拟牛顿法(变尺度法)DFP算法的cc 源码
约束变尺度法
约束变尺度法Newton 法最突出的优点是收敛速度快，在这一点上其它算法无法比拟的。
因此，建议凡是Hesse 矩阵比较容易求出的问题，尽可能使用Newton 法求解。
但是，Newton 法也有一个严重缺陷，就是每次迭代都要计算目标函数的Hesse 矩阵和它的逆矩阵，当问题的维数较大时，计算量迅速增加，从而就抵消了Newton 法的优点。
为此，人们开始寻找一种算法既可以保持Newton 法收敛速度快的优点，又可以摆脱关于Hesse 矩阵的计算，这就是变尺度算法。
变尺度法是一种非常好的方法，其中DFP 算法和BFGS 算法。
可以说，直到目前为止，在不用Hesse 矩阵的方法中是最好的算法。
一、拟Newton 法为了吸收Newton 法收敛速度快的优点，同时避免Newton 法每次迭代都要计算目标函数的Hesse 矩阵和它的逆矩阵，人们提出了具有超线性收敛的拟Newton 法。
（一）拟Newton 法的基本原理在Newton 法中的基本迭代公式kk k k P t X X +=+1，其中1=k t ，)()]([12kkk Xf Xf P ∇∇-=-令)()(2kkkkXf gXf G∇=∇=，于是有，，，，21011=-=-+k g G X X k k k k其中X0是初始点, gk 和 Gk 分别是目标函数f (X )在点 Xk 的梯度和Hesse 矩阵.为了消除这个迭代公式中的Hesse 逆矩阵G-1k ,可用某种近似矩阵Hk=Hk(Xk)来替换它,即构造一矩阵序列{Hk}去逼近Hesse 逆矩阵序列{G-1k}，此时kk k k g H X X -=+1事实上,式中 Pk= -Hk gk 无非是确定了第k 次迭代的搜索方向.为了取得更大的灵活性,考虑更一般的迭代公式kk k k k g H t X X -=+1其中步长tk 通过从Xk 出发沿Pk= -Hk gk 作直线搜索来确定.此式代表很广的一类迭代公式.例如,当Hk=I (单位矩阵)时,它变为最速下降法的迭代公式。
拟牛顿算法
拟牛顿算法
拟牛顿算法是一种求解现代机器学习中复杂优化问题的数值解法，又称为增量式牛顿方法或增量算法。
拟牛顿算法是一种迭代优化算法，它是由美国物理学家Isaac Newton发明的牛顿法的改进版本，并被用于优化复杂的函数。
拟牛顿算法的主要思想是使用一组特定的校正器来更新牛顿法中的参数，从而实现更高效的迭代优化。
拟牛顿算法的基本原理是：拟牛顿算法从一个初始状态开始，通过迭代的方式，不断地更新参数，使目标函数最小化。
首先，使用梯度下降法确定一个起始状态，并计算出目标函数的梯度值，即梯度偏导数。
然后，根据牛顿法构建拟牛顿算法，即在更新参数时，使用牛顿法计算出增量向量，从而实现梯度下降，使目标函数尽可能小。
拟牛顿算法可以用于大多数优化问题，如拟合数据、优化机器学习模型等。
它与牛顿法的速度相比非常快速，大大提高了收敛速度，并具有更好的收敛性能。
另外，拟牛顿算法也可以方便地适用于正则化情况，使优化效率更高。
拟牛顿算法不仅可以用于优化机器学习模型，还可以用于一些复杂的优化问题，如现实世界中的优化问题，例如非线性系统优化、智能机器人的行为优化等。
与牛顿法相比，拟牛顿算法具有空间收敛性更强、更少的迭代次数和更快的收敛速度的优势。
拟牛顿算法的缺点也是显而易见的，它的计算量比传统的牛顿法大，而且它需要一些复杂的算法来更新参数，这也是它不能广泛应用的原因之一。
总而言之，拟牛顿算法是一种求解现代机器学习中复杂优化问题的有效数值解法，它具有高效率和更快的收敛速度的优势。
但是，由于它计算量大，需要较复杂的算法，因此不能广泛应用。
牛顿法拟牛顿法
牛顿法拟牛顿法牛顿法是一种求解非线性方程的方法，其原理是在迭代中使用方程的导数来近似方程的根。
虽然牛顿法非常有效，但它往往需要非常精准的初始猜测才能保证收敛性。
另一种类似于牛顿法的方法是拟牛顿法，它可以通过逐步调整矩阵B来近似牛顿法的矩阵Hessian。
本文将介绍牛顿法和拟牛顿法的原理和应用。
一、牛顿法假设有一个n维非线性方程系统f(x)=0，其中x是一个n维向量。
牛顿法中的每个迭代都是通过以下公式来更新当前估计xk的：xk+1=xk-Hk^(-1)fk其中Hk是f(x)的Hessian矩阵在xk处的值，假设Hk是可逆的。
牛顿法的优点是它快速收敛，并且可以通过适当选择初始估计来实现收敛。
另一个好处是它可以直接用于求解大型系统，因为它只涉及二次导数的计算。
然而，牛顿法的缺点是它需要计算Hessian矩阵，这通常是一个费时且复杂的任务。
另一个问题是当Hessian矩阵的条件数（即最大特征值与最小特征值之比）很大时，牛顿法的收敛可能会变得很慢。
二、拟牛顿法拟牛顿法的思想是利用一个矩阵Bk来代替牛顿法中的Hk矩阵。
Bk是一个正定对称的矩阵，其初值通常为单位矩阵In。
在每个迭代中，Bk被更新为一个近似的Hessian逆矩阵。
