固体物理学概念和习题答案
固体物理学答案 黄昆原著 韩汝琦改编
《固体物理学》习题解答黄昆 原著 韩汝琦改编第一章 晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率，VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1∴52.06r8r34a r 34x 3333=π=π=π=（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯=（3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)r 22(r 344a r 344x 3333≈π=π⨯=π⨯= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个74.062r224r 346x 33≈π=π⨯= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.063r 338r 348a r 348x 33333≈π=π⨯=π⨯=1.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(ac 2/1≈=证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
固体物理概念答案
1． 基元，点阵，原胞，晶胞，布拉菲格子，简单格子，复式格子。
基元：在具体的晶体中，每个粒子都是在空间重复排列的最小单元；点阵：晶体结构的显著特征就是粒子排列的周期性，这种周期性的阵列称为点阵； 原胞：只考虑点阵周期性的最小重复性单元；晶胞：同时计及周期性与对称性的尽可能小的重复单元；布拉菲格子：是矢量Rn=mA1+nA2+lA3全部端点的集合，A1，A2，A3分别为格点到邻近三个不共面格点的矢量；简单格子：每个基元中只有一个原子或离子的晶体；复式格子：每个基元中包含一个以上的原子或离子的晶体；2． 晶体的宏观基本对称操作，点群，螺旋轴，滑移面，空间群。
宏观基本对称操作：1、2、3、4、6、i 、m 、4，点群：元素为宏观对称操作的群螺旋轴：n 度螺旋轴是绕轴旋转2/n π与沿转轴方向平移T t j n=的复合操作 滑移面：对某一平面作镜像反映后再沿平行于镜面的某方向平移该方向周期的一半的复合操作空间群：保持晶体不变的所有对称操作3． 晶向指数，晶面指数，密勒指数，面间距，配位数，密堆积。
晶向（列）指数：布拉菲格子中所有格点均可看作分列在一系列平行直线族上，取一个格点沿晶向到邻近格点的位移基失由互质的（l1/l2/l3）表示；晶面指数：布拉菲格子中所有格点均可看作分列在一系列平行平面族上，取原胞基失为坐标轴取离原点最近晶面与三个基失上的截距的倒数由互质的（h1/h2/h3）表示；密勒指数：晶胞基失的坐标系下的晶面指数；配位数：晶体中每个原子（离子）周围的最近邻离子数称之为该晶体的配位数；面间距：晶面族中相邻平面的间距；密堆积：空间内最大密度将原子球堆砌起来仍有周期性的堆砌结构；4． 倒易点阵，倒格子原胞，布里渊区。
倒易点阵：有一系列在倒空间周期性排列的点-倒格点构成。
倒格点的位置可由倒格子基矢表示，倒格子基矢由…确定倒格子原胞：倒空间的周期性重复单元（区域），每个单元包含一个倒格点布里渊区：在倒格子中如以某个倒格点作为原点，画出所有倒格矢的垂直平分面，可得到倒格子的魏格纳塞茨原胞，即第一布里渊区5． 布拉格方程，劳厄方程，几何结构因子。
《固体物理学》概念和习题答案
《固体物理学》概念和习题答案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN《固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题：1.给出原胞的定义。
答：最小平行单元。
2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。
答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。
3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。
4. 请描述七大晶系的基本对称性。
5. 请给出密勒指数的定义。
6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。
7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。
8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。
9. 给出布里渊区的定义。
10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面为什么11. 写出晶体衍射的结构因子。
12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。
13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。
14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。
15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。
（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式）16. 给出声子的定义。
17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。
18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。
19. 简述晶体热膨胀的原因。
20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。
21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式）22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。
23. 写出金属的电导率公式。
24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。
