北京市东城区2015届高考数学二模试卷(文科)含解析

2015年北京市东城区高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知全集U=R，集合A={0，1，2}，B={2，3，4}，如图阴影部分所表示的集合为（）A．{2} B．{0，1} C．{3，4} D．{0，1，2，3，4}2．若复数（m2﹣m）+mi为纯虚数，则实数m的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．已知圆的方程为x2+y2﹣2x﹣6y+1=0，那么圆心坐标为（）A．（﹣1，﹣3） B．（1，﹣3）C．（1，3） D．（﹣1，3）4．设点P（x，y），则“x=1且y=﹣2”是“点P在直线l：x﹣y﹣3=0上”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.10.9，则a，b，c的大小关系是C（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b6．若一个底面是正三角形的三棱柱的正（主）视图如图所示，则其侧面积等于（）A．3 B．4 C．5 D．67．若实数x，y满足不等式组，则z=2|x|+y的最大值为（）A．13 B．11 C．3 D．18．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是边AA1，CC1的中点，点M是BB1上的动点，过点E，M，F的平面与棱DD1交于点N，设BM=x，平行四边形EMFN的面积为S，设y=S2，则y关于x的函数y=f（x）的解析式为（）A．，x∈B．C．D．，x∈二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知抛物线y2=2x上一点P（m，2），则m= ，点P到抛物线的焦点F的距离为．10．在△ABC中，已知a=2，b=3，那么= ．11．函数y=2x+（x＜0）的最大值为．12．若非零向量，满足|+|=|﹣|=2||，则向量与+的夹角为．13．已知函数f（x）=cosx（x∈（0，2π））有两个不同的零点x1，x2，且方程f（x）=m有两个不同的实根x3，x4，若把这个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为．14．如图，△ABC是边长为1的正三角形，以A为圆心，AC为半径，沿逆时针方向画圆弧，交BA延长线于A1，记弧CA1的长为l1；以B为圆心，BA1为半径，沿逆时针方向画圆弧，交CB 延长线于A2，记弧A1A2的长为l2；以C为圆心，CA2为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AC延长线于A3，记弧A2A3的长为l3，则l1+l2+l3= ．如此继续以A为圆心，AA3为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AA1延长线于A4，记弧A3A4的长为l4，…，当弧长l n=8π时，n= ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计）即为中奖．乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球（球除颜色外不加区分），如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？16．已知函数f（x）=cos（2x+）+cos（2x+），g（x）=cos2x．（Ⅰ）若，且f（α）=﹣，求g（α）的值；（Ⅱ）若x，求f（x）+g（x）的最大值．17．如图，在四棱锥P=ABCD中，E为AD上一点，面PAD⊥面ABCD，四边形BCDE为矩形∠PAD=60°，PB=2，PA=ED=2AE=2．（Ⅰ）已知=λ（λ∈R），且PA∥面BEF，求λ的值；（Ⅱ）求证：CB⊥平面PEB．18．已知等比数列{a n}的前4项和S4=5，且4a1成等差数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设{b n}是首项为2，公差为﹣a1的等差数列，其前n项和为T n，求满足T n﹣1＞0的最大正整数n．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）上的左、右顶点分别为A，B，F1为左焦点，且|AF1|=2，又椭圆C过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P和Q分别在椭圆C和圆x2+y2=16上（点A，B除外），设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，若k1=，证明：A，P，Q三点共线．20．已知函数f（x）=x3++ax+b，g（x）=x3++lnx+b，（a，b为常数）．