x a x a x +++++++= ，则=5a ，=4a ．15．已知+∈R b a ,，且9)2)((=++++b a b a b a ，则b a 43+的最小值等于．16．某翻译处有8名翻译，其中有小张等3名英语翻译，小李等3名日语翻译，另外2名既能翻译英语又能翻译日语，现需选取5名翻译参加翻译工作，3名翻译英语，2名翻译日语，且小张与小李恰有1人选中，则有种不同选取方法.17．已知)(,,c a R c b a >∈+，关于x 的方程cx b ax x =+-||2恰有三个不等实根，且函数=)(x f cx b ax x ++-||2的最小值是2c ，则=ca ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．已知函数1)3sin(sin 4)(-+=πx x x f . （1）求)65(πf 的值；（2）设A 是ABC ∆中的最小角，58)(=A f ，求)4(π+A f 的值.19．如图，四棱锥ABCD P -中，平面⊥PAD 平面ABCD ，PAD ∆是边长为2的等边三角形，底面ABCD 是直角梯形，2π=∠=∠CDA BAD ，222==CD AB ，E 是CD 的中点.（1）证明：PB AE ⊥；（2）设F 是棱PB 上的点，//EF 平面PAD ，求EF 与平面PAB 所成角的正弦值.20. 已知函数x e x x f -=1)(，c bx ax x g ++=2)(，)()()(x g x f x h -=. （1）当1,2,21=-==c b a 时，求函数)(x h 的极值；（2）若1-=a ，且函数)(x f 与)(x g 在0=x 处的切线重合，求证：0)(≥x h 恒成立.21．已知F 是抛物线)0(2:2>=p py x C 的焦点，过F 的直线交抛物线C 于不同两点),(),,(2211y x B y x A ，且121-=x x .（1）求抛物线C 的方程；（2）过点B 作x 轴的垂线交直线AO （O 是原点）于D ，过A 作直线DF 的垂线与抛物线C 的另一交点为E ，AE 中点为G .①求点D 的纵坐标； ②求||||DG GB 的取值范围.22．已知数列}{n a 的各项都小于1，211=a ，)(2*2121N n a a a a n n n n ∈-=-++. （1）求证：)(*1N n a a n n ∈<+；（2）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，求证：432143<<-n n S ；（3）记nn n a a b 211-=+，求证：32≤n b .试卷答案一、选择题1-5：DBACC 6-10：CBADD二、填空题11．6,10- 12．64+，32 13．4，41- 14．325,321- 15．126- 16．21 17．5 三、解答题18．解：（1）167sin )21(41)365sin(65sin 4)65(-⋅⋅=-+=πππππf21)21(2-=--⋅=（2）1)cos 23sin 21(sin 4)(-+=x x x x fx x x x x 2cos 2sin 31cos sin 32sin 22-=-+=)62sin(2π-=x]3,0(π∈A ，]2,6(62πππ-∈-A,54)62sin(,58)62sin(2)(=-=-=ππA A A f ]2,0(62ππ∈-A ∴)4(π+A f 56)62cos(2)622sin(2=-=-+=πππA A .19、解：（1）取AD 中点G ，连BG PG ,，面⊥PAD 平面ABCD ，AD PG ⊥，面 PAD 平面AD ABCD =，得⊥PG 平面ABCD∴PG AE ⊥又∵ABG DAE ∠=∠tan tan∴BG AE ⊥∴⊥AE 平面PBG ，∴PG AE ⊥（2）作AB FH //交PA 于H ，连DH//EF 面PAD ，面 FHDE 面DH PAD =∴DH EF //∴四边形FHDE 为平行四边形AB HF //AB HF 1=H PAAD AB ⊥，面⊥ABCD 面⇒PAD ⊥AB 面PAD作PA DK ⊥于K∴DK AB ⊥，PA DK ⊥，A AB PA = ，⊥DK 面PAB∴DHK ∠为所求线面角，133922133sin ===∠DH DK DHK . 20、（1）12211)(2-+--=x x e x x h x )11)(2(2)()1()('2--=+----=xx x x e x x e e x e x h 令0)('>x h 20<<⇒x∴)(x h 在)0,(-∞，),2(+∞上单调递减，在)2,0(上单调递增)(x h 极大值211)2(e h -=，)(x h 极小值0)0(=h （2）xe x xf 2)('-=，∴2)0('-=f 即切线为12+-=x yb x x g +-=2)('，∴2)0('-==b g 且)(x g 过)1,0(∴12)(2+--=x x x g 一方面先证：122+-≥-x ex x ，另一方面：12122+--≥+-x x x 恒成立令=)(x m 122-+-x e x x ，x x ex e x m 22)('-+= 令22)(-+=x e x n x ，为R 上的单调递增函数，0)0(=n ，∴令0)('>x m 得0>x∴)(x m 在),0(+∞递增，在)0,(-∞递减，0)0()(=≥m x m ∴122+-≥-x e x x∴≥-x ex 212122+--≥+-x x x ，即0)(≥x h . 21、（1）设AB ：2p kx y +=， ⎪⎨⎧+=p kx y 2)2(22p kx p x +=⇒∴0222=--p pkx x∴1221-=-=p x x ，∴1=p∴y x 22=（2）直线OA ：x x x x y y 2111== ∴)2,(212x x x D 即)21,(2-x D ， ∴21x k DF -=，2x k AE = 即直线AE ：)(121x x x y y -=-⎪⎩⎪⎨⎧=-=-2)(2121x y x x x y y 012122=---⇒y x x x ∴122x x x E -=∴)12,(122++y y x G ,∴D B G ,,三点共线2321||||1212++++=y y y y GD GB ∵4121=y y )2,1(21112212141212||||111111∈+-=+-=+++-=y y y y y y GD GB ∴)1,21(||||∈GD GB . 22、（1）先证：0>n a02111>--=++n n n n a a a a ，n n a a ,1+同号，211=a 0>，所以0>n a 11-a a第页 11 （2）n n n n n n n a a a a a a a +-=-=-++2222121=n S 432)2(2121121121+-=---++++n n n n a a a a a a 由（1）得022211<-=-++n n n n a a a a 所以=<-≤n n n n S a 2143,21432121+-++n n a a 43< （3）由412121222-=-=-a a a a 得2322-=a ，从而321=b )1()2(11n n n n a a a a -=-++n n n n a a a a -+=+-⇒++12212111⇒11211221++---=-=n n n n n a a a a b 下证}{n b 为单调递减数列∵=-+n n b b 1----++212112n n a a 12112+---n n a a )2)(2()1)(1()(2122111++++++---+----=n n n n n n n n a a a a a a a a 我们先证}{1+-n n a a 为单调递减数列11121221)(1)(1++++++++-=+-<+-=-n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a 所以0)2)(2()1)(1()(2122111<---+----++++++n n n n n n n n a a a a a a a a ∴}{n b 为单调递减数列，321=≤b b n。

