人教B版高中数学选修2-3创新设计练习1.3.2杨辉三角(含答案详析)
高中人教A数学选修2-3学案：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 含答案
1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质自主预习·探新知情景引入幻方，在我国也称纵横图，它的神奇特点吸引了无数人为之痴迷．一天，时任台州地方官的杨辉外出巡游，遇到一学童，学童正在为老先生布置的题目犯愁：“把1到9的数字分行排列，不论竖着加，横着加，还是斜着加，结果都等于15”．杨辉看到这个题顿时兴趣大发，于是和学童一起研究起来，直至午后，两人终于将算式摆出来了．杨辉回到家后，反复琢磨，终于发现了规律，并总结成四句话：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出．”就是说：先把1～9九个数依次斜排，再把上1下9两数对调，左7右3两数对调，最后把2,4,6,8向外面挺出，这样三阶幻方填好了．杨辉还系统研究了四阶幻方至十阶幻方，并且他还发现了著名的杨辉三角．那么，杨辉三角与二项式定理中的二项展开式有何关系呢？新知导学1．杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数__相等__．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的__和__，即C r n＋1＝__C r－1n＋C r n__．2．二项式系数的性质对称性与首末两端“__等距离__”的两个二项式系数相等(即C m n＝C n－mn)．增减性当k<__n＋12__时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值最大值当n是偶数时，中间一项二项式系数取得最大值__C n2n__当n是奇数时，中间两项二项式系数相等，同时取得最大值__C n-12n＝C n+12n__各二项式系数的和C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝__2n__.C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝__2n－1__.预习自测1．二项式(x－1)n的奇数项二项式系数和是64，则n等于(C)A．5B．6C．7D．8[解析]二项式(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，∴2n－1＝64，∴n＝7.故选C．2．(全国卷Ⅲ理，4)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为(C)A．－80B．－40C．40D．80[解析]因为x3y3＝x·(x2y3)，其系数为－C35·22＝－40，x3y3＝y·(x3y2)，其系数为C25·23＝80．所以x3y3的系数为80－40＝40．故选C．3．已知(1＋2x)n的展开式中所有系数之和等于729，那么这个展开式中x3项的系数是(B)A．56B．160C．80D．180[解析]由条件知(1＋2)n＝729，∴n＝6，∴展开式的通项为T r＋1＝C r6(2x)r＝2r C r6x r，令r ＝3得23C36＝160．4．(2020·深圳二模)若(x－4x)n的展开式中各项系数的和为81，则该展开式中的常数项为__96__．[解析]在(x－4x)n中，令x＝1可得，其展开式中各项系数和为(－3)n，结合题意可得(－3)n＝81，解得n＝4．∴(x－4x)n的展开式的通项公式为：T r＋1＝C r4x4－r(－4x)r＝(－4)r·C r4·x4－2r，令4－2r ＝0，解得r ＝2.∴常数项为C 24×(－4)2＝96．故答案为96．互动探究·攻重难互动探究解疑 命题方向❶与杨辉三角有关的问题典例1 如图所示，在杨辉三角中，斜线AB 上方箭头所指的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n 项和为S n ，求S 19．[思路分析] 由数列的项在杨辉三角中的位置，将项还原为二项式系数，然后结合组合数的性质求和．[解析] 由杨辉三角可知，数列中的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 23；第4项是C 13，…，第17项是C 210，第18项是C 110，第19项是C 211．故S 19＝(C 12＋C 22)＋(C 13＋C 23)＋(C 14＋C 24)＋…＋(C 110＋C 210)＋C 211 ＝(C 12＋C 13＋C 14＋…＋C 110)＋(C 22＋C 23＋…＋C 211)＝(2＋10)×92＋C 312＝274． 『规律总结』 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路┃┃跟踪练习1__■(1)如图，此数表满足：①第n 行首尾两数均为n ；②图中的递推关系类似杨辉三角，则第n (n ≥2)行第2个数是__n 2－n ＋22__．1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 … … …(2)将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第__2n －1__行；第61行中1的个数是__32__．[解析] (1)由图中数字规律可知，第n 行的第2个数是[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋1＝n (n －1)2＋1．(2)观察可得第1行，第3行，第7行，第15行，全行都为1，故第n 次全行的数都为1的是第2n －1行；∵n ＝6⇒26－1＝63，故第63行共有64个1，递推知第62行共有32个1，第61行共有32个1．命题方向❷二项展开式的系数和问题典例2 在(2x －3y )10的展开式中，求：(1)各项的二项式系数的和；(2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和； (3)各项系数之和；(4)奇数项系数的和与偶数项系数的和． [解析] 在(2x －3y )10的展开式中：(1)各项的二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210＝1024．(2)奇数项的二项式系数的和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29＝512，偶数项的二项式系数的和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29＝512． (3)设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10(*)，各项系数之和即为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10，由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求解．令(*)中x ＝y ＝1，得各项系数之和为(2－3)10＝(－1)10＝1．(4)奇数项系数的和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10，偶数项系数的和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 8．由(3)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1.①令(*)中x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510.② ①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510， 故奇数项系数的和为12(1＋510)；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510， 故偶数项系数的和为12(1－510)．『规律总结』 求展开式的各项系数之和常用赋值法．“赋值法”是求二项式系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同的值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项系数之和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x ＝－1则可得各项系数绝对值之和．┃┃跟踪练习2__■(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．[解析] T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n ·25＝C 6n ·26⇒n ＝8． ∴(1＋2x )8的展开式中二项式系数最大的项为T 5＝C 48(2x )4＝1 120x 4， 设第r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 8·2r ≥C r －18·2r －1C r 8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1， ⇒⎩⎪⎨⎪⎧8！·2r ！(8－r )！≥8！(r －1)！(8－r ＋1)！，8！r ！(8－r )！≥8！·2(r ＋1)！(8－r －1)！