高一年级期末数学试卷及答案
2023-2024学年福建省厦门市高一(下)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年福建省厦门市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则()A.B.C.D.2.为了解某校高一年级学生体育锻炼情况，用比例分配的分层随机抽样方法抽取50人作为样本，其中男生20人.已知该校高一年级女生240人，则高一年级学生总数为()A.600B.480C.400D.3603.在梯形ABCD 中，，，，以AD 所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的几何体的体积为()A.B.C.D.4.甲、乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为，乙获奖的概率为，甲、乙两人同时获奖的概率为，则甲、乙两人恰有一人获奖的概率为()A.B.C.D.5.如图，甲在M 处观测到河对岸的某建筑物在北偏东方向，顶部P 的仰角为，往正东方向前进150m 到达N 处，测得该建筑物在北偏西方向.底部Q 和M ，N 在同一水平面内，则该建筑物的高PQ 为()A.B.C.D.6.已知，，是三个不重合的平面，，，则()A.若，则B.若，则C.若，，则D.若，，则7.若，则()A.1B.C. D.28.向量满足，则的最大值为()A.B.C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.某学校开展消防安全知识培训，对甲、乙两班学员进行消防安全知识测试，绘制测试成绩的频率分布直方图，如图所示()A.甲班成绩的平均数<甲班成绩的中位数B.乙班成绩的平均数<乙班成绩的中位数C.甲班成绩的平均数<乙班成绩的平均数D.乙班成绩的中位数<甲班成绩的中位数10.在梯形ABCD中，，则()A. B.C. D.在上的投影向量为11.在长方体中，，动点P满足，则()A.当时，B.当时，AC与DP是异面直线C.当时，三棱锥的外接球体积的最大值为D.当时，存在点P，使得平面三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2023-2024学年宁夏回族自治区银川一中高一下学期期末考试数学试卷+答案解析
2023-2024学年宁夏回族自治区银川一中高一下学期期末考试数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，，，则的值为()A.4B.15C.7D.32.已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题正确的是()A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则3.如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为和，则()A.，B.，C.，D.，4.已知为随机事件，A与B互斥，B与C互为对立，且，则()A. B.C. D.5.如图，在直三棱柱中，，点D 为BC 的中点，则异面直线AD 与所成的角为()A. B. C. D.6.某兴趣小组有3名男生和2名女生，现从中选2人参加公益活动，则至少选中一名女生的概率为()A. B.C.D.7.已知的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且，，则面积的最大值为()A.B.C.D.8.《九章算术商功》：“斜解立方，得两壍堵.斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之棊，其形露矣.”即将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图所示为鳖臑，平面ABC ，，E ，F 分别在棱VB ，VC 上，且，若，则三棱锥外接球的体积为()A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.某市7天国庆节假期期间的楼房认购量单位：套与成交量单位：套的折线图如图所示，则以下说法错误的是()A.成交量的中位数是16B.日成交量超过日平均成交量的有1天C.认购量越大，则成交量就越大D.认购量的第一四分位数是10010.已知事件A，B相互独立，且，，则()A. B.C. D.11.已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为，则()A.圆台的高为2B.圆台的侧面积为C.圆台的体积为D.圆台的轴截面面积为12.如图，正方体的棱长为4，F是侧面上的一个动点含边界，点E在棱上，且，则下列结论正确的有()A.平面被正方体截得截面为三角形B.若，直线C.若F在上，的最小值为D.若，点F的轨迹长度为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年山东省临沂市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省临沂市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项1．设集合A＝{x∈N||x|≤2}，B＝{x∈R|1﹣x≥0}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{x|﹣2≤x≤1}C．{1，2}D．{x|0≤x≤1}2．命题“∀x∈R，3x﹣x≥0”的否定是（）A．“∀x∈R，3x﹣x≤0”B．“∀x∈R，3x﹣x＜0”C．“∃x∈R，3x﹣x≤0”D．“∃x∈R，3x﹣x＜0”3．函数D(x)={1，x∈Q0，x∈∁R Q被称为狄利克雷函数，则D(D(√2))=（）A．2B．√2C．1D．04．已知函数f（x）＝（m﹣2）x m为幂函数，若函数g（x）＝lgx+x﹣m，则g（x）的零点所在区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．函数y=6xx2+1的图象大致为（）A．B．C．D．6．“a≥2”是“函数f（x）＝ln（x2﹣4x﹣5）在（a，+∞）上单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流．如图，该折扇扇面画的外弧长为51，内弧长为21，且该扇面所在扇形的圆心角约为135°，则该扇面画的面积约为（）（π≈3）A．960B．480C．320D．2408．已知89＜710，设a ＝log 87，b ＝log 98，c ＝0.9，则（ ） A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a二、选择题：本共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目 9．已知函数f(x)=tan(x +π3)，则（ ）A ．f （x ）的最小正周期为πB ．f （x ）的定义域为{x|x ≠π6+kπ，k ∈Z}C ．f （x ）是增函数D ．f(π4)＜f(π3)10．已知关于x 的一元二次不等式ax 2+bx +c ≥0的解集为{x |x ≤﹣2或x ≥1}，则（ ） A ．b ＞0且c ＜0B ．4a +2b +c ＝0C ．不等式bx +c ＞0的解集为{x |x ＞2}D ．不等式cx 2﹣bx +a ＜0的解集为{x|−1＜x ＜12}11．若正实数a ，b 满足a +2b ＝2，则（ ） A ．1a +2b有最小值9B ．ab 有最大值12C ．2a +4b 的最小值是4D ．a 2+b 2的最小值是2512．已知函数f （x ），假如存在实数λ，使得f （x +λ）+λf （x ）＝0对任意的实数x 恒成立，称f （x ）满足性质R （λ），则下列说法正确的是（ ）A ．若f （x ）满足性质R （2），且f （0）＝2，则f （2）＝﹣4B ．若f （x ）＝sin πx ，则f （x ）不满足性质R （λ）C ．若f （x ）＝a x （a ＞1）满足性质R （λ），则λ＜0D ．若f （x ）满足性质R(−12)，且x ∈[0，12)时，f(x)=11−2x ，则当x ∈[32，2)时，f(x)=42−x三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
贵州省六盘水市2023-2024学年高一上学期1月期末考试 数学含答案
六盘水市2023-2024学年度第一学期期末质量监测高一年级数学试题卷（答案在最后）（考试时长：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答题前，务必在答题卷上填写姓名和考号等相关信息并贴好条形码。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卷上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卷交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}{}1,0,1,1,2A B =-=，则A B = （）A ．{}1B ．{}1,0,2-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2-2．设命题:0,ln 2xp x e x ∀>->，则p 的否定为（）A ．0,ln 2xx e x ∀≤->B ．0,ln 2xx e x ∀>-≤C ．0,ln 2x x e x ∃>-≤D ．0,ln 2xx e x ∃≤-≤3．函数()f x =）A ．()1,-+∞B ．[)1,-+∞C ．(],1-∞D ．(),1-∞4．“6x π=”是“tan 3x =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．达-芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来引无数观赏者对其进行研究．某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一段圆弧，并测得圆弧AC 所对的圆心角α为60︒，弦AC 的长为10cm ，根据测量得到的数据计算：《蒙娜丽莎》缩小影像作品中圆弧AC 的长为（）（单位：cm ）A ．600πB ．1003πC ．103πD ．53π6．已知0a >且5111,log 1,13a a a ≠><，则a 的取值范围是（）A ．11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,15⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,37．已知函数()2211x f x x-=+，则()()()()1110220232024202420232f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）A ．0B ．1C ．2024D ．20258．定义在R 上的函数()f x 满足：①12,x x ∀∈R ，且12x x ≠，都有()()()21120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦；②x ∀∈R ，都有()()110f x f x -+-=．若()()22580(0)f a ab f b ab ab -+-≥>，则aa b+的取值范围是（）A ．24,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．240,,35⎛⎤⎡⎫+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．11,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．110,,53⎛⎤⎡⎫+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。
云南省楚雄州2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学含答案
