频率分布直方图与概率密度曲线
2.2.1频率分布直方图
O
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月均用水量/t
频率 组距
总体密度曲线
总体在区间 （a，b）内取 值的百分比.
O
a b 月均用水量/t
探究：在上述背景下，相应的频率分布折线 图越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这 条光滑曲线为总体密度曲线.那么图中阴影部 分的面积有何实际意义？
6、（2016•海口模拟）某中学举行了一次“环保知识竞赛”， 全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况， 从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100 分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部 污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决 下列问题： 组别 分组 频数 频率 频率分布表
0.15
0.22 0.25 0.15 0.05 0.04 0.02 1
0.44 0.5
0.3 0.1 0.08 0.04 2.00
第一步，画平面直角坐标系. 第二步，在横轴上均匀标出各组分点，在纵轴上标出单位长度. 第三步，以组距为宽，各组的频率与组距的商为高，分别画出 第 各组对应的小长方形. 五 频率 步: 组距 画 出 小长方形的面 小长方形的面 月均用水量最 频 积=? =? 积总和 多的在那个区 率 0.5 0.50 0.44 间? 分 0.40 布 0.3 0.3 直 0.30 方 0.16 0.20 0.1 图. 0.08 月均用水量 0.08 0.10 0.04 /t 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
A
）
A．19、13
B．13、19
C．20、18
D．18、20
3． （2016•漳平市校级模拟） 某市重点中学奥数培训班共 有 14 人， 分为两个小组， 在一次阶段考试中两个小组成 绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是 88， 乙组学生成绩的中位数是 89， 则 m+n 的值是 （
频率直方图
1 n 2 S S ( X X ) i ． n 1 i1
2
1 n 样本k阶中心矩 Bk ( X i X ) k （k=1，2，… ) . n i 1
n 1 2 S 显 A1 X B2 n ． 然 ， 它们的观察值分别为
1 n x xi , n i 1
试根据这些数据作出直方图，并根据直方图估计含硅量 X 的分布．
解 1°从n=120个数据中找出最小值 x(1)= 0.64 及最大值 x(120)= 0.95． 2°取 a = 0.635, b = 0.955, 分 k = 16 组，组距
t
0.955 0.635 0.02． 16 3°分组及频数如表 6-1所示．表中的组中值
图6-1
样本分布函数Fn(x)具有以下性质：
1°0≤Fn(x)≤1； 2°Fn(x)是单调不减函数；
3°Fn(x)是处处右连续的． 对于样本观察值 (x1，x2，…，xn)，为了求其对应的样本分布函数 Fn(x)
之值，只须将这 n 个值中小于或等 x 的个数除以样本容量 n 即可．对于给定 的x，Fn(x)是 n 次重复独立试验中事件 {X≤x} 出现的频率，而理论分布函数 F(x)是事件{X≤x}发生的概率，由伯努利定理知，对任意给定的正数ε，有
i 1 n
Xn)的联合概率密度为 f ( xi )．
i 1
n
第二节 统计量及其分布 一、统计量
样本是总体的代表，是统计推断的依 据．在应用时，往往不是直接使用样本本身， 而是针对不同的问题构造样本的函数，来进行 统计推断． 定义1 设(X1，X2，…，Xn)是来自总体 X 的一个样本，t = g(t1, t2,…, tn) 为 t1, t2, …, tn的一个单值实函数，并且其中不包含任何未知参数，则称 T = g(X1,
高中数学高考统计知识点总结
第二章：统计 1、抽样方法：①简单随机抽样（总体个数较少） ②系统抽样（总体个数较多） ③分层抽样（总体中差异明显）注意：在N 个个体的总体中抽取出n 个个体组成样本， 每个个体被抽到的机会（概率）均为Nn。
2、总体分布的估计： ⑴一表二图：①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。
⑵茎叶图：①茎叶图适用于数据较少的情况， 从中便于看出数据的分布， 以及中位数、众位数等。
②个位数为叶， 十位数为茎， 右侧数据按照从小到大书写， 相同的数据重复写。