⇒⎩⎪⎨⎪⎧2(8－r ＋1)≥r ，r ＋1≥2(8－r ) ⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ≤6，r ≥5⇒5≤r ≤6． 又∵r ∈N ， ∴r ＝5或r ＝6，∴系数最大的项为T 6＝1792x 5，T 7＝1792x 6．有关二项式系数和展开式的系数和的问题典例3 设(2－3x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100x 100，求下列各式的值．(1)a 0；(2)a 1＋a 2＋…＋a 100； (3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2． [思路分析] 用赋值法求各系数的和．[解析] (1)由(2－3x )100展开式中的常数项为C 0100·2100，即a 0＝2100(或令x ＝0，则展开式可化为a 0＝2100)．(2)令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100，① ∴a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100－2100． (3)令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100，② 与①联立相减可得a 1＋a 3＋…＋a 99＝(2－3)100－(2＋3)1002．(4)原式＝[(a 0＋a 2＋…＋a 100)＋(a 1＋a 3＋…＋a 99)]·[(a 0＋a 2＋…＋a 100)－(a 1＋a 3＋…＋a 99)] ＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 98－a 99＋a 100) ＝(2－3)100×(2＋3)100＝1． 『规律总结』 1.各项的系数和一般地，二项展开式f (x )中的各项系数和为f (1)，奇数项系数和为12[f (1)＋f (－1)]，偶数项系数和为12[f (1)－f (－1)]．2．赋值法“赋值法”是求二项展开式系数问题的常用方法，赋值就是对展开式中的字母用具体数值代替，注意赋的值要有利于问题的解决，赋值时可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况．┃┃跟踪练习3__■(2020·深圳高二检测)已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7． 求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|． [解析] 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37②(1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2． (2)由(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094．(3)由(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093．(4)解法一：(1－2x )7的展开式中，a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7) ＝1 093＋1 094＝2 187．解法二：∵|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|是(1＋2x )7展开式中各项的系数和． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝37＝2 187．学科核心素养 杨辉三角的应用(1)二项式展开时，在指数不太大的情况下，直接利用杨辉三角展开比较简便．由于杨辉三角仅仅反映了二项展开式的各项系数的规律，因此还应该理解并掌握指数变化的规律．如(a ＋b )6的展开式中a 的指数，由首项的6次逐项下降为0次，b 的指数由首项的0次逐项上升为6次，各项中a ，b 的指数和为6，恰好等于二项式的指数．(2)二项式系数仅指项的组合数，解决有关二项式系数的问题时，往往运用组合数公式．典例4 如图所示，在杨辉三角中，猜想第n 条和第(n ＋1)条斜线上各数之和与第(n ＋2)条斜线上各数之和的关系，并证明你的结论．[思路分析] 利用“先从特殊到一般，再由一般到特殊”的思想发现结论，然后再证明它的一般性．[解析] 第n 条和第(n ＋1)条斜线上各数之和等于第(n ＋2)条斜线上各数之和．证明如下：第n 条斜线上各数之和为C 0n －1＋C 1n －2＋C 2n －3＋C 3n －4＋C 4n －5＋…，第(n ＋1)条斜线上各数之和为C 0n ＋C 1n －1＋C 2n －2＋C 3n －3＋C 4n －4＋…，第n 条斜线上各数与第(n ＋1)条斜线上各数之和为：(C 0n －1＋C 1n －2＋C 2n －3＋C 3n －4＋C 4n －5＋…)＋(C 0n ＋C 1n －1＋C 2n －2＋C 3n －3＋C 4n －4＋C 5n －5＋…)＝C 0n ＋(C 0n －1＋C 1n －1)＋(C 1n －2＋C 2n －2)＋(C 2n －3＋C 3n －3)＋(C 3n －4＋C 4n －4)＋…＝C 0n ＋1＋C 1n ＋C 2n －1＋C 3n －2＋C 4n －3＋…．这正好是第(n ＋2)条斜线上各数之和．『规律总结』 破解此类题的关键：一是归纳思想，即由前面几行所得的结果猜想出一般的结论；二是性质的应用，利用二项式系数的性质，证明所猜想的结论是正确的．易混易错警示注意区分项数与项的次数典例5 已知(2x －1)n 的展开式中，奇次方项系数的和比偶次方项系数的和小316，求C 2n ＋C 4n ＋C 6n ＋…＋C n n 的值．[错解] 设f (x )＝(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，且奇次项系数的和为A ，偶次项系数的和为B ，则A ＝a 0＋a 2＋a 4＋…，B ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，由条件得B －A ＝316，又f (1)＝a 0＋a 1＋…＋a n ＝B ＋A ＝1，f (－1)＝a 0－a 1＋…＋(－1)n a n ＝A －B ＝－316，∴A ＝12(1－316)．即C 2n ＋C 4n ＋C 6n ＋…＋C n n ＝12(1－316)－1＝－12(1＋316)． [辨析] 上述解答有两处错误，一是混淆了奇数项与奇次方项，偶数项与偶次方项；二是没有弄清C 2n ＋C 4n ＋…＋C n n 的准确含义．[正解] 设f (x )＝(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n x n ，且奇次方项系数和为A ，偶次方项系数和为B ，则依题意可得，A ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，B ＝a 0＋a 2＋a 4＋…，且B －A ＝316，令x ＝－1得，f (－1)＝(－3)n ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ＝(a 0＋a 2＋…)－(a 1＋a 3＋…) ＝B －A ＝316＝(－3)16， ∴n ＝16．从而C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＋C n n ＝C 016＋C 216＋C 416＋…＋C 1616＝216－1＝215． ∴C 2n ＋C 4n ＋…＋C n n ＝215－1．[误区警示] 在二项展开式中，要正确理解与区分：(一)第n 项，第n 项的次数，第n 项的二项式系数；(二)项数与项的次数(如奇数项与奇次方项，偶数项与偶次方项)．课堂达标·固基础1．(2－x )8展开式中不含x 4项的系数的和为( B ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2[解析] (2－x )8展开式的通项T r ＋1＝C r 8·28－r ·(－x )r＝C r 8·28－r ·(－1)r ·x r2 .由r2＝4得r ＝8． ∴展开式中x 4项的系数为 C 88＝1．又∵(2－x )8展开式中各项系数和为(2－1)8＝1， ∴展开式中不含x 4项的系数的和为0．2．在(2x －3x )n (n ∈N *)的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有系数之和为( D )A ．32B ．－32C ．0D ．1[解析] 由题意得2n ＝32，得n ＝5.令x ＝1，得展开式所有项的系数之和为(2－1)5＝1.故选D ．3．若(1－2x )2 019＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 019x 2 019(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01922 019的值为(D )A ．2B ．0C ．－2D ．－1[解析] (1－2x )2 019＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 019·x 2 019，令x ＝12，则(1－2×12)2 019＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01922 019＝0，其中a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01922 019＝－1． 