楚雄州中小学2023—2024学年下学期期末教育学业质量监测高一年级数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册至必修第二册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.4i -在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合{}{}290,1233M x x N x x x =-<=->，则M N ⋂=（）A.()3,2-B.()3,0-C.()0,3 D.()2,33.将函数()()sin 42f x x =+图象上所有点的横坐标变为原来的12，得到函数()g x 的图象，则()g x =（）A.()sin 84x + B.()sin 82x +C.()sin 22x + D.()sin 21x +4.某商品3〜5月份在甲、乙、丙、丁四个地区的销量如下图所示，则在这四个地区中该商品3〜5月份销量方差最小的为（）A.甲地区B.乙地区C.丙地区D.丁地区5.已知0.320.3log 3,2,log 2a b c -===，则（）A.c b a <<B.<<b c aC.<<c a bD.a b c<<6.已知ππ2cos cos 443αα⎛⎫⎛⎫-=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos2α=（）A.13 B.29-C.79D.79-7.如图，ABC 为正三角形，,ABE BCF 与CAD 是三个全等的三角形，若3,72BE AD CF BC EF DE FD ====，则DEF 的面积为（）A.2B.4C.23D.38.已知函数()f x mx x =的图象经过点()3,27，则关于x 的不等式()()16150f x f x +->的解集为（）A.(),3-∞ B.()3,+∞ C.()3,5 D.()5,+∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数z 满足()2i 5i z -=，则（）A.z 的虚部为2B.5z =C.5z z ⋅= D.1z +为纯虚数10.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A.()1π3sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.()f x 在4π,3π3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C.直线17π6x =-是()f x 图象的一条对称轴D.()f x 在5π17π,36⎛⎫⎪⎝⎭上的取值范围为,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,E 是棱CD 的中点，则（）A.向量AE 在AB 方向上的投影向量为12ABB.异面直线AE 与1BCC.三棱锥11D A CC -外接球的表面积为8πD.直线1BC 与平面11AC D 所成角的正弦值为63三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若实数,a b 满足2240a b +=，则ab 的最大值为___________．13.已知正四棱台的上底面边长为21，则该正四棱台的下底面边长为___________，该正四棱台的体积为___________．14.已知函数()ππsin (0)33f x x x ωωω⎫⎫⎛⎛=++> ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭在π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上恰有2个零点，则ω的取值范围为___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知平面向量,,a b c满足()()3,4,,8,4a b c λ==-= ．（1）若//a b，求λ的值；（2）若()()210a c a c +⊥+ ，求向量a 与c 夹角的大小．16.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ．已知()()()sin sin sin c a C A b B A -+=-．（1）求角C 的大小；（2）若b =，求sin c B 的值；（3）若4,a b D =为AB 的中点，求CD 的长．17.某工厂计划对该工厂生产的某类产品进行深加工，以推进该类产品的升级．该工厂随机抽取某生产线上一段时间内生产的100件产品，对其质量（单位：g ）进行统计，并将样本数据分为[)[)[)[)[)[]45,55,55,65,65,75,75,85,85,95,95,105六组，得到如下频率分布直方图．（1）试估计样本数据的60%分位数；（2）从样本数据在[)[]85,95,95,105内的产品中采用分层随机抽样的方法抽取5件产品作为产品深加工方案制定的分析样例，再从被抽取的这5件产品中随机抽取2件产品作为深加工的标准样例，求标准样例中恰有1件产品的质量在[]95,105内的概率；（3）若规定质量在[]95,105内的产品为优等品，用频率估计概率，从该生产线上随机抽取2件产品，求抽取到的产品中至少有1件优等品的概率．18.某大型商超每天以每公斤1元的价格从蔬菜批发行购进若干公斤青菜，然后以每公斤2元的价格出售．如果当天卖不完，那么剩下的青菜当作福利分给有需要的员工（1）若该商超一天购进800公斤青菜，求当天出售青菜的利润y （单位：元）关于当天青菜需求量x （单位：公斤）的函数解析式（2）该商超记录了100天青菜的日需求量（单位：公斤），整理得到下表．日需求量x 770780790800820830频数51020352010（ⅰ）假设该大型商超在这100天内每天购进800公斤青菜，求这100天出售青菜的日利润（单位：元）的平均数；（ⅱ）若该大型商超一天购进800公斤青菜，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于780元的概率．19.在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,,8,6ABCD AB AD AB AD PA ⊥===，平面PBC⊥平面,,PAC M N 分别为,PB PD 的中点．（1）证明：//MN 平面ABCD ．（2）证明：BC AC ⊥．（3）若二面角C PB A --的正切值为533，求三棱锥C PAD -的体积．楚雄州中小学2023—2024学年下学期期末教育学业质量监测高一年级数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册至必修第二册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.4i -在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据其几何意义确定所在象限即可.【详解】4i -在复平面内对应的点()41-,在第四象限,故选：D.2.已知集合{}{}290,1233M x x N x x x =-<=->，则M N ⋂=（）A.()3,2-B.()3,0-C.()0,3 D.()2,3【答案】A 【解析】【分析】求得集合,M N ，结合集合交集的定义运算，即可求解.【详解】依题意得{}{}{}{}{}29033,123312332M x x x x N x x x x x x x x =-<=-<<=-<=-<=<，则{}32M N x x ⋂=-<<，故选：A ．3.将函数()()sin 42f x x =+图象上所有点的横坐标变为原来的12，得到函数()g x 的图象，则()g x =（）A.()sin 84x +B.()sin 82x +C.()sin 22x + D.()sin 21x +【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数的变换规则判断即可.【详解】将函数()()sin 42f x x =+图象上所有点的横坐标变为原来的12得到()()sin 82g x x =+．故选：B4.某商品3〜5月份在甲、乙、丙、丁四个地区的销量如下图所示，则在这四个地区中该商品3〜5月份销量方差最小的为（）A.甲地区B.乙地区C.丙地区D.丁地区【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由方差的计算公式代入计算，即可得到结果.【详解】由图可得，丁地区销量最稳定，所以丁地区销量的方差最小．故选：D5.已知0.320.3log 3,2,log 2a b c -===，则（）A.c b a <<B.<<b c aC.<<c a bD.a b c<<【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数和指数函数的单调性比较大小.【详解】因为2log y x =在(0,)+∞上单调递增，且234<<，所以222log 2log 3log 4<<，所以21log 32<<，即12a <<，因为2x y =在R 上递增，且0.30-<，所以0.300221-<<=，即01b <<，因为0.3log y x =在(0,)+∞上单调递减，且12<，所以0.30.3log 1log 2>，所以0.3log 20<，即0c <，所以c b a <<.故选：A 6.已知ππ2cos cos 443αα⎛⎫⎛⎫-=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos2α=（）A.13 B.29-C.79D.79-【答案】C 【解析】【分析】根据两角和与差的余弦公式以及二倍角公式即可求解.【详解】由ππcos cos 443αα⎛⎫⎛⎫-=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得cos sin cos sin 22223αααα+=-+，3α=，即22117sin ,cos212sin 12339ααα⎛⎫==-=-⨯= ⎪⎝⎭．故选：C.7.如图，ABC 为正三角形，,ABE BCF 与CAD 是三个全等的三角形，若3,72BE AD CF BC EF DE FD ====，则DEF 的面积为（）A.2B.4C.23D.3【答案】D 【解析】【分析】由条件推理得到正三角形DEF ，根据线段比例关系，设出3BE x =，求得,BF FC ,利用余弦定理求得x 的值，即可计算得到.【详解】因,ABE BCF 与CAD 是三个全等的三角形，则得AEB BFC CDA ∠=∠=∠,即得60DEF DFE FDE ∠=∠=∠= ,故120BFC ∠= ．又3,2BE AD CF EF DE FD ===设3(0)BE x x =>，则2,3EF x FC x ==.由余弦定理得22(3)(5)491cos1202352x x x x +-==-⨯⨯，解得x =1，则2EF =，所以DEF 的面积为23234⨯=．故选：D .8.已知函数()f x mx x =的图象经过点()3,27，则关于x 的不等式()()16150f x f x +->的解集为（）A.(),3-∞ B.()3,+∞ C.()3,5 D.()5,+∞【答案】B 【解析】【分析】代入点坐标求得m 的值，分别判断函数的单调性和奇偶性，将()()16150f x f x +->恒等变换为()()()41515f x f x f x >--=-，最后利用函数单调性即可求解.【详解】由题意知()327f =，解得3m =，所以()3f x x x =，即()223,03,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，易得()f x 在R 上单调递增．因为()()33f x x x x x f x -=--=-=-，所以()f x 为奇函数．又()()164f x f x =，故()()16150f x f x +->等价于()()()41515f x f x f x >--=-，则415x x >-，解得3x >.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的单调性和奇偶性在求解抽象不等式中的应用，属于难题.解题关键在于对抽象不等式的处理，其一，要利用函数()f x 解析式将()16f x 化成()4f x ，其二，利用奇偶性处理负号，其三，根据单调性去掉函数符号.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数z 满足()2i 5i z -=，则（）A.z 的虚部为2B.5z =C.5z z ⋅=D.1z +为纯虚数【答案】ACD 【解析】【详解】先求出12i z =-+，借助于相关概念即可判断各选项.根据题意可得()()()5i 2i 5i12i 2i 2i 2i z +===-+--+，对于A ，显然12i z =-+的虚部为2，故A 正确；对于B ，由12i z =-+可得，z ==B 错误；对于C ，因12i,z =--则2||5z z z ⋅==，故C 正确；对于D ，12i z +=为纯虚数，故D 正确．故选：ACD .10.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A.()1π3sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.()f x 在4π,3π3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减C.直线17π6x =-是()f x 图象的一条对称轴D.()f x 在5π17π,36⎛⎫ ⎪⎝⎭上的取值范围为3332,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】BCD【解析】【分析】根据图象求出A 、ω、ϕ可判断A ；求出1π212-x 范围，根据正弦函数的单调性可判断B ；求出17π6f ⎛⎫- ⎪⎝⎭可判断C ；求出1π212-x 的范围可得17ππsin 1212⎛⎫-- ⎪⎝⎭的范围可得答案.【详解】对于A ，由图可得()3,A f x =的最小正周期为7ππ44π66⎛⎫⨯-=⎪⎝⎭，则2π4πω=，解得12ω=，将π,06⎛⎫⎪⎝⎭代人()13sin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭中，得π3sin 012ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()ππ12k k ϕ+=∈Z ，解得()π12k k πϕ=-+∈Z ．