浙江省绍兴市2021届高三下学期4月适应性考试(二模) 数学 Word版含答案

考生注意：1.答题前，请务必将自己的学校、班级、姓名、座位号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。

2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 P(A ＋B)＝P(A)＋P(B)如果事件A ，B 相互独立，那么 P(A·B)＝P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 P n (k)＝C n k p k (1－p)n －k (k ＝0，1，2，…，n)台体的体积公式 121V (S S )h 3= 其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式 V ＝Sh其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式 V ＝13Sh 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式 S ＝4πR 2球的体积公式 V ＝43πR 3 其中R 表示球的半径第I 卷(共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A＝{x|x≤0，或x≥2}，B＝{x|－1<x<1}，则A∩B＝A.(－1，＋∞)B.(－1，1)C.(－1，0]D.[0，1)2.已知i是虚数单位，若z＝－3＋12i，则z2＝A.132i-+ B.132i-- C.132i+ D.132i-3.若实数x，y满足约束条件1230xx yx y≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则2x＋y的最大值是A.73B.3C.72D.44.函数f(x)＝log a(x＋ax)(a>1)的图象可能是5.某几何体由四棱锥和半个圆柱组合而成，其三视图如图所示，则该几何体的体积是A.8＋πB.83＋π C.8＋3πD.83π+6.设m∈R，则“1≤m≤2”是“直线l：x＋y－m＝0和圆C：x2＋y2－2x－4y＋m＋2＝0有公共点”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知无穷数列{a n}是各项均为正数且公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，n∈N*，则A.数列nSn⎧⎫⎨⎬⎩⎭不可能是等差数列 B.数列n2Sn⎧⎫⎨⎬⎩⎭不可能是等差数列C.数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不可能是等差数列D.数列n n a S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不可能是等差数列8.已知a>0，b>0，a 2＋b 2－ab ＝3，|a 2－b 2|≤3，则a ＋b 的最小值是B.3D.49.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>和点M(22a b a+，0)。

浙江省绍兴市诸暨市2021届高三下学期5月适应性考试数学答案

浙江省绍兴市诸暨市2021届高三下学期5月适应性考试数学试题参考答案1．D 【思路点拨】由题可得集合A 可以是{}1,2，{}1,2,3. 【解析】{1,2}{1,2,3}A ⊆⊆，∴集合A 可以是{}1,2，{}1,2,3.故选：D.2．B 【思路点拨】根据指数和对数的运算法则进行运算即可求得结果.【解析】A 中，()22lg lg lg =2lg lg x y x y x y ⋅=++，故A 不正确；B 中，(1lg lg lg lg 2x x x y =+=+，故B 正确；C 中，ln ln ln ln x y x y e x e e y +=⋅=，故C 不正确；D 中，()ln ln ln ln ln yx y x y e e x ⋅==，故D 不正确.故选：B.3．A 【思路点拨】根据复数的运算及充分必要条件的判断即可求得结果. 【解析】∵z i =-，∴()221z i =-=-； ∵21z =-，∴z i =±.故“z i =-”是“21z =-”的充分而非必要条件. 故选：A.4．D 【思路点拨】先判断()y f x =的奇偶性，排除A 、B ；再取特殊值，排除C ，即可得到正确答案.【解析】()21sin ()x xx x f x e e --=+定义域为R.∵()()()()()221sin 1sin (-)==xxx xx x x x f x f x e ee e------=--++，∴()y f x =为奇函数，其图像关于原点对称，排除A 、B ；对于CD ，令()0f x =，解得：1231,0,1x x x =-==，即()y f x =有三个零点，如图示，取12x =，有21111222211311sin sin 22142()2f e e e e --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==++， ∵112201sin 0,20,e e -⎛⎫>>⎪⎝⎭> ，∴1()02f >.排除C ；故选：D【名师指导】思路点睛：函数图像的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图像．5．B 【思路点拨】将点(2,)a c 代入双曲线的渐近线方程即可求得,b c 之间的关系，再根据在双曲线中222+=a b c 即可求得,a c 之间的关系，进而可求得该双曲线的离心率.【解析】∵22221(,0)x y a b a b-=>的渐近线方程为b y x a =±，而点(2,)a c 在第一象限， ∴22bc a b a=⋅=，又∵222+=a b c ，∴2222c a c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得2243c a =， ∴双曲线的离心率e =故选：B.6．A 【思路点拨】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义即可求解．【解析】画出约束条件的可行域，如图示：作出直线2y x t =-+，显然当直线经过阴影部分，直线的纵截距大于零，所以|2|z x y =+可以转化为2z x y =+，由图示可知，经过点()1,1A 时min 211=3z =⨯+，无最大值. 故选：A .【名师指导】简单线性规划问题的解题步骤： (1)画出可行域;(2)作出目标函数所表示的某条直线（通常选作过原点的直线），移动此直线并观察此直线经过可行域的哪个（些）点时，函数有最大（小）值； (3)求（写）出最优解和相应的最大（小）值； (4)下结论．7．C 【思路点拨】根据离散型随机变量分布列的性质，以及离散型随机变量的期望和方差公式，根据题中所给的分布列，得到相应的结果，逐项分析，从而得到答案. 