天津2020届高三年级第二学期期初检测(六校联考)数学试卷及答案

2020届高三年级第二学期期初检测六校联考数学学科试卷第I 卷（选择题，共45分）一、选择题（本题共9个小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟.考试结束后，上交答题卡. 1.已知集合{}{}22|,|g 14lo A x x B x x ==<≤，则A B =I （ ）A ．(),2-∞B ．()0,2C ．()2,0-D ．(]2,2-2.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若,,a b c 成等比数列，且2c a =，则cos B =( )A ．34 B ． 14C ．4D ．33.下列命题正确的个数为（ ） ①“函数sin 2y x =的最小正周期为2π”为真命题；②对于命题p ：0x R ∃∈，20010x x ++<，则命题p 的否定：x R ∀∈，210x x ++≥ ③若,m n R ∈ ，“ n m ln ln <”是“n m e e <”的充分不必要条件 ④随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，P (ξ<4)＝0.8则P (2≤ξ<4)＝0.3.A.0B. 1C. 2D.34. 函数()()R x x x x f ∈+=2cos 232sin 21，将函数()x f 的图象向右平移3π个单位长度，得到函数()x g 的图象，则()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上的最小值为（ ）A.0B.23-C.-1D.21 5.已知双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的右焦点为F ，抛物线x y 162=与双曲线C 共焦点，点A 在双曲线的渐近线上，OAF ∆是等边三角形（O 为原点），则双曲线的标准方程为（ ） A.112422=-y x B.141222=-y x C.1322=-y x D.1322=-y x 6.已知数列{}n a 满足()*+∈-=N n a a nn 111，且21=a ，则2020a =（ ） A.-1 B.21 C.23D.2 7.已知函数2()2sin12xxf x e =+-，15(log 3),a f =0.5(0.4)b f -=-， 3log 3.1(3)c f =则,,a b c 的大小关系（ ）A.a c b >>B.b c a >>C.c b a >>D.a b c >>8.已知56BAC π∠=,3,AB AC ==BP BC λ=u u u r u u u r ,且5AP BC ⋅=-u u u r u u u r ,则λ的值为（ ）A.12 B.23 C.13 D.149.已知定义在R 上的奇函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤--≤---=)10(,12)1(,27321)(2x x x x x f x ，若关于t 的方程)()(R m m t f ∈=恰有5个不同的实数根54321,,,,t t t t t ，则54321t t t t t ++++的取值范围是（ ）A.()1,2--B.()1,1-C.()2,1D.()3,2第Ⅱ卷 (非选择题，共105分)二.填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.) 10.已知i 是虚数单位，n m ,均为实数，若复数1n mii i-=+，则n m +=___ ． 11.在2nx ⎫-⎪⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为 ． 12.正方体外接球的表面积为16π，则该正方体的表面积为 .13.已知圆C 经过点()1,2-A ，和直线1=+y x 相切，且圆心在直线x y 2-=上.则圆的方程为 .14.微信群里发四个红包（每个红包限1人抢），五人来抢，每人限抢一个，面值分别是3元3元6元8元（相同面值算一种），则五人得到红包面值不同结果的种数有 .（填数字）15.已知,,x y z R +∈求22234xz yzx y z +++的最大值为 .三.解答题(本大题5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 16.（本题14分）甲、乙、丙三位同学报名参加学校的社团活动，每个同学彼此独立地从足球、篮球、围棋、合唱四个社团中随机选报两个社团。

（Ⅰ）求恰有两个同学选报的社团完全相同的概率。

（Ⅱ）求同学甲选报足球社的概率。

（Ⅲ）若甲已经报名参加了合唱社团，只需在其余三个社团中再选报一个，乙、丙从四个社团中随机选两个，设报名足球社的同学人数为X ，求随机变量X 的分布列及期望17.（本题15分）已知平面ABCD ⊥平面CDEF ，且四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形CDEF 为直角梯形，∠CDE=90°，EF ∥CD ，EF=1，DE=2，G 为线段CF 上一点，且CF CG λ=，H 为线段DE 上靠近E 的三等分点。

（Ⅰ）当21=λ时，求证AH ∥平面BDG 。

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求平面BDG 与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值。