因为π2ϕ<，所以π12ϕ=-，则()1π3sin 212f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 错误．对于B ，由4π,3π3x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，得1π7π17π,2121212x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，因为7π17ππ3π,,121222⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在4π,3π3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故B 正确．对于C ，因为17π17ππ3π3sin 3sin 3612122f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以直线17π6x =-是()f x 图象的一条对称轴，故C 正确．对于D ,由5π17π,36x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得1π3π4π,21243x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以π<sin 22122⎛⎫--< ⎪⎝⎭x，π<3sin 22122⎛⎫--< ⎪⎝⎭x ，所以()f x的取值范围为,22⎛⎫-⎪⎝⎭，故D 正确．故选：BCD .11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,E 是棱CD 的中点，则（）A.向量AE 在AB 方向上的投影向量为12AB B.异面直线AE 与1BC所成角的余弦值为5C.三棱锥11D A CC -外接球的表面积为8πD.直线1BC 与平面11AC D所成角的正弦值为3【答案】AD【解析】【分析】利用投影向量可判断A ，连接11,DE A D ，易得1D AE ∠即为异面直线AE 与1BC 所成的角，即可求出B ，三棱锥11D A CC -的外接球即为正方体1111ABCD A B C D -的外接球即可求出C ，连接1BD ，可得11C BD ∠即是直线1BC 与平面11AC D 所成的角，即可求解.【详解】对A ，因为E 是棱CD 的中点，所以向量AE 在AB 方向上的投影向量为12AB ，A 正确；对B ，连接11,DE A D ，由正方体的性质可知，11//BC AD ，由等角定理易得1D AE ∠即为异面直线AE 与1BC所成的角，易得11D A D E AE ==1cos 5D AE ∠==，B 错误；对C ，三棱锥11D A CC -的外接球即为正方体1111ABCD A B C D -的外接球，易得外接球的半径为4442=11D A CC -外接球的表面积为24π12π⨯=，C 错误；对D ，连接1BD ，因为几何体1111ABCD A B C D -为正方体，体对角线垂直于没有公共点的面对角线，可得1111111,BD A C BD A D BD DC ⊥⊥⊥，，由线面垂直的判定定理可得1BD ⊥平面11AC D ，设直线1BC 与平面11AC D 所成的角为θ，则1111sin cos 3BC C BD BD θ=∠===，D 正确．故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若实数,a b 满足2240a b +=，则ab 的最大值为___________．【答案】20【解析】【分析】根据题意，由基本不等式代入计算，即可得到结果.【详解】根据题意可得22402a b ab +=≥，得20ab ≤，当且仅当a b ==或a b ==-时，等号成立，故ab 的最大值为20．故答案为：2013.已知正四棱台的上底面边长为21，则该正四棱台的下底面边长为___________，该正四棱台的体积为___________．【答案】①.4②.283##193【解析】【分析】利用勾股定理求出下底面的边长，利用棱台的体积公式计算可得体积.【详解】设该正四棱台下底面的边长为a ，则2132⎛-+= ⎪⎝⎭，解得4a =，故该正四棱台的体积为(1282244133⨯+⨯+⨯=．故答案为：①4；②283.14.已知函数()ππsin (0)33f x x x ωωω⎫⎫⎛⎛=++> ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭在π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上恰有2个零点，则ω的取值范围为___________．【答案】[)4,7【解析】【分析】化简得到()2π2sin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，求得2π3x ω+的范围后，根据零点个数可构造不等式组求得结果.【详解】由题意可得()ππ2π2sin 2sin 333f x x x ωω⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得2π2ππ2π,3333x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦．因为()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上恰有2个零点，所以π2π2π3π33ω≤+<，解得47ω≤<．故答案为：[)4,7四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知平面向量,,a b c 满足()()3,4,,8,4a b c λ==-= ．（1）若//a b，求λ的值；（2）若()()210a c a c +⊥+ ，求向量a 与c 夹角的大小．【答案】（1）6λ=-（2）2π3．【解析】【分析】（1）根据向量平行的坐标表示求参；（2）先根据垂直结合向量的模长求出10a c ⋅=- ，最后根据夹角公式计算即可.【小问1详解】根据题意可得()384λ⨯-=，解得6λ=-．【小问2详解】由()()210a c a c +⊥+ ，得()()22210220100a c a c a a c a c c +⋅+=+⋅+⋅+= ．因为5a == ，所以210210a c +⋅= ，所以10a c ⋅=-，所以101cos ,542a c a c a c ⋅-===-⨯ ，又[],0,πa c ∈ ，所以2π,3a c = ．16.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,abc ．已知()()()sin sin sin c a C A b B A -+=-．（1）求角C 的大小；（2）若b =，求sin c B 的值；（3）若4,a b D =为AB 的中点，求CD 的长．【答案】（1）π6C =（2）2（3）2【解析】【分析】（1）由条件根据正弦定理和余弦定理化简，从而可得出答案；（2）根据正弦定理即可求解；（3）由向量可得()12CD CA CB =+ ，由向量求模公式即可求解.【小问1详解】由()()()sin sin sin c a C A b B A -+=-，得()()()c a c a b b -+=-，即222222,c a b a b c -=+-，所以222cos 222a b c C ab ab +-===，因为()0,πC ∈，所以π6C =．【小问2详解】根据正弦定理sin sin c b C B =，可得πsin sin sin 62c B b C ===．【小问3详解】由题意可得()12CD CA CB =+ ，则2CD = ．17.某工厂计划对该工厂生产的某类产品进行深加工，以推进该类产品的升级．该工厂随机抽取某生产线上一段时间内生产的100件产品，对其质量（单位：g ）进行统计，并将样本数据分为[)[)[)[)[)[]45,55,55,65,65,75,75,85,85,95,95,105六组，得到如下频率分布直方图．（1）试估计样本数据的60%分位数；（2）从样本数据在[)[]85,95,95,105内的产品中采用分层随机抽样的方法抽取5件产品作为产品深加工方案制定的分析样例，再从被抽取的这5件产品中随机抽取2件产品作为深加工的标准样例，求标准样例中恰有1件产品的质量在[]95,105内的概率；（3）若规定质量在[]95,105内的产品为优等品，用频率估计概率，从该生产线上随机抽取2件产品，求抽取到的产品中至少有1件优等品的概率．【答案】（1）73.75g（2）35（3）0.1164【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图估计样本数据的60%分位数.（2）求出5件产品中两个指定区间内的产品数，再利用列举法求出古典概率.（3）求出优等品率，再利用对立事件的概率公式计算即得.【小问1详解】由频率分布直方图知，样本数据在[45,65)的频率为0.180.210.39+=，在[45,75)的频率为0.63，则样本数据的60%分位数(65,75)x ∈，于是0.39(65)0.0240.6x +-⨯=，解得73.75x =，所以样本数据的60%分位数约为73.75g.【小问2详解】样本数据在[)85,95内的产品被抽取的件数为0.09530.060.09⨯=+，记为,,A B C ，样本数据在[]95,105内的产品被抽取的件数为0.06520.060.09⨯=+，记为,,a b 则从被抽取的这5件产品中随机抽取2件产品的情况有：()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C A a A b B C B a B b C a C b a b ，共10种，其中标准样例中恰有1件产品的质量在[]95,105内的情况有6种．所以标准样例中恰有1件产品的质量在[]95,105内的概率为63105=．【小问3详解】依题意，从该生产线上随机抽取1件产品，该件产品为优等品的概率为0.006100.06⨯=，则抽取到的产品中至少有1件优等品的概率为10.940.940.1164-⨯=．18.某大型商超每天以每公斤1元的价格从蔬菜批发行购进若干公斤青菜，然后以每公斤2元的价格出售．如果当天卖不完，那么剩下的青菜当作福利分给有需要的员工（1）若该商超一天购进800公斤青菜，求当天出售青菜的利润y （单位：元）关于当天青菜需求量x （单位：公斤）的函数解析式（2）该商超记录了100天青菜的日需求量（单位：公斤），整理得到下表．日需求量x770780790800820830频数51020352010（ⅰ）假设该大型商超在这100天内每天购进800公斤青菜，求这100天出售青菜的日利润（单位：元）的平均数；（ⅱ）若该大型商超一天购进800公斤青菜，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于780元的概率．【答案】（1）()[)2800,0,800,800,800,.x x y x ∞⎧-∈⎪=⎨∈+⎪⎩（2）（ⅰ）789元；（ⅱ）0.85【解析】【分析】（1）由题意可知需要对x 进行分类讨论，很容易得到函数解析式；（2）（ⅰ）根据分层计算出不同日需求量的利润即可求解；（ⅱ）以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率即可求解.【小问1详解】当800x ≥时，()80021800y =⨯-=；当0800x <<时，218002800y x x =-⨯=-．故y 关于x 的函数解析式为()[)2800,0,800,800,800,.x x y x ∞⎧-∈⎪=⎨∈+⎪⎩【小问2详解】（i ）这100天有5天的日利润为2770800740⨯-=元，10天的日利润为2780800760⨯-=元，20天的日利润为2790800780⨯-=元，65天的日利润为800元，所以这100天出售青菜的日利润的平均数为5102065740760780800789100100100100⨯+⨯+⨯+⨯=元．（ⅱ）若当天的利润不少于780元，则当日需求量不少于790公斤故当天的利润不少于780元的概率为0.20.350.20.10.85+++=．19.在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,,8,6ABCD AB AD AB AD PA ⊥===，平面PBC ⊥平面,,PAC M N 分别为,PB PD 的中点．（1）证明：//MN 平面ABCD ．（2）证明：BC AC ⊥．（3）若二面角C PB A --的正切值为3，求三棱锥C PAD -的体积．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）48【解析】【分析】（1）连接BD ，证明MN BD ∥，由线线平行证线面平行即得；（2）过A 作AH PC ⊥交PC 于H ，证AH ⊥平面PBC 得AH BC ⊥，由PA ⊥平面ABCD 得PA BC ⊥，可证BC ⊥平面PAC ，即得BC AC ⊥；（3）过C 作CF AB ⊥交AB 于F ,证CF ⊥平面PAB ，作FE PB ⊥交PB 于E ，连接CE ，证FEC ∠即为二面角C PB A --的平面角，由题设3EF x =，通过两组三角形相似求出25x =即得.【小问1详解】如图，连接BD ．因为,M N 分别为,PB PD 的中点，所以MN 为PBD △的中位线，则MN BD ∥．因为MN ⊄平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD ．【小问2详解】如图，过A 作AH PC ⊥交PC 于H ．因平面PBC ⊥平面PAC ，平面PBC ⋂平面PAC PC =，AH ⊂平面PAC ，故AH ⊥平面PBC ．因为BC ⊂平面PBC ，所以AH BC ⊥．因为PA ⊥平面,ABCD BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥．因为PA AH A ⋂=，所以BC ⊥平面PAC ，又AC ⊂平面PAC ，所以BC AC ⊥．【小问3详解】如图3，过C 作CF AB ⊥交AB 于F ，过F 作FE PB ⊥交PB 于E ，连接CE ．因PA ⊥平面ABCD ，CF ⊂平面ABCD ,则CF PA ⊥,因,,AB PA A AB PA ⋂=⊂平面PAB ,故得CF ⊥平面PAB .因PB ⊂平面PAB ,则CF PB ⊥．因为,FE PB FE CF F ⊥= ，,FE CF ⊂平面CEF ,所以PB ⊥平面CEF .又CE ⊂平面CEF ，则PB CE ⊥，则FEC ∠即为二面角C PB A --的平面角，依题意，tan 3FC FEC EF ∠==．设3EF x =，则FC =．因为8,6AB PA ==，所以10PB =．由BEF BAP △∽△，得BF EF PB PA =，即3106BF x =，则5,85BF x AF x ==-．又由BFC CFA △∽△，得BF FCCF FA =，即85x =-，解得25x =．2856,5AF =-⨯=因CF //AD ,则ACD 的面积为11862422AD AF ⨯⨯=⨯⨯=，故1624483C PAD P CAD V V --==⨯⨯=．【点睛】关键点点睛：本题主要考查线面垂直的判定和二面角的几何求法，属于难题.解题关键在于充分利用面面垂直的性质和线面垂直的判定定理，结合图形执果索因即可；对于二面角的求法，一般是先找到平面的垂线，再由垂足向棱作垂线,连线后即可证得其平面角.。