4．如图所示的数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，他们是由正整数倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第n (n ≥3)行第3个数字是__2n (n －1)(n －2)(n ∈N *，n ≥3)__． 11 12 12 13 16 13 14 112 112 1415 120 130 130 120 15 …[解析] 依题意得第n －1行第一个数为1n －1，第n 行第一个数为1n ，第n 行第二个数为1n －1－1n ，第n －1行第二个数为1n －2－1n －1，第n 行第三个数为(1n －2－1n －1)－(1n －1－1n )＝2n (n －1)(n －2)．5．在二项式(2x －3y )9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)系数绝对值的和．[解析] 设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9．(1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29．(2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，令x ＝1，y ＝1， ∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1． (3)由(2)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，令x ＝1，y ＝－1，可得：a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59， 将两式相加除以2可得：a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，即为所有奇数项系数之和．(4)解法一：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－…－a 9，令x ＝1，y ＝－1，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59．解法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|即为(2x ＋3y )9展开式中各项系数和，令x ＝1，y ＝1得： |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝59．。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-3 1.3.2 杨辉三角》3
杨辉三角教学设计
安丘市第一中学崔振富
教学目标：
【知识与技能】：
（1）了解杨辉及杨辉三角形；
（2）能用不完全归纳法写出杨辉三角形；
（3）初步认识杨辉三角中行列数字的特点及规律，能根据杨辉三角形对二项式进行展开。
【过程与方法】：
（1）通过复习多项式乘以多项式法则以及完全平方公式，使学生利用已有知识探究新知识；
（2）通过定理的发现推导提高学生的观察、比较、分析、概括的能力。
【情感与态度】：
（1）培养学生善于探究和交流的团队合作意识；
（2）鼓励学生在学习中学会交流、合作，培养学生团结协作的精神。
同时，通过了解我国古代数学的伟大成就，培养学生的爱国情感。
教学重点：
理解杨辉三角的意义，掌握二项式系数的性质并会应用。
教学难点：
杨辉三角规律的探究与二项式系数性质的应用。
教学过程：。
最新整理高中数学人教A版选修2-3课后训练：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 Word版含解析.doc
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质练习一、选择题1．(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式的各项系数和是( )．A ．2n ＋1B ．2n ＋1＋1C ．2n ＋1－1D ．2n ＋1－22．在312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )．A ．－7B ．7C ．－28D ．28 3．(2－x )8展开式中不含x 4项的系数的和为( )． A ．－1 B ．0 C ．1D ．24．已知31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的第10项是常数，则展开式中系数最大的项是( )．A ．第19项B ．第17项C ．第17项或第19项D ．第18项或第19项5．(2012云南昆明一中月考，理6)已知(1－2x )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( )．A ．1B ．－1C ．36D ．26 二、填空题6．(x 2＋1)(x －2)9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a 11(x －1)11，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11的值为__________．7．(2012安徽安庆模拟，理14)设(32x －1)n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M,8，N 三数成等比数列，则展开式中第四项为__________．8．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第__________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.三、解答题9．已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于521615x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求a 的值．10．设m ，n ∈N ，f (x )＝(1＋2x )m ＋(1＋x )n .(1)当m ＝n ＝2 013时，f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 013x 2 013，求a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2013的值．(2)若f (x )展开式中x 的系数为20，当m ，n 变化时，试求x 2系数的最小值．11.求证：(1)1C n ＋22C n ＋…＋C nn n ＝n ·2n －1；(2)0C n ＋1211C C 23n n +＋…＋11C 11n n n n =++ (2n ＋1－1)． 12．在杨辉三角形中，每一数值是它左上角和右上角两个数值之和，三角形开头几行如下：(1)利用杨辉三角展开(1－x)6；(2)求0.9986的近似值，使误差小于0.001；(3)在杨辉三角形中的哪一行会出现相邻的数，它们的比是3∶4∶5?参考答案1答案：D 解析：令x ＝1，可知其各项系数和为2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－2.2答案：B 解析：由已知n 为偶数，则2n＋1＝5， ∴n ＝8.∴8331122nx x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的展开式通项公式为T r ＋1＝8831C 2rrr x x -⎛⎫⎛⎫⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝(－1)r ·848381C 2rrr x--⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，令8－43r ＝0，得r ＝6，∴常数项为T 7＝(－1)6·26811C 24⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭×28＝7.3答案：B 解析：令x ＝1，得展开式中各项系数之和为(2－1)8＝1，由T r ＋1＝88C 2()rr r x -⋅，令r ＝8，得T 9＝88C ·20x 4＝x 4，其系数为1， ∴展开式中不含x 4的项的系数和为1－1＝0. 4答案：A 解析：T 10＝9C n(3x )n －9·999391C n n x x --=，由T 10为常数，得93n -－9＝0，所以n ＝36，故第19项系数最大．5答案：C 解析：由已知展开式中a 0，a 2，a 4，a 6大于零，a 1，a 3，a 5小于零． 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝1，①令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6＝36.②∴①＋②得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝6312+，①－②得a 1＋a 3＋a 5＝6132-.∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝66313122+-+＝36. 