3、总体特征数的估计：⑴平均数：nx x x x x n++++=Λ321； 取值为n x x x ,,,21Λ的频率分别为n p p p ,,,21Λ， 则其平均数为n n p x p x p x +++Λ2211； 注意：频率分布表计算平均数要取组中值。
⑵方差与标准差：一组样本数据n x x x ,,,21Λ方差：212)(1∑=-=ni ix xns ；标准差：21)(1∑=-=ni ix xns注：方差与标准差越小， 说明样本数据越稳定。
平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。
⑶线性回归方程①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图， 判断线性相关关系 ③线性回归方程：a bx y +=∧（最小二乘法）1221ni i i ni i x y nx y b x nx a y bx==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑注意：线性回归直线经过定点),(y x 。
第三章：概率1、随机事件及其概率：⑴事件：试验的每一种可能的结果， 用大写英文字母表示；⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点； ⑶随机事件A 的概率：1)(0,)(≤≤=A P nmA P . 2、古典概型：⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；⑵古典概型的特点： ①所有的基本事件只有有限个； ②每个基本事件都是等可能发生。
第五章概率与概率分布
P( A)
事件A发生的次数m 重复试验次数n
m n
英语字母出现频率
space 0.2 ; I 0.055 ; C 0.023 ; G 0.011 ; Q 0.001 ; E R U B Z 0.105 ; T 0.072 ; 0.054 ; S 0.052 ; 0.0225 ; M 0.021 ; 0.0105 ; V 0.008 ; 0.001 O H P K 0.0654 ; 0.047 ; 0.0175 ; 0.003 ; A D Y X 0.063 ; 0.035 ; 0.012 ; 0.002 ; N 0.059 L 0.029 W 0.012 J 0.001
一、概率(Probability)的定义
概率：0-1之间的数，衡量事件A发生可能 性（机会）的数值度量。记P（A） •Probability: A value between 0 and 1, inclusive, describing the relative possibility (chance or likelihood) an event will occur.
P ( A) A包 含 的 可 能 结 果 (偶 数 ) 全部可能结果 3 6
实际与理论分析不符时，实际中可能作弊。
如：河北银行人员为买奖券，盗2000万并没中大奖。
西安彩票中心人员中奖率极高,结果是作弊。
例：已知有148名学生统计表
专业
性别
男 女
金融学院 工商学院 经济学院 会计学院 15 15 22 14 30 12 25 15
摘自：概率论与数理统计简明教程1988》李贤平 卞国瑞 立鹏，高等教育出版社
吴
大量统计的结果,用于破解密码
美国正常人血型分布
2.4正态分布
解答
引申探究
本例条件不变，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，求c的值.
解 因为X服从正态分布N(1,22)， 所以对应的正态曲线关于x＝1对称. 又P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，
c＋1＋c－1 因此 ＝1，即 c＝1. 2
解答
反思与感 悟
利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的
2
1 2 3 4 5
解析
答案
3.已知服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)， (μ － 2σ ， μ ＋ 2σ) 和 (μ － 3σ ， μ ＋ 3σ) 内 取 值 的 概 率 分 别 为
68.3%,95.4% 和99.7%.若某校高一年级 1 000名学生的某次考试
成绩X服从正态分布N(90,152)，则此次考试成绩在区间 (60,120) 内的学生大约有 A.997人 B.972人
解析 答案
正态曲线下的面积规律
• X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 • 对称区域面积相等。
S(-,-X)
S(X,)＝S(-,-X)
正态曲线下的面积规律
• 对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
x2 x1
3、特殊区间的概率:
特别地有
解析
由正态曲线的性质知，曲线的形状由参数σ确定，σ越大，
曲线越矮胖；σ越小，曲线越瘦高，且σ是标准差，故选A.