25. 简述能隙的起因。
26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。
27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。
固体物理学_答案(黄昆 原著 韩汝琦改编)
《固体物理学》习题解答黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯=（3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)r 22(r 344a r 344x 3333≈π=π⨯=π⨯= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 74.062r224r346x 33≈π=π⨯= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.063r 338r 348a r 348x 33333≈π=π⨯=π⨯=1.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
《固体物理学》答案[1]
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* v0 =
(2π )3 v0
1.5 证明：倒格子矢量 G = h1b1 + h2 b2 + h3b3 垂直于密勒指数为 ( h1h2 h3 ) 的晶面系。 证：
v v v uuu v uuu r a r a a a CA = 1 − 3 , CB = 2 − 3 h1 h3 h2 h3 uuu r v Gh1h2h3 ⋅ CA = 0 容易证明 v uuu r Gh1h2h3 ⋅ CB = 0 v v v v G = h1b1 + h2b2 + h3b3 与晶面系 (h1h2 h3 ) 正交。 v v v h k l ( ) 2 + ( )2 + ( )2 ；说明面 a b c
图 1.3 体心立方晶胞
（2）对体心立方晶体，任一个原子有 8 个最近邻，若原子刚性球堆积，如图 1.3 所示，体心位置 O 的原 子 8 个角顶位置的原子球相切， 因为晶胞空间对角线的长度为 3a = 4r , V = a 3 , 晶胞内包含 2 个原子， 所
2* 4 3π( 以ρ = a3
3a 3 4
−
3 ε 23 2 1 − ε 23 2 ε 33
由上式可得
ε 23 = 0, ε 32 = 0, ε 11 = ε 22 . ε 11 ε = 0 0 0 ε 11 0 0 0 . ε 33
于是得到六角晶系的介电常数
附：证明不存在 5 度旋转对称轴。 证：如下面所示，A,B 是同一晶列上 O 格点的两个最近邻格点，如果绕通过 O 点并垂直于纸面的转轴顺时 针旋转θ 角，则 A 格点转到 A 点，若此时晶格自身重合，点处原来必定有一格点，如果再绕通过 O 点的
3a = 8r , 晶胞体积 V = a 3
固体物理学_答案(黄昆)
《固体物理学》习题解答黄昆原著韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率，VcnV x =（1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ，V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r8r34ar 34x 3333=π=π=π=（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒=n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342ar342x 3333≈π=π⨯=π⨯=（3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)r 22(r344ar344x 3333≈π=π⨯=π⨯=（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233晶胞的体积：V=332r 224a23a 38a 233C S ==⨯=⨯n=1232126112+⨯+⨯=6个74.062r224r 346x 33≈π=π⨯=（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.063r338r 348ar348x 33333≈π=π⨯=π⨯=1.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
固体物理学_答案
《固体物理学》习题解答黄昆 原著 韩汝琦改编第一章 晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯=（3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)r 22(r 344a r 344x 3333≈π=π⨯=π⨯= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 74.062r224r346x 33≈π=π⨯= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.063r 338r 348a r 348x 33333≈π=π⨯=π⨯=1.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
固体物理学_答案
⎧� a � � ⎪a1 = 2 ( j + k ) ⎪ ⎪� a � � 证明： （1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢） ： ⎨a2 = (i + k ) 2 ⎪ ⎪� a � � ⎪ a3 = 2 (i + j ) ⎩
由倒格子基矢的定义： b1 =
�
2π � � (a2 × a3 ) Ω
1 m nβ n−−m W = α (1 − )( ) m 2 n mα ∂ 2U （3）体弹性模量 K = ( )V ⋅V0 ∂V 2 0
晶体的体积 V = NAr ，A 为常数，N 为原胞数目 晶体内能 U ( r ) =
3