（Ⅰ）若g（x）在x=1处的切线过点（0，﹣5），求b的值；（Ⅱ）设函数f（x）的导函数为f'（x），若关于x的方程f（x）﹣x=xf′（x）有唯一解，求实数b的取值范围；（Ⅲ）令F（x）=f（x）﹣g（x），若函数F（x）存在极值，且所有极值之和大于5+ln2，求实数a的取值范围．2015年北京市东城区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知全集U=R，集合A={0，1，2}，B={2，3，4}，如图阴影部分所表示的集合为（）A．{2} B．{0，1} C．{3，4} D．{0，1，2，3，4}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】集合．【分析】阴影部分表示的集合为A∩（∁U B），然后根据集合的基本运算，即可得到结论．【解答】解：阴影部分表示的集合为A∩（∁U B），∵A={0，1，2}，B={2，3，4}，∴A∩（∁U B）={0，1}，故选：B【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据Venn图确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．2．若复数（m2﹣m）+mi为纯虚数，则实数m的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】复数的基本概念．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的概念，推出复数的虚部不为0，实部为0，求解即可．【解答】解：复数（m2﹣m）+mi为纯虚数，则m2﹣m=0且m≠0，解得m=1．故选：C．【点评】本题考查复数的基本概念的应用，基本知识的考查．3．已知圆的方程为x2+y2﹣2x﹣6y+1=0，那么圆心坐标为（）A．（﹣1，﹣3） B．（1，﹣3）C．（1，3） D．（﹣1，3）【考点】圆的一般方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】将已知圆化成标准方程并对照圆标准方程的基本概念，即可得到所求圆心坐标．【解答】解：将圆x2+y2﹣2x﹣6y+1=0化成标准方程，得（x﹣1）2+（y﹣3）2=9，∴圆表示以C（1，3）为圆心，半径r=3的圆．故选：C．【点评】本题给出圆的一般方程，求圆心的坐标．着重考查了圆的标准方程与一般方程的知识，属于基础题．4．设点P（x，y），则“x=1且y=﹣2”是“点P在直线l：x﹣y﹣3=0上”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】关键充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性，从而得到答案．【解答】解：把P（1，﹣2）代入直线，满足条件，是充分条件，若点P在直线上推不出x=1，y=﹣2，不是必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，是一道基础题．5．设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.10.9，则a，b，c的大小关系是C（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵0＜a=log0.80.9＜1，b=log1.10.9＜0，c=1.10.9＞1，∴b＜a＜c．故选：C．【点评】本题考查了指数与对数函数的单调性，属于基础题．6．若一个底面是正三角形的三棱柱的正（主）视图如图所示，则其侧面积等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据题意，知该三棱柱是直三棱柱，底面正三角形的边长为2，高为1，由此求出三棱柱的侧面积．【解答】解：根据题意，得该三棱柱是直三棱柱，且底面正三角形的边长为2，三棱柱的高为1；所以，该三棱柱的侧面积为：3×2×1=6．故选：D．【点评】本题考查了利用几何体的三视图求侧面积的应用问题，是基础题目．7．若实数x，y满足不等式组，则z=2|x|+y的最大值为（）A．13 B．11 C．3 D．1【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】将z=2|x|+y转化为分段函数，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由，解得，即B（6，﹣1），由，解，即C（﹣2，﹣1），当x≥0时，z=2x+y，即y=﹣2x+z，x≥0，当x＜0时，z=﹣2x+y，即y=2x+z，x＜0，当x≥0时，平移直线y=﹣2x+z，（红线），当直线y=﹣2x+z经过点A（0，﹣1）时，直线y=﹣2x+z的截距最小为z=﹣1，当y=﹣2x+z经过点B（6，﹣1）时，直线y=﹣2x+z的截距最大为z=11，此时﹣1≤z≤11．