2020年高中数学4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单位圆与周期性练习北师大版必修4
1.4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
如图，给定任意角α ，作单位圆，角α的
终边与单位圆的交点为P(u，v) ，点P的纵坐
标v 、横坐标u都是唯一确定的.仿照上述锐角
三角函数的定义，把点P的纵坐标v定义为角α
的正弦值，仍记作v =sinα；
把点P的横坐标u定义为角α
的余弦值，仍记作u=cosα.
课文精讲
➢ 任意角的正弦函数与余弦函数
+(−)
故答案为： .
综合练习
已知角α的终边经过点P（8，m），且sinα
= ，则m=_____.
6
解：角α的终边经过点P（ 8，m ），
且sinα==
故答案为6.
+
， m=6，
本课小结
锐角的正弦函数与余
弦函数
单位圆与任意角的
正弦函数、余弦 函
数的基本性质
角α的正弦函数、余弦函数.下面我们在平面直
角坐标系中，利用单位圆(以后常设单位圆的
圆心在原点)进一步研究锐角α的正弦函数和
余弦函数.
课文精讲
➢ 锐角的正弦函数与余弦函数
如图，对于锐角α，角α的终边与单位圆
交于点P(u，v)，故u是由锐角α唯一确定的，v
也是由锐角α唯一确定的.
过点P向x轴作垂线，垂足为M.在
任意角的正弦函数与
余弦函数
1
0 − −
π
2π
高中数学第一章三角的定义1.4.2单位圆与周期性学案北师大必修4201808223174
4．1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2 单位圆与周期性学习目标 1.了解单位圆与正弦、余弦函数的关系.2.掌握任意角的正弦、余弦的定义(重点).3.掌握正弦函数、余弦函数在各个象限内的符号(重点).4.了解周期函数的概念，理解正弦函数、余弦函数都是周期函数(难点)．知识点1 任意角的正弦、余弦函数 (1)单位圆在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆． (2)正弦函数、余弦函数的定义如图，在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P (u ，v )，那么点P 的纵坐标v 叫作角α的正弦函数，记作v ＝sin_α；点P 的横坐标u 叫作角α的余弦函数，记作u ＝cos_α.(3)正弦函数、余弦函数的定义域和值域正弦函数y ＝sin x 和余弦函数y ＝cos x 的定义域为全体实数，值域为[－1,1]． 【预习评价】1．若角α的终边与单位圆相交于点⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，则sin α的值为( )A.22B ．－22C.12 D ．－12答案 B2．若角α的终边与单位圆相交于点(－12，32)，则cos α＝________.答案 －12知识点2 正弦函数、余弦函数值的符号【预习评价】记住特殊角的正弦函数、余弦函数值非常重要，试完成下表：(1)一般地，对于函数f (x )，如果存在非零实数T ，对定义域内的任意一个x 值，f (x ＋T )＝f (x )都成立．那么就把函数f (x )称为周期函数，T 叫作这个函数的周期． (2)y ＝sin x 的周期为2k π，k ∈Z ，最小正周期为2π.y ＝cos x 的周期为2k π，k ∈Z ，最小正周期为2π.【预习评价】如果存在非零常数T ，对于函数f (x )，若存在x 值有f (x ＋T )＝f (x )，则函数f (x )是周期函数吗？提示 不一定，如函数f (x )＝x 2，存在非零常数T ＝4，存在x ＝－2，使得f (－2＋4)＝f (－2)，但是函数f (x )＝x 2不是周期函数.题型一 三角函数定义的应用【例1】 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.解析 因为sin θ＝y42＋y2＝－255， 所以y <0，且y 2＝64，所以y ＝－8. 答案 －8规律方法 利用正弦函数、余弦函数的定义，求一个角的正弦函数、余弦函数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点P 的横坐标x 、纵坐标y 和点P 到原点的距离r .特别注意，当点的坐标含有参数时，应分类讨论．【训练1】 若点P (2m ，－3m )(m ＜0)在角α的终边上，则sin α＝________. 解析 如图，点P (2m ，－3m )(m ＜0)在第二象限，且r ＝－13m ，故有sin α＝－3m r ＝－3m －13m ＝31313.答案31313题型二 有关三角函数值的符号问题【例2】 (1)α是第二象限角，判断sin αcos α的正负； (2)若sin αcos α＜0，判断α是第几象限角． 解 (1)∵α是第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin αcos α＜0. (2)由sin αcos α＜0知有两种可能：⎩⎪⎨⎪⎧sin α＞0，cos α<0或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＜0，cos α＞0.故α是第二象限角或第四象限角． 规律方法 正余弦函数符号的确定 (1)终边在坐标轴上的角：终边在坐标轴上的角可以利用单位圆，如终边在x 轴非正半轴上的角与单位圆的交点为(－1,0)，故sin α＝0，cos α＝－1. (2)终边在各个象限内的角：利用定义记符号：正弦取决于终边上点的纵坐标，所以一、二象限为正；余弦取决于终边上点的横坐标，所以一、四象限为正． 【训练2】 判断下列各式的符号． (1)sin 105°·cos 230°； (2)sin 240°·sin 300°； (3)cos 16π3·sin π；(4)cos 4·cos 5.解析 (1)因为105°是第二象限角，所以sin 105°＞0，又因为230°是第三象限角，所以cos 230°＜0，所以sin 105°·cos 230°＜0.(2)因为240°是第三象限角，所以sin 240°＜0；又因为300°是第四象限角，所以sin 300°＜0，所以sin 240°·sin 300°＞0. (3)因为sin π＝0.所以cos 16π3·sin π＝0.(4)因为4是第三象限角，所以cos 4＜0，又因为5是第四象限角， 所以cos 5＞0，所以cos 4·cos 5＜0.【例3】 若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x ＋π)＝f (x )，当x ∈[0，π2)时，f (x )＝2sin x ，求f ⎝⎛⎭⎪⎫－133π＋f ⎝⎛⎭⎪⎫94π的值．解 ∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )， 又∵f (x ＋π)＝f (x )， ∴函数f (x )的周期为π，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－133π＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫94π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π－π3＋f ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π4 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 ＝－2sin π3＋2sin π4＝2－ 3.