1 2 3 4 5
解析
答案
2.设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，且二次方程x2＋4x＋ξ ＝0无实数根的概率为 ，则μ等于 1
(完整版)高中数学概率统计知识点总结
高中数学概率统计知识点总结一、抽样方法1．简单随机抽样 2．简单随机抽样常用的方法:（1）抽签法；⑵随机数表法.3．系统抽样:K （抽样距离)=N （总体规模）/n （样本规模）4．分层抽样：二、样本估计总体的方式1、用样本的频率分布估计总体分布(1）频率分布直方图的画法；（2)频率的算法；（3）频率分布折线图；（4)总体密度曲线；（5）茎叶图。
化不大的位作为一个主干（茎），将变化大的位的数作为分枝（叶）,列在主干的后面，这样就可以清楚地看到每个主干后面的几个数,每个数具体是多少。
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（1）众数、中位数、平均数的算法;（2）标准差、方差公式.3、样本均值:nx x x x n +++= 21 4、．样本标准差：n x x x x x x s s n 222212)()()(-++-+-==三、两个变量的线性相关1、正相关2、负相关正相关：自变量增加，因变量也同时增加（即单调递增) 负相关:自变量增长，因变量减少(即单调递减)四、概率的基本概念(1）必然事件（2）不可能事件（3)确定事件（4)随机事件（5)频数与频率（6)频率与概率的区别与联系必然事件和不可能事件统称为确定事件1他们都是统计系统各元件发生的可能性大小；2、频率一般是大概统计数据经验值，概率是系统固有的准确值; 3频率是近似值，概率是准确值4、频率值一般容易得到，所以一般用来代替概率进行定量分析，首先要知道系统各元件发生故障的频率或概率.事件的频率与概率是度量事件出现可能性大小的两个统计特征数.频率是个试验值，或使用时的统计值，具有随机性，可能取多个数值。
因此，只能近似地反映事件出现可能性的大小概率是个理论值，是由事件的本质所决定的，只能取唯一值，它能精确地反映事件出现可能性的大小虽然概率能精确反映事件出现可能性的大小,但它通过大量试验才能得到，这在实际工作中往往是难以做到的.所以，从应用角度来看，频率比概率更有用，它可以从所积累的比较多的统计资料中得到需要指出的是用频率代替概率，并不否认概率能更精确、更全面地反映事件出现可能性的大小，只是由于在目前的条件下，取得概率比取得频率更为困难。
概率论与数理统计-第六章
这200人的年龄数据。
总体：北京市民的年龄 随机变量：年龄X
个体：张三28岁；李四5岁；
样本：{ 28；5；14；56；23；2；39；…；69} 样本容量：200
抽样：随机抽取200人进行调查的过程
6
例2：为了确定工厂生产的电池电量分布情况，在
产品中随机抽取500个，测量其电量。记录了
x
0
F n1 , n2
F分布的分位数
x
F分布的上α分位点
对于给定的 , 0 1, 称满足条件
F n1 , n2
f x; n1 , n2 dx 的点F n1 , n2
为F n1 , n2 分布的上 分位数。F n1 , n2 的值可查F 分布表
17
不易计算！
18
抽样分布 —— 任意统计量 Q = g (X1, X2, …, Xn ) 的分布函数 抽样分布的计算： 多维随机变量（独立、同分布）的函数的分布 函数的计算问题。
得到统计量 Q 的抽样分布，就可以用来解决
关于总体 X 的统计推断问题。
19
关于随机变量独立性的两个定理
解：(1)作变换 Yi
显然Y1 , Y2 ,
2 n i 1
Xi
, Yn相互独立，且Yi N 0,1 i 1, 2,
Xi
i 1, 2,
,n
,n
于是 (
) Yi 2 2 n
2 i 1
28
n
(2)
2 ( X X ) X1 X 2 ~ N (0, 2 2 ), 1 2 2 ~ 2 (1) 2
高考数学一轮总复习课件：随机抽样、用样本估计总体
6．(2020·天津)从一批零件中抽取 80 个，测量其直径(单位： mm)，将所得数据分为 9 组：[5.31，5.33)，[5.33，5.35)，…，[5.45， 5.47)，[5.47，5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽 取的零件中，直径落在区间[5.43，5.47)内的个数为( B )
n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了 3 件，则 n＝
(D ) A．9
B．10
C．12
D．13
【解析】 由分层抽样可得630＝2n60，解得 n＝13.
【讲评】 进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式 巧解：
①总样体本的容个量数nN＝该层该抽层取的的个个体体数数； ②总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个 体数之比．
5.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本 的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( A )
A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，53
解析 从茎叶图中可以看出样本数据的中位数为中间两个数的 平均数，即45＋2 47＝46，众数是 45，极差为 68－12＝56，故选择 A.
状元笔记
(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否 方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都 较小时可用抽签法．
(2)在使用随机数表时，如遇到取两位数或三位数，可从选择 的随机数表中的某行某列的数字计起，每两个或每三个作为一个 单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍 去．
个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分.7 个有效评分与 9 个
原始评分相比，不变的数字特征是( A )
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123456 第一枚骰子
③高度就是对应的频率值.
1.同时掷两枚骰子,共掷7200次,点数和的分布频数如下表所示, 计算各个结果的频率,作出频率分布条形图：
点数和 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
频 数 203 407 591 805 994 1218 989 813 602 381 197
25.37 25.33 25.40 25.35 25.41 25.37 25.47 25.39 据的频率分布表和频率分布
25.42 25.47 25.38 25.39
直方图.
①计算极差R:最大值25.56与最小值25.24的差为0.32;
②决定组距与组数:组距为0.03与组数为11;
③决定分点:起点为25.235,终点为25.565.