武汉华中师范大学第一附属中学2024年高一下学期7月期末检测数学试题+答案
华中师大一附中2023-2024学年度下学期期末检测高一年级数学试题考试时间：120分钟 试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()20241i i z +−=（i 为虚数单位），则z 的虛部为（ ）A ．12B ．12−C ．i 2D ．i 2−2．某商场组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有标号分别为1~8的8个大小形状相同的小球，现抽奖者从中抽取1个小球．事件A =“取出的小球编号为奇数”，事件B =“取出的小球编号为偶数”，事件C =“取出的小球编号小于6”，事件D =“取出的小球编号大于6”，则下列结论错误的是（ ） A ．A 与B 互斥B ．A 与B 互为对立事件C ．C 与D 互为对立事件D ．B 与D 相互独立3．已知m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A ．若m α∥，n α∥，则m n ∥ B ．若m α∥，m β∥，则αβ∥ C ．若m α∥，αβ∥，则m β∥D ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ= ，则l γ⊥4．甲乙两人进行三分远投比赛，甲、乙每次投篮命中的概率分别为0.5和0.4，且两人之间互不影响．若两人分别投篮一次，则两人中至少一人命中的概率为（ ） A ．0.6B ．0.7C ．0.8D ．0.95．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 对应的边，则“cos sin a C a C b c −=−”是“△ABC 为直角三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．如图，圆台1OO 的轴截面是等腰梯形ABCD ，24AB BC CD ===，E 为下底面O 上的一点，且AE =，则直线CE 与平面ABCD 所成角的正切值为（ ）A ．2B ．12 C D 7．掷一枚质地均匀的骰子3次，则三个点数之和大于14的概率为（ ） A ．17216B ．554C ．427D ．352168．在平行四边形ABCD 中，2π3BAD ∠=，1AB =，2AD =．P 是以C 为圆心，点，且AP AB AD λµ=+，则λµ+的最大值为（ ）A ．2+BC ．2+D ．2+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．四名同学各掷骰子7次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，判断可能出现了点数6的是（ ） A ．中位数为3，极差为3B ．平均数为2，第80百分位数为4C ．平均数为3，中位数为4D ．平均数为3，方差为110．在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量类似的，可以把有序复数对()()1212,,C z z z z ∈看作一个向量，记()12,a z z = ，则称a为复向量．类比平面向量的相关运算法则，对于()12,a z z = ，()34,b z z = ，1234,,,C z z z z ∈，规定如下运算法则：①()1324,a b z z z z +++ ；②()1324,a b z z z z −−−；③1324a b z z z z ⋅=+ ；④||a = ．则下列结论正确的是（ ）A ．若(i,1i)a =+ ，(2,2i)b =− ，则15i a b ⋅=+B ．若0a = ，则()0,0a =C ．a b b a ⋅=⋅D ．()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅11．如图所示，在直角梯形BCEF 中，90CBF BCE ∠=∠=°，A ，D 分别是BF ，CE 上的点，且AD BC ∥，222AB ED BC AF ====，将四边形ADEF 沿AD 向上折起，连接BE ，BF ，CE ．在折起的过程中，下列结论正确的是（ ）A ．AC ∥平面BEFB ．BE 与AD 所成的角先变大后变小C ．几何体EF ABCD 体积有最大值53D ．平面BCE 与平面BEF 不可能垂直三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知圆锥体积为3π，表面积是底面积的3倍，则该圆锥的母线长为______．13．已知平面向量a ，b ，3b = ，向量a 在向量b 上的投影向量为16b −，则a b ⋅= ______．14．在正三棱柱111ABC A B C −中，14AB AA ==，E 为线段1CC 上动点，D 为BC 边中点，则三棱锥A -BDE 外接球表面积的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）试估计全市参赛者成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分）；（2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从[)50,60，[)60,70，[)70,80三层中抽取一个容量为6的样本，再从这6人中随机抽取两人，求抽取的两人都及格（大于等于60分为及格）的概率．16．（15分）如图，四边形PDCE 为矩形，直线PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面．90ADC BAD =∠=°∠，F 是线段P A 的中点，PD =112AB AD CD ===．（1）求证：AC ∥平面DEF ；（2）求点F 到平面BCP 的距离．17．（15分）在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 对应的边，S 为△ABC 的面积．且2sin sin sin 21sin C ab B a A S B−=−．（1）求A ；（2）若2a =，求△ABC 内切圆半径的最大值．18．（17分）如图，在三棱柱111ABC A B C −中，底面是边长为4的等边三角形，14CC =，D 、E 分别是线段AC 、1CC 的中点，点1C 在平面ABC 内的射影为点D ．（1）求证：1A C ⊥平面BDE ；（2）设G 为棱11B C 上一点，111C G C B λ=，()0,1λ∈． ①若12λ=，请在图中作出三棱柱111ABC A B C −过G 、B 、D 三点的截面，并求该截面的面积； ②求二面角G -BD -E 的取值范围．19．（17分）对于两个平面向量a ，b，如果有0a b a a ⋅−⋅> ，则称向量a 是向量b 的“迷你向量”．（1）若(1,)m x = ，(2,1)n x =− ，m 是n的“迷你向量”，求实数x 的取值范围； （2）一只蚂蚁从坐标原点()0,0O 沿最短路径爬行到点(),N n n 处（n N ∈且2n ≥）．蚂蚁每次只能沿平行或垂直于坐标轴的方向爬行一个单位长度，爬完第i 次后停留的位置记为()112P i n ≤≤，设()1,0M n −．记事件T =“蚂蚁经过的路径中至少有n 个i P 使得ON 是i OP的迷你向量”。
2023-2024学年广东省深圳中学高一学期期末数学试题及答案
深圳中学2023-2024学年度第一学期期末考试试题年级：高一 科目：数学参考：以10为底的对数叫常用对数，把10log N 记为lg N ；以()e e 2.718281828=⋯为底的对数叫自然对数，把e log N 记为ln N ．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 为了解某地区居民使用手机扫码支付的情况，拟从该地区的居民中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况有较大差异，而男、女使用手机扫码支付的情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的是（ ）A. 抽签法B. 按性别分层随机抽样C. 按年龄段分层随机抽样D. 随机数法2. 下列与7π4的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）A. ()2π315Z k k +∈B. ()36045Z k k ⋅-∈C ()7π360Z 4k k ⋅+∈D. ()5π2πZ 4k k +∈3. 角α的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35的值为（ ）A.35B. 35-C.45 D. 45-4. 已知角()0,πα∈，且1cos 23α=，则sin α的值为（ ）A.B.C.D. 5. 健康成年人的收缩压和舒张压一般为90~139mmhg 和60~89mmhg ，心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为120/80mmhg 为标准值．设某人的血压满足函数式()11525sin(160π)P t t =+，其中()P t 为血压（mmhg ），t 为时间（min ）．给出以下结论：①此人血压在血压计上的读数为140/90mmhg ②此人的血压在健康范围内③此人的血压已超过标准值④此人的心跳为80次/分.的其中正确结论的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 46. 孩子在成长期间最需要父母的关爱与陪伴，下表为2023年中国父母周末陪孩子日均时长统计图．根据该图，下列说法错误的是（ ）A. 2023年母亲周末陪伴孩子日均时长超过8小时的占比大于13B. 2023年父亲周末陪伴孩子日均时长超过6小时占比大于12C. 2023年母亲周末陪伴孩子日均时长的5个时段占比的极差为28.8%D. 2023父母周末陪伴孩子日均时长10个时段占比的中位数为20.2%7. 将函数()2sin f x x =图象上所有点横坐标缩小为原来的12，再向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()0g x a -=在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点1x ，2x ，则()12tan x x +=（ ）A.B.C.D. 8. 如果对于任意整数πππ,sin,cos ,tan n n n n k k k都是有理数，我们称正整数k 是“好整数”，下面的整数中哪个是最大的“好整数”（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．的的的9. 下列说法中正确的是（ ）A. 度与弧度是度量角的两种不同的度量单位B. 1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12πC. 根据弧度的定义，180︒一定等于π弧度D. 不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关10. 下列各式中，值是12的是（ ）A. ππc s cos sin os n 3i 3x x x x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. tan10tan 35tan10tan 35︒+︒+︒︒C.2tan 22.51tan 22.5︒-︒D.22cos 203sin 50-︒-︒11. 