【解析】由分布列的性质可知112m n ++=，所以有12m n +=，所以A 项正确； (0)(2)P P n ξξ>===，1131(0)()()222P P P n ηηη>==+==+，因为,0m n >，所以12n n +>，所以B 项正确；1()(1)0222E m n n m ξ=-⋅+⋅+⋅=-，511135131()2222224E m n m n η=-⋅+⋅+⋅=-++，513139139115()()2()622422422242E E n m m n m n m m m ξη-=-+--=--=---=-，因为102m <<，所以5516222m -<-<，所以()()E E ξη-不一定小于0，所以()()E E ξη<不一定成立，所以C 项错误；2221()(21)(20)(22)2D m m n m n n m n ξ=-+++-+-+-+-322233366442m m n m mn n n n =--+-++22255151513()(6)(6)(6)2222222D m m m n m η=-++--+--322936181836108812m m m m n mn n =+-+-++，且12m n +=，所以有32322399()()3546773911422D D m m n n n m n mn ξη-=--+---+- 327015313744m m m =-+-，令32()7015313744h m m m m =-+-，所以2'()210306137h m m m =-+，∆<0，所以'()0h m >，所以()h m 在1(0,)2上单调递增，max 1111()()701531374402842h m h ==⨯-⨯+⨯-<，所以()()D D ξη< 所以D 项正确；故选：C.【名师指导】关键点点睛：该题考查的是有关离散型随机变量分布列的问题，正确解题的关键是理解离散型随机变量分布列的性质，以及熟练掌握其期望和方差公式.8．C 【思路点拨】设P 点在正方形ABCD 内的射影为Q ，作PE BC ⊥，得PE PD =；若A 成立，由对称性可知Q 与正方形ABCD 中心O 重合，此时不满足PE PD =，A 错误；若B 成立，由αγ=知Q 在AC 上，得到PB PD PE =>，B 错误；若C 成立，由αβ=知Q 在,BC AD 中点,F G 连线上，由βγ<知Q OG ∈，可知存在满足PE PD =的Q 点，C 正确；若D 成立，由βγ=知Q 在BD 上，由αβ>知Q OB ∈，此时不存在满足PE PD =的Q点，D 错误.【解析】设P 点在正方形ABCD 内的射影为Q ，连接,AC BD ，且ACBD O =，作PE BC ⊥，垂足为E ，则PE PD =，对于A ，若αγ=，由对称性可知，Q 点在AC 上；同理，当βγ=时，Q 点在BD 上；则ACBD Q =，即Q 点与O 点重合，此时PB PD =，又PB PE >，PD PE ∴>，与PD PE =矛盾，A 错误；对于B ，若αγ=，则Q 点在AC 上，此时PB PD =，又PB PE >，PD PE ∴>，与PD PE =矛盾，B 错误；对于C ，若αβ=，则Q 点在,BC AD 中点,F G 连线上，如下图所示：由对称性可知：PB PC =，此时PF BC ⊥，即E 与F 重合，PF PD =；βγ<，Q ∴在线段OG 上，设正方形ABCD 边长为a ，则当38OG a =时，58QF QD a ==，使得PF PD =成立，C 正确；对于D ，若βγ=，则Q 在BD 上，如下图所示：αβ>，则Q 在线段OB 上，此时不存在点Q 满足QE ED =，使得PE PD =，D 错误.故选：C.【名师指导】关键点点睛：本题考查立体几何中二面角相关问题的求解，解题关键是能够根据二面角的大小关系和对称性确定点P 在底面ABCD 上的投影点Q 的位置，结合Q 点位置来进行分析.9．B 【思路点拨】根据题意构造函数()xxf x e e -=+，解不等式可得到函数的单调性，进而得到当n a 距离2最近时，n b 取得最小值，根据5b 为最小值可得5a 距离2最近，建立绝对值不等式求解即可.【解析】令2n a x -=，构造函数()xxf x e e -=+，()21x xxxe f x e ee--'=-=， ∴当0x >时，0f x ，()f x 单调递增，当0x <时，0f x，()f x 单调递减；则对于22n n a a n b ee --=+，当20n a ->，即2n a >时，n b 单调递增，当20n a -<，即2n a <时，n b 单调递减，所以当n a 距离2最近时，n b 取得最小值，根据题意知，5b 为最小值，所以5a 距离2最近，而等差数列{}n a 满足0n a >，11a =，所以0d >，所以{}n a 是递增数列，∴54115611224232224252a a a a a d a a d d a d ⎧⎧--+-+-⎪⎪⇒⎨≤≤≤⎨-≤-+-+-⎪⎪⎩⎩，解得2729d d ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩. 故选：B.【名师指导】本题的核心是利用函数导数思维根据n b 的表达式求出当n a 距离2最近时，n b 取得最小值，根据题意可得5a 距离2最近，再根据已知可得{}n a 是递增数列，且两个数值之间的距离问题可以使用绝对值思维，所以可得不等式组，解不等式组即可.10．D 【思路点拨】根据题意，可知函数32()(0)f x ax bx cx d a b =+++<<在R 上单调递增，即'()0f x ≥在R 上恒成立，得到不等式组，利用条件，对所求式子进行放缩，以bt a=为变量建立函数关系式，利用构造函数和基本不等式求出其最小值. 【解析】32()(0)f x ax bx cx d a b =+++<<，2'()32(0)f x ax bx c a b =++<<，因为函数32()(0)f x ax bx cx d a b =+++<<没有极值点，所以函数()f x 在R 上单调递增，所以'()0f x ≥在R 上恒成立，则有204120a b b ac <<⎧⎨∆=-≤⎩，即203a b b ac <<⎧⎨≤⎩，所以221()11()()3bb a a b a a b b a bc a ab ac a a---=≤++++++，令bt a =，因为0a b <<，所以1t >，所以221113317(1)5(1)71(1)531b a t t a bc t t t t t t ---≤=⋅=⋅++-+-+++-++-35≤==，当且仅当1t =故选：D.【名师指导】关键点点睛：该题考查的是有关利用导数研究三次函数的问题，正确解题的关键对函数无极值点这个条件的正确转化，以及会利用基本不等式求最值. 11．2 45【思路点拨】首先根据三角函数的定义可得角α的三个三角函数值，进而可得结果.【解析】∵角α的终边过点(1,2)，∴2tan 21α==，sin α===cos 5α===，∴4sin 22sin cos 25ααα===. 故答案为：2；45. 12．20 32 【思路点拨】变形为[]66260126(2)(1)(1)(1)1(1)x x a a x a x a x ++=+++=+++++，利用通项公式求3a ，利用赋值法求0246a a a a +++.【解析】因为[]66260126(2)(1)(1)(1)1(1)x x a a x a x a x ++=+++=+++++，所以33620a C ==，令11x +=，得02661264a a a a =+++=+，令11+=-x ，得01260a a a a --+-=，由两式得024632a a a a +++=，故答案为：20,32 13．1-83 【思路点拨】由214y x =，求得12y x '=，则()2k y '=-，写出在A 点处和B 点处抛物线C 的切线方程，求得交点，再求得阿基米德三角形面积，再根据弦与抛物线所围成的封闭图形的面积与阿基米德三角形面积的关系求解. 【解析】因为214y x =，所以12y x '=，所以()'|12212k y x ==-=⨯-=-，所以在A 点处抛物线C 的切线的斜率为-1，切线方程为：()12y x -=-+，即1y x =--，同理在B 点处抛物线C D 切线方程1y x =-，由11y x y x =--⎧⎨=-⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩，所以两切线的交点为()0,1P -，所以阿基米德三角形面积14242S =⨯⨯=，所以弦AB 与抛物线所围成的封闭图形的面积为128424233S =⨯⨯=⨯=，故答案为：-1，8314．33+ 4323π+【思路点拨】侧视图的下面是一个矩形，上面是一个直角三角形，根据三视图的特征可得边长，进而求出侧视图的面积；根据根据三视图得其直观图为组合体，上面是底面是16的圆锥，下面是直四棱柱，根据体积的计算方法即可求得结果. 