频率与组距的比值，其相应组距上的频率
等于该组距上的面积
离散型总体
每一个小矩
频率
形的面积恰
组距
好就是其对
应的频率，
这些小矩形
的面积和为
2.频率分布直方图
从规定尺寸为25.40 mm的一堆产品中任取 100件,测得它们的
实际尺寸如下:
25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.39 25.42 25.47 25.35 25.41 25.43 25.44 25.48 25.45 25.43 25.46 25.40 25.51 25.45 25.40 25.39 25.41 25.36 25.38 25.31 25.56 25.43 25.40 25.38 25.37 25.44 25.33 25.46 25.40 25.49 25.34 25.42 25.50 25.37
如果把这堆产品中产品 尺寸的全体看作一个总体, 那么左边数据就是从总体 中抽取的一个容量为100的 样本．
25.35 25.32 25.45 25.40 25.27 25.43 25.54 25.39 25.45 25.43 25.40 25.43 25.44 25.41 25.53 25.37 25.38 25.24 25.44 25.40 25.36 25.42 25.39 25.46 25.38 25.35 25.31 25.34 25.40 25.36 25.41 25.32
2.频率分布直方图
④列频率分布表:
分组
个数累计
[25.235,25.265)
[25.265,25.295) [25.295,25.325) [25.325,25.355) [25.355,25.385) [25.385,25.415) [25.415,25.445) [25.445,25.475)
与前例子不同的是,这里 的总体可以在一个实数区间 内取值(称为连续型总体).运
25.38 25.42 25.40 25.33 25.37 25.41 25.49 25.35 用在初中“统计初步”里学
25.47 25.34 25.30 25.39 25.36 25.46 25.29 25.40 过的方法,可以得到这些数
0.04
0.02
产品
尺寸
(mm)
o 0.02÷0.03
25.235
25.295
25.325
25.415
25.475
25.535 25.565
3.频率分布条形图和频率分布直方图的区别
两者是不同的概念.虽然它们的横坐标示的
内容是相同的，但是频率分布条形图的纵轴
（矩形的高）表示频率；
频率分布直方图的纵轴（矩形的高）表示
0.05÷0.03 0.12÷0.03 0.18÷0.03 0.25÷0.03
0.18 0.12
为1.
0.16
0.13
连续型:当总体中的 个体所取的数值较多,
0.16÷0.03 0.13÷0.03 0.04÷0.03 0.02÷0.03
0.05 0.02 0.01
甚至无限时,其随机 变量是连续型的.
6 7 8 9 10 11 12
第 5 6 7 8 9 10 11 二 4 5 6 7 8 9 10
枚3 4 5 6 7 8 9
骰 子
2
3
4
5
6
7
8
12 3 4 5 6 7
离散型:当总体中的个体所 取的不同数值较少时,其随 机变量是离散型的.
条形图要点：
①各直方长条的宽度要相同；
②相邻长条之间的间隔要适当
正 正正 正正正 正正正正正 正正正 正正
[25.475,25.505)
[25.505,25.535)
[25.535,25.565) 合计
频数 1 2 5 12 18 25 16 13 4 2 2 100
频率 0.01 0.02 0.05 0.12 0.18 0.25 0.16 0.13 0.04 0.02 0.02 1.00
统计学中有两个核心问题,一是如何从整 体中抽取样本?二是如何用样本估计总体?
经过前面的学习,我们已经了解了一些常 用的抽样方法:
简单随机抽样、系统抽样和分层抽样.
本节课,我们在初中学过样本的频率分 布的基础上,研究总体的分布及其估计.
1.频率分布条形图
1.同时掷两枚骰子,共掷7200次,点数和的分布频数如下表所示, 计算各个结果的频率,作出频率分布条形图:
频 率 0.028 0.057 0.082 0.112 0.138 0.169 0.137 0.113 0.084 0.053 0.027
6 频率
36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 36
频率分布的条形图 每一个小矩形的高 就是对应的频率
离散型总体
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 点数和
点数和 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
频 数 203 407 591 805 994 1218 989 813 602 381 197
频 率 0.028 0.057 0.082 0.112 0.138 0.169 0.137 0.113 0.084 0.053 0.027
掷两枚骰子的等可能性结果
累计频率 0.01 0.03 0.08 0.20 0.38 0.63 0.79 0.92 0.96 0.98 1.00
2.频率分布直方图
⑤频率分布直方图:
频率密
小矩形的高：
度
0.01÷0.03 0.02÷0.03
频率 组距 0.03
0.25
每一个小矩形的 面积恰好就是其 对应的频率,这些 小矩形的面积和