2023年是共建“一带一路”倡议提出十周年．某校组织了“一带一路”知识竞赛，将学生的成绩（单位：分，满分：120分）整理成如图的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），则（ ）A. 该校竞赛成绩的极差为70分B. a 的值为0.005C. 该校竞赛成绩的平均分的估计值为90.7分D. 这组数据的第30百分位数为8112. 在平面直角坐标系中，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点ππsin ,cos 33⎛⎫- ⎪⎝⎭，()cos sin 2sin cos 2f x x x αα=-则下列结论正确的是（ ）A. 11cos 22α-=B. 2π3x =是()y f x =的图象的一条对称轴C. 将函数()y f x =图象上的所有点向左平移5π6个单位长度，所得到的函数解析式为sin 2y x=D. ()y f x =在4π0,3⎛⎫⎪⎝⎭内恰有3个零点三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92分，如果30名男生的平均成绩为90分，那么20名女生的平均成绩为____分.14. 已知1cos 7α=，()sin αβ+=，π02α<<，π02β<<，则cos β=________.15. 已知函数()()πsin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤≤⎪⎝⎭是R 上的奇函数，其图象关于点3,04A π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是单调函数，则ω的值为______.16. cos()cos cos 1y αβαβ=++--的取值范围是_________．四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17. 已知()()()()3πsin πcos 2πcos 2.πcos sin π2f αααααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭（1）化简()f α；（2）若α是第三象限角，且()1sin π5α-=，求()f α的值.18. 据调查，某市政府为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准x （单位：吨），月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了n 户居民某年的月均用水量（单位：吨），其中月均用水量在(]9,12内的居民人数为39人，并将数据制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求a 和n 的值；（2）若该市政府希望使80%的居民月用水量不超过标准x 吨，试估计x 的值；（3）在（2）的条件下，若实施阶梯水价，月用水量不超过x 吨时，按3元/吨计算，超出x 吨的部分，按5元/吨计算．现市政府考核指标要求所有居民的月用水费均不超过70元，则该市居民月用水量最多为多少吨？19. 已知函数()()2πcos 2cos f x x x x =-+．（1）若ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域；（2）若函数()()1g x f x =-在区间π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，求m 的取值范围．20. 某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k ），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为224m ，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为236m ，凤眼莲的覆盖面积y （单位：2m ）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型()0,1xy ka k a =>>与()120,0y px k p k =+>>可供选择．（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg 20.3010,lg 30.4711≈≈）．21. 已知函数()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为π，且直线π2x =-是其图象的一条对称轴．（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作()y g x =，已知常数*,n λ∈∈R N ，且函数()()()F x f x g x λ=+在()0,πn 内恰有2023个零点，求常数λ与n 的值．22. 已知二次函数()f x 满足：()()224132,log 231x f x x x g x ⎛⎫+=++=+⎪-⎝⎭（1）求()f x 的解析式；（2）求()g x 的单调性与值域（不必证明）；（3）设()ππ2cos cos2,22h x x m x x ⎛⎫⎡⎤=+∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，若()()f h x g h x ⎡⎤⎡⎤≥⎣⎦⎣⎦，求实数m 的值．深圳中学2023-2024学年度第一学期期末考试试题年级：高一 科目：数学参考：以10为底的对数叫常用对数，把10log N 记为lg N ；以()e e 2.718281828=⋯为底的对数叫自然对数，把e log N 记为ln N ．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 为了解某地区居民使用手机扫码支付的情况，拟从该地区的居民中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况有较大差异，而男、女使用手机扫码支付的情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的是（ ）A 抽签法B. 按性别分层随机抽样C. 按年龄段分层随机抽样D. 随机数法【答案】C 【解析】【分析】根据抽样方法确定正确答案.【详解】依题意，“居民人数多”， “男、女使用手机扫码支付的情况差异不大”，“老、中、青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况有较大差异”，所以最合理的是按年龄段分层随机抽样.故选：C 2. 下列与7π4的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）A. ()2π315Z k k +∈B. ()36045Z k k ⋅-∈C. ()7π360Z 4k k ⋅+∈D. ()5π2πZ 4k k +∈【答案】B 【解析】【分析】AC 项角度与弧度混用，排除AC ；D 项终边在第三象限，排除D.【详解】因为7πrad 3154= ，终边落在第四象限，且与45- 角终边相同，故与7π4终边相同的角的集合.的{}{}31536045360S k k αααα==+⋅==-+⋅即选项B 正确；选项AC 书写不规范，选项D 表示角终边在第三象限.故选：B.3. 角α的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35的值为（ ）A.35B. 35-C.45 D. 45-【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数定义以及同角三角函数之间的平方关系即可得出结果.【详解】根据三角函数定义可知3cos 5α=，又22sin cos 1αα+=53cos α===.故选：A4. 已知角()0,πα∈，且1cos 23α=，则sin α的值为（ ）A.B.C. D. 【答案】B 【解析】【分析】根据余弦的二倍角公式即可求解.【详解】因为21cos 212sin3αα=-=，所以sin α=，因为()0,πα∈，所以sin α=.故选：B .5. 健康成年人的收缩压和舒张压一般为90~139mmhg 和60~89mmhg ，心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为120/80mmhg为标准值．设某人的血压满足函数式()11525sin(160π)P t t =+，其中()P t 为血压（mmhg ），t 为时间（min ）．给出以下结论：①此人的血压在血压计上的读数为140/90mmhg ②此人的血压在健康范围内③此人的血压已超过标准值 ④此人的心跳为80次/分其中正确结论的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C 【解析】【分析】根据所给函数解析式及正弦函数的性质求出()P t 的取值范围，即可得到此人的血压在血压计上的读数，从而判断①②③，再计算出最小正周期，即可判断④.【详解】因为某人的血压满足函数式()11525sin(160π)P t t =+，又因为1sin(160π)1t -≤≤，所以11525()11525P t -≤≤+，即90()140P t ≤≤，即此人的血压在血压计上的读数为140/90mmhg ，故①正确；因为收缩压为140mmhg ，舒张压为90mmhg ，均超过健康范围，即此人的血压不在健康范围内，故②错误，③正确；对于函数()11525sin(160π)P t t =+，其最小正周期2π1160π80T ==（min ），则此人的心跳为180T=次/分，故④正确；故选：C6. 孩子在成长期间最需要父母的关爱与陪伴，下表为2023年中国父母周末陪孩子日均时长统计图．根据该图，下列说法错误的是（ ）A. 2023年母亲周末陪伴孩子日均时长超过8小时的占比大于13B. 2023年父亲周末陪伴孩子日均时长超过6小时的占比大于12C. 2023年母亲周末陪伴孩子日均时长的5个时段占比的极差为28.8%D. 2023父母周末陪伴孩子日均时长的10个时段占比的中位数为20.2%【答案】C 【解析】【分析】根据题意结合统计相关知识逐项分析判断.【详解】由题图可知：2023年母亲周末陪伴孩子日均时长超过8小时的占比为138.7%3>，A 说法正确；2023年父母周末陪伴孩子日均时长超过6小时的占比为131.5%24.2%55.7%2+=>，B 说法正确；2023年母亲周末陪伴孩子日均时长的5个时段占比的极差为38.7% 2.5%36.2%-=，C 说法错误；2023年父母周末陪伴孩子日均时长的10个时段占比的中位数为21.4%19.0%20.2%2+=，D 说法正确．故选：C ．7. 将函数()2sin f x x =图象上所有点的横坐标缩小为原来的12，再向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()0g x a -=在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点1x ，2x ，则()12tan x x +=（ ）A.B. C.D. 【答案】B 【解析】【分析】根据函数图象的变换可得()π2sin 23g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即可结合正弦函数的对称性得12πt t +=，进而125π6x x +=，即可求解.【详解】将函数()2sin f x x =图象上所有点的横坐标缩小为原来的12，得到2sin 2y x =的图象，再向右平移π6个单位长度，得到()ππ2sin 22sin 263g x x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象．当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2π2,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，令π23x t -=，π2π,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则关于t 的方程2sin t a =在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不等的实数根1t ，2t ，所以12πt t +=，即12ππ22π33x x -+-=，则125π6x x +=，所以()125πtan tan 6x x +==．故选：B8. 如果对于任意整数πππ,sin,cos ,tan n n n n k k k都是有理数，我们称正整数k 是“好整数”，下面的整数中哪个是最大的“好整数”（ ）A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数定义域代入选项逐个验证即可得出结论.【详解】考虑三角函数的定义域，对于选项A ，当1k =时，sin π,cos π,tan πn n n 对于任意整数n ，都是整数，满足题意；对于B ，当2k =时，2ππtantan n n k =对于整数1，没有意义，不满足题意；同理可得对于C 和D ，当3ππtantan n n k =或4ππtan tan n n k =时，代入验证可知不满足题意；所以可知最大“好整数”为1故选：A二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列说法中正确的是（ ）A. 