【解析】根据三视图得其直观图为组合体，在俯视图平行四边形中，如图所示，因为内部图是扇形，所以平行四边形ABCD 邻边相等，所以平行四边形ABCD 是菱形，设AB 中点为E ，由主视图可得DE AB ⊥，所以三角形ABD 是正三角形，所以3DAB π∠=，所以该几何体的上面是16圆锥，圆锥的底面半径是2，高是23底面是16的圆锥，下面是直四棱柱，如图所示，根据图中的数据可得侧视图的面积为3311222333222⨯⨯+⨯⨯= 该几何体的体积为231143222232363π⨯⨯⨯⨯⨯=. 故答案为：334323.15．2-或210-【思路点拨】根据题意得以AB 为直径的圆与圆C 相切，根据圆与圆的位置关系可得结果.【解析】设以AB 为直径的圆为圆D ， ∵(,0)A t ，(4,3)+B t ，∴()()22235:222D x t y ⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵圆22:1C x y +=上恰好有一个点P 满足PA PB ⊥， ∴圆()()22235:222D x t y ⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与圆22:1C x y +=相切.①()22352122t ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，解得210t =-②()22352122t ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，解得2t =-. 故答案为：2-或210-.【名师指导】判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法.两圆相切注意讨论内切外切两种情况.16．31【思路点拨】用列举法列举符合题意的，去掉||2i j ->，再相加即可.【解析】||2i j ->的所有可能包括：1,4,5i j ==；2,5i j ==；4,1i j ==；5,1,2i j ==. （1）盒1放球1时，剩下的盒子依次记为盒2、盒3、盒4、盒5，剩下四球的所有排列：2345，3245，4235，2354，3254，4253，2435，3425，4325，2453，2534，3524，4523，2543（其中球5不能放在盒2，不用列举.而3452，4352，3542，4532满足||2i j ->，应舍去）共14种；（2）盒1放球2时，剩下的盒子依次记为盒2、盒3、盒4、盒5，剩下四球的所有排列： 1345，3145，4135，1354，3154，4153，1435，1453，1534，1543（其中球5不能放在盒2，不用列举.而3415，4315，3451，4351，3514，4513，3541，4531满足||2i j ->，应舍去）共10种；（3）盒1放球3时，剩下的盒子依次记为盒2、盒3、盒4、盒5，剩下四球的所有排列： 1245，2145，4125，1254，2154，1425，1524，（其中球5不能放在盒2，不用列举.而4152，2415，4215，1452，2454，4251，2514，4512，1542，5241，4521满足||2i j ->，应舍去）共7种；所以共有14+10+7=31种. 故答案为：31.【名师指导】计数问题解题要先区分：1、先分步还是先分类；2、是排列还是组合．17建立平面直角坐标系，()cos sin ,a b c t θθ+⋅=+利用导函数求最值即可.【解析】把平面向量,,a b c 请进平面直角坐标系，设()1,0a =，()cos ,sin c θθ=，又0a b ⋅=，可设()0,,b t =∵cos ||a c b t θ⋅===，∴cos t θ=，()cos sin ,a b c t θθ+⋅=+要使()a b c +⋅的最大，可令0,,02t πθ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭， ∴()cos sin cos cos sin a b c t θθθθθ+⋅=+=+，令()cos cos sin fθθθθ=+()222sin sin cos 2sin sin 1f θθθθθθ'=--+=--+()()1sin 12sin θθ=+-∴()cos cos sin fθθθθ=+的增区间为0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭∴()max 6ff πθ⎛⎫===⎪⎝⎭【名师指导】关键点点睛：()cos cos sin fθθθθ=+处理函数的最值方法有二，其一：利用导数大法，其二：利用四元均值不等式亦可，()cos cos sin f θθθθ=+===18．【思路点拨】（1）由正弦定理求出sin ABD ∠即可求出面积；（2）在,ABD CBD 中分别利用余弦定理表示出BD ，可得出2sin 4t A π⎛⎫=+⎪⎝⎭求出最值.【解析】解：（1）由正弦定理可得sin sin 12ADB ABD AD AB ∠∠=⋅==∴,24ABD BAD ππ∠=∠=∴111sin 12422ABDSAB AD π=⋅⋅⋅=⋅= （2）,ABD CBD 中，由余弦定理得：2212cos BD t t C =+-⋅，221222cos BD t t A =+-⋅，∴22cos 2cos 22cos 2cos 4t A C A A π⎛⎫=-=-+⎪⎝⎭∴2sin 24t A π⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭∴,42A C ππ==时，t 的最大值是2．【名师指导】关键点睛：本题考查三角形面积的求解，考查余弦定理的应用，解题的关键是在,ABD CBD 中分别利用余弦定理表示出BD .19．【思路点拨】（1）取AB 中D 点，根据正三角形性质证明AB ⊥面1A DC ，从而证明1AB AC ⊥. （2）法一：作CH 垂直1A D 于H ，1A DC ∠为二面角1A AB C 的平面角，然后证明CH ⊥面11ABB A ，则CAH ∠为AC 与平面11ABB A 所成角的平面角，求得sin CAH ∠即可. 法二：建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，利用向量间的夹角求得线面夹角的正弦值.【解析】（1）证明：取AB 中D 点连接11,,A D CD A B ， ∴正1A AB 和正ABC 中：∴11,,AB A D AB CD A D CB D ⊥⊥⋂=， AB ∴⊥面1A DC ，∴1AB AC ⊥（2）法一：作CH 垂直1A D 于H ，连AH ，由AB ⊥面1A DC 可得1A DC ∠为二面角1A AB C 的平面角，∴160A DC ∠=︒，AB ⊥面1A DC ，CH ⊂面1A DC AB CH ⇒⊥，又1CH A D ⊥，∴CH ⊥面11ABB A ，∴CAH ∠为AC 与平面11ABB A 所成角的平面角，133sin ,2sin 24CH CH DC A DC AC CAH AC =⋅∠==⇒∠==，∵11//AC AC ，∴11AC 与平面11ABBA 所成角的正弦值为34.法二：建立如图以为坐标原点的空间直角坐标系，则：(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),3,0)D A B C -， (0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),3,0)D A B C -，由AB ⊥面1A DC 可得1A DC ∠为二面角1A AB C 的平面角，∴1133600,22A DC A ⎛⎫∠=︒⇒ ⎪⎝⎭，设面11ABB A 的法向量为n (x,y,z)→=，∴1330330)(,,)0200(1,0,0)(,,)0DA n z x y z DB n x x y z ⎧⎧⋅=+=⋅=⎪⎪⇒⇒⎨⎨⋅==⎪⎩⎪⎪⋅=⎩⎩，∴1),n AC →→=-=，又∵11//AC AC ，∴1)3sin 224||||AC nAC n θ→→→→⋅⋅-===⨯⋅.