6答案：2 解析：令x ＝1，得a 0＝－2.令x ＝2，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝0. ∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝2.7答案：－160x 解析：当x ＝1时，可得M ＝1，二项式系数之和N ＝2n ， 由已知M ·N ＝64， ∴2n＝64，n ＝6.∴第四项T 4＝36C ·(32x )3·(－1)3＝－160x .8答案：34 解析：由题可设第n 行的第14个与第15个数的比为2∶3，故二项展开式的第14项和第15项的系数比为2∶3，即1314C :C n n ＝2∶3，所以!!:(13)!13!(14)!14!n n n n -⋅-⋅＝2∶3，∴142133n =-.∴n ＝34. 9解：由521615x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，得T r ＋1＝55205225516116C C 55r rrr r r x xx ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令T r＋1为常数项，则20－5r ＝0， 所以r ＝4，常数项T 5＝4516C 5⨯＝16.又(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于2n ，由此得到2n ＝16，n ＝4. 所以(a 2＋1)4展开式中系数最大项是中间项T 3＝24C a 4＝54.所以a ＝3±.10解：(1)当m ＝n ＝2 013时，f (x )＝(1＋2x )2 013＋(1＋x )2 013，x ＝－1，得f (－1)＝(－1)2 013＝－1，即a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2 013＝－1. (2)由已知112C C m n +＝2m ＋n ＝20， ∴n ＝20－2m .∴x 2的系数为222(1)(1)2C C 422m n m m n n --+=⨯+＝2m 2－2m ＋12(20－2m )(19－2m )＝4m 2－41m ＋190.当m ＝5，n ＝10时，f (x )展开式中x 2的系数最小，最小值85.11分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值．解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的系数固定下来，从而使用二项式系数性质012C C C n n n ++＋…＋C n n＝2n .证明：(1)∵!C !()!kn n k k k n k =⋅-＝!(1)!()!n k n k --＝11(1)!C (1)!()!k n n n n k n k ---⋅=--.∴左边＝0111C C n n n n --+＋…＋11C n n n --＝n (0111C C n n --+＋…＋11C n n --)＝n ·2n －1＝右边．(2)11!C 11()!k n n k k n k =⋅++- ＝!1(1)!(1)!()!1(1)!()!n n k n k n k n k +=⋅+-++-＝111C 1k n n +++. ∴左边＝121111C C 11n n n n +++++＋…＋111C 1n n n +++.＝11n +(1211C C n n +++＋…＋11C n n ++) ＝11n +(2n ＋1－1)＝右边． 12分析：(1)根据杨辉三角的规律“每个数都等于它肩上的两个数的和，每行两端都是1”可写出第6行二项式系数，但要注意每项的正负号．(2)求0.9986的近似值一般都是把它化为(1－0.002)6，再利用上面的展开式．(3)根据二项展开式可知，杨辉三角的第n 行的数依次为012C ,C ,C n n n ，…，C rn ，…，C nn ，因此可设出这相邻的三个数，运用组合数公式列出方程组，解此方程组即可求出n .解：(1)由杨辉三角知，第6行二项式系数为：1,6,15,20,15,6,1. 所以(a ＋b )6＝a 6＋6a 5b ＋15a 4b 2＋20a 3b 3＋15a 2b 4＋6ab 5＋b 6.令其中a ＝1，b ＝－x ，得(1－x )6＝1－6x ＋15x 2－20x 3＋15x 4－6x 5＋x 6.(2)0.9986＝(1－0.002)6＝(1－x )6＝1－6×0.002＋15×0.0022＋…＋0.0026≈1－6×0.002＝0.988.(3)设在第n 行出现，并设相邻的三个数分别是1C k n -，C kn ，1C k n +，那么有113C ,4C 4C ,5C knk n kn k n-+⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴3!!()!,4(1)!(1)!!4!(1)!(1)!,5!()!!n k n k k n k n n k n k k n k n -⎧=⨯⎪-⋅+-⎪⎨+⋅--⎪=⨯⎪-⎩即3,4141,5k n k k n k ⎧=⎪⎪+-⎨+⎪=⎪-⎩∴373,495,n k n k -=-⎧⎨-=⎩解得n ＝62，k ＝27，即第62行，此时262728626262C :C :C ＝3∶4∶5.。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-3 1.3.2 杨辉三角》90
《奇妙的杨辉三角》教学设计沈阳市第一二四中学王坦【教材分析】本节课是高中新课程人教B版数学选修2—3第一章第三节的第二课时本节的内容是继学习二项式定理之后，在杨辉三角中进一步对二项式系数的性质进行讨论杨辉三角是我国古代数学的重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，同时杨辉三角中蕴含了丰富的内容，不仅可以直观的看出二项式系数的性质，同时杨辉三角中蕴含了很多奇妙的性质，引导学生进行发现，利用几何直观，数形结合，特殊到一般的数学思想方法进行思考，这一过程不仅有利于培养学生的思维能力，理性精神和实践能力，也有利于学生理解数学知识，培养其数学应用意识。
【学情分析】这节课是由高二的学生配合老师完成的，在学习本节内容以前，学生已经学习了组合数和二项式定理，具备观察分析、归纳概括的能力，但对组合数性质的总结和提升对学生是一个考验，可能会有一部分学生探究学习受阻，教师要适时加以点拨指导。
【三维目标】知识与技能：掌握二项展开式中二项式系数的基本性质及其推导方法。
过程与方法：通过对杨辉三角中蕴含的数字规律的初步探究，培养学生发现问题，提出问题，经过分析，猜想，证明以后解决问题的能力，激励学生自主创新。
通过不同角度观察杨辉三角，培养学生从多角度看问题的意识，提高学生解决实际问题的能力。
情感态度与价值观：激励学生在学习中学会交流，合作，培养学生团结协作的精神，同时，通过了解我国古代数学的伟大成就，培养学生的爱国情感。
同时，让学生在学习的过程中能够感受到数学的奇妙，体会数学学习的快乐，会用数学的视角去发现美，创造美。
【教学重点】掌握二项展开式中二项式系数的性质，探讨杨辉三角中蕴含的数字规律，培养学生发现问题并运用所学知识解决问题的能力。
【教学难点】如何发现，证明规律【教具准备】教科书、课程标准、教案、幻灯片、音响媒体【教学方法与手段】1教学方法：直观观察--归纳抽象--总结规律的一种探究式教学方法2教学手段：问题式教学，合作式教学【教学过程】探究3：（1）在杨辉三角中,在第一行增加一个1，你能找到你认识的数列吗？图1（2）在第一行增加一个1，按照图示中斜线进行求和，会得到一个新数列，这个数列有什么特点？图2分组展示各小组选派代表进行组间展示。
杨辉三角综合测试题(含答案)
杨辉三角综合测试题(含答案)选修2-31.3.2杨辉三角与二项式系数的性质一、选择题1．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为() A．2n－1B．2n－1C．2n＋1－1D．2n答案]C解析]解法一：令x＝1得，1＋2＋22＋ (2)＝1×(2n＋1－1)2－1＝2n＋1－1.解法二：令n＝1，知各项系数和为3，排除A、B、D，选C.2．(x－y)7的展开式中，系数绝对值最大的是()A．第4项B．第4、5两项C．第5项D．第3、4两项答案]B解析](x－y)n的展开式，当n为偶数时，展开式共有n＋1项，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，展开式有n＋1项，中间两项的二项式系数最大，而(x－y)7的展开式中，系数绝对值最大的是中间两项，即第4、5两项．3．若x3＋1x2n展开式中的第6项的系数最大，则不含x的项等于() A．210B．120C．461D．416答案]A解析]由已知得，第6项应为中间项，则n＝10.Tr＋1＝Cr10•(x3)10－r•1x2r＝Cr10•x30－5r.令30－5r＝0，得r＝6.∴T7＝C610＝210.4．(2008•安徽•6)设(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，则a0，a1，…，a8中奇数的个数为()A．2B．3C．4D．5答案]A解析]∴a0＝a8＝C08＝1，a1＝a7＝C18＝8，a2＝a6＝C28＝28，a3＝a5＝C38＝56，a4＝C48＝70，∴奇数的个数是2，故选A.5．设n为自然数，则C0n2n－C1n2n－1＋…＋(－1)kCkn2n－k＋…＋(－1)nCnn＝()A．2nB．0C．－1D．1答案]D解析]原式＝(2－1)n＝1，故选D.6．