度与弧度是度量角的两种不同的度量单位B. 1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12πC. 根据弧度的定义，180︒一定等于π弧度D. 不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关【答案】ABC 【解析】【分析】根据角度制与弧度制的定义，以及角度制和弧度制的换算公式，以及角的定义，逐项判定，即可求解.【详解】根据角度制和弧度制的定义可知，度与弧度是度量角的两种不同的度量单位，所以A 正确；由圆周角的定义知，1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12π，所以B 正确；根据弧度的定义知，180︒一定等于π弧度，所以C 正确；无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短无关，只与弧长与半径的比值有关，故D 不正确.故选：ABC.10. 下列各式中，值是12的是（ ）A. ππc s cos sin os n 3i 3x x x x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. tan10tan 35tan10tan 35︒+︒+︒︒C.2tan 22.51tan 22.5︒-︒D.22cos 203sin 50-︒-︒【答案】ACD 【解析】【分析】利用两角差的余弦公式，诱导公式，二倍角公式即可逐个选项判断.【详解】ππc s cos sin os n 3i 3x x x x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ1cos cos 332x x ⎛⎫=--== ⎪⎝⎭，A 正确；tan10tan 35tan10tan 35︒+︒+︒︒()()tan 10351tan10tan 35tan10tan 35=︒+︒-︒︒+︒︒tan 451=︒=，B 不对；22tan 22.512tan 22.511tan 451tan 22.521tan 22.522︒︒==︒=-︒-︒，C 正确；()2311cos 403sin502cos 2012223sin 503sin503sin502-︒-︒-︒===-︒-︒-︒，D 正确.故选：ACD11. 2023年是共建“一带一路”倡议提出十周年．某校组织了“一带一路”知识竞赛，将学生的成绩（单位：分，满分：120分）整理成如图的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），则（ ）A. 该校竞赛成绩的极差为70分B. a 的值为0.005C. 该校竞赛成绩的平均分的估计值为90.7分D. 这组数据的第30百分位数为81【答案】BC【解析】【分析】利用频率分布直方图，用样本估计总体，样本的极差、平均值、百分位数相关知识计算即可.【详解】因为由频率分布直方图无法得出这组数据的最大值与最小值，所以这组数据的极差可能为70，也可能为小于70的值，所以A 错误；因为(0.00820.0120.01540.030)10700.651a a a a ++++++⨯=+=，解得0.005a =，所以B 正确；该校竞赛成绩的平均分的估计值550.00510650.00810x =⨯⨯+⨯⨯+750.01210850.01510950.03010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯10540.0051011520.0051090.7+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=分，所以C 正确．设这组数据的第30百分位数为m ，则(0.0050.0080.012)10(80)0.015100.3m ++⨯+-⨯⨯=，解得2413m =，所以D 错误．故选：BC ．12. 在平面直角坐标系中，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点ππsin ,cos 33⎛⎫- ⎪⎝⎭，()cos sin 2sin cos 2f x x x αα=-则下列结论正确的是（ ）A. 11cos 22α-=B. 2π3x =是()y f x =的图象的一条对称轴C. 将函数()y f x =图象上的所有点向左平移5π6个单位长度，所得到的函数解析式为sin 2y x=D. ()y f x =在4π0,3⎛⎫⎪⎝⎭内恰有3个零点【答案】AB 【解析】【分析】利用三角函数的定义求得α，从而得到()f x 的解析式，进而利用三角函数的性质与平移的结论，逐一分析各选项即可得解.【详解】因为ππ1sin ,cos 332⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以由三角函数的定义得1sin 2α=，cos α=，所以5π2π,6k k α∈=+Z ，则()()cos sin 2sin cos 2sin 2f x x x x ααα=-=-5π5πsin 22πsin 2,66x k x k ∈⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z ，A : 22111cos 22sin 222αα⎛⎫-==⨯= ⎪⎝⎭，故A 正确；B ：因为5π62π4ππsin sin 1332f ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2π3x =是()y f x =的图象的一条对称轴，故B 正确；C ：将函数()y f x =图象上的所有点向左平移5π6个单位长度，所得到的函数解析式为5π5πsin 2sin 2665π6y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故C 错误；D ：令()0f x =，得5πsin 206x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得5π5ππ2π,,6122k x k k x k ∈∈-=⇒=+Z Z ，仅0k =，1，即5π11π,1212x =符合题意，即()y f x =在4π0,3⎛⎫⎪⎝⎭内恰有两个零点，故D 错误.故选：AB三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92分，如果30名男生的平均成绩为90分，那么20名女生的平均成绩为____分.【答案】95【解析】【分析】利用平均数的求法计算即可.【详解】设所求平均成绩为x ，由题意得5092309020x ⨯=⨯+⨯，∴95x =.故答案为：9514. 已知1cos 7α=，()sin αβ+=，π02α<<，π02β<<，则cos β=________.【答案】12##0.5【解析】【分析】根据题意，分别求得()sin ,cos ααβ+，再由余弦的差角公式，代入计算，即可得到结果.【详解】因为π02α<<且11cos c 2πos 73α=<=，则ππ32α<<，又02βπ<<，所以π3παβ<+<，且()sin αβ+=<，所以π2π3αβ<+<，则()11cos 14αβ+==-，sin α==，所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++⎡⎤⎣⎦11111472=-⨯+=.故答案为：1215. 已知函数()()πsin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤≤⎪⎝⎭是R 上的奇函数，其图象关于点3,04A π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是单调函数，则ω的值为______.【答案】43【解析】【分析】由函数为奇函数，得0ϕ=，再根据函数图像关于点3,04A π⎛⎫⎪⎝⎭对称，可知43kω=，根据函数的单调性可得04ω<≤，进而得解.【详解】因为函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤≤ ⎪⎝⎭是R 上的奇函数，则()()f x f x -=-，即sin cos cos sin x x ϕωωϕ=-，又因为0ω>，所以sin 0ϕ=，因为π02ϕ≤≤，所以0ϕ=；故()sin f x x ω=；又因为图象关于点3π,04A ⎛⎫⎪⎝⎭对称，则3ππ4k ω=，Z k ∈，所以43k ω=，Z k ∈，因为函数在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则12ππ24ω⨯≥，得04ω<≤；所以43ω=，故答案为：43.16. cos()cos cos 1y αβαβ=++--取值范围是_________．【答案】1[4,]2-【解析】【分析】由和角的余弦公式变形给定函数，再利用辅助角公式变形，结合正弦函数的性质用含cos β的关系式表示y ，再借助二次函数最值求解即得.【详解】cos cos sin sin cos cos 1y αβαβαβ=-+--(cos 1)cos (sin )sin (cos 1)βαβαβ=+--+)(cos 1)αϕβ=+-+)(cos 1)αϕβ=+-+由sin()[1,1]αϕ+∈-，得(cos 1)(cos 1)y ββ-+≤≤+，令t =，则t ∈，则22t y t ≤≤--，所以221(42y t t ≥-=-+≥-，当且仅当t =，即cos 1β=时取等号，且2211(22y t t ≤-=-+≤，当且仅当t =，即1cos 2β=-时取等号，的所以y 的取值范围为1[4,]2-.故答案为：1[4,]2-四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17. 已知()()()()3πsin πcos 2πcos 2.πcos sin π2f αααααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭（1）化简()f α；（2）若α是第三象限角，且()1sin π5α-=，求()f α的值.【答案】（1）()cos f αα=-（2【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简即可；（2）利用诱导公式及同角三角函数的关系计算即可.【小问1详解】因为()()()()3πsin πcos 2πcos 2πcos sin π2f αααααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()sin cos sin cos sin sin αααααα⋅⋅-==-⋅，所以()cos fαα=-.【小问2详解】由诱导公式可知()1sin πsin 5αα-=-=，即1sin 5α=-，又α是第三象限角，所以cos α===所以()cos fαα=-=.18. 据调查，某市政府为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准x （单位：吨），月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了n 户居民某年的月均用水量（单位：吨），其中月均用水量在(]9,12内的居民人数为39人，并将数据制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求a 和n 的值；（2）若该市政府希望使80%的居民月用水量不超过标准x 吨，试估计x 的值；（3）在（2）的条件下，若实施阶梯水价，月用水量不超过x 吨时，按3元/吨计算，超出x 吨的部分，按5元/吨计算．现市政府考核指标要求所有居民的月用水费均不超过70元，则该市居民月用水量最多为多少吨？【答案】（1）1300a =，200n = （2）16.6吨 （3）20.64吨【解析】【分析】（1）频率分布直方图总面积为1，由此即可求解.（2）先判断所求值所在的区间，再按比例即可求解.（3）按题意列不等式即可求解.【小问1详解】()0.0150.0250.0500.0650.0850.0500.0200.0150.00531a +++++++++⨯= ，1.300a ∴=用水量在(]9,12频率为0.06530.195⨯=，392000.195n ∴==（户）【小问2详解】()0.0150.0250.0500.0650.08530.720.8++++⨯=< ，()0.0150.0250.0500.0650.0850.05030.870.8+++++⨯=>，0.800.7215316.60.870.72-∴+⨯=-（吨）【小问3详解】设该市居民月用水量最多为m 吨，因为16.6349.870⨯=<，所以m 16.6>，则()16.6316.6570w m =⨯+-⨯≤，解得20.64m ≤，答：该市居民月用水量最多为20.64吨．19. 已知函数()()2πcos 2cos f x x x x =-+．（1）若ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域；（2）若函数()()1g x f x =-在区间π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，求m 的取值范围．