（Ⅲ）当λ为何值时，直线BE 与平面BDG 所成角的正弦值为32。

18.（本题15分）已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的离心率是23，一个顶点是()1,0B ,椭圆的右顶点为A .（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）P 为椭圆C 上一动点，求PAB ∆面积的最大值；（Ⅲ）设Q P ,是椭圆上异于顶点的任意两点，且BQ BP ⊥，求证：直线PQ 恒过定点.19.（本题15分）数列{}n a 的前n 项和n S 满足:()n n S n n S 122-+-()02=+-n n ，()*∈N n ，{}n a 为正项数列；数列{}n b 是首项为14，公比为14的等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令()2221n n n n a n n b a c +++=，数列{}n c 的前n 项和n T ，求n T .20.（本题16分）设函数()()01>++=a b ae ae x f xx，其中e 是自然对数的底数. （Ⅰ）设曲线()x f y =在点()()22f ，处的切线方程为x y 23=， 求b a ,的值；（Ⅱ）求()x f 在[)∞+，0内的最小值； （Ⅲ）当0,1==b a 时，已知正数m 满足：存在[)+∞∈,10x ，使得()()03003x x m x f +-<成立，试比较11--e m m e 与的大小，并证明你的结论.2020届高三年级第二学期期初检测六校联考数学学科评分标准一、 选择题（本题共9个小题，每小题5分，共45分） BADBA DCCB二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分). 10.-211．7 12. 3213.()()22122=++-y x 14.60 15.25 三.解答题(本大题5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 16.（本小题满分14分）【答案】解：（Ⅰ）设“恰有两个同学选报的社团完全相同”为事件A ，125)()1()(32412122423=+=C C C C C A P………………4分 另解：四个社团中选两个一共有6个组合，每位同学从一个组合中选一个125656)(323=⨯⨯=C A P（以上列式正确给2分）（Ⅱ）设“甲同学选报足球社”为事件B21)(2413==C C B P………………7分（Ⅲ）X 的所有可能值为0,1,2,3， ………………8分 甲同学报名足球社的概率为31，由（2）可知，乙、丙报名足球社的概率都为21，故 61)21(32)0(2===X P………………9分125)21(32)21(31)1(2122=+==C X P ………………10分31124)21(31)21(32)2(2122==+==C X P………………11分121)21(31)3(2===X P ………………12分……………………………13分34123128125)(=++=X E……………………………14分 17.【答案】解：（Ⅰ）∵平面ABCD ⊥平面CDEF ，且交线为CDDE ⊥CD ∴DE ⊥平面ABCD ………… 1分故以DE DC DA ,,方向为x 轴，y 轴，z 轴方向建立空间直角坐标系，由题意得 )0,0,0(D ,),0,2,0(),0,2,2(),0,0,2(C B A ),2,0,0(E ),34,0,0(H )1,23,0(G ,则)1,23,0(=DG ,)0,2,2(=DB 设平面DBG 的法向量为),,(111z y x m =则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0220231111y x z y ，令)3-,2,2-(=m ， ………………………………… 3分 )34,0,2(-=AH0=⋅m AH …… …… …… …… 4分又∵⊄AH 平面BDG ， …… …… …… …… 5分 故AH ∥平面BDG .…… …… …… …… 6分 （Ⅱ）在平面BCF 中，)2,1,0(),0,0,2(-=-=CF BC 设平面BCF 的法向量),,(222z y x n =⎩⎨⎧=+-=-0202222z y x ，则令)1,2,0(=n .…… …… …… ……8分 ∴85855171,cos =>=<n m .…… …… …… …… 9分 故两个平面所成的锐二面角的余弦值为8585..…… …… …… … 10分（设二面角则可以不作答，否则扣1分）（Ⅲ）∵CF CG λ=∴)2,,0(λλ-=CG ，故)2,2,0(λλ-G … …… …… … 11分 ∴)0,2,2(),2,2,0(=-=λλ ⎩⎨⎧=+-=+02)2(0221111z y y x λλ，故设法向量)2,2,2(--=λλλm … 13分由题意可知32|,cos |=><BE m …………… 14分 3244932|42|2=+--λλλ，解得52=λ（32-=λ舍） ………15分18.【答案】（Ⅰ）因为23=e ，1=b ，所以3,2==c a ………2分椭圆的标准方程为1422=+y x ………………………3分（Ⅱ）因为5,21==AB k AB ,12:=+y xl AB ， 设切线m x y l +-=21:， ………………………4分所以424,2214222=⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎪⎩⎪⎨⎧=++-=m x x y x m xy 则，0444222=-+-m mx x ， ………………………5分 2,016-3222===∆m m ， ………………………6分由题知2-21:x y l -=，所以5222+=d ………………………7分 所以()12551222121+=+==∆AB d S PAB . …………………8分 （法2）设(),sin ,cos θθP 5=AB ……………4分 则()()512252cos 2252sin 2cos 2+≤-+=-+=ϕθθθd …7分 所以()12551222121+=+==∆AB d S PAB . ……………8分 （Ⅲ）由题知k 存在，设()()221,1,,y x Q y x P设直线PQ 为m kx y l +=:，将直线l 代入椭圆C 整理得()044841222=-+++m kmx x k ,则22212214144,418-k m x x k km x x +-=⋅+=+，① ……………9分 ()()044414642222>-+-=∆m k m k , ……………10分（没写判别式但最后检验了不扣分） 因为BQ BP ⊥，所以1112211-=-⋅-x y x y ， ……………11分 整理得()01212121=++-+y y y y x x ， 因为m kx y m kx y +=+=2211,，整理得()()()()0111221212=-++-++m x x m k x x k ，②……………13分①代入②整理得03252=--m m ， 解得1,53-==m m 或（舍去） …………………14分 所以，直线PQ 恒过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛53-0，. …………………15分 19. 