设A＝37＋C27•35＋C47•33＋C67•3，B＝C17•36＋C37•34＋C57•32＋1，则A－B＝()A．128B．129C．47D．0答案]A解析]A－B＝37－C1736＋C2735－C3734＋…－1＝(3－1)7＝128.7.x2＋2x8的展开式中x4项的系数是()A．16B．70C．560D．1120答案]D解析]考查二项式定理的展开式．设第r＋1项含有x4，则Tr＋1＝Cr8(x2)8－r(2x－1)r＝Cr8•2r•x16－3r，∴16－3r＝4，即r＝4，所以x4项的系数为C4824＝1120. 8．(2010•广东惠州)已知等差数列{an}的通项公式为an＝3n－5，则(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中含x4项的系数是该数列的() A．第9项B．第10项C．第19项D．第20项答案]D解析]∴(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7展开式中含x4项的系数是C45•11＋C46•12＋C47•13＝5＋15＋35＝55，∴由3n－5＝55得n＝20，故选D. 9．若n为正奇数，则7n＋C1n•7n－1＋C2n•7n－2＋…＋Cn－1n•7被9除所得的余数是()A．0B．2C．7D．8答案]C解析]原式＝(7＋1)n－Cnn＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C1n•9n－1＋C2n•9n－2－…＋Cn－1n•9(－1)n－1＋(－1)n－1，n为正奇数，(－1)n －1＝－2＝－9＋7，则余数为7.10．(2010•江西理，6)(2－x)8展开式中不含x4项的系数的和为() A．－1B．0C．1D．2答案]B解析](2－x)8的通项式为Tr＋1＝Cr828－r(－x)r＝(－1)r•28－rCr8xr2，则x4项的系数为1，展开式中所有项的系数之和为(2－1)8＝1，故不含x4项的系数之和为0，故选B.二、填空题11．若(1－2x)2011＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2010x2010＋a2011x2011(x∴R)，则(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2010)＋(a0＋a2011)＝________.(用数字作答)答案]2009解析]令x＝0，则a0＝1.令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a2010＋a2011＝(1－2)2011＝－1.∴(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2010)＋(a0＋a2011)＝2010a0＋(a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2011)＝2010－1＝2009.12．(2008•北京•11)若x2＋1x3n展开式的各项系数之和为32，则n＝________，其展开式中的常数项为________(用数字作答)．答案]510解析]令x＝1，得2n＝32，得n＝5，则Tr＋1＝Cr5•(x2)5－r•1x3r＝Cr5•x10－5r，令10－5r＝0，r＝2.故常数项为T3＝10. 13．(2010•全国∴理，14)若x－ax9的展开式中x3的系数是－84，则a ＝________.答案]1解析]由Tr＋1＝Cr9x9－r－axr＝(－a)rCr9x9－2r得9－2r＝3，得r＝3，x3的系数为(－a)3C39＝－84，解得a＝1.14．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0—1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第______行；第61行中1的个数是______．答案]2n－132解析]用不完全归纳法，猜想得出．三、解答题15．设(3x－1)8＝a8x8＋a7x7＋…＋a1x＋a0.求：(1)a8＋a7＋…＋a1；(2)a8＋a6＋a4＋a2＋a0.解析]令x＝0，得a0＝1.(1)令x＝1得(3－1)8＝a8＋a7＋…＋a1＋a0，①∴a8＋a7＋…＋a2＋a1＝28－a0＝256－1＝255.(2)令x＝－1得(－3－1)8＝a8－a7＋a6－…－a1＋a0.②①＋②得28＋48＝2(a8＋a6＋a4＋a2＋a0)，∴a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝12(28＋48)＝32896.16．设(1－2x)2010＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2010x2010(x∴R)．(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2010的值．(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2009的值．(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2010|的值．分析]分析题意→令x＝1求(1)式的值→令x＝－1求(2)式的值→令x＝－1求(3)式的值解析](1)令x＝1，得：a0＋a1＋a2＋…＋a2010＝(－1)2010＝1①(2)令x＝－1，得：a0－a1＋a2－…＋a2010＝32010②与①式联立，①－②得：2(a1＋a3＋…＋a2009)＝1－32010，∴a1＋a3＋a5＋…＋a2009＝1－320102.(3)∴Tr＋1＝Cr2010•12010－r•(－2x)r＝(－1)r•Cr2010•(2x)r，∴a2k－10(k∴N*)．∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2010|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2010，所以令x＝－1得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a2010＝32010.17．证明：(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(Cnn)2＝Cn2n.证明]∴(1＋x)n(1＋x)n＝(1＋x)2n，∴(C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn)•(C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn)＝(1＋x)2n，而Cn2n是(1＋x)2n的展开式中xn的系数，由多项式的恒等定理得C0nCnn＋C1nCn－1n＋…＋CnnC0n＝Cn2n.∴Cmn＝Cn－mn(0≤m≤n)，∴(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(Cnn)2＝Cn2n.18．求(1＋x－2x2)5展开式中含x4的项．分析]由题目可获取以下主要信息：①n＝5；②三项的和与差．解答本题可把三项看成两项，利用通项公式求解，也可先分解因式，根据多项式相乘的法则，由组合数的定义求解．解析]方法一：(1＋x－2x2)5＝1＋(x－2x2)]5，则Tr＋1＝Cr5•(x－2x2)r•(x－2x2)r展开式中第k＋1项为Tk＋1＝Ckrxr－k•(－2x2)k＝(－2)k•Ckr•xx＋k.令r＋k＝4，则k＝4－r.∴0≤k≤r,0≤r≤5，且k、r∴N，∴r＝2k＝2或r＝3k＝1或r＝4k＝0.∴展开式中含x4的项为C25•(－2)2•C22＋C35•(－2)•C13＋C45•(－2)0•C04]•x4＝－15x4.方法二：(1＋x－2x2)5＝(1－x)5•(1＋2x)5，则展开式中含x4的项为C05•C45•(2x)4＋C15•(－x)•C35•(2x)3＋C25•(－x)2•C25(2x)2＋C35•(－x)3•C15•(2x)＋C45•(－x)4•C05•(2x)0＝－15x4.。
新人教B版高中数学(选修2-3)1.3.2《杨辉三角》word教案之一
1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质课标要求：知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。
过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。
情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。