【答案】（1）[]0,3（2）5π11π,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）利用诱导公式以及二倍角公式化简可得()f x 的表达式，结合ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，确定π26x +的范围，即可求得答案；（2）由π,6x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，确定πππ2[,2666x m +∈-+，根据()g x 在区间π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，结合正弦函数的零点，列出相应不等式，即求得答案.【小问1详解】由题意得()()2πcos 2cos f x x x x=-+的πcos 212sin 216x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则ππ5π2[,666x +∈-，则1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，则π02sin 2136x ⎛⎫≤++≤ ⎪⎝⎭，即函数()f x 的值域为[]0,3；【小问2详解】由题可得π6m >-，当π,6x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，πππ2[,2666x m +∈-+，()()π2sin 216g x x f x ⎛⎫+ ⎪⎝=-⎭=，且()g x 在区间π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，而sin y x =在π[,2π)6-有且仅有2个零点，分别为0,π，故π5π11ππ22π,61212m m ≤+<∴≤<，即5π11π,1212m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.20. 某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k ），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为224m ，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为236m ，凤眼莲的覆盖面积y （单位：2m ）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型()0,1x y ka k a =>>与()120,0y px k p k =+>>可供选择．（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg 20.3010,lg 30.4711≈≈）．【答案】（1）选择模型()0,1x y ka k a =>>符合要求，*32323N 2,11,xy x x ⎛⎫=⋅ ⎪⎝≤≤∈⎭ （2）六月份【解析】【分析】（1）根据指数函数与幂函数的增长速度即可选得哪一个模型，再利用待定系数法即可求出该模型的解析式；（2）由（1）结合已知可得3233210323x ⎛⎫⋅>⨯ ⎪⎝⎭，再结合已知数据即可得出答案.【小问1详解】函数()0,1x y ka k a =>>与()120,0y pxk p k =+>>在()0,∞+上都是增函数，随着x 的增加，函数()0,1x y kak a =>>的值增加的越来越快，而函数()120,0y px k p k =+>>的值增加的越来越慢，由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型()0,1x y kak a =>>符合要求，根据题意可知2x =时，24y =；3x =时，36y =，所以232436ka ka ⎧=⎨=⎩，解得32323a k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故该函数模型的解析式为*32323N 2,11,x y x x ⎛⎫=⋅ ⎪⎝≤≤∈⎭；【小问2详解】当0x =时，323y =，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是232m 3，由3233210323x ⎛⎫⋅>⨯ ⎪⎝⎭，得3102x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以32lg1011log 10 5.93lg 3lg 20.47110.3010lg 2x >==≈≈--，又*N x ∈，所以6x ≥，即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份．21. 已知函数()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为π，且直线π2x =-是其图象的一条对称轴．（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作()y g x =，已知常数*,n λ∈∈R N ，且函数()()()F x f x g x λ=+在()0,πn 内恰有2023个零点，求常数λ与n 的值．【答案】（1）()cos2f x x =（2）1,1349n λ==【解析】【分析】（1）由周期求得ω，再由对称性求得ϕ得解析式；（2）由图象变换求得()g x ，然后可得()F x 的表达式，令[]sin 1,1t x =∈-，()0F x =化为22210,Δ80t t λλ--==+>，则关于t 的二次方程2210t t λ--=必有两不等实根12t t ､，则1212t t =-，则12t t ､异号，然后分类讨论()0F x =在(0,π)n 上解的个数后得出结论．【小问1详解】由三角函数的周期公式可得()()2π2,sin 2πf x x ωϕ==∴=+，令()π2π2x k k Z ϕ+=+∈，得()ππ422k x k Z ϕ=-+∈，由于直线π2x =-为函数()y f x =的一条对称轴，所以，()πππZ 2422k k ϕ-=-+∈，得()3ππZ 2k k ϕ=+∈，由于0π,1k ϕ<<∴=-，则π2ϕ=，因此，()πsin 2cos22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；小问2详解】将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位，得到函数ππcos 2cos 2sin242y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数为()sin g x x =，()()()2cos2sin 2sin sin 1F x f x g x x x x x λλλ=+=+=-++ ，令()0F x =，可得22sin sin 10x x λ--=，令[]sin 1,1t x =∈-，得22210,Δ80t t λλ--==+>，【则关于t 的二次方程2210t t λ--=必有两不等实根12t t ､，则1212t t =-，则12t t ､异号，（i ）当101t <<且201t <<时，则方程1sin x t =和2sin x t =在区间()()*0,πNn n ∈均有偶数个根，从而方程22sin sin 10x x λ--=在()()*0,πNn n ∈也有偶数个根，不合乎题意；（ii ）当11t =-时，则212t =，当()0,2πx ∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根，所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在()0,2π上有三个根，由于202336741=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ--=在()0,1348π上有36742022⨯=个根，由于方程1sin x t =在区间()1348π,1349π上无实数根，方程2sin x t =在区间()1348π,1349π上有两个实数解，因此，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在区间()0,1349π上有2024个根，不合乎题意，（iii ）当11t =，则212t =-，当()0,2πx ∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根，所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在()0,2π上有三个根，由于202336741=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ--=在()0,1348π上有36742022⨯=个根，由于方程1sin x t =在区间()1348π,1349π上只有一个根，方程2sin x t =在区间()1348π,1349π上无实数解，因此，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在区间()0,1349π上有2023个根，合乎题意；此时，1122λ-+=，1λ=，综上所述：1,1349n λ==．22. 已知二次函数()f x 满足：()()224132,log 231x f x x x g x ⎛⎫+=++=+ ⎪-⎝⎭（1）求()f x 的解析式；（2）求()g x 的单调性与值域（不必证明）；（3）设()ππ2cos cos2,22h x x m x x ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，若()()f h x g h x ⎡⎤⎡⎤≥⎣⎦⎣⎦，求实数m 的值．【答案】（1）()2f x x x =+ （2）在()0,∞+上单调递减，值域是()1,+∞．（3）1-【解析】【分析】（1）利用换元法，令1t x =+，代入化简即可求出函数的解析式；（2）可设4231x u =+-，利用复合函数的单调性，即可判定函数的单调性，进而求得值域；（3）由（2）知，()12g =，()12f =，结合()(),f x g x 的单调性可知当1x ≥时，()()2,01f x g x x ≥≥<<时，()()2f x g x <<，由()()f h x g h x ⎡⎤⎡⎤≥⎣⎦⎣⎦恒成立，即为()1h x ≥恒成立，设[]cos 0,1x t =∈，只需不等式()22210mt t m +-+≥在[]0,1t ∈上恒成立，讨论m 的取值范围即可求解.【小问1详解】由题意()2132f x x x +=++，令1t x =+，则1x t =-，有()()22(1)312f t t t t t =-+-+=+，故()2f x x x =+【小问2详解】函数()24log 231x g x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，由420031x x +>⇒>-，即定义域为()0,∞+，且4231x u =+-在()0,∞+上单调递减及2log y u =单调递增所以()24log 231x g x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭在()0,∞+上单调递减．因为()0,x ∞∈+，42231x u =+>-，所以()g x 的值域是()1,∞+【小问3详解】结合（2）结论知()24log 231x g x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭在()0,∞+上单调递减且()12g =，又()2f x x x =+在()0,∞+上单调递增且()12f =故当1x ≥时，()()2,01f xg x x ≥≥<<时，()()2f x g x <<，由()()()1f h x g h x h x ⎡⎤⎡⎤≥⇒≥⎣⎦⎣⎦恒成立，即()22cos 2cos 11x m x +-≥在ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上恒成立，设[]cos 0,1x t =∈，则不等式()22210mt t m +-+≥在[]0,1t ∈上恒成立，①当0m =时，不等式化为210t -≥，显然不满足恒成立；②当0m >时，将0=t 代入得()10m -+≥，与0m >矛盾；③当0m <时，只需()()10,1,12210,1,m m m m m m ⎧-+≥≤-⎧⎪⇒⇒=-⎨⎨+-+≥≥-⎪⎩⎩，综上，实数m 的值为-1．【点睛】关键点点睛：本题考查了换元法求函数的解析式，函数的单调性，解题的关键是根据函数的单调性得出()1h x ≥，转化为二次不等式恒成立，考查了分类讨论的思想.。