【迁移1】 在例3中把条件“f (x ＋π)＝f (x )”改为“f (x ＋π)＝－f (x )”，求f (－13π3)＋f (19π4)的值．解 由f (x ＋π)＝－f (x )知f [(x ＋π)＋π]＝－f (x ＋π)＝f (x )∴f (x ＋2π)＝f (x )．知f (x )的周期为2π.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π－π3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π4 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4又∵f (x )是奇函数，∴原式＝－2sin π3＋2sin π4＝2－ 3.【迁移2】 在例3中把条件“f (x ＋π)＝f (x )”改为“f (x ＋π)＝1f x”，则函数f (x )的周期为________． 解析 由f (x ＋π)＝1f x得f [(x ＋π)＋π]＝1fx ＋π＝f (x )，∴f (x ＋2π)＝f (x )．∴函数f (x )的周期为2π.答案 2π【迁移3】 把例3中的条件“函数f (x )是定义在R 上的奇函数．且满足f (x ＋π)＝f (x )”改为“函数f (x )是定义在R 上的偶函数且满足f (x －π)＝f (x ＋π)”，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π3＋f ⎝⎛⎭⎪⎫19π4的值．解 ∵f (x )是偶函数．∴f (－x )＝f (x )， 又∵f (x －π)＝f (x ＋π)． 令x ＝x ＋π得f (x )＝f (x ＋2π) ∴函数f (x )的周期为2π.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 ＝2sin π3＋2sin π4＝2＋ 3.规律方法 常见周期函数的形式周期函数除常见的定义式f (x ＋T )＝f (x )外，还有如下四种形式： (1)f (x ＋a )＝－f (x )．(2)f (x ＋a )＝1f x.(3)f (x －a )＝－1f x.(4)f (x －a )＝f (x ＋a )．以上四种形式的函数都是以2a 为周期的周期函数．课堂达标1．若角α的终边过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则cos α的值为( )A.12B.32 C. 3D.33解析 易知点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32在单位圆上，故cos α＝12.答案 A2．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为( )A ．3B ．－3C ．±3D ．5解析 ∵r ＝b 2＋16， cos α＝－br＝－bb 2＋16＝－35.∴b ＝3. 答案 A3．已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为________．解析 由题意知，角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32，－12.∴cos α＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝32. 又α的终边在第四象限． ∴α的最小值为11π6.答案116π 4．若函数f (x )是以π2为周期的周期函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π6的值是________．解析 f (17π6)＝f (2π＋π2＋π3)＝f (π3)＝1.答案 15．已知角α的终边与单位圆相交于点Ρ(a ，b )，若sin α＝－45，求a 、b 的值，并说明α是第几象限角．解 由正弦函数的定义可知b ＝sin α＝－45.又a 2＋b 2＝1，∴a 2＝1－b 2＝925，∴a ＝±35. 故a ＝±35，b ＝－45.当a ＝35，b ＝－45时，点P 在第四象限，此时角α是第四象限角；当a ＝－35，b ＝－45时，点P 在第三象限，此时角α是第三象限角．课堂小结1．利用定义求α的正弦函数值与余弦函数值时，注意结合图形求出α的终边与单位圆的交点坐标，即得值．2．正弦、余弦函数值在各个象限的符号可简记为：一均正、二正弦、三均负、四余弦． 3．正弦、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的同一三角函数值相等．作用是把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值．基础过关1．若sin θcos θ>0，则θ在( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限 D ．第二、四象限答案 B2．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x 等于( ) A. 3 B ．± 3 C ．－ 2D ．－ 3解析 依题意得cos α＝x x 2＋5＝24x ＜0， 由此解得x ＝－ 3. 答案 D3．下列函数中，周期为π2的是( )A ．y ＝sin x 2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x4D ．y ＝cos(－4x )解析 A 选项中，f (x ＋π2)＝sinx ＋π22＝sin(x 2＋π4)，不满足对任意x ，f (x ＋π2)＝f (x )；B 选项，f (x ＋π2)＝sin 2(x ＋π2)＝sin (2x ＋π)，不满足对任意x ，f (x ＋π2)＝f (x )；C 选项，f (x ＋π2)＝cos 14(x ＋π2)＝cos(x 4＋π8)，不满足对任意x ，f (x ＋π2)＝f (x )；D 选项，f (x ＋π2)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋π2＝cos(－4x －2π)＝cos(－4x )＝f (x )，∴选D. 答案 D4．已知f (x )是R 上的奇函数，且f (1)＝2，f (x ＋3)＝f (x )，则f (8)＝________. 解析 ∵f (x ＋3)＝f (x )，∴f (x )是周期函数，3就是它的一个周期，且f (－x )＝ －f (x )．∴f (8)＝f (2＋2×3)＝f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2. 答案 －25．下列说法中，正确的为________． ①终边相同的角的同名三角函数值相等； ②终边不同的角的同名三角函数值不全相等； ③若sin α＞0，则α是第一、二象限角；④若α是第二象限角，且P (x ，y )是其终边上的一点，则cos α＝－xx 2＋y 2.解析 三角函数的值，只与角的终边的位置有关系，与角的大小无直接关系，故①②都是正确的；当α的终边与y 轴的非负半轴重合时，sin α＝1＞0，故③是不正确的；无论α在第几象限，cos α＝xx 2＋y 2，故④也是不正确的．答案 ①②6．确定下列三角函数值的符号： (1)sin 39π12；(2)cos(－925°)．解 (1)∵39π12＝2π＋15π12，且15π12是第三象限角，∴39π12是第三象限角；∴sin 39π12＜0. (2)∵－925°＝－3×360°＋155°， ∴－925°是第二象限角． ∴cos(－925°)＜0.7．