【名师指导】方法点睛：求线面夹角由两种方法：几何法需要作出线面夹角的平面角，然后解三角形求得夹角的三角函数值；建系法，通过建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量与平面的法向量，把问题转化为向量间的夹角来求解.20．【思路点拨】（1）可得11n n a a n +-=+，由累加法可求出n a ，再利用裂项相消法即可求出n S ；（2）由题可得数列{}2n a n ++是以4为首项，2为公比的等比数列，可得122n n a n +=--，则可得12n nb ≤，即可证明. 【解析】解（1）11,1n n a a n λ+=-=+，()()()121321(1)1232n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=++++=12112(1)1n n b a n n n n ⎛⎫===- ⎪++⎝⎭， ∴1111122122311n n S n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪-+⎝⎭ （2）12,21n n a a n λ+==++，则()1322n n a n a n +++=++，即1322n n a n a n +++=++，∴数列{}2n a n ++是以4为首项，2为公比的等比数列，112422n n n a n -+∴++=⨯=，122n n a n +∴=--()11122222n n n n b n n +==--+--，∵2n ≥时，1222n nnn b ≥+⇒≤， ∴12231111222n n nS b b b =+++≤++++1111423131122212n n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+=-<-.【名师指导】关键点睛：解题的关键是得出数列{}2n a n ++是以4为首项，2为公比的等比数列，推出12n nb ≤. 21．【思路点拨】（1）根据椭圆上的点及离心率求出,a b 即可得到椭圆方程；（2）①根据1214k k ⋅=-，由轨迹方程的求法计算即可；②联立方程，求出||AB ，由点到直线距离求d ，利用面积公式即可求解.【解析】（1）2222222314431114b e a a b a b ⎧=-=⎪⎧=⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+=⎪⎩，∴椭圆C 的方程为2214x y +=（2）①设()00,P x y ，过点P 直线方程设为()00y y k x x -=-由()002214y kx kx y x y ⎧=--⎪⎨+=⎪⎩ 消元得：22200001()2()()104k x k kx y x kx y +--+--= 由直线与椭圆相切()()()2222000041410kkx y k kx y ⎡⎤⇒∆=--+--=⎣⎦化简得：()22200004210x k x y k y -++-=∴2220120020114844y k k x y x -==-⇒+=-， ∴点轨迹方程为2248(2)x y x +=≠±． ②设()()1122,,,A x y B x y ，则11:14x x PA y y +=，22:14x xPB y y +=因为,PA PB 过点()00,P x y ，∴201020204444x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩，∴AB 方程为0044x x y y +=由002200224422044x x y y x x x y x y +=⎧⇒-+-=⎨+=⎩， 222000884x y y ∆=-+=∴||AB d ===∴1||12S AB d =⋅=， ∴PAB △的面积为定值．【名师指导】关键点点睛：根据弦长公式及点到直线的距离，由面积公式化简即可求解，属于中档题.22．【思路点拨】（1）首先求出函数的导函数，再通过讨论a 的范围解不等式，进而得到结果；（2）①通过讨论a 的范围，找到函数()g x 的单调性，再根据极值点是否满足题意，得到a 的范围；②首先根据()g x 的极值点得到a 与1x 的关系，从而消去1()g x 中的参数a ，建立关于1x 的关系式，构造函数，通过求导讨论函数的单调性得到函数的最大值，即得1()g x 的最大值. 【解析】（1）()1a x af x x x-'=-=，0x >，若0a ≤，则()0f x '>恒成立，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增．若0a >，则当(0,)x a ∈时，()0f x '<；当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>， ∴()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；（2）①()ln 1()g x x a x f x -'=-=，且(1)(1)0g f '== 由（1）得：i ）若0a ≤，则()f x 在(0,)+∞上单调递增，∴(0,1)x ∈时，()()(1)0g x f x f <'==，()g x 单调递减，(1,)x ∈+∞时，()()(1)0g x f x f >'==，()g x 单调递增，∴(1)g 为()g x 的极小值，满足条件；ii ）若0a >，则()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，当01a <<时，(,1)x a ∈时，()()(1)0g x f x f <'==，()g x 单调递减，(1,)x ∈+∞时，()()(1)0g x f x f >'==，()g x 单调递增，∴(1)g 为()g x 的极小值，满足条件；当1a ≥时，(0,1)x ∈时，()()(1)0g x f x f >'==，()g x 单调递增，不满足条件；综上所述：1a <；②()111111ln 10ln x g x x a x a x -=--='⇒=∴()22211111111111ln (1)22ln x x g x x ax x a x x x -=-+-=-+设221()2ln x xh x x x -=-+，1x >，22(ln )(21)ln 1()(ln )x x x x x h x x -+-='-+，设2()(ln )(21)ln (1)m x x x x x x =-+---，则21()(ln )1m x x x--'=+，1104m =-+>'，1()110m e e '=--+<，又∵222ln 112ln ()0x x xm x x x x -=-+='='只有一个实根， ∴存在唯一一个0)x e ∈，使得()00m x '=，∴()01,x x ∈时，()0()m x m x >⇒'单调递增， ∴()0,x x ∈+∞时，()0()m x m x <⇒'单调递减. 又(1)0,()0m m e ==，∴(1,)x e ∈时，()0()0m x h x '>⇒>，()h x 单调递增，(,)x e ∈+∞时，()0()0m x h x '<⇒<，()h x 单调递减，∴2max 1()()2h x h e e e ==-，即()1g x 的最大值为212e e -.【名师指导】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用.。

浙江省绍兴市2021届新高考第一次适应性考试数学试题含解析

浙江省绍兴市2021届新⾼考第⼀次适应性考试数学试题含解析浙江省绍兴市2021届新⾼考第⼀次适应性考试数学试题⼀、选择题：本题共12⼩题，每⼩题5分，共60分。

在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的。