教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 授课类型：新授课 课时安排：2课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈ ， （2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++ . 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+=3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性二、讲解新课：1二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和2．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0nC ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n mn nC C -=）． 直线2nr =是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!kk n n n n n n k n k C C k k----+-+==⋅ ，∴k n C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112n k n k k -++>⇔<，当12n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间一项2n nC 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n nC -，12n nC+取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++ ，令1x =，则0122n r nn n n n nC C C C C =++++++ 三、讲解范例：例1．在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和证明：在展开式01()()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈ 中，令1,1a b ==-，则0123(11)(1)n n n n n n n nC C C C C -=-+-++- ， 即02130()()n n n n C C C C =++-++ ， ∴0213n n n n C C C C ++=++ ，即在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．说明：由性质（3）及例1知021312n n n n n C C C C -++=++= .例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ，求：（1）127a a a +++ ； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a +++ . 解：（1）当1x =时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为0127a a a a ++++∴0127a a a a ++++ 1=-，当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=- ， （2）令1x =， 0127a a a a ++++ 1=- ① 令1x =-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②①-② 得：713572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7132+-.（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正， ∴由（2）中①+② 得：702462()13a a a a +++=-+，∴ 70246132a a a a -++++=，∴017||||||a a a +++= 01234567a a a a a a a a -+-+-+-702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x 3的系数解：)x 1(1])x 1(1)[x 1(x 1)x 1()x 1(10102+-+-+=+++++）（ =xx x )1()1(11+-+，∴原式中3x 实为这分子中的4x ，则所求系数为7C 例4.在(x 2+3x+2)5的展开式中，求x 的系数解：∵5552)2x ()1x ()2x 3x (++=++∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x 的项为x 5C 15=，在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x 的项为x 80x 2C 415=∴展开式中含x 的项为 x 240)32(x 5)x 80(1=+⋅， ∴此展开式中x 的系数为240例5.已知n2)x 2x (-的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项解：依题意2n 4n 2n 4n C 14C 33:14C :C =⇒= ∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!⇒n=10设第r+1项为常数项，又 2r 510r 10r r 2r10r 101r x C )2()x2()x (C T --+-=-=令2r 02r510=⇒=-，.180)2(C T 221012=-=∴+此所求常数项为180例6． 设()()()()231111nx x x x ++++++++= 2012n n a a x a x a x ++++ ， 当012254n a a a a ++++= 时，求n 的值解：令1x =得：230122222nn a a a a ++++=++++ 2(21)25421n -==-， ∴2128,7n n ==，点评：对于101()()()n n n f x a x a a x a a -=-+-++ ，令1,x a -=即1x a =+可得各项系数的和012n a a a a ++++ 的值；令1,x a -=-即1x a =-，可得奇数项系数和与偶数项和的关系例7．求证：1231232nn n n n n C C C nC n -++++=⋅ ．证（法一）倒序相加：设S =12323n n n n n C C C nC ++++ ① 又∵S =1221(1)(2)2n n n n n n n n nC n C n C C C --+-+-+++ ② ∵r n r n n C C -=，∴011,,n n n n n n C C C C -== ， 由①+②得：()0122nn n n n S n C C C C =++++ ，∴11222n n S n n -=⋅⋅=⋅，即1231232n n n n n n C C C nC n -++++=⋅ ． （法二）：左边各组合数的通项为rnrC 11!(1)!!()!(1)!()!r n n n n r nC r n r r n r --⋅-=⋅==---，∴ ()1230121112123n n n n n n n n n n C C C nC n C C C C -----++++=++++ 12n n -=⋅．例8．在10)32(y x -的展开式中,求: ①二项式系数的和; ②各项系数的和;③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.分析:因为二项式系数特指组合数rn C ,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式y x 32-中的系数无关.解：设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=- (*),各项系数和即为1010a a a +++ ,奇数项系数和为0210a a a +++ ,偶数项系数和为9531a a a a ++++ ,x 的奇次项系数和为9531a a a a ++++ ,x 的偶次项系数和10420a a a a ++++ .由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.①二项式系数和为1010101100102=+++C C C .②令1==y x ,各项系数和为1)1()32(1010=-=-.③奇数项的二项式系数和为910102100102=+++C C C , 偶数项的二项式系数和为99103101102=+++C C C .④设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=- , 令1==y x ,得到110210=++++a a a a …(1),令1=x ,1-=y (或1-=x ,1=y )得101032105=++-+-a a a a a …(2) (1)+(2)得10102051)(2+=+++a a a , ∴奇数项的系数和为25110+;(1)-(2)得1093151)(2-=+++a a a , ∴偶数项的系数和为25110-.⑤x 的奇次项系数和为251109531-=++++a a a a ;x 的偶次项系数和为2511010420+=++++a a a a .点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一.例9．已知n x x 223)(+的展开式的系数和比n x )13(-的展开式的系数和大992,求n xx 2)12(-的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项.解：由题意992222=-n n ,解得5=n .①101(2)x x-的展开式中第6项的二项式系数最大,即8064)1()2(55510156-=-⋅⋅==+xx C T T .