已知角α的终边经过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2，2k π＋π(k∈Z )，求角α的正弦函数值及余弦函数值． 解 ∵θ∈(2k π＋π2，2k π＋π)(k ∈Z )，∴cos θ＜0.又x ＝－3cos θ，y ＝4cos θ， ∴r ＝x 2＋y 2＝－3cos θ2＋θ2＝－5cos θ.∴sin α＝－45，cos α＝35.能力提升8．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B.12 C ．－32D.32解析 ∵r ＝64m 2＋9， ∴cos α＝－8m64m 2＋9＝－45， ∴m >0，∴4m 264m 2＋9＝125，即m ＝12.答案 B9．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )A ．1B ．0C ．2D ．－2解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝2. 答案 C10．若α＝π6＋2k π(k ∈Z )，则cos 3α＝________.解析 cos 3α＝cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2k π＝cos(π2＋6k π)＝cos π2＝0. 答案 011．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________.解析 ∵y ＝3x ，sin α<0，∴点P (m ，n )位于y ＝3x 在第三象限的图像上，且m <0，n <0，n ＝3m .∵|OP |＝m 2＋n 2＝10|m |＝－10m ＝10. ∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2. 答案 212．已知cos α<0，sin α>0， (1)求角α的集合；(2)求角α2的终边所在的象限；(3)试判断sin α2，cos α2的符号．解 (1)∵cos α<0，∴角α的终边可能位于第二或第三象限或x 轴的非正半轴上． ∵sin α>0，∴角α的终边可能位于第一或第二象限或y 轴非负半轴上，∴角α的终边只能位于第二象限．故角α的集合为{α|π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }．(2)∵π2＋2k π<α<π＋2k π(k ∈Z )，∴π4＋k π<α2<π2＋k π(k ∈Z )． 当k ＝2n (k ∈Z )时，π4＋2n π<α2<π2＋2n π(n ∈Z )，∴α2是第一象限角； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，5π4＋2n π<α2<3π2＋2n π(n ∈Z )，∴α2是第三象限角． 即α2的终边落在第一象限或第三象限． (3)由(2)可知，当α2是第一象限角时，sin α2>0，cos α2>0；当α2是第三象限角时，sin α2<0，cos α2<0. 13．(选做题)已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点是M (35，m )，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解 (1)由1|sin α|＝－1sin α， 可知sin α＜0，由lg(cos α)有意义可知cos α＞0，∴角α是第四象限角．(2)∵|OM |＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，故m ＜0，从而m ＝－45. 由正弦函数的定义可知sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45. 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学第一章三角函数4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单位圆与周期性学案北师大
2018-2019学年高中数学第一章三角函数4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2 单位圆与周期性学案北师大版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第一章三角函数4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2 单位圆与周期性学案北师大版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2 单位圆与周期性学习目标 1.理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义及其应用.2。
掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系。
3.理解周期函数的定义.知识点一任意角的正弦函数和余弦函数使锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，PM⊥x轴于M，设P（x，y），|OP|＝r。
思考1 角α的正弦、余弦分别等于什么?答案sin α＝错误!，cos α＝错误!.思考2 对确定的锐角α，sin α，cos α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？答案不会.思考3 若取｜OP｜＝1时，sin α，cos α的值怎样表示？答案sin α＝y，cos α＝x。
梳理（1）对于任意角α,使角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P（u，v），那么点P的纵坐标v定义为角α的正弦函数，记作v＝sin α；点P的横坐标u定义为角α的余弦函数,记作u＝cos α。
数学同步优化指导(北师大必修4)课件：第1章 4.1、4.2 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义;单位圆
②因为 2π＋π2＜8＜2π＋π，即 8 rad 是第二象限角，则 sin 8
第一章 三角函数
§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 4.2 单位圆与周期性
学习目标
重点难点
1.理解任意角的正弦函数、余弦函 1.重点是任意角的正弦函
数的定义．
数、余弦函数的定义及
2.会求任意角的正弦函数值、余弦 其定义域和值域，正弦
函数值．
函数值和余弦函数值的
3．正弦值、余弦值的符号 三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内的坐标 符号导出的．正弦的符号决定于纵坐标y的符号；余弦的符号 决定于横坐标x的符号．正弦、余弦函数值在每个象限的符号 如图所示．
也可用下表表示.
sin α cos α
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
＋
＋
－
－
＋
－
－
＋
4.周期性 (1)一般地，对于函数f(x)，如果存在__非__零__实__数__T__，对定 义域内的任意一个x值，都有__f(_x_＋__T_)_＝__f(_x_)，我们就把f(x)称为 周期函数，__T__称为这个函数的周期． (2) 正 弦 函 数 、 余 弦 函 数 是 周 期 函 数 ， 其 周 期 为 _2_k_π_(_k∈__Z__，__k_≠_0_)__，最小正周期为__2_π___.