1．盒中装有形状、⼤⼩完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则⾄少有⼀张有奖的概率为( )A ．12B ．35C ．710D ．45【答案】C【解析】【分析】先计算出总的基本事件的个数，再计算出两张都没获奖的个数，根据古典概型的概率，求出两张都没有奖的概率，由对⽴事件的概率关系，即可求解.【详解】从5张“刮刮卡”中随机取出2张，共有2510C =种情况，2张均没有奖的情况有233C =（种），故所求概率为3711010-=. 故选:C.【点睛】本题考查古典概型的概率、对⽴事件的概率关系，意在考查数学建模、数学计算能⼒，属于基础题.2．若x 、y 满⾜约束条件220100x y x y y --≤??-+≥??≤?，则32z x y =+的最⼤值为（）A ．5B ．9C ．6D ．12【答案】C【解析】【分析】作出不等式组所表⽰的可⾏域，平移直线32z x y =+，找出直线在y 轴上的截距最⼤时对应的最优解，代⼊⽬标函数计算即可.【详解】作出满⾜约束条件220100x y x y y --≤??-+≥??≤?的可⾏域如图阴影部分（包括边界）所⽰．由32z x y =+，得322z y x =-+，平移直线322z y x =-+，当直线322z y x =-+经过点()2,0时，该直线在y 轴上的截距最⼤，此时z 取最⼤值，即max 32206z =?+?=.故选：C.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性⽬标函数的最值，⼀般利⽤平移直线的⽅法找到最优解，考查数形结合思想的应⽤，属于基础题.3．已知α，β表⽰两个不同的平⾯，l 为α内的⼀条直线，则“α∥β是“l ∥β”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：利⽤⾯⾯平⾏和线⾯平⾏的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进⾏判断．解：根据题意，由于α，β表⽰两个不同的平⾯，l 为α内的⼀条直线，由于“α∥β，则根据⾯⾯平⾏的性质定理可知，则必然α中任何⼀条直线平⾏于另⼀个平⾯，条件可以推出结论，反之不成⽴，∴“α∥β是“l ∥β”的充分不必要条件．故选A ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平⾯与平⾯平⾏的判定．4．某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的体积为（）A ．23B ．13C ．43D ．56【答案】A【解析】【分析】利⽤已知条件画出⼏何体的直观图，然后求解⼏何体的体积．【详解】⼏何体的三视图的直观图如图所⽰，则该⼏何体的体积为：1211233=．故选：A ．【点睛】本题考查三视图求解⼏何体的体积，判断⼏何体的形状是解题的关键．5．设复数z 满⾜()117i z i +=-，则z 在复平⾯内的对应点位于（）A ．第⼀象限B ．第⼆象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】【分析】化简得到34z i =--，得到答案.【详解】 ()117i z i +=-，故()()()()1711768341112i i i i z i i i i -----====--++-，对应点在第三象限. 故选：C .【点睛】本题考查了复数的化简和对应象限，意在考查学⽣的计算能⼒.6．3本不同的语⽂书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（）A．12B．14C．5D．110【答案】D【解析】【分析】把5本书编号，然后⽤列举法列出所有基本事件．计数后可求得概率．【详解】3本不同的语⽂书编号为,,A B C，2本不同的数学书编号为,a b，从中任意取出2本，所有的可能为：,,,,,,,,,AB AC Aa Ab BC Ba Bb Ca Cb ab共10个，恰好都是数学书的只有ab⼀种，∴所求概率为110P=．故选：D.【点睛】本题考查古典概型，解题⽅法是列举法，⽤列举法写出所有的基本事件，然后计数计算概率．7．已知x，y满⾜不等式224xyx y tx y≥≥+≤+≤，且⽬标函数z＝9x+6y最⼤值的变化范围[20，22]，则t的取值范围（）A．[2，4] B．[4，6] C．[5，8] D．[6，7] 【答案】B【解析】【分析】作出可⾏域，对t进⾏分类讨论分析⽬标函数的最⼤值，即可求解.【详解】画出不等式组24xyx y≥≥+=所表⽰的可⾏域如图△AOB当t≤2时，可⾏域即为如图中的△OAM ，此时⽬标函数z ＝9x+6y 在A （2，0）取得最⼤值Z ＝18不符合题意t ＞2时可知⽬标函数Z ＝9x+6y 在224x y t x y +=??+=?的交点（82433t t --，）处取得最⼤值，此时Z ＝t+16 由题意可得，20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故选：B ．【点睛】此题考查线性规划，根据可⾏域结合⽬标函数的最⼤值的取值范围求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，关键在于熟练掌握截距型⽬标函数的最⼤值最优解的处理办法.8．2(1i i+=- ) A ．132i + B ．32i + C ．32i - D ．132i -+ 【答案】A【解析】【分析】直接利⽤复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】()()()()22122313131112222i i i i i i i i i i ++++++====+--+ 本题正确选项：A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．9．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线⽅程为2y x =，则实数a 的取值为（）A ．-2B ．-1C ．1D ．2 【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数，利⽤切线⽅程通过f′（0），求解即可；【详解】f （x ）的定义域为（﹣1，+∞），因为f′（x ）11x =-+a ，曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线⽅程为y ＝2x ，可得1﹣a ＝2，解得a ＝﹣1，故选：B ．【点睛】本题考查函数的导数的⼏何意义，切线⽅程的求法，考查计算能⼒．10．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >），以点P （,0b ）为圆⼼，a 为半径作圆P ，圆P 与双曲线C 的⼀条渐近线交于M ，N 两点，若90MPN∠=?，则C 的离⼼率为（）AB C D 【答案】A【解析】【分析】求出双曲线的⼀条渐近线⽅程，利⽤圆P 与双曲线C 的⼀条渐近线交于,M N 两点，且90MPN ∠=?，列出⽅程，求解离⼼率．【详解】不妨设双曲线C 的⼀条渐近线0bx ay -=与圆P 交于,M N ，因为90MPN ∠=?，所以圆⼼P 到0bx ay -=222b c ==，即2222c a -=，因为1c e a=>，所以解得e = 故选A ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应⽤，考查了转化思想以及计算能⼒，属于中档题．对于离⼼率求解问题，关键是建⽴关于,a c 的齐次⽅程，主要有两个思考⽅向，⼀⽅⾯，可以从⼏何的⾓度，结合曲线的⼏何性质以及题⽬中的⼏何关系建⽴⽅程；另⼀⽅⾯，可以从代数的⾓度，结合曲线⽅程的性质以及题⽬中的代数的关系建⽴⽅程.11．已知函数log ()a y x c =+（a ，c 是常数，其中0a >且1a ≠）的⼤致图象如图所⽰，下列关于a ，c 的表述正确的是（）A ．1a >，1c >B ．1a >，01c <<C ．01a <<，1c >D ．01a <<，01c <<【答案】D【解析】【分析】根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项.【详解】从题设中提供的图像可以看出()01,log 0,log 10a a a c c <<>+>，故得01,01c a <<<<，故选：D ．【点睛】本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征，本题属于基础题. 12．设i 是虚数单位，则()()2332i i +-=（）A ．125i +B ．66i -C ．5iD ．13【答案】A【解析】【分析】利⽤复数的乘法运算可求得结果.【详解】由复数的乘法法则得()()22332656125i i i i i +-=+-=+.【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查计算能⼒，属于基础题.⼆、填空题：本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分。