N α β (− + ) 2 rm rn ∂U ∂U ∂r N mα nβ 1 = = ( m +1 − n +1 ) ∂V ∂r ∂V 2 r r 3NAr 2
α (±1) 1 1 1 1 =∑′ = 2[ − + − + ...] r rij r 2r 3r 4r j
前边的因子 2 是因为存在着两个相等距离 ri 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求 和后要乘 2，马德隆常数为
1 1 1 α = 2[1 − + − + ...] 2 3 42 x x3 x4 ∵ℓ n (1 + x) = x − + − + ... x 3 4
当 X=1 时，有 1 −
1 1 1 + − + ... = ℓ n 2 2 3 4
∴α = 2ℓ n 2
2.3、若一晶体的相互作用能可以表示为
u (r ) = −
α β + rm rn
试求： （1）平衡间距 r0 ； （2）结合能 W （单个原子的） ； （3）体弹性模量；
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《固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题：1.给出原胞的定义。
答：最小平行单元。
2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。
答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。
3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。
4. 请描述七大晶系的基本对称性。
5. 请给出密勒指数的定义。
6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。
7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。
8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。
9. 给出布里渊区的定义。
10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？11. 写出晶体衍射的结构因子。
12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。
13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。
14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。
15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。
（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式？）16. 给出声子的定义。
17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。
18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。
19. 简述晶体热膨胀的原因。
20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。
21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式）？22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。
23. 写出金属的电导率公式。
24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。
25. 简述能隙的起因。
26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。
27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。
28. 给出空穴概念。
29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。
30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。
31. 解释直接能隙和间接能隙晶体。
32. 请说明本征半导体与掺杂半导体的区别。
33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义。
34. 给出半导体的电导率。
35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关。
36. 请解释德哈斯-范阿尔芬效应。
37. 什么叫费米液体？38. 请给出纯金属的电导率随温度的关系。
39. 请解释刃位错、螺位错、晶界和小角晶界并画出示意图。
40. 请列出顺磁性、抗磁性的主要区别。
41. 请列出铁磁性固体的主要特征。
42. 请列出亚铁磁性与反铁磁性的主要区别。
43. 什么是格波和声子？晶体中声子有多少种可能的量子态？44. 请说明Debye热容量模型的基本假设，为什么说Debye热容量模型在低温下是正确的？45. 什么是近自由电子近似和紧束缚近似？46. 请用能带论解释晶体的导电性，并试述导体、半导体、绝缘体能带的特点？47. 什么是n型半导体和p型半导体？什么是本征半导体？48. 试分析晶格热振动引起晶体热膨胀的原因以及限制声子自由程的原因。
《固体物理学》习题注意：固体物理习题集（黄波等编写）上波矢q的定义（q=1/λ）与课堂上所用的波矢k相差2π（k=2π/λ）；另外习题集上的量纲多采用厘米克秒制，注意其与国际单位制之间的转换1.在14种布喇菲格子中，为什么没有底心四方、面心四方和底心立方格子？2.在六角晶系中常用4个指数（h,k,i,l）来表示，如图，前三个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a1,a2,a3上的截距为：a1/h,a2/k,a3/i，第4个指数表示该晶面在六重轴c上截距为c/l,证明：i=-(h+k),并将下列用(h,k,l)表示的晶面改用(h,k,i,l)表示：(001)(1̅33)(11̅0)(32̅3)(100)(010)(21̅̅̅̅3)。