探究三 终边相同的角的诱导公式的应用
高中数学 课下能力提升(三)单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 单位圆与周期性 北师大版必修4
课下能力提升(三) 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 单位圆与周期性一、选择题1．如果－315°角的终边过点(2，a )，则a 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－55D ．±2 2．cos 9π4等于( )A ．－22 B.22C ．－1D ．13．已知角α的终边过点(x ，－6)，若sin α＝－1213，则x 等于( )A.52 B ．－52 C ．±25 D ．±524．设A 是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A 2＝－sin A 2，则A2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 二、填空题5．sin (－330°)＝________．6．如果cos x ＝|cos x |，那么角x 的取值范围是________． 7．若点P (2m ，－3m )(m <0)在角α的终边上，则 sin α＝________，cos α＝________．8．sin 420°cos 750°＋sin(－690°)cos(－660°)＝________． 三、解答题 9．已知f (x ＋3)＝－1f （x ），求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期．10．已知cos α<0，sin α<0. (1)求角α的集合；(2)判断sin α2，cos α2的符号．答案1．解析：选B ∵cos(－315°)＝cos 45°＝22， ∴22＝24＋a2，解得a ＝±2， 又－315°是第一象限角， ∴a ＝22．解析：选B cos 9π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π4＝cos π4＝22. 3．解析：选D sin α＝－6x 2＋62＝－1213，解得x ＝±52.4．解析：选D ∵A 是第三象限角，∴A 2是第二、四象限角．又|sin A 2|＝－sin A2≥0，∴sin A2≤0，易知A2为第四象限角．5．解析：sin(－330°)＝sin(－360°＋30°)＝sin 30°＝12.答案：126．解析：∵cos x ＝|cos x |，∴cos x ≥0，∴－π2＋2k π≤x ≤π2＋2k π，k ∈Z .答案：{x |2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z }7．解析：如右图，点P (2m ，－3m )(m <0)在第二象限，且r ＝－13m ，故有sin α＝－3m r ＝－3m－13m ＝31313. cos α＝2m r ＝2m －13m ＝－21313.答案：31313 －213138．解析：原式＝sin(360°＋60°)cos(720°＋30°)＋sin(－720°＋30°)cos(－720°＋60°)＝sin 60° cos 30°＋sin 30°cos 60°＝32×32＋12×12＝1. 答案：19．解：∵f (x ＋6)＝f [(x ＋3)＋3]＝－1f （x ＋3）＝－1－1f （x ）＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且6是它的一个周期．10．解：(1)由cos α<0，sin α<0可知，α的终边落在第三象限． ∴角α的集合为{α|2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z }．(2)∵2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ，∴k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，即α2落在第二或第四象限．①当α2为第二象限角时，sin α2>0，cos α2<0；②当α2为第四象限角时，sin α2<0，cos α2>0.。
【北师大版】高中数学必修四全册学案(全册共340页 附答案)
【北师大版】高中数学必修四全册学案（全册共340页附答案）目录§1周期现象§2角的概念的推广§3弧度制4．1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2 单位圆与周期性4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4．4 单位圆的对称性与诱导公式(一)4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)5．1 正弦函数的图像5.2 正弦函数的性质§6余弦函数的图像与性质7．1 正切函数的定义7．2 正切函数的图像与性质7.3 正切函数的诱导公式§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(一)§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(二)§9三角函数的简单应用章末复习课第二章平面向量§1从位移、速度、力到向量2．1 向量的加法2.2 向量的减法3．1 数乘向量3.2 平面向量基本定理§4平面向量的坐标§5从力做的功到向量的数量积§1周期现象内容要求 1.了解周期现象，能判断简单的实际问题中的周期(重点).2.初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性(难点)．知识点周期现象(1)概念：相同间隔重复出现的现象．(2)特点：①有一定的规律；②不断重复出现．【预习评价】1．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象．(√)(2)钟表的分针每小时转一圈，它的运行是周期现象．(√)2．观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7，…”寻找规律，则第25个数字是________．解析观察可知2,0,1,7每隔四个数字重复出现一次，具有周期性，故第25个数字为2. 答案 2题型一周期现象的判断【例1】判断下列现象是否为周期现象，并说明理由．(1)地球的自转；(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数；(3)钟表的秒针的转动；(4)某段高速公路每天通过的车辆数．解(1)地球每天自转一圈，并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期现象．(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为1,2，…，6，并且前一次出现的点数，下一次可能出现，也可能不出现，故出现的点数是随机的，因此不是周期现象．(3)钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是周期现象．(4)某段高速公路每天通过的车辆数，会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没有一个确定的规律，因此不是周期现象．规律方法周期现象的判断关键：首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应牢牢抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．【训练1】判断下列现象是否为周期现象：(1)每届奥运会的举办时间；(2)北京天安门广场的国旗，日出时升旗，日落时降旗，则其每天的升旗时间；(3)中央电视台每晚7：00的新闻联播．解(1)奥运会每4年一届，所以其举办时间呈周期现象．(2)北京每天的日出、日落随节气变化，并非恒定，相邻两天的升旗时间间隔是变化的，不是常数，所以不是周期现象．(3)每24小时，新闻联播重复一次，所以是周期现象．题型二周期现象的应用【例2】一个地区不同日子里白昼的时长是不同的，所给表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)：坐标系中画出这些数据的散点图，并估计该地区一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．(2)白昼时间的变化是否具有周期现象？你估计该地区来年6月21日的白昼时间是多少？解(1)散点图如图所示，因为从4月27日至8月13日的白昼时间均超过15.9小时，所以该地区一年白昼时间超过15.9小时的大约有3＋31＋30＋31＋12＝107(天)．(2)由散点图可知，白昼时间的变化是周期现象，该地区来年6月21日的白昼时间为19.4小时．规律方法收集数据、画散点图，分析、研究数据特点从而得出结论是用数学方法研究现实问题的常用方法．【训练2】受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：几次？时间最长的一次是什么时候？有多长时间？解由题中表可知，一天内能开放三次，时间最长的一次是上午9时至下午3时，共6个小时．【例3】2017年5月1日是星期一，问2017年10月1日是星期几？解按照公历记法，2017年5、7、8这三个月份都是31天，6、9月份各30天．从2017年5月1日到2017年10月1日共有153天，因为每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2017年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期一，这一天是公历2017年10月2日，故2017年10月1日是星期日．【迁移1】试确定自2017年5月1日再过200天是星期几？解由200＝28×7＋4知自2017年5月1日再过200天是星期五．【迁移2】从2017年5月1日到2017年10月1日经过了几个星期五？几个星期一？解因为从2017年5月1日到2017年10月1日的153天中有21个完整的周期零6天，在每个周期中有且仅有一个星期五和一个星期一，故共经过了22个星期五，21个星期一．【迁移3】试确定自2017年5月1日再过7k＋3(k∈Z)天后那一天是星期几？解每隔七天，周一至周日依次循环，故7k天后为周一，7k＋3天后为星期四．规律方法应用周期性解决实际问题的两个要点特别提醒计算两个日期的间隔时间时要注意有的月份30天，有的月份31天，二月份有28天(或29天)．