最常用的拟牛顿法算法之一是BFGS算法，其更新规则如下：Bk+1=Bk+(yk^Tyk)/(yk^Ts)+(BkSkS^TBk)/(sk^TBksk)其中sk=xk+1-xk，yk=g(xk+1)-g(xk)，g表示f的梯度，^T表示矩阵转置。
该公式是基于以下观察得出的：Bk+1应该满足以下性质：Bk+1是正定对称的。
Bk+1应该近似于Hk+1的逆，其应该满足以下方程：Bk+1sk=yk另外，BFGS算法的收敛速度也相对比牛顿法要慢，因为BFGS算法需要逐步修正矩阵Bk，直到其逼近Hessian矩阵的逆。
三、应用牛顿法和拟牛顿法在许多实际问题中应用广泛，特别是在数学、物理、金融和工程领域。
拟牛顿法算法步骤
拟牛顿法算法步骤拟牛顿法（Quasi-Newton Method）是一种用于无约束优化问题的迭代算法。
它的主要思想是利用得到的函数值和梯度信息近似估计目标函数的Hessian矩阵，并利用这个估计值来进行迭代优化。
拟牛顿法的算法步骤如下：1.初始化参数：选择初始点$x_0$作为迭代起点，设定迭代停止准则和迭代次数上限。
2. 计算目标函数的梯度：计算当前点$x_k$处的梯度向量$g_k=\nabla f(x_k)$。
3. 计算方向：使用估计的Hessian矩阵$B_k$和负梯度$g_k$来计算方向$d_k=-B_k g_k$。
4. 一维：通过线方法（如Armijo准则、Wolfe准则等）选择一个合适的步长$\alpha_k$，使得函数在方向上有明显的下降。
5. 更新参数：根据步长$\alpha_k$更新参数$x_{k+1}=x_k+\alpha_k d_k$。
6. 计算目标函数的梯度差：计算新点$x_{k+1}$处的梯度向量$g_{k+1}=\nabla f(x_{k+1})$。
7. 更新Hessian矩阵估计：根据梯度差$g_{k+1}-g_k$和参数差$\Delta x_k=x_{k+1}-x_k$，利用拟牛顿公式来更新Hessian矩阵估计$B_{k+1}=B_k+\Delta B_k$。
8.更新迭代次数：将迭代次数$k$加一：$k=k+1$。
9.判断终止：如果满足终止准则（如梯度范数小于给定阈值、目标函数值的变化小于给定阈值等），则停止迭代；否则，返回步骤310.输出结果：输出找到的近似最优解$x^*$作为优化问题的解。
拟牛顿法有许多不同的变体，最经典和最常用的是DFP算法（Davidon-Fletcher-Powell Algorithm）和BFGS算法（Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno Algorithm）。
这两种算法都是基于拟牛顿公式来更新Hessian矩阵估计的，但具体的公式和更新规则略有不同，因此会产生不同的数值性能。
最优化方法-拟Newton法
0
1 4
0.25
2 X1 0.5,
f ( X1) 5.5
1 f ( X1) 2
（4）判 断 || f ( X 1 ) |，|转（5）
（5）第二次迭代采用DFP变尺度法，构造 E 0
1 0
G0 0
1
1 S0 X1 - X 0 - 0.5
min
f
(X
)
x2 1
2
x2 2
2 x1 x2
4x1
已知 X 0 [1,1]T , 0.1
解：（1）第一次迭代，实际上是沿负梯度方向进行一维搜索。
（2）
f
(
X
)
2x1 2
x1
2x2 4x2
4 ,
4
f ( X0) 2
,G0 I
➢ 5、DFP算法的收敛速度是超线性的。
Relax 做个题，轻松一下
例：用DFP变尺度算法求解无约束最优化问题
min
f
(X
)
x2 1
2
x2 2
2 x1 x2
4x1
已知 X 0 [1,1]T , 0.1
参照：拟Newton法的基本格式做题：
例：用DFP变尺度算法求解无约束最优化问题
三、对称秩1算法 2、对称秩1算法的性质
四、DFP算法（Davidon-Flether-P0well)
四、DFP算法
在DFP算法中，校正矩阵的构造公式为：
Ek
S
k
S
T k
S kTYk
拟牛顿法
拟牛顿法牛顿法的收敛速度虽然较快，但要求海森矩阵要可逆，要计算二阶导数和逆矩阵，就加大了就算机计算量。
为了克服牛顿法的缺点，同时保持较快收敛速度的优点，就产生了拟牛顿法。
拟牛顿法是牛顿法的直接推广，通过在试探点附近的二次逼近引进牛顿条件来确定线搜索方向，它主要有DFP 和BFGS 两种形式，拟牛顿法的一般步骤为：（1） 给定初始点(0)x ，初始对称正定矩阵0H ，(0)0()g g x =及精度0ε>； （2） 计算搜索方向()k k k p H g =-；（3） 作直线搜索(1)()()(,)k k k xF x p +=，计算(1)(1)11(),()k k k k f f x g g x ++++==，(1)()1,k k k k k k S x x y g g ++=-=-（4） 判断终止准则是否满足；（5） 令1k k k H H E +=+置1k k =+，转步骤（2）；不同的拟牛顿法对应不同的k E ，主要介绍DFP 和BFGS 两种拟牛顿法。