②设第1+r 项的系数的绝对值最大,则r r rr r r r r x C xx C T 2101010101012)1()1()2(---+⋅⋅⋅-=-⋅⋅=∴⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅--+-+---110110101011011010102222r r r r r r r r C C C C ,得⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-110101101022r r r r C C C C ,即⎩⎨⎧-≥+≥-r r r r 10)1(2211 ∴31138≤≤r ,∴3=r ,故系数的绝对值最大的是第4项例10．已知：223(3)nx x +的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992． （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项解：令1x =，则展开式中各项系数和为2(13)2n n +=， 又展开式中二项式系数和为2n， ∴222992nn -=，5n =．（1）∵5n =，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项， ∴223226335()(3)90T C x x x ==，22232233345()(3)270T C x x x ==， （2）设展开式中第1r +项系数最大，则21045233155()(3)3r r rr rr r T C x x C x+-+==，∴1155115533792233r r r r r r r r C C r C C --++⎧≥⎪⇒≤≤⎨≥⎪⎩，∴4r =， 即展开式中第5项系数最大，2264243355()(3)405T C x x x ==．例11．已知)(1222212211+---∈+⋅++++=N n C C C S n n n n n n nn ，求证：当n 为偶数时，14--n S n 能被64整除分析：由二项式定理的逆用化简n S ，再把14--n S n 变形，化为含有因数64的多项式∵1122122221(21)n n n n n n n n n S C C C ---=++++⋅+=+ 3n =，∴14--n S n 341n n =--，∵n 为偶数，∴设2n k =（*k N ∈）， ∴14--n S n 2381kk =--(81)81k k =+--0111888181k k k k k k C C C k --=++++--011228(88)8k k k k C C C -=+++ （*） ，当k =1时，410n S n --=显然能被64整除， 当2k ≥时，（*）式能被64整除，所以，当n 为偶数时，14--n S n 能被64整除三、课堂练习：1．)()4511x -展开式中4x 的系数为 ，各项系数之和为 ．2．多项式12233()(1)(1)(1)(1)n n n n n n f x C x C x C x C x =-+-+-++- （6n >）的展开式中，6x 的系数为 3．若二项式231(3)2nx x-（n N *∈）的展开式中含有常数项，则n 的最小值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.8 4．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 （ ）A.低于5％B.在5％～6％之间C.在6％～8％之间D.在8％以上5．在(1)n x +的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则2(1)nx -等于（ ） A.0 B.pq C.22p q + D.22p q -6．求和：()2341012311111111111n n nn n n n n a a a a a C C C C C a a a a a+------+-++------ ． 7．求证：当n N *∈且2n ≥时，()1322n n n ->+．8．求()102x +的展开式中系数最大的项答案：1. 45, 0 2. 0 ．提示：()(16nf x x n =->3. B 4. C 5. D 6. ()11n a a ---7. (略) 8. 33115360T x +=四、小结 ：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用五、课后作业：P36 习题1.3A 组5. 6. 7.8 B 组1. 21．已知2(1)n a +展开式中的各项系数的和等于52165x ⎛ ⎝的展开式的常数项，而2(1)n a + 展开式的系数的最大的项等于54，求a 的值()a R ∈答案：a =2．设()()()()()591413011314132111x x a x a x a x a -+=+++++++ 求：① 0114a a a +++ ②1313a a a +++ ．答案：①9319683=； ②()95332+=3．求值：0123456789999999999922222C C C C C C C C C C -+-+-+-+-． 答案：82=4．设296()(1)(21)f x x x x =+-+，试求()f x 的展开式中：（1）所有项的系数和；（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和答案：（1）63729=；（2）所有偶次项的系数和为6313642-=； 所有奇次项的系数和为6312+= 六、板书设计（略）七、教学反思：二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-3 1.3.2 杨辉三角》64
“杨辉三角”与二项式系数的性质授课教师：丽江市第一高级中学谭志艳授课班级：高二年级402班一、教学任务分析知识与技能目标：1 使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律。
2 能归纳所观察“杨辉三角”中数字之间的规律，并用数学符号语言来表达。
3理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用。
4引导学生发现、欣赏数学中的美，弘扬民族文化。
过程与方法：通过对杨辉三角中蕴含的数字规律的初步探究，培养学生发现问题、提出问题、经过分析——猜想——证明以后解决问题的能力，激励学生自主创新。
通过从不同的角度观察杨辉三角，培养学生要从多角度看问题的意识，提高学生解决实际问题的能力。
情感、态度与价值：让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神。
二、教学重点、难点重点：掌握二项展开式中二项式系数的性质，探讨“杨辉三角”中蕴含的数字规律，培养学生发现问题并运用所学的知识解决问题的能力。
难点：如何归纳规律并用数学符号语言来表达所找到的规律。
三、教学模式和教学手段教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式。
教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导。
学法：突出探究、发现与交流和归纳总结。
四、学习者特征分析知识结构：学生已学习两个计数原理和二项式定理，再让学生探究发现“杨辉三角”包含的一般规律，结合“杨辉三角”，从函数的角度研究二项式系数的性质。
心理特征：高二的学生已经具备了一定的分析、探究问题的能力，恰时恰点的问题引导就能建立知识之间的相互联系，解决相关问题。
培养学生通过合作学习的方式，探索发现二项式系数的性质，能让他们在这个过程中获取成功的喜悦，并通过一些数学文化的熏陶，激发数学学习的兴趣。
五、教学过程教学内容、设计学生活动设计意图（一）复习引入1、二项式定理2、二项展开式的通项二项式系数3学生回忆前面学过的相关知识，请一名学生上黑板书写，其他同学在学案上完成。
选修2-3.1.3.2杨辉三角与二次项系数的性质
2019/4/10
v:pzyandong
19
知识点
二项式系数的性质
[问题] (a＋b)n的展开式的二次项系数，当n取正整数时可以表示成
如下形式：
2019/4/10
v:pzyandong
20
问题1：从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？
提示：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系
数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”
①每行两端都是1 Cn0= Cnn=1 ②从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩 上的两个数的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1
2019/4/10 v:pzyandong 5
类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九 章算法》一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还 说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉 指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11
13
知识对接测查2 1.在(1+x)4的展开式中，二项式系数最大的项是 二项式系数最大的项是第 3 项. 在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为 ， ；
C
6 11
.