课堂达标1．下列自然现象：月亮东升西落，气候的冷暖，昼夜变化，火山爆发．其中是周期现象的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析月亮东升西落及昼夜变化为周期现象；气候的冷暖与火山爆发不是周期现象，故选B.答案 B2．如果今天是星期五，则58天后的那一天是星期( )A．五B．六C．日D．一解析每隔七天循环一次，58＝7×8＋2，故58天后为周日．答案 C3．共有50架飞机组成编队，按侦察机、直升机、轰炸机、歼击机的顺序轮换编队，则最后一架飞机是________飞机．解析周期为4,50＝12×4＋2，所以最后一架是直升机．答案直升机4．某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了________个周期．解析4÷0.4＝10，所以经过了10个周期．答案105．某班有48名学生，每天安排4名同学进行卫生值日，按一周上五天课，一学期二十周计算，该班每位同学一学期要值日几次？解共有48名学生，每天安排4名，则12个上课日就轮完一遍．一学期有5×20＝100(个)上课日，而12×8＝96(个)上课日，所以一个学期内该班每位同学至少值日8次，有部分同学要值日9次．课堂小结1．对于某些具有重复现象的事件，研究其规律，可预测未来在一定时间该现象发生的可能性及发生规律，具有一定的研究价值．2．利用散点图可以较直观地分析两变量之间的某种关系，然后再利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而可以避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误.基础过关1．下列是周期现象的为( ) ①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次； ③某超市每天的营业额； ④某地每年6月份的平均降雨量． A ．①②④B ．②④C ．①②D ．①②③解析 ①②是周期现象；③中每天的营业额是随机的，不是周期现象；④中每年6月份的降雨量也是随机的，不是周期现象． 答案 C2．把17化成小数，小数点后第20位是( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析 17＝0.1·42857·，小数点后“142857”呈周期性变化，且周期为 6.∵20＝3×6＋2，∴第20位为4. 答案 C3．按照规定，奥运会每4年举行一次.2016的夏季奥运会在巴西举办，那么下列年份中不举办夏季奥运会的应该是( ) A ．2020 B ．2024 C ．2026D ．2028解析 C 中2026不是4的倍数，选C. 答案 C4．把一批小球按2个红色，5个白色的顺序排列，第30个小球是________色． 解析 周期为7,30＝4×7＋2，所以第30个小球与第2个小球颜色相同，为红色． 答案 红5．如图所示，变量y与时间t(s)的图像如图所示，则时间t至少隔________ s时y＝1会重复出现1次．答案 26．若今天是星期一，则第7天后的那一天是星期几？第120天后的那一天是星期几？(注：今天是第一天)解每星期有7天，从星期一到星期日，呈周期性变化，其周期为7.∴第7天后的那一天是星期一．∵120＝17×7＋1，∴第120天后的那一天是星期二．7．水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？解因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升，)所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．能力提升8．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在( )A．8点处B．10点处C．11点处D．12点处解析由于100＝1×60＋40，所以100分钟后分针所指位置与40分钟后分针所指位置相同，现在分针恰好指在2点处，经过40分钟分针应指在10点处，故选B.答案 B9．设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置．在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是( )A．点A处B．点B处C．O、A之间D．O、B之间解析 钟摆的周期T ＝1.8 秒，1分钟＝(33×1.8＋0.6)秒，又T 4＜0.6＜T2，所以经过1分钟后，钟摆在O 、B 之间． 答案 D10．今天是星期六，再过100天后是星期________． 解析 100＝14×7＋2，∴再过100天是星期一． 答案 一11．一个质点，在平衡位置O 点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O 点开始计时，质点向左运动第一次到达M 点用了0.3 s ，又经过0.2 s 第二次通过M 点，则质点第三次通过M 点，还要经过的时间可能是________ s.解析 质点从O 点向左运动，O →M 用了0.3 s ，M →A →M 用了0.2 s ，由于M →O 与O →M 用时相同，因此质点运动半周期T2＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过M 时用时应为M →O →B →O →M ，所用时间为0.3×2＋0.8＝1.4(s)． 答案 1.412．游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？ (2)转四圈需要多少时间？(3)你第四次距地面最高需要多少时间？ (4)转60分钟时，你距离地面是多少？ 解 (1)是周期现象，周期12分钟/圈． (2)转四圈需要时间为4×12＝48(分钟)．(3)第1次距离地面最高需122＝6(分钟)，而周期是12分钟，所以第四次距地面最高需12×3＋6＝42(分钟)．(4)∵60÷12＝5，∴转60分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同，即40.5－40＝0.5(米)．13．(选做题)下面是一个古希腊的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯的故事：有一次毕达哥拉斯处罚学生，让他来回数在黛安娜神庙的七根柱子(这七根柱子的标号分别为A，B，C，…，G)，如图所示，一直到指出第1 999个数的柱子的标号是哪一个才能够停止．你能帮助这名学生尽快结束这个处罚吗？解通过观察可发现规律：数“2,3,4，…，1 997,1 998，1 999”按标号为“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”这12个字母循环出现，因此周期是12.先把1去掉，(1 999－1)÷12＝166……6，因此第1 999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，故数到第1 999个数的柱子的标号是G.§2角的概念的推广内容要求 1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(知识点1 角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB 所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)按逆时针方向旋转所成的角是正角(√)(2)按顺时针方向旋转所成的角是负角(√)(3)没有作任何旋转就没有角对应(×)(4)终边和始边重合的角是零角(×)(5)经过1小时时针转过30°(×)知识点2 象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．【预习评价】1．锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？提示锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．2．第二象限的角比第一象限的角大吗？提示不一定．如120° 是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.知识点3 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)终边相同的角一定相等(×)(2)相等的角终边一定相同(√)(3)终边相同的角有无数多个(√)(4)终边相同的角它们相差180°的整数倍(×)题型一角的概念的推广【例1】写出下图中的角α，β，γ的度数．解要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.规律方法 1.理解角的概念的三个“明确”2．表示角时的两个注意点(1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”．(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负．【训练1】(1)图中角α＝________，β＝________；(2)经过10 min，分针转了________．解析(1)α＝－(180°－30°)＝－150°β＝30°＋180°＝210°.(2)分针按顺时针过了周角的16，即－60°.答案(1)－150°210°(2)－60°题型二终边相同的角【例2】已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.解(1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.规律方法将任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k.可用观察法(α的绝对值较小时适用)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，且余数为正值．【训练2】写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．解 终边在直线OM 上的角的集合为M ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z } ＝{α|α＝45°＋n ·180°，n ∈Z }．同理可得终边在直线ON 上的角的集合为{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }， 所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为 {α|45°＋n ·180°≤α≤60°＋n ·180°，n ∈Z }．