1. DFP 法（1） 算法原理DFP 算法中的校正公式为：1k kk kT T k k k kk k T T kk k S S H y y H H H S y y H y +=+-为了保证k H 的正定性，在下面的算法中迭代一定次数后，重置初始点和迭代矩阵再进行迭代。
（2） 算法步骤1） 给定初始点(0)x ，初始矩阵0n H I =及精度0ε>； 2） 若()(0)f xε∇≤，停止，极小点为(0)x ；否则转步骤3）；3） 取()(0)(0)0p H f x =-∇，且令0k =； 4） 用一维搜索法求k t ，使得()()()()0()min ()k k k k k k t f Xt p f X tp α≥+=+，令(1)()()k k k x x tp +=+，转步骤5）；5） ()(1)k f xε+∇≤，停止，极小值点为(1)k x +；否则转步骤6）；6） 若1k n +=，令(0)()n x x =，转步骤3）；否则转步骤7）；7） 令()()()()()()()()()()()()()()()()()()(1)()(1)()1(1)()(1)()(1)()(1)()(1)()(1)()Tk k k k k k Tk k k k Tk k k k k kTk k k k kx x x x H H xx f x f x H f xf x f x f x H f x f x H f x f x +++++++++--=+-∇-∇∇-∇∇-∇-∇-∇∇-∇，取()()(1)1k k k p H f x ++=-∇，置1k k =+，转步骤4）。
机器学习算法系列最速下降法牛顿法拟牛顿法
机器学习算法系列最速下降法牛顿法拟牛顿法最速下降法（Gradient Descent）最速下降法是一种常用的优化算法，用于求解无约束的最小化问题。
其原理是通过不断迭代更新参数的方式来逼近最优解。
在最速下降法中，每次迭代的方向是当前位置的负梯度方向，即沿着目标函数下降最快的方向前进。
具体地，对于目标函数f(x)，在当前位置x_k处的梯度为g_k=▽f(x_k)，则下一次迭代的位置x_{k+1}可以通过以下公式计算：x_{k+1}=x_k-α*g_k其中，α 是一个称为学习率（learning rate）的参数，用于控制每次迭代的步长。
最速下降法的优点是简单易实现，收敛速度较快。
然而，它也有一些缺点。
首先，最速下降法的收敛速度依赖于学习率的选择，过小的学习率会导致收敛速度过慢，而过大的学习率可能会导致跳过最优解。
其次，最速下降法通常会在目标函数呈现弯曲或者高度相关的情况下表现不佳，很难快速收敛到最优解。
牛顿法（Newton's Method）牛顿法是一种通过二阶导数信息来优化的算法，可以更快地收敛到目标函数的最优解。
在牛顿法中，每次迭代的位置x_{k+1}可以通过以下公式计算：x_{k+1}=x_k-(H_k)^{-1}*▽f(x_k)其中，H_k是目标函数f(x)在当前位置x_k处的黑塞矩阵。
黑塞矩阵描述了目标函数的二阶导数信息，可以帮助更准确地估计参数的更新方向。
牛顿法的优点是收敛速度较快，特别是对于目标函数呈现弯曲或者高度相关的情况下，相较于最速下降法可以更快地达到最优解。
然而，牛顿法也有一些缺点。
首先，计算黑塞矩阵的代价较高，尤其是当参数较多时。
其次，黑塞矩阵可能不可逆或者计算代价较大，这时可以通过使用拟牛顿法来避免。
拟牛顿法（Quasi-Newton Method）拟牛顿法是一类基于牛顿法的优化算法，通过估计黑塞矩阵的逆来逼近最优解，从而避免了计算黑塞矩阵的代价较高的问题。
在拟牛顿法中，每次迭代的位置x_{k+1}可以通过以下公式计算：x_{k+1}=x_k-B_k*▽f(x_k)其中，B_k是一个对黑塞矩阵逆的估计。
拟牛顿法
•主页•专栏作家•量化基础理论•软件使用经验•量化软件•资源导航•资料下载•量化论坛搜索搜索用户登录用户名:*密码:*登录•创建新帐号•重设密码首页拟牛顿法及相关讨论星期三, 2009-06-17 00:24 —satchel1979使用导数的最优化算法中，拟牛顿法是目前为止最为行之有效的一种算法，具有收敛速度快、算法稳定性强、编写程序容易等优点。
在现今的大型计算程序中有着广泛的应用。
本文试图介绍拟牛顿法的基础理论和若干进展。
牛顿法(Newton Method)牛顿法的基本思想是在极小点附近通过对目标函数做二阶Taylor展开，进而找到的极小点的估计值[1]。
一维情况下，也即令函数为则其导数满足因此(1)将作为极小点的一个进一步的估计值。
重复上述过程，可以产生一系列的极小点估值集合。
一定条件下，这个极小点序列收敛于的极值点。