答：根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多不超过三个。
前三个指数中只有两个是独立的，它们之间存在以下关系：i＝-( h + k ) 。
（0001），（1323），（1100），（3213），（1010），（0110），（2133）。
3.证明理想六角密堆积结构的c/a比是√8/3=1.633，如果c/a值比这个值大得多，可以把晶体视为由原子密集平面所组成，这些面是疏松堆垛的。
4.在单晶硅中，哪个晶面的原子面密度最大？在面心立方晶格中，哪个晶面的原子面密度最大？答：单晶硅中，晶面上的原子密度是(111)>(110)>(100)；面心立方晶格中，晶面原子排列密度（111）> (100)>(110)。
5. 如图的两种正六边形（边长为a）平面格子是布喇菲格子还是复式格子？应如何选取其基矢和原胞？6. 六角空间点阵，六角空间点阵的基矢可以取为：a⃗=√3a2x̂+a2ŷ；b⃗⃗=−√3a2x̂+a2ŷ；c⃗=cẑ；（1）证明：原胞的体积是√32a2c；（2）证明：倒易点阵的基矢是：A⃗=√3a x̂+2πaŷ，B⃗⃗=√3ax̂+2πaŷ，C⃗=2πcẑ；因此直接点阵就是它本身的点阵，但轴经过了转动；（3）描述并绘出六角空间点阵的第一布里渊区。
7. 证明第一布里渊区的体积是(2π)3V c此处V c是晶体初基晶胞的体积。
8. 金刚石的晶体结构是一类典型的结构，如果晶胞是惯用立方体，基元由八个原子组成；（1）给出这个基元的结构因子；（2）求结构因子的诸零点并证明金刚石结构所允许的反射满足h+k+l=4n，且所有指数都是偶数，n是任何整数；否则所有指数都是奇数。
∗体心立方、面心立方晶胞的结构因子和消光条件。
[如：面心立方晶体惯用晶胞基元包含几个原子，写出其基元原子的位置和其衍射的结构因子，并给出消光条件]9. 如果a表示晶格常数，θ表示入射光束与衍射光束之间的交角，证明对于简单立方晶格，sinθ2=λ2a(ℎ2+k2+l2)12式中（h k l）为密勒指数，λ为入射光波长。
10. 画出体心立方和面心立方晶体结构的金属在（100），（110），（111）面上的原子排列。
11. 若一晶体的总互作用能可表示为：U(r)=N2(−αr+βr)，试求：（1）平衡间距r0；（2）结合能W；（3）体弹性模量；（4）若m=2,n=10,r0=3Å,W=4eV,求α、β的值。
12. (黄昆教材2.6)用雷纳德-琼斯势计算Ne在体心立方和面心立方结构中的结合能之比。
13. (黄昆教材2.7)对于H2，从气体的测量得到雷纳德-琼斯势中的参数为：ε=50×10-23J，σ=2.96Å，计算一摩尔氢原子结合成面心立方固体分子氢时的结合能。
(A12=12.13, A6=14.45)14. (固体物理习题集1.15和黄昆教材1.11)证明六角晶体的介电常数张量为(ε1000ε2000ε2)15. (固体物理习题集2.1)设两原子间的互作用能可表示为：u (r )=−αrm+βr n式中，第一项为引力能；第二项为排斥能；α、β均为正常数。
证明，要使这两原子系统处于平衡状态，必须n>m 。
16. (固体物理习题集2.2)设两原子间的互作用能可由：u(r)=−αr +βr表述。
若m=2,n=10，而且两原子构成稳定的分子，其核间距离为：3×10-10m，离解能为4eV,试计算：（1）α和β；（2）使该分子分裂所必须的力和当分裂发生时原子核间的临界间距；（3）使原子间距比平衡距离减少10%时所需要的压力。
17. (固体物理习题集2.11)有一晶体，平均每对离子的互作用能为：u(R)=λA n R n−αe2R式中，R是最RR近邻离子间距；α是马德隆常数；λ、A n为常数。
若n=10, α=7.5,平衡时最近邻距离R0=2.81×10-10m。
求由2N=2×1022个离子组成的这种晶体平衡时的总互作用能。
18. (固体物理习题集2.21)设LiF晶体(NaCl结构)的总互作用能可写成：U=N2(Zλe−R/ρ−αe2/R)，式中，N、Z、R分别代表晶体的离子总数、任一离子的最近邻数和离子间的最短间距；α是马德隆常数；λ、ρ为参量。
求平衡时最近邻间距R0、总结合能U0和体积弹性模量B的表达式。
19. (固体物理习题集2.32)设NaCl晶体的互作用能可表示为：U(R)=−N2(αe2/R−Ae−R/ρ)式中的N、R、ρ、A分别为晶体中的离子数、近邻离子间距、排斥核半径和排斥能参数。
实验测定，NaCl晶体近邻离子的平衡间距R0=2.82×10-10m，体积弹性模量K=2.4×1011dyn/cm2，已知NaCl结构的马德隆常数α=1.7476，试求NaCl晶体的排斥核半径ρ和排斥能参数A。
20. 2N个正负离子组成一个一维链晶体。
平衡时两个最近邻正负离子间距为R0。
试证：(1)该晶体的马德隆常数为μ＝2ln2。
(2)自然平衡状态下的结合能为E b(R0)=2Nq2ln24πε0R0(1−1n)。
-q +q21. (固体物理习题集3.5)已知由N个相同原子组成的一维单原子晶格格波的密度可以表示为：g(ω)= 2Nπ(ωm2−ω2)−1/2式中ωm是格波的最高频率。
求证它的振动模总数恰好等N。
22. (固体物理习题集3.8)设有一维原子链（如图），第2n个原子与第2n+1个原子之间的恢复力常数为β，第2n个原子与第2n-1个原子之间的恢复力常数为β'（β'<β）。
设两种原子的质量相等，最近邻原子间距均为a，试求晶格振动的振动谱以及波矢q=0和q=±1/4a 时的振动频率。
s23. (固体物理习题集3.14)设有一维双原子链，链上最近邻原子间的恢复力常数交错地等于β和10β。
若两种原子的质量相等，并且最近邻间距为a/2，试求在波矢k=0和k=π/a处的ω(k)，并画出其色散关系曲线。
24. (固体物理习题集3.21)考虑一个由相同原子组成的二维正方格子的横振动。
设原子质量为M，点阵常数为a，最近邻原子间的恢复力常数为β，试求：（1）格波的色散关系；（2）长波极限下格波的传播速度。
25. 边长为L的正方形二维晶体，含N个原胞，试求：（1）该点阵振动的模式密度D(ω)；（2）德拜截止频率νD和德拜温度θD；（3）点阵振动内能表达式和低温下比热表达式。
（其中∫x2e−1dx≈2.4∞）26. (固体物理习题集3.30)已知一个频率为ωi的谐振动在温度T下的平均能量εi̅=12ℎωi+ℎωieℎωi/k B−1试用爱因斯坦模型求出由N个原子组成的单原子晶体晶格振动的总能量，并求其在高温和低温极限情况下的表达式。