【探究1】 在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析 －20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个． 答案 C【探究2】 写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．解 根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360°的整数倍即可． 所以表示为：第一象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，0°＜α＜90°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＜β＜k ·360°＋90°，k ∈Z }．第二象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，90°＜α＜180°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＋90°＜β＜k ·360°＋180°，k ∈Z }．【探究3】 已知α为第二象限角，那么2α，α2分别是第几象限角？解 ∵α是第二象限角，∴90＋k ×360°＜α＜180°＋k ×360°，180°＋2k ×360°＜2α＜360°＋2k ×360°，k ∈Z .∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角．同理45°＋k 2×360°＜α2＜90°＋k2×360°，k ∈Z .当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ×360°＜α2＜90°＋n ×360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则225°＋n ×360°＜α2＜270°＋n ×360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角． 【探究4】 已知α为第一象限角，求180°－α2是第几象限角．解 ∵α为第一象限角，∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ， ∴k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ， ∴－45°－k ·180°＜－α2＜－k ·180°，k ∈Z ，∴135°－k ·180°＜180°－α2＜180°－k ·180°，k ∈Z .当k ＝2n (n ∈Z )时，135°－n ·360°＜180°－α2＜180°－n ·360°，为第二象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，－45°－n ·360°＜180°－α2＜－n ·360°，为第四象限角．∴180°－α2是第二或第四象限角．规律方法 1.象限角的判定方法(1)根据图像判定．利用图像实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内，在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．2．α，2α，α2等角的终边位置的确定方法不等式法：(1)利用象限角的概念或已知条件，写出角α的范围． (2)利用不等式的性质，求出2α，α2等角的范围．(3)利用“旋转”的观点，确定角终边的位置．例如，如果得到k ×120°＜α3＜k ×120°＋30°，k ∈Z ，可画出0°＜α3＜30°所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图所示)．易错警示 由α的范围确定2α的范围时易忽视终边在坐标轴上的情况.课堂达标1．－361°的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 因为－361°的终边和－1°的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故选D. 答案 D2．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( ) A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝CD ．A ＝D解析 直接根据角的分类进行求解，容易得到答案． 答案 D3．将－885°化为α＋k ·360°(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式是________________． 答案 195°＋(－3)×360°4．与－1 692°终边相同的最大负角是________． 解析 ∵－1 692°＝－5×360°＋108°， ∴与108°终边相同的最大负角为－252°. 答案 －252°5.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}．课堂小结1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．2．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}.基础过关1．下列各组角中，终边相同的是( )A．495°和－495°B．1 350°和90°C．－220°和140°D．540°和－810°解析－220°＝－360°＋140°，∴－220°与140°终边相同．答案 C2．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有( )A．B C A B．B A CC．D A∩C) D．C∩D＝B解析锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.答案 D3．若α是第四象限角，则180°－α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．答案 C4．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是______．解析∵－3 000°＝－9×360°＋240°，∴与－3 000°角终边相同的最小正角为240°.答案240°5．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角是______．解析因为2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．答案－160°，200°6．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．7．写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1 080°≤β＜－360°的角β.解与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．令k＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件；令k＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件；令k ＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件． 故符合条件的角有－1 055°，－695°.能力提升8．以下命题正确的是( ) A ．第二象限角比第一象限角大B ．A ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，B ＝{β|β＝k ·90°，k ∈Z }，则ABC ．若k ·360°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )，则α为第一或第二象限角D ．终边在x 轴上的角可表示为k ·360°(k ∈Z ) 解析 A 不正确，如－210°<30°.在B 中，当k ＝2n ，k ∈Z 时，β＝n ·180°，n ∈Z . ∴AB ，∴B 正确．又C 中，α为第一或第二象限角或在y 轴的非负半轴上， ∴C 不正确．显然D 不正确． 答案 B9．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M P C ．M PD ．M ∩P ＝∅解析 对集合M 来说，x ＝(2k ±1)·45°，即45°的奇数倍；对集合P 来说，x ＝(k ±2)·45°，即45°的倍数． 答案 B10．已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在________． 解析 ∵α、β终边相同， ∴α＝k ·360°＋β(k ∈Z )．∴α－β＝k ·360°，故α－β终边会落在x 轴非负半轴上． 答案 x 轴的非负半轴上11．若α为第一象限角，则k ·180°＋α(k ∈Z )的终边所在的象限是第________象限． 解析 ∵α是第一象限角，∴k 为偶数时，k ·180°＋α终边在第一象限；k 为奇数时，k ·180°＋α终边在第三象限． 答案 一或三12．求终边在直线y ＝x 上的角的集合S .解 因为直线y ＝x 是第一、三象限的角平分线，在0°～360°之间所对应的两个角分别是45°和225°，所以S ＝{α|α＝k ·360°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·360°＋225°，k∈Z }＝{α|α＝2k ·180°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝(2k ＋1)·180°＋45°，k ∈Z }＝{α|α＝n ·180°＋45°，n ∈Z }．13．(选做题)已知角α、β的终边有下列关系，分别求α、β间的关系式： (1)α、β的终边关于原点对称； (2)α、β的终边关于y 轴对称．解 (1)由于α、β的终边互为反向延长线，故α、β相差180°的奇数倍(如图1)，于是α－β＝(2k －1)·180°(k ∈Z )．(2)在0°～360°内，设α的终边所表示的角为90°－θ，由于α、β关于y 轴对称(如图2)，则β的终边所表示的角为90°＋θ.于是α＝90°－θ＋k 1·360°(k 1∈Z )，β＝90°＋θ＋k 2·360°(k 2∈Z )．