将上述讨论扩展到维空间，类似的，对于维函数有其中和分别是目标函数的的一阶和二阶导数，表现为维向量和矩阵，而后者又称为目标函数在处的Hesse矩阵。
设可逆，则可得与方程(1)类似的迭代公式：(2)这就是原始牛顿法的迭代公式。
原始牛顿法虽然具有二次终止性（即用于二次凸函数时，经有限次迭代必达极小点），但是要求初始点需要尽量靠近极小点，否则有可能不收敛。
因此人们又提出了阻尼牛顿法[1]。
这种方法在算法形式上等同于所有流行的优化方法，即确定搜索方向，再沿此方向进行一维搜索，找出该方向上的极小点，然后在该点处重新确定搜索方向，重复上述过程，直至函数梯度小于预设判据。
具体步骤列为算法1。
算法1：(1) 给定初始点，设定收敛判据，.(2) 计算和.(3) 若< ，则停止迭代，否则确定搜索方向.(4) 从出发，沿做一维搜索，令.(5) 设，转步骤(2).在一定程度上，阻尼牛顿法具有更强的稳定性。
拟牛顿法(Quasi-Newton Method)如同上一节指出，牛顿法虽然收敛速度快，但是计算过程中需要计算目标函数的二阶偏导数，难度较大。
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double *g0=new double[n]; double *g1=new double[n]; double *dg=new double[n];
//梯度
double *p=new double[n]; double t;
//搜索方向 =-g //一维搜索步长
double *x0=new double[n]; double *x1=new double[n]; double *dx=new double[n];
temp_point[i-1]=start[i-1]+t*direction[i-1];
value_t=(*pf)(temp_point);
comput_grad(pf,n,temp_point,grad);
diver_t=0;
for(i=1;i<=n;i++)
diver_t=diver_t+grad[i-1]*direction[i-1];
delete[] H[i]; delete[] tempH[i];
return pf(min_point); } for(i=0;i<n;i++) {
dx[i]=x1[i]-x0[i]; dg[i]=g1[i]-g0[i]; }
//////////////////求 Hk+1 的矩阵运算
//g*H,H*g for(i=0;i<n;i++) {
{
p[i]=p[i]-H[i][j]*g1[j];
}
}
for(i=0;i<n;i++) {
g0[i]=g1[i]; x0[i]=x1[i]; } k=k+1; }while(g_norm>e);
for(i=0;i<n;i++)
min_point[i]=x1[i];
delete[] g0; delete[] g1; delete[] dg; delete[] p; delete[] x0; delete[] x1; delete[] dx; for (i=0; i<n; i++) delete []H; for (i=0; i<n; i++) delete []tempH; delete[] gH; delete[] Hg;
int n,
double *min_point);
//无约束变尺度法
//梯度计算模块 //参数：指向目标函数的指针，变量个数，求梯度的点，结果 void comput_grad(double (*pf)(double *x),
int n, double *point, double *grad) { double h=1E-3; int i; double *temp; temp = new double[n]; for(i=1;i<=n;i++) { temp[i-1]=point[i-1]; } for(i=1;i<=n;i++) { temp[i-1]+=0.5*h; grad[i-1]=4*pf(temp)/(3*h); temp[i-1]-=h; grad[i-1]-=4*pf(temp)/(3*h); temp[i-1]+=(3*h/2); grad[i-1]-=(pf(temp)/(6*h)); temp[i-1]-=(2*h); grad[i-1]+=(pf(temp)/(6*h)); temp[i-1]=point[i-1]; } delete[] temp; }
delete[] grad; delete[] temp_point; return(t);
}
//无约束变尺度法 DFP 函数声明 // //参数：pf 指向目标函数的指针，n 变量个数，min_point 接受初始点、存放结果 //返回：极小点处函数值 // double DFP(
double (*pf)(double *x), int n, double *min_point ) { int i,j; int k=0; double e=1E-5; double g_norm;