2. 在二项式(x-1)11的展开式中,求系数最小的项的系数。
C 462
5 11
6 最大的系数呢？ C11
462
2019/4/10
2019/4/10
n1
倒序相加法
v:pzyandong
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0 1 n ( a b ) C , C , C 一般地， 展开式的二项式系数 n n n 有如下性质：
n
（ 1） C C
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1.3.2 杨辉三角
双基达标
(限时20分钟)
1．已知(a ＋b )n 展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n 等于 ( )． A ．11 B ．10 C ．9 D ．8 解析 ∵只有第5项的二项式系数最大，∴n
2＋1＝5.∴n ＝8. 答案 D
2. ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋1x n 的展开式中第8项是常数，则展开式中系数最大的项是 ( )． A ．第8项 B ．第9项
C ．第8项或第9项
D ．第11项或第12项
解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n 展开式中的第8项为C 7n (x )n －7⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 7为常数，即n －212＝0，
∴n ＝21.∴展开式中系数最大的项为第11项或第12项． 答案 D
3．设(3－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若n ＝4，则a 0－a 1＋a 2＋…＋(－1)n a n
＝ ( )． A ．256 B ．136 C ．120 D ．16 解析 在展开式中令x ＝－1得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝44.故选A. 答案 A
4．在二项式(1－2x )6的展开式中，所有项的系数之和为________． 解析 令x ＝1，得(1－2x )6展开式中所有项的系数和为(1－2)6＝1. 答案 1
5. 如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n 行的首尾两
个数均为________．
解析 由1，3，5，7，9，…，可知它们成等差数列， 所以a n ＝2n －1. 答案 2n －1
6．设(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，当a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝254时，求n 的值．
解 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋22＋23＋…＋2n ＝2（2n －1）
2－1
＝254，
∴2n ＝128，即n ＝7.
综合提高（限时25分钟）
7．若(x ＋3y )n 展开式的系数和等于(7a ＋b )10展开式中的二项式系数之和，则n 的值为 ( )． A ．5 B ．8 C ．10 D ．15
解析 (7a ＋b )10展开式的二项式系数之和为210，令x ＝1，y ＝1，则由题意知， 4n ＝210，解得n ＝5. 答案 A
8．(2012·济宁高二检测)如果⎝
⎛
⎭⎪
⎪⎫3x －13x 2n 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中1
x 3
的系数是
( )．
A ．7
B ．－7
C ．21
D ．－21 解析 令x ＝1，则(3－1)n ＝128＝2n ，∴n ＝7
即求⎝
⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 27展开式中通项T r ＋1＝C r 7·(3x )7－r ·(x －23
)r ·(－1)r ＝C r 737－r ·x 7 －5r 3·(－1)r
.令7－5r 3＝－3，得r ＝6，即系数为C 67·3＝21. 答案 C
9．在(a －b )10的二项展开式中，系数最小项是________．
解析 在(a －b )10的二项展开式中，奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，
且偶数项系数的绝对值为对应的二项式系数，因为展开式中第6项的二项式系数最大，所以系数最小的项为T6＝C510a5(－b)5＝－252a5b5.
答案－252a5b5
10．若(1－2x)2 012＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 012x2 012(x∈R)，则(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2 012)＝________．(用数字作答)
解析在(1－2x)2 012＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 012x2 012中，令x＝0，则a0＝1，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 012＝(－1)2 012＝1，
故(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2 012)
＝2 011a0＋a0＋a1＋a2＋a3…＋a2 012＝2 012.
答案 2 012
11．已知(1－2x＋3x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14，求:
(1)a1＋a2＋…＋a14；
(2)a1＋a3＋a5＋…＋a13.
解(1)令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a14＝27.
令x＝0得a0＝1，
∴a1＋a2＋…＋a14＝27－1.
(2)由(1)得a0＋a1＋a2＋…＋a14＝27，①
令x＝－1得a0－a1＋a2－…－a13＋a14＝67，②
由①－②得：
2(a1＋a3＋a5＋…＋a13)＝27－67，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a13＝27－67
2.
12．(创新拓展)(2012·长沙高二检测)对于二项式(1－x)10.
(1)求展开式的中间项是第几项？写出这一项；
(2)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和；
(3)写出展开式中系数最大的项．
解(1)由题意可知：r＝0，1，2，…，11，展开式共11项，所以中间项为第6项：T6＝C510(－x)5＝－252x5.
(2)设(1－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0，
令x＝0，得a0＝1，
∴a1＋a2＋…＋a10＝－1.
(3)∵中间项T6的系数为负，
∴系数最大的项为T5和T7，T5＝C410x4＝210x4，T7＝C610x6＝210x6.。