固体物理学测验题

2008级电技专业《固体物理学》测验题一、 （40分）简要回答：1、 什么是晶体？试简要说明晶体的基本性质。

2、 试简要说明CsCl 晶体所属的晶系、布喇菲格子类型和结合键的类型。

3、 试用极射赤平投影图说明3（3次旋转反演轴）的作用效果并给出其等效对称要素。

4、 什么是格波？什么是声子？声子的能量和动量各为多少？5、 试写出自由电子和晶体中电子的波函数。

6、 如需讨论绝缘体中电子的能谱，应采何种模型？其势能函数有何特点？7、 什么是禁带？出现禁带的条件是什么？ 8、 固体中电子的能量和电子波矢间有何关系？ 二、（10分）某晶体具有简立方结构，晶格常数为a 。

试画出该晶体的一个晶胞，并在其中标出下列晶面：（111`），（201），（123）和（110）。

三、（8分）某晶体具有面心立方结构，试求其几何结构因子并讨论x 射线衍射时的消光规律。

四、（12分）试求晶格常数为2a 的一维布喇菲格子晶格振动的色散关系，并由此讨论此一维晶格的比热。

五、（15分）对于六角密积结构晶体，其固体物理原胞的基矢为：kc a ja i a a ja i a a=+-=+=321232232试求（1） 倒格子基矢；（2） 晶面蔟（210）的面间距； （3）试画出以21,a a为基矢的二维晶格的第一、第二和第三布里渊区。

六、（15）已知一维晶体电子的能带可写为：)2cos 81cos 87()(22ka ka mak E +-= 式中a 是晶格常数，试求： （1） 能带的宽度；（2） 电子在波矢k 态时的速度；（3） 能带底部和能带顶部附近电子的有效质量。

《固体物理学》测验参考答案一、（40分）请简要回答下列问题： 1. 实际的晶体结构与空间点阵之间有何关系？ 答：晶体结构=空间点阵+基元。

2. 什么是晶体的对称性？晶体的基本宏观对称要素有哪些？答：晶体的对称性指晶体的结构及性质在不同方向上有规律重复的现象。

描述晶体宏观对称性的基本对称要素有1、2、3、4、6、对称心i 、对称面m 和4次反轴。

3. 晶体的典型结合方式有哪几种？并简要说明各种结合方式中吸引力的来源。

答：晶体的典型型方式有如下五种：离子结合——吸引力来源于正、负离子间库仑引力；共价结合——吸引力来源于形成共价键的电子对的交换作用力；金属结合——吸引力来源于带正电的离子实与电子间的库仑引力；分子结合——吸引力来源于范德瓦尔斯力氢键结合——吸引力来源于裸露的氢核与负电性较强的离子间的库仑引力。

4. 由N 个原胞所组成的复式三维晶格，每个原胞内有r 个原子，试问晶格振动时能得到多少支色散关系？其波矢的取值数和模式的取值数各为多少？答：共有3r 支色散关系，波矢取值数=原胞数N ，模式取值数=晶体的总自由度数。

5. 请写出自由电子和Bloch 电子的波函数表达式并说明其物理意义。

答：自由电子是平面波波函数：rk i eL⋅=31ψ；Bloch 电子的波函数是受晶格周期函数调制的平面波：)()(),()(nkkkrk i kR r u r u r u e r+==⋅ψ。

6. 晶体中的线缺陷之主要类型有哪些？各有何特点？答：晶体中线缺陷的主要类型是位错：刃位错和螺位错。

刃位错——柏格斯矢量垂直于位错线，有多余半截原子面，有固定滑移面； 螺位错——柏格斯矢量平行于位错线，无固定滑移面，凡是含位错线的平面均是其滑移面，整个晶体形成一螺旋卷面。

7. 什么是电子的有效质量？有何物理意义？答：电子的有效质量是电子在晶格的周期性势场中运动的表观质量。

有效质量倒数张量定义为：)]([121k E m kk∇∇=-*。

有效质量体现了周期场对电子运动的影响，它的大小仍可视为电子惯性大小的量度，而有效质量的正、负体现了电子在晶格和外场之间的动量传递关系。

在能带底部附近，电子有效质量大于零，表示电子将从外场中获得的动量传递给晶格。

在能带顶部附近，电子有效质量小于零，表示电子将从晶格中获得的动量传递给外场。

8. 什么是空穴？其质量和电荷各为多少？答：空穴是研究近乎满带电子的导电行为时引进的一种准粒子，是位于能带顶部的空态，具有正的有效质量，其大小等于空穴所在处电子有效质量，带正电子电荷。

二、（10分）已知某晶体具有面心立方结构，试求其几何结构因子，并讨论其衍射消光规律。

解：面心立方每个晶胞内有4个格点，其坐标分别为：1111110,0,0;0,,;,0,;,,0.222222将其代入几何结构因子表达式：e x p ()e x p 2()()()()1e x p 2e x p 2e x p 2222{1e x p [()]e x p [()]e x p [()]}4,,0,,h k l j h j j j j j F f i K R f i nh u k v l w k l h l h k f i n i n i n f i nh k i nk l i nl h fh k l h k l⎡⎤=⋅=π++⎣⎦⎡+++⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+π⋅+π⋅+π⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+π++π++π+⎧=⎨⎩∑∑ 消光规律：2hklF I∝，所以当h 、k 、l 奇偶混杂时，出现结构消光。