当x＜0时，平移直线y=2x+z，（蓝线），当直线y=2x+z经过点A（0，﹣1）时，直线y=2x+z的截距最小为z=﹣1，当y=2x+z经过点C（﹣2，﹣1）时，直线y=2x+z的截距最大为z=4﹣1=3，此时﹣1≤z≤3，综上﹣1≤z≤11，故z=2|x|+y的取值范围是，故z的最大值为11，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，将目标函数转化为分段函数，利用两次平移，是解决本题的关键，难度较大．8．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是边AA1，CC1的中点，点M是BB1上的动点，过点E，M，F的平面与棱DD1交于点N，设BM=x，平行四边形EMFN的面积为S，设y=S2，则y关于x的函数y=f（x）的解析式为（）A．，x∈B．C．D．，x∈【考点】棱柱的结构特征；函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据正方体的对称知道四边形MENF是一个菱形，所以它的面积为两对角积的一半，又知一对角线EF的长等于正方体的面对角线，另一条可以构造直角三角形，用勾股定理可以用x表示出来，从而求出f（x）的表达式．【解答】解：由对称性易知四边形MENF为菱形，∴∵EF=，MN=2，∴∴f（x）=2x2﹣2x+，故选：A．【点评】本题建立S与x的关系式是关键，在空间中求线段的长，构造直角三角形是常用的思路．属于中档题．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知抛物线y2=2x上一点P（m，2），则m= 2 ，点P到抛物线的焦点F的距离为．【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】将P的坐标代入抛物线方程，可得m=2，求出焦点F的坐标，再由两点的距离公式计算即可得到|PF|．【解答】解：将P（m，2）代入抛物线方程y2=2x，可得4=2m，解得m=2，即有P（2，2），抛物线y2=2x的焦点F为（，0），|PF|==，故答案为：2，．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，主要考查焦点坐标和方程的运用，属于基础题．10．在△ABC中，已知a=2，b=3，那么= ．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】利用正弦定理即可得出．【解答】解：∵a=2，b=3，由正弦定理可得： ===，故答案为：．【点评】本题考查了正弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．函数y=2x+（x＜0）的最大值为﹣4 ．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题意可得﹣x＞0，由基本不等式可得﹣2x+≥4，再由不等式的性质可得．【解答】解：∵x＜0，∴﹣x＞0，∴y=2x+=﹣（﹣2x+），∵﹣2x+≥2=4∴y=﹣（﹣2x+）≤﹣4，当且仅当﹣2x=即x=﹣1时取等号，故答案为：﹣4【点评】本题考查基本不等式求最值，属基础题．12．若非零向量，满足|+|=|﹣|=2||，则向量与+的夹角为30°．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】将已知等式平方展开得到=0，，令，， =，则由=0，，可得四边形OACB为矩形，∠BOC为向量与+的夹角，数形结合求得cos∠BOC 的值，可得∠BOC 的值，即为所求【解答】解：因为非零向量，满足|+|2=|﹣|2=4||2，化简得=0，，令，， =，则由=0，，可得四边形OACB为矩形，∠BOC为向量与+的夹角．令OA=1，则OC=2，直角三角形OBC中，cos∠BOC==，∴∠BOC=30°；故答案为：30°．【点评】本题考查向量的数量积、模、夹角的运算．本题的关键是将已知转化，得出两个向量的关系，属于中档题13．已知函数f（x）=cosx（x∈（0，2π））有两个不同的零点x1，x2，且方程f（x）=m有两个不同的实根x3，x4，若把这个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为﹣．【考点】函数的零点．【专题】计算题．【分析】函数f（x）=cosx（x∈（0，2π））有两个不同的零点x1，x2，可知x1=，x2=π，因为方程f（x）=m有两个不同的实根x3，x4，若把这个数按从小到大排列构成等差数列，需要分两种情况进行讨论：m＞0和m＜0，再利用等差数列的性质进行求解；【解答】解：函数f（x）=cosx（x∈（0，2π））有两个不同的零点x1，x2，∴x1=，x2=π，∵方程f（x）=m有两个不同的实根x3，x4，若把这个数按从小到大排列构成等差数列，若m＞0则，x3，，π，x4，构成等差数列，可得公差d=﹣=π，则x1=﹣π=﹣＜0，显然不可能；若m＜0则，，x3，x4，π，构成等差数列，可得公差3d=﹣，解得d=，∴x3=+，m=cosx3==﹣，故答案为：﹣；【点评】此题主要考查三角函数的性质及三角函数值的求解问题，涉及函数的零点构成等差数列，解题过程中用到了分类讨论的思想，是一道基础题；14．