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2021届浙江省绍兴市诸暨市高三适应性考试数学试题第Ⅰ卷(选择题部分共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集[][][]0,3,0,2,1,3.U P Q ===则()U C P Q =(▲)A ．(2,3]()[)(]B.1,2 C.[0,1)D.0.12,32．已知i 是虚数单位，设复数33iz i i-=++则|z|=(▲) A ．22 B ．25 C ．42 D ．323．一个空间几何体的三视图如图所示，则其体积等于(▲)A ．6 B ．13C ．12D ．324．随机变量ζ的分布列如右图(),0,E ξ=若则()D ξ=(▲)A ．6B ．2C ．0D 65．设F 是双曲线221x y a b-=(a>0，b>0)的右焦点，以F 为端点作垂直于x 轴的射线，交双曲线的渐近线于A 点，交双曲线于B 点，若B 为AF 中点，则双曲线的离心率等于(▲)A 5B ．102C 3D 236.已知()(22log 42log 2a b ab +=，则a+b 的最小值是(▲)A ．2B 1 CD ．37．已知()2222,,11143a b a b a b ∈-++R 则“””是“的(▲)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 8.若函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[,]44ππ-上单调递增，则ω的取值范围是(▲) A.100,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B.20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ C.210,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭9．若不等式()|04sin |a x b x π⎛⎫--⋅+ ⎪⎝⎭．对x ∈[]0.2π恒成立，则sin(a+b)和sin(a-b)分别等于(▲)A ．;22B ．22- C ．22-D ．22--10．设数列{a n }满足：114,n a a +==*,,N n ⎥∈⎢⎣⎦其中[x]表示不超过实数x 的最大整数(例如[]3.1)3=则2020a 的个位数字是(▲)A ．3B ．5C ．7D ．9第Ⅱ卷(非选择题部分共110分)二、填空题：本题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．设实数x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则z x y =+的最大值为 ▲ ,最小值为 ▲ .12．已知()21,12,1x x f x x x a x -≤⎧=⎨-+>⎩若1,() 4.a f m ==且则m= ▲ ;若对任意的t>0．直线y=t 与函数()y f x =的图像都有两个交点，则实数a 的取值范围是 ▲ 。

13．已知4sin 5β=，β∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，且sin(α+β)=cos α，则cos β= ▲ 。

()tan αβ+= ▲ 。

4．在二项式621()x x -展开式中，常数项为 ▲ ；在621(1)x x-+的展开式中，常数项为 ▲ . 15．用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数abcde ，其中随机取一个五位数，满足条件||||||||6a b b c c d d e -+-+-+≤-的概率为 ▲ .16．已知,P M ABC ∆是所在平面内的两点，满足230PA PB PC ++=，直PC 线与AB 交于点(),12,D PM PA PB λλ=+-若M 在△PBD 内(不含边界)，则实数λ的取值范围是 ▲ .17．已知四面体ABCD 的所有棱长都相等，E ，F 分别是棱AC ，AD 上的点，满足12AE DF AC DA λλ⎛⎫==< ⎪⎝⎭，若EF 与平面BCD 所成角为4π，则λ= ▲ 。

三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18．(本题满分14分)已知ABC ∆中,sin 2sin .C A =点M 在线段AC 上.5222,2A A BM C M MC BM θ=∠=∠==.(1)求θ的大小; (2)求△ABC 的面积.19．(本题满分15分)四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长2的菱形,120,ADC AD ︒∠=的中点M 是顶点P 在底面ABCD 的射影，N 是PC 的中点.(1)求证：面MPB ⊥平面PBC ：(2)若MP=MC ，求面角B-MN-C 的余弦值.20．(本题满分15分)数列{a n }是公差大于零的等差数列，a 1=3，a 2，a 4，a 7成等比；数列{b n } 满足()3121232102103nn n a b a b a a b b n ⎛⎫++++=-+ ⎪⎝⎭.(1)求数列{a n }}的通项公式；()123222221111n n c a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭记，比较c n 与13n b (n ∈N *)的大小. 21．(本题满分15分)已知()1,1P 是抛物线C:2y ax =上的一点，过P 作互相垂直的直线PA ，PB ．与抛物线C 的另一交点分别是A ，B. (1)若直线AB 的斜率为12-，求AB 方程 (2)设()2,1,Q -当||4||QA QB =时，求△PAB 的面积 22．(本题满分15分)已知函数21()ln 2f x x x ax b =+-+有两个极值点1212,()x x x x <. ()()()112(1)()ln ,,f x x f x f x f x ==-记若12(),()f x f x 在00(1)x x x =>处有公共切线，求实数b 的取值范围；(2)求证：当21x m x <≤≤时，()()()()()()()112112(1)111.f x f x f f x x f x x f x x m m ---+-+--2021届浙江省绍兴市诸暨市高三适应性考试数学试题参考答案一、选择题AACAD CABDB 二、填空题11. 2,7- 12. 3或3-，1a ≤ 13. 3,35-- 14. 15,7615.1616. 1(0,)4 17. 714-三、解答题18.