【答案】（Ⅰ）由()()01222=+--+-n n S n n S n n ，得()[]()012=++-n n S n n S ， …………………1分 由于{}n a 是正项数列，所以0>n S ，n n S n +=2， ……………2分于是,211==S a …………………3分2≥n 时，n S S a n n n 21=-=-， …………………4分综上，数列{}n a 的通项公式n a n 2=. …………………5分数列{}n b 是等比数列，411=b ，41=q ，所以nn b ⎪⎭⎫⎝⎛=41……………6分（Ⅱ）因为()22241412+++⎪⎭⎫⎝⎛=n n n n c nn ，令⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛n n 412前n 项和为n A ，()⎭⎬⎫⎩⎨⎧++22241n n n 前n 项和为n B ，所以n n n B A T +=①()nn n n n A ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-4124112416414412132Λ …7分②()1432412411241641441241+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=n nn n n A Λ …8分①－②得12412414141243+⎪⎭⎫⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n A Λ ………9分所以()nn n A ⎪⎭⎫⎝⎛+=41986-98 …………………11分因为()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=++2222211161241n n n n n ， …………………12分 所以()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++--+--++++=22222222222211111112151-3141-2131-1161n n n n n n B n Λ……………………………………13分得()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=222111-45161n n B n ， ……………………14分 所以()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2221114516141986-98n n n T nn ……15分20.【答案】（Ⅰ）依题意(),1'xxae ae x f -= ……………………………………1分 (),231222'=-=ae ae f ()32=f ， …………………………………2分 解得22=ae 或212-=ae （舍去）所以22ea =， …………3分 代入原函数可得,3212=++b 即21=b . 故21,22==b e a . …………………………………4分 （Ⅱ）(),1'xxae ae x f -= 当()0'>x f ，即a x ln ->时，()x f 在()+∞-,ln a 上递增； ……5分当()0'<x f ，即a x ln -<时，()x f 在()a ln --∞，上递减； ……6分 （1）当10<<a 时，()x f a ,0ln ->在()a ln 0-，上递减，在()+∞-,ln a 上递增，从而()x f 在[)∞+，0上的最小值为()b a f +=-2ln ……8分（2）当1≥a 时，()x f a ,0ln -≤在[)∞+，0上递增，从而()x f 在[)∞+，0上的最小值为()b aa f ++=10. ……………10分 （Ⅲ）令函数()(),313x x m ee x g x x+--+= 则()().1312'-+-=x m ee x g x x当01,01,12≥->-≥x ee x xx，又,0>m 故().0'>x g 所以()x g 是[)∞+，1上的单调增函数，因此()x g 在[)∞+，1上的最小值是().211m e e g -+=- 由于存在[)+∞∈,10x ，使得(),0303000<+--+-x x m e e x x 故2,0211--+><-+e e m m e e 即 ………………………12分令函数()(),1ln 1---=x e x x h 则()xe x h 11'--=.令()0'=x h ，得1-=e x 当()1,0-∈e x 时，()0'<x h ，故()x h 是()1,0-e 上的单调减函数；当()∞+-∈，1e x 时，()0'>x h ，故()x h 是()∞+-，1e 上的单调增函数； ()()01==e h h ，所以当()()1,01,1-⊆-∈e e x 时，()()()011=<≤-h x h e h ；当()()()()0,,1,1=<+∞-⊆-∈e h x h e e e x .所以()0<x h 对任意的()e x ,1∈成立. ………………………14分①当()e e e e m ,1,21⊆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈-时，()0<m h ，即()m e m ln 11-<-，从而11--<e m m e ； ②当e m =时，1-=e mme③当()()+∞-⊆+∞∈,1,e e m 时，()()0=>e h m h ，即()m e m ln 11->-，故11-->e m m e综上所述，当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈-e e e m ,21时，11--<e m m e ；当e m =时，1-=e m m e ； 当()+∞∈,e m 时，11-->e m m e . ………………………16分。