两式相加得α＋β＝(2k ＋1)·180°(k ∈Z )．§3 弧度制内容要求 1.了解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数(重点).2.掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度解决一些实际问题(难点)．知识点1 弧度制 (1)角度制与弧度制的定义(2)如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr. 【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位(√) (2)1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π(√)(3)1°的角比1 rad 的角要大(×)(4)1 rad 的角的大小和所在圆的半径的大小有关(×) 知识点2 角度制与弧度制的换算 常见角度与弧度互化公式如下：请填充完整下表，一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有：设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则1.一个扇形的半径为2 cm ，圆心角为π6，则该扇形所对的弧长l ＝________cm.答案π32.一个扇形的半径为2 cm ，其对应的弧长为2.则该扇形的面积为________cm 2. 答案 2知识点4 利用弧度制表示终边相同的角在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2k π＋α(k ∈Z )，其中α的单位必须是弧度． 【预习评价】1.与30°终边相同的角为( ) A ．2k π＋π3(k ∈Z )B ．2k π＋π6(k ∈Z )C ．360°k ＋π3(k ∈Z )D ．2k π＋30°(k ∈Z )答案 B2.终边在x 轴上的角的集合用弧度制表示为________． 答案 {α|α＝k π，k ∈Z }题型一 角度与弧度的互化【例1】 将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－115π.解 (1)20°＝20×π180 rad ＝π9 rad.(2)－15°＝－15×π180 rad ＝－π12 rad.(3)712π rad ＝712×180°＝105°. (4)－115π rad ＝－115×180°＝－396°.规律方法 角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180rad 和1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝α·180°；n °＝n ·π180rad.(3)注意点：①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；②用“弧度”为单位度量角时，“常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度． 【训练1】 将下列各角度与弧度互化： (1)512π；(2)－76π；(3)－157°30′. 解 (1)512π＝512×180°＝75°；(2)－76π＝－76×180°＝－210°；(3)－157°30′＝－157.5°＝－157.5×π180rad＝－78π rad.题型二 用弧度制表示终边相同的角【例2】 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α＜2π； (2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β. 解 (1)∵－1 480°＝－74π9＝－10π＋16π9，0≤16π9＜2π，∴－1 480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵β与α终边相同，∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z .又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－2π9，β2＝－209π.【训练2】 用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断 2 015°是不是这个集合的元素．解 因为150°＝5π6.所以终边在阴影区域内角的集合为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z . 因为2 015°＝215°＋5×360°＝43π36＋10π，又5π6＜43π36＜3π2.所以2 015°＝43π36∈S ，即2 015°是这个集合的元素．方向1 求弧长【例3－1】 已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6.求的长；解 ∵α＝120°＝23π，r ＝6，∴的长l ＝23π×6＝4π.方向2 求圆心角【例3－2】 已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角． 解 设圆心角是θ，半径是r ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋r θ＝10，12θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍)．故扇形圆心角为12.方向3 求面积的最值【例3－3】 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r . ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010rad ＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2.规律方法 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题.课堂达标1．与120°角终边相同的角为( ) A ．2k π－2π3(k ∈Z )B.11π3C ．2k π－10π3(k ∈Z )D ．(2k ＋1)π＋2π3(k ∈Z )解析 120°＝2π3且2k π－10π3＝(2k －4)π＋2π3(k ∈Z )，∴120°与2k π－10π3(k ∈Z )，终边相同．答案 C2．－23π12化为角度应为( )A ．－345°B ．－15°C ．－315°D ．－375°解析 －23π12＝－2312×180°＝－345°.答案 A3．已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为________．解析 由弧长公式l ＝αR 得α＝l R ＝1812＝32.答案 324．下列结论不正确的是________(只填序号)．①π3 rad ＝60°；②10°＝π18 rad ；③36°＝π5 rad ；④5π8 rad ＝115°. 解析5π8 rad ＝58×180°＝112.5°，∴④错． 答案 ④5．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.课堂小结1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.基础过关1．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A.403πB.203π C.2003π D.4003π 解析 240°＝240×π180 rad ＝43π rad ，∴弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π，故选A.答案 A2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C3．若α＝－3，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 ∵－π＜－3＜－π2，∴－3是第三象限角．答案 C4．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是____________． 答案 25π5．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．解析 由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .答案 346．把下列各角化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z ) 的形式且指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合．(1)－46π3；(2)－1 485°；(3)－20.解 (1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，终边相同的角的集合为。
北师大版必修4高中数学第1章三角函数44.1单位圆与任意角的正弦函数余弦函数的定义4.2单位圆与周期
3．已知 sin θ·cos θ<0，那么角
D [ ∵ sin θ·cos θ<0 ， ∴
θ 是( ) A．第一或第二象限角 B．第一或第三象限角 C．第三或第四象限角
sin θ>0，
或sin θ<0，
cos θ<0 cos θ>0.
∴θ 在第二象限或第四象
限．]
D．第二或第四象限角
4．若函数 f(x)是以2π为周期的周期函数，且 fπ3＝1，则 f176π的值 是( )
(2)一般地，对于函数 f(x)，如果存在_非__零__实__数__T_，对定义域内的 __任__意__一__个__x 值，都有_f_(_x_＋__T_)＝__f_(_x)_，则称 f(x)为周期函数，_T__称为 这个函数的周期．
(3)特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2_k_π_(_k_∈__Z_，__k_≠__0_) 是正弦函数、余弦函数的周期，其中 2π 是正弦函数、余弦函数正周 期中_最__小__的一个，称为__最__小__正__周__期__．
2．已知角 α 的终边上一点的坐标为sin
23π，cos
23π，则角
α的
最小正值为( )
5π
2π
A. 6
B. 3
5π
11π
C. 3
D. 6
D
[由题意知，角
α
的终边上一点的坐标为
23，－12.