三、（10分）已知某二维晶体具有长方形结构，其晶格常数之比为2∶1，试画出该晶格的第一和第二布里渊区。

解：由题意，正格子基矢为：⎩⎨⎧==j a a ia a212，令：()()()()11112111211122212222222220202i j i ja b a b a i xi yj a b a i xi yj b xi yj b xi y j a b a i xi y j a b a i xi y j ⋅=πδ⎧⋅=⋅+=π⎪⎪⋅=⋅+=⎧=+⎪⎪−−−−−→⎨⎨=+⋅=⋅+=⎪⎪⎩⎪⋅=⋅+=π⎪⎩ 相应的倒格子基矢为：⎪⎩⎪⎨⎧==ja b ia b ππ221，而倒格子及第一（黄色区域）、第二（蓝色区域）布区如图所示。

全奇或全偶 奇偶混杂四、（10分）已知某一维晶格周期为a ，晶体的势函数可表为：axx V π4cos )(=，试由近自由电子模型计算其第一和第二禁带的宽度。

解：由近自由电子模型，各禁带的宽度E V g nn=2，而V n 是晶体势函数V(x)的傅利叶级数展式的系数。

其值：∑=nnx a ni V x V )2exp()(π 4144()c o s [e x p ()e x p ()]2x x xV x i i a a aπππ==+-与势函数的傅氏展式比较得到：1112220201212g g V EV V EV =⎧⎧==⎪⎪⇒⎨⎨===⎪⎪⎩⎩ 五、（10分）已知某一价金属由N 个原子组成，试按Sommerfeld模型求其能态密度g(E)，并求T=0K 时电子系统的费米能量E F 。

解：(1) 求g(E)因为：()2()g E d E g k d k = 而电子态在k 空间中是均匀分布的，33()(2)8V Vgk ππ==且自由电子的能谱为：E k k m() =222，其等能面为球面，所以，d k k d k=42π，且2dEkdk m=，k mE=2，故有：31222323312223(2)()2482(2)()2==⇒=V V m g Ed E k d k E d E V m g E E ππππ(2)求E F晶体中总电子数：31222300(2)()()()2V m N fE g E d E fE E d E ∞∞==π⎰⎰T=0K 时，E ≤E F 时，f(E)=1，故33112222232300332223(2)(2)()22(2)3F E F V m V m N f E Ed E Ed E V m E ∞==ππ=π⎰⎰32223222)3(2)3(2n mV N m E Fππ ==⇒ 六、（12）试由紧束缚模型的结果，导出简立方结构晶体S 电子的能谱，并求： 1. 能带的宽度；2. k 态电子的速度；3. 能带底部及能带顶部附近电子的有效质量。

解：由紧束缚的结果：01()⋅=--∑n i k Ra ts s nE k E J J e ， 简立方每个原子有六个最近邻原子，其坐标为：a a a ±±±,0,0;0,,0;0,0,， 将其代入E （k ），即可得到：010101()2(c o s c o s c o s )⋅---=--⎡⎤=--+++++⎣⎦=--++∑ny y z z x x i k R a t s s ni ka i ka i k a i k a i ka i ka a tsa t s x y zEk E J J e E J J e e e e e e E J J k a k a k a(1) 能带宽度：m a x 001m i n 001m a x m i n 1,()60,()6()()12===±=-+====--∴∆=-=x y z x y z k k k Ek E J J ak k k Ek E J J E Ek Ek J π（2）K 态电子运动速度：1111()()()1(2)[(s i n )(s i n )(s i n )]2[(s i n )(s i n )(s i n )]kx y xx y y x y z E E EV k Ek i j k k k k J a k a i a k a j a k a k Jak a i k a j ka k ∂∂∂∂∂∂=∇=++=--+-+-=++(3) 能带底部和能带顶部电子的有效质量。

由001()2(c o s c o s c o s )x y z E k E J J k a k a k a =+-++知a) 能带底部位于0===z y x k k k ， 将能谱在底部附近展开，有：0012200122220011m i n *()2(c o s c o s c o s 1112[1()1()12226()2=--++=---+-+-=--+=+x y zx ybEk E J J ka ka k E J J ka ka k E J J Jak Ek m与自由电子能谱比较，有2*212bm J a=b) 能带顶底部位于x y z k k k aπ===±，令x x y yz z k k a k k a k k a π⎧'=-⎪⎪π⎪'=-⎨⎪π⎪'=-⎪⎩则式中,,x y z k k k '''均为小量，将其带入能谱表达式，并在带顶附近展开：()00100100122200120011()2co s co s co s 2co s co s co s 2co s co s co s 1112[1()1()1()]2226⎡⎤=--++⎣⎦⎡⎛⎫⎛⎫⎛''=---+-+-⎪ ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎣'''=-+++'''=-+-+-+-=-+-x y z x y x y z x y z E k E J J k a k a k a E J J k a k a aa a E J J k a k a k a E J J k a k a k a E J J J a πππ222m ax *()2''=+t k k E k m 所以，在能带顶部2*212tmJ a=-七、（8分）试简要说明导体、半导体和绝缘体的能带结构特点，并画出能带结构示意图。