如图，△ABC是边长为1的正三角形，以A为圆心，AC为半径，沿逆时针方向画圆弧，交BA延长线于A1，记弧CA1的长为l1；以B为圆心，BA1为半径，沿逆时针方向画圆弧，交CB 延长线于A2，记弧A1A2的长为l2；以C为圆心，CA2为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AC延长线于A3，记弧A2A3的长为l3，则l1+l2+l3= 4π．如此继续以A为圆心，AA3为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AA1延长线于A4，记弧A3A4的长为l4，…，当弧长l n=8π时，n= 12 ．【考点】归纳推理．【专题】推理和证明．【分析】根据弧长公式，分别求出l1、l2、l3，因此发现规律，进行归纳总结．【解答】解：由题意l1=，l2=，l3=，所以l1+l2+l3=4π；l8=8π，即，解得n=12；故答案为：4π；12．【点评】本题考查了归纳推理；关键是由具体的前三个弧长发现规律并进行猜测总结．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计）即为中奖．乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球（球除颜色外不加区分），如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？【考点】几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】概率与统计．【分析】分别计算两种方案中奖的概率．先记出事件，得到试验发生包含的所有事件，和符合条件的事件，由等可能事件的概率公式得到．【解答】解：如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘的面积π•R2，阴影部分的面积为，则在甲商场中奖的概率为：；如果顾客去乙商场，记3个白球为a1，a2，a3，3个红球为b1，b2，b3，记（x，y）为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3）（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a3，b1），（a3，b2），（a3，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3），共15种，摸到的是2个红球有（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3），共3种，则在乙商场中奖的概率为：P2=，又P1＜P2，则购买该商品的顾客在乙商场中奖的可能性大．【点评】本题考查等可能事件的概率计算以及几何概率的求法，关键是正确列举事件的全部情况．此题用到的知识点还有：概率=相应的面积与总面积之比．16．已知函数f（x）=cos（2x+）+cos（2x+），g（x）=cos2x．（Ⅰ）若，且f（α）=﹣，求g（α）的值；（Ⅱ）若x，求f（x）+g（x）的最大值．【考点】余弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）由余弦的和差公式，化简得到f（x），再代入，根据角的范围，即可求出g （α）的值，（Ⅱ）化简f（x）+g（x）=2cos（2x+），根据余弦函数的单调性即可求出最值．【解答】解：（Ⅰ）由得f（x）==．因为，即，所以．又因为，所以．故，即．（Ⅱ）f（x）+g（x）==．因为x，所以．所以当，即时，f（x）+g（x）有最大值，最大值为2．【点评】本题考查了余弦函数的图象和性质，以及三角形函数的和差公式，属于中档题．17．如图，在四棱锥P=ABCD中，E为AD上一点，面PAD⊥面ABCD，四边形BCDE为矩形∠PAD=60°，PB=2，PA=ED=2AE=2．（Ⅰ）已知=λ（λ∈R），且PA∥面BEF，求λ的值；（Ⅱ）求证：CB⊥平面PEB．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连接AC交BE于点M，连接FM，利用线面平行的性质，结合比例线段，即可求λ的值；（Ⅱ）证明CB⊥平面PEB，只需证明CB垂直于平面PEB内的两条相交直线．【解答】（Ⅰ）解：连接AC交BE于点M，连接FM．∵PA∥面BEF，∴FM∥AP …∵EM∥CD，∴ =∵FM∥AP，∴=∴λ=…（Ⅱ）证明：∵AP=2，AE=1，∠PAD=60°，∴PE=，∴PE⊥AD…又面PAD⊥面ABCD，且面PAD∩面ABCD=AD，∴PE⊥面ABCD，∴PE⊥CB，又BE⊥CB，且PE∩BE=E，∴CB⊥平面PEB．…【点评】本题考查线面平行的性质，考查线面垂直的判断，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．