∴cos α＝
3
2
＝
232＋－122
3 2.
又 α 的终边在第四象限．
∴α 的最小正值为116π.]
思考 2：由 sin(x＋k·2π)＝sin x(k∈Z)可知函数值随着角的变化呈 周期性变化，你能说一下函数的变化周期吗？
北师大版高中数学-必修第二册-第一章三角函数-§4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义课件
重要的不是知识的数量，而是知识的质量， 有些人知道很多很多，但却不知道最有用的东 西.
——列夫•托尔斯泰
函数值、余弦函数值. 解 先考虑角α的终边不在坐标轴上的情况.
设角α的终边与单位圆交于点P，则点P的
坐标为(cosα,sinα),且OP=1.
点Q(x,y)在角α的终边上,则OQ= x2 y2 . 分别过点P,Q作x轴的垂线PM，QN垂足为M,N.
易知△POM∽△QON.所以
PM
QN
，即
sin α
§4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函 数的定义
任意角的三角函数是三角学中最基本最重要的概念 之一. 起源于对三角形边角关系的研究，始于古希腊的 喜帕恰斯、梅内劳斯和托勒密等人对天文的测量，在相 当长的时期里隶属于天文学.直到1464年，德国数学家雷 格蒙塔努斯著《论各种三角形》，才独立于天文学之外 对三角知识作了较系统的阐说.
sin MP v v, cos OM u u.
OP 1
OP 1
由此可知，对于锐角α来说，点P的纵坐标v 是该角的正弦函数值，记作v=sinα;点P的横 坐标u是该角的余弦函数值，记作u=cosα.
探究点2 任意角的正弦函数和余弦函数
给定任意角α，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为 P(u,v),点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的.仿照上述锐角 三角函数的定义，把点P的纵坐标v定义为 角α的正弦值，记作v=sinα;把点P的横坐标 u定义为角α的余弦值,记作u=cosα.
∴y＝－8.
4．已知
sin
x＝2m＋3，且
x∈
－π，π 66
，求
m
的取值范围．
解
∵x∈
－π，π 66
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4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 4.2 单位圆与
周期性
课后拔高提能练
一、选择题
1．点P从(1,0)出发，沿单位圆(以坐标原点为圆心)逆时针方向运动2π3弧长到达Q点，
则Q的坐标为( )
A．－12，32 B．－32，－12
C．－12，－32 D．－32，12
解析：选A
2．已知P(3，y)在角α的终边上，且满足y<0，cosα＝35，则sinα的值为( )
A．45 B．－45
C．－35 D．35
解析：选B 由题意知332＋y2＝35，得y＝±4，又y<0，∴y＝－4，∴sinα＝
－4
32＋－4
2
＝－45.
3．设α是第二象限角，且|cosα2|＝－cosα2，则角α2的终边落在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C ∵α是第二象限角，
∴2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z，
∴kπ＋π4<α2
又|cosα2|＝－cosα2，∴cosα2<0，
∴α2是第三象限角．
4．给出以下命题：
①存在函数f(x)，对于其定义域中的某个自变量x0，使f(x0＋T)＝f(x0)，则f(x)为周
期函数；
②存在实数T，使得对f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x＋T)＝f(x)，则f(x)为周
期函数；
③周期函数的周期是唯一的；
④周期函数f(x)的定义域可以为(a，b)，其中a，b均为实常数．
其中正确的个数有 ( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A 由周期函数定义知f(x＋T)＝f(x)对定义域内的任意一个x都成立，故①
错误；又T是非零实数，故②错误；若T为周期，则kT(k∈Z)也是周期，故③错误；由于
T
不为零，又当x属于f(x)的定义域时，x＋T，x＋2T，…，x＋kT(k∈Z)也属于定义域，故
周期函数f(x)的定义域没有上、下界，只能是R，故④错误．
二、填空题
5．若点(a,9)在函数y＝3x的图像上，则sinaπ6＝________.
解析：∵(a,9)在y＝3x的图像上，∴3a＝9，a＝2.sinaπ6＝sinπ3＝32.
答案：32
6．如图，动点从A(1,0)出发，逆时针旋转到P－33，－63，则以OP为终边的角
α
的余弦值为________．
解析：由三角函数的定义可知cosα＝x＝－33.
答案：－33
7．已知角α的终边经过点P(－3，y)(y≠0)，且sinα＝24y，则cosα＝________.
解析：r＝3＋y2，sinα＝yr＝24y，∵y≠0，∴y2＝5，
∴r＝22，∴cosα＝xr＝－322＝－64.
答案：－64
三、解答题
8．(1)已知角α的终边过点P(1,2)，求5sinα＋52cosα的值；
(2)若角α的终边在直线y＝2x上，求sinα，cosα的值．
解：(1)∵角α的终边上有一点P(1,2)，
∴OP＝12＋22＝5，sinα＝25，cosα＝15，
5sinα＋52cosα＝25·5＋52×15＝52.
(2)在角α的终边上任取一点(a,2a)(a≠0)，
则|OP|＝a2＋2a2＝5|a|.
当a>0时，sinα＝2a5|a|＝255，
cosα＝a5|a|＝55；
当a<0时，sinα＝2a5|a|＝－255，
cosα＝a5|a|＝－55.
9．设θ为锐角，利用三角函数的定义证明：1
则sinθ＝yx2＋y2，cosθ＝xx2＋y2，
∵θ为锐角，∴x>0，y>0.
于是sinθ＋cosθ＝x＋yx2＋y2＝x＋y2x2＋y2＝2－x－y2x2＋y2≤2.
又∵sinθ＋cosθ＝ x2＋y2＋2xyx2＋y2＝ 1＋2xyx2＋y2>1，
∴1