（1）由正弦定理,sin 2sin sin sin AM AB CM CB AMB CMB θθ==∠∠或 ,sin 2sin sin sin AM BM CM BMA Cθθ==……4′sin 2,4πθθθ==……2′+ 1′（2）由余弦定理2234522cos4a a a π=+-⋅⋅，3a = ……2′+ 2′ 1393sin 242ABC S π∆=⋅⋅= ……2′+ 1′ 19.（1）,AD BM AD PM ⊥⊥ ……2′ 所以AD ⊥平面MPB ……2′ 所以平面MPB ⊥平面PBC ……2′（2）法一（定义法）作BE MC ⊥于E ，作EF MN ⊥于F ，连BF ，则由BE ⊥平面PMC 及三垂线定理知BFE ∠即所求二面角的平面角 ……3′+ 2′2BE ME EF ME BF =====……2′cos EF BFE BF ∠== ……1′+ 1′ 法二（坐标法）以,,MA MB MP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则((1,22B C P N--……2′设平面BMN的法向量为(,,)x y z，则22yx y z=⎧⎪⎨-++=⎪⎩……2′解得其中一个解为……1′类似可以求得平面MNC的一个法向量为……2′二面角B MN C--的余弦值11==……1′+ 1′20.（1）2(33)(3)(36),1,2nd d d d a n+=++==+……2′+1′+ 1′112323b b=⇒=……1′当2n≥时，12222()(28)()(210)()(312210),()3333n n n n n n na b n n n n b-=+-+=+--=，综上2()3nnb=……3′（2）法一：12322222(1)(1)(1)(1)(1)(2)nnca a a a n n=----=++……2′112233111,,333c b c b c b>>>……1′记63()1(1)(2)23nnnnckn nb==⋅++，则当3n≥时，1(1)32631(3)226nnk n n nk n n++++-=⋅=≥++……:3′所以13n nc b>对一切n N*∈恒成立……1′注：也可以证明当3n≥时，1n nk k+-≥法二：112233111,,333c b c b c b>>>……2′记13nn n c k b =当3n ≥时，112333263(1)122626n n n k n n n k a n n +++++-=-⋅==≥++ ……:4′ 所以13n n c b >对一切n N *∈恒成立 ……:1′ 法三：12322222(1)(1)(1)(1)(1)(2)n n c a a a a n n =----=++ ……2′ 112233111,,333c b c b c b >>> ……1′ 数学归纳法证明当3n ≥时，13n n c b > ……4′注：如果完全用作差比较，当3n ≥时，令13n n n c b δ=-，则10n n δδ+->不成立；若令31n n n b c δ=-，则10n n δδ+->成立21. （1）将P 点坐标代入得1a =，抛物线方程为2y x = ……2′ 设1122(,),(,)A x y B x y ，则212121112y y x x y y -==--+ ……1′又111111111y y x x --=---，得121220y y y y +++= ……1′所以10y =或 20y =，直线AB 方程为12y x =- ……2′ （2）先证明,,A B Q 三点共线，2212211212(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)y x y x y y y y +--+-=+--+-211212()(2)0y y y y y y =-+++= ……4′ （或设AB 方程为x my n =+，与抛物线方程联立得20y my n --=，由韦达定理 12m y y =+，12n y y =-，结合（1）的结论得20n m -++=，21m n =-⋅+，即直线 AB 过定点(2,1)Q -）所以,,A B Q 三点共线，4QA QB =得12141y y +=+111222114,(1)(1)1,312y y y y y y =⎧+⎪=-++=-⎨+=-⎪⎩ （舍去）或 12312y y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所以AB 方程为7322x y =-- ……3′ 11522PABS d AB ∆=⋅⋅= ……2′ 法二：222222221111121(2)(1)(2)(1)(1)2(1)1x y y y y y ⎡⎤-++=-++=+-++⎢⎥+⎣⎦2222222214422(2)(2)(1)(1)(1)(1)y x y y y y --++=++=++ ……4′ 所以由4QA QB=得 2214(1)y =+ 11221(1)(1)1,32y y y y =⎧⎪++=-⎨=-⎪⎩ （舍去）或 12312y y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所以AB 方程为7322x y =-- ……3′ 11522PAB S d AB ∆=⋅⋅= ……2′22. （1）1()f x x a x '=+- ……1′12,x x 是方程10x a x+-=的两根，12122,1,a x x x x a >=+= ……1′由题意得2000001ln 21x x ax b x a x ⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ ……2′220000011ln 1ln 22b ax x x x x =--=+- 记 21()1ln 2g x x x =+-，则13()0,()(1)2g x x g x g x '=->>=，即32b > ……2′（2）记1122(,()),(,()),(1,(1)),(,())A x f x B x f x C f P m f m ，本题要证明的是线段AB 恒在线段CP 的上方，我们只需先证明线段CB 在线段CP 的上方，再证明线段AB 在线段CB 的上方 ……2′ 记()(1)ln 1()(1)112f m f m h m m a m m -==++---，则222111(1)ln (1)ln (1)12()(1)2(1)m m m m m h m m m ----+-'=+=-- 又 22211111(1)ln (1)(1)(1)(1)02m m m m m m m m '⎡⎤--+-=-+-=-->⎢⎥⎣⎦，所以211()(1)ln (1)(1)02y m m m y m =--+->=，从而()0h m '>，()h m 单调递增，所以22()(1)()(1)(1)(1)(1)(1)11f x f f m f x f x f x m ---+≥-+--下证21211212()()()(1)()()(1)(1)1f x f x f x f x x f x x f x x x ---+>-+--因为212111222121()()()()()()()()f x f x f x f x x x f x x x f x x x x x ---+=-+--，及2222222()(1)()(1)(1)(1)()(),011f x f f x f x f x x f x x x x x ---+=-+-≤--只需证明212212()()()(1)1f x f x f x f x x x --<--即212212212ln ln 1ln 1()(1)212x x x x x x x x x -++<++--记2(1)x t t =>，2122122212ln ln 1ln 12ln ln 1()()(1)212112x x x t t t t t x x x x x x t t t ϕ--=++--+=------22ln 12(1)t t t t t -+=+ 2(2ln 1)22ln 222(1)20t t t t t t t '-+=+-<+--=，22ln 12ln1110t t t -+<⋅-+=所以()0t ϕ<，即212212()()()(1)1f x f x f x f x x x --<--综上命题得证 ……7′。