2023-2024学年山东省日照市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省日照市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合A ＝{x |﹣1≤x ≤2}，B ＝{x |x ＜1}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |x ≥﹣1}B ．{x |x ≤2}C ．{x |﹣1≤x ≤2}D ．{x |﹣1≤x ＜1}2．命题“∀x ＞1，x 2﹣1＞0”的否定形式是（ ） A ．∀x ＞1，x 2﹣1≤0 B ．∀x ≤1，x 2﹣1≤0C ．∃x ＞1，x 2﹣1≤0D ．∃x ≤1，x 2﹣1≤03．函数f （x ）＝2x +3x ﹣4的零点所在的大致区间是（ ） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）4．若命题“∀x ∈[﹣1，2]，m ≤x 2+1”是真命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[1，+∞） B ．（﹣∞，2] C ．（﹣∞，1] D ．（﹣∞，5]5．“1＜x ＜3”是“1x−2＞1”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．若ae a ＝blnb ＝clgc ＝1，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜c ＜b7．中国梦蕴含航天梦，航天梦助力中国梦.2023年10月25日，神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功点火发射．在太空站内有甲，乙，丙三名航天员依次出仓进行同一试验，每次只派一人，每人最多出仓一次．若前一人试验不成功，返仓后派下一人重复进行该试验；若试验成功，终止试验．已知甲，乙，丙各自出仓试验成功的概率分别为910，23，12，每人出仓试验能否成功相互独立，则该项试验最终成功的概率为（ ） A ．310B ．910C ．2930D ．59608．已知函数f(x)={|lnx|，x ＞0e x+2，x ≤0，若函数y =f(f(x)a )所有零点的乘积为1，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（2，3）B ．（0，2]∪（3，+∞）C ．（3，+∞）D ．[1，2]∪（3，+∞）二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高一年级期末数学试卷注意事项:1.试卷满分150分,考试时间150分钟;2.答卷前,考生务必将自己的姓名、考号等填写在指定位置；3.考生用钢笔或圆珠笔在答题卷上指定区域作答，超出答题区域或答在试题卷上的答案无效。
第Ⅰ卷一、 选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.已知集合{}0A x x =≥，{0,1,2}B =，则（ ）A ．AB ⊂≠ B ．B A ⊂≠C ．A B B =UD ．φ=B A2. 下列命中，正确的是（ ）A 、|a |＝|b |⇒a ＝bB 、|a |＞|b |⇒a ＞bC 、a ＝b ⇒a ∥bD 、｜a ｜＝0⇒a ＝03.已知角α的终边上一点的坐标为(23,21-)，则角α的最小正值为（ ）A.56π B.23π C.53π D. 116π4、一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面积为π，则球的表面积为（ ）A. B.8πC. D.4π5．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为 A. -8 B. 0 C. 2 D. 106. 下列大小关系正确的是( ).A. 30.44log 0.30.43<< B. 30.440.4log 0.33<<C.30.440.43log 0.3<<D.0.434log 0.330.4<<7、抽查10件产品，设事件A ：至少有两件次品，则A 的对立事件为 ( )A.至多两件次品 B .至多一件次品 C.至多两件正品 D.至少两件正品8、在某五场篮球比赛中，甲、乙两名运动员得分的茎叶图如下．下列说法正确的是（ ）A ．在这五场比赛中，甲的平均得分比乙好，且甲比乙稳定B ．在这五场比赛中，甲的平均得分比乙好，但乙比甲稳定C ．在这五场比赛中，乙的平均得分比甲好，且乙比甲稳定D ．在这五场比赛中，乙的平均得分比甲好，但甲比乙稳定9.为了得到函数1cos3y x =，只需要把cos y x =图象上所有的点的（ ） A.横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 B.横坐标缩小到原来的13倍，纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变 D.纵坐标缩小到原来的13倍，横坐标不变 10. 设平面向量=(－2，1)，=(λ，－1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）A 、),2()2,21(+∞⋃- B 、),2(+∞ C 、),21(+∞- D 、)21,(--∞11.设,833)(-+=x x f x 用二分法求方程0833=-+x x 在区间（1，2）上近似解的过程中，计算得到0)5.1(,0)25.1(,0)1(><<f f f ，则方程的根落在区间（ ）A.（1,1.25）B. (1.25，1.5)C.(1.5, 1.75)D. (1.75,2)12. 一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A ．18 B ．116 C ．127 D ．38第Ⅱ卷二、填空题(每小题5分，满分20分．)13．已知3sin ,(,)52πααπ=∈，则sin 2α等于 . 14、某校有学生2000人，其中高三学生500人，为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本，则样本中高三学生的人数为 ． 15.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧图都是边长为2的等边三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体．积．为 ．16题 16．如图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图， 其中判断框内应填入的条件是 ．（15题）三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）已知函数()sin 2 ().f x x x x R =∈ （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调递增区间。
18、（本小题满分12分）如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，PA ⊥CD ，PA =1，PD =2. （1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）求异面直线BC PD 与所成的角；（3）求四棱锥P －ABCD 的体积。
19. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2212320x y x +-+=的圆心为Q ，过点(02)P ，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A B ，． （1）求k 的取值范围；（2）是否存在常数k ，使得向量OA OB +与PQ 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由． 20、（本小题满分12分）某市为了保障民生，防止居民住房价格过快增长，计划出台合理的房价 调控政策，为此有关部门抽样调查了100个楼盘的住房销售价格，右表是这100个楼盘住房销售 均价（单位：千元／平米）的频率分布表，根据右表回答以下问题：（1）求下表中a ，b 的值；（2)求该市住房销售价格的众数；（3）请将下面的频率分布直方图补充完整，并根据直方图估计该市居民住房销售价格在4千元／平米到8千元／平米之间的概率。
21. （本小题满分12分）甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2, 红桃3, 红桃4, 方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张． （Ⅰ)设(,)i j 分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况． （Ⅱ)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？（Ⅲ）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．22. （本小题满分12分） 在经济学中，函数)(x f 的边际函数为)(x Mf ，定义为)()1()(x f x f x Mf -+=，某公司每月最多生产100台报警系统装置。
生产x 台的收入函数为2203000)(x x x R -=（单位元），其成本函数为4000500)(+=x x C （单位元），利润的等于收入与成本之差(1).求出利润函数)(x p 及其边际利润函数)(x Mp ；(2).求出的利润函数)(x p 及其边际利润函数)(x Mp 是否具有相同的最大值； (3).你认为本题中边际利润函数)(x Mp 最大值的实际意义.销售均价（千元 / 平米）高一年级数学试卷参考答案1——5BCDBA 6——10ABCCC 11——12BC13. 2524- 14. 5015.π3316. i>10 17.解：（1）()sin 222sin2).3f x x x x π=+=+（ ∴T=π………………..5分 （2）令222232k x k πππππ-≤+≤+，解得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈ ()f x ∴的单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦………………..10分18.解：（1）证明：PA=1，PD=2，AD=1，在△PAD 中，PD 2=AD 2+PA 2，所以由勾股定理逆定理得，P A ⊥AD ，又P A ⊥CD ，所以P A ⊥平面ABCD ·······4分. （2）因为AD//BC ，所以∠PDA 即为异面直线BC PD 与所成的角(或其补角)，在Rt △PAD 中，PA=AD ，所以∠PDA=45°. 所以异面直线BC PD 与所成的角为45°.·······8分（3）V P －ABCD =13⨯S ABC D ×PA=13⨯1×1×1=13，所以四棱锥P －ABCD 的体积为13·······12分19.解：（Ⅰ）圆的方程可写成22(6)4x y -+=，所以圆心为(60)Q ，， 过(02)P ，且斜率为k 的直线方程为2y kx =+． 由22212320y kx x y x =+⎧⎨+-+=⎩消去y 整理得：22(1)4(3)360k x k x ++-+=． ① 直线与圆交于两个不同的点A B ，，∴2222[4(3)]436(1)4(86)0k k k k ∆=--⨯+=-->，解得304k -<<，即k 的取值范围为304⎛⎫- ⎪⎝⎭，．……………………………..6分（Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，则1212()OA OB x x y y +=++，，由方程①知1224(3)1k x x k-+=-+ ② 又1212()4y y k x x +=++． ③而(02)(60)(62)P Q PQ =-，，，，，．OA OB +与PQ 共线，12122()6()x x y y ∴-+=+，即1212()3()x x y y +=-+将②③代入上式，解得34k =-．由（Ⅰ）知304k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，故不存在符合题意的常数k ． (12)分20.解析：（1）a =15 ， b =0.12 ······4分 （2）5.5千元；·····6分············9分（3）频率分布直方图如图该市居民住房销售价格在4千元／平米到8千元／平米之间的概率为0.69 ····12分21．解：(1)甲乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4 ’表示)为：（2，3）、（2，4）、（2，4 ’）、（3，2）、（3，4）、（3，4 ’）、 （4，2）、（4，3）、（4，4 ’）、（ 4 ’，2）、（4 ’，3）（4 ’，4）， 共12种不同情况 ·····4分（2）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4．因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为32；······8分（3）由甲抽到牌比乙大有（3，2）、（4，2）、（4，3）、（4 ’，2）、（4 ’，3）5种， 甲胜的概率1512p =，乙获胜的概率为21712p =．∵125＜127， ∴此游戏不公平····12分22.解：（1）N x x x x x C x R x p ∈∈-+-=-=],100,1[,4000250020)()()(2.···2分销售均价（千元 / 平米）2345789（2）)(x Mp )()1(x p x p -+=),4000250020(]4000)1(2500)1(20[22-+---+++-=x x x x x 402480-=，N x x ∈∈],100,1[；······6分N x x x x p ∈∈+--=],100,1[,74125)2125(20)(2，故当=x 62或63时，=max )(x p 74120（元）。