已知等比数列{a n}的前4项和S4=5，且4a1成等差数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设{b n}是首项为2，公差为﹣a1的等差数列，其前n项和为T n，求满足T n﹣1＞0的最大正整数n．【考点】数列的求和；等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）通过成等差数列可得公比q=2，利用得，进而可得结论；（Ⅱ）通过（Ⅰ）得公差，进而可得通项及前n项和的表达式，解不等式T n﹣1＞0即可．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，设{a n}的公比为q，∵成等差数列，∴4a1+a2=3a2．整理得2a1=a2，即2a1=a1q，解得q=2．又，解得．∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）得﹣a1=，∴．T n=，又∵T n﹣1＞0，∴，整理得（n﹣1）（n﹣14）＜0，解得1＜n＜14．故满足T n﹣1＞0的最大正整数为13．【点评】本题考查等比数列的通项及求和等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）上的左、右顶点分别为A，B，F1为左焦点，且|AF1|=2，又椭圆C过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P和Q分别在椭圆C和圆x2+y2=16上（点A，B除外），设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，若k1=，证明：A，P，Q三点共线．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）由已知可得a﹣c=2，，又b2=a2﹣c2，解出即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（﹣4，0），B（4，0）．设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用斜率计算公式、P（x1，y1）在椭圆C上，可得k PA•k1，又，可得k PA k2．由已知点Q（x2，y2）在圆x2+y2=16上，AB为圆的直径，可得k QA•k2=﹣1．只要证明k PA=k QA即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得a﹣c=2，，又b2=a2﹣c2=12，解得a=4．故所求椭圆C的方程为=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（﹣4，0），B（4，0）．设P（x1，y1），Q（x2，y2），∴．∵P（x1，y1）在椭圆C上，∴，即．∴．又∵，∴k PA k2=﹣1．①由已知点Q（x2，y2）在圆x2+y2=16上，AB为圆的直径，∴QA⊥QB．∴k QA•k2=﹣1．②由①②可得k PA=k QA．∵直线PA，QA有共同点A，∴A，P，Q三点共线．【点评】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、三点共线，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．已知函数f（x）=x3++ax+b，g（x）=x3++lnx+b，（a，b为常数）．（Ⅰ）若g（x）在x=1处的切线过点（0，﹣5），求b的值；（Ⅱ）设函数f（x）的导函数为f'（x），若关于x的方程f（x）﹣x=xf′（x）有唯一解，求实数b的取值范围；（Ⅲ）令F（x）=f（x）﹣g（x），若函数F（x）存在极值，且所有极值之和大于5+ln2，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求b的值；（Ⅱ）求出方程f（x）﹣x=xf′（x）的表达式，利用参数分离法构造函数，利用导数求出函数的取值范围即可求实数b的取值范围；（Ⅲ）求函数的导数，利用导数和极值之间的关系进行求解即可，【解答】解：（Ⅰ）设g（x）在x=1处的切线方程为y=kx﹣5，因为，所以k=11，故切线方程为y=11x﹣5．当x=1时，y=6，将（1，6）代入，得．…（Ⅱ）f'（x）=3x2+5x+a，由题意得方程有唯一解，即方程有唯一解．令，则h'（x）=6x2+5x+1=（2x+1）（3x+1），所以h（x）在区间上是增函数，在区间上是减函数．又，故实数b的取值范围是．…（Ⅲ）F（x）=ax﹣x2﹣lnx，所以．因为F（x）存在极值，所以在（0，+∞）上有根，即方程2x2﹣ax+1=0在（0，+∞）上有根，则有△=a2﹣8≥0．显然当△=0时，F（x）无极值，不合题意；所以方程必有两个不等正根．记方程2x2﹣ax+1=0的两根为x1，x2，则=＞，解得a2＞16，满足△＞0．又，即a＞0，故所求a的取值范围是（4，+∞）．…【点评】本题主要考查导数的几何意义，函数单调性，极值和最值与导数之间的关系，综合考查导数的应用．。