拟牛顿法（变尺度法）DFP 算法的 c/c++源码 #include "iostream.h" #include "math.h"
void comput_grad(double (*pf)(double *x), int n, double *point, double *grad);
//计算梯度
double line_search1(double (*pf)(double *x), int n, double *start, double
value_a=(*pf)(temp_point); for(i=1;i<=n;i++)
temp_point[i-1]=start[i-1]+b*direction[i-1]; value_b=(*pf)(temp_point);
do
{
s=3*(value_b-value_a)/(b-a);
z=s-diver_a-diver_b;
g_norm=0.0;
for(i=0;i<n;i++)
g_norm=g_norm+g1[i]*g1[i];
g_norm=sqrt(g_norm);
//cout<<k<<"
"<<x0[0]<<"
"<<g_norm<<"\n";
if (g_norm<e)
{
for(i=0;i<n;i++)
min_point[i]=x1[i];
b=a+step; for(i=1;i<=n;i++)
temp_point[i-1]=start[i-1]+b*direction[i-1]; comput_grad(pf,n,temp_point,grad); diver_b=0; for(i=1;i<=n;i++)
diver_b=diver_b+grad[i-1]*direction[i-1]; if( fabs(diver_b)<1E-10 ) {
grad=new double[n]; temp_point=new double[n]; comput_grad(pf,n,start,grad); diver_a=0; for(i=1;i<=n;i++)
diver_a=diver_a+grad[i-1]*direction[i-1]; do {
if(diver_t>1E-6)
{
b=t;
value_b=value_t;
diver_b=diver_t;
}
else if(diver_t<-1E-6)
{
a=t;
value_a=value_t;
diver_a=diver_t;
}
else break;
}while( (fabs(diver_t)>=1E-6) && (fabs(b-a)>1E-6) );
gH[i]=0.0; Hg[i]=0.0; } for(i=0;i<n;i++) { for(j=0;j<n;j++) {
gH[i]=gH[i]+dg[j]*H[j][i]; //Hg[i]=Hg[i]+H[i][j]*dg[j];
Hg[i]=gH[i]; } }
//num1,num2 num1=0.0; num2=0.0; for(i=0;i<n;i++) {
double **H=new double*[n]; for (i=0; i<n; i++)
H[i] = new double[n];
double **tempH=new double*[n]; for (i=0; i<n; i++)
tempH[i] = new double[n];
double *gH=new double[n]; double *Hg=new double[n]; double num1; double num2;
delete[] H[i]; delete[] tempH[i];
return pf(min_point); }
for(i=0;i<n;i++)
p[i]=-g0[i];
do
{
t=line_search(pf,n,x0,p);
for(i=0;i<n;i++)
x1[i]=x0[i]+t*p[i];
comput_grad(pf,n,x1,g1);
*direction);
//0.618 法线搜索
double line_search(double (*pf)(double *x), int n, double *start, double
*direction);
//解析法线搜索
double DFP(double (*pf)(double *x),
"<<x0[1]<<"
delete[] g0; delete[] g1; delete[] dg; delete[] p; delete[] x0; delete[] x1; delete[] dx; for (i=0; i<n; i++) delete []H; for (i=0; i<n; i++) delete []tempH; delete[] gH; delete[] Hg;