极坐标公式和三角函数万能公式

极坐标与参数方程综合复习

一 基础知识：

1 极坐标),(θρ。逆时针旋转而成的角为正角，顺时针旋转而成的角为负角。 点),(θρP 与点),(1θρ-P 关于极点中心对称。 点),(θρP 与点),(2πθ

ρ+-P 是同一个点。

2 直角坐标化为极坐标的公式：.sin ;cos θρθρ==y x

极坐标化为直角坐标的公式：x

y

y x =

+=θρtan ;222

注意：1 πθρ

20,0<≤> 2 注意θ的象限。

3圆锥曲线的极坐标方程的统一形式：

间的距离。

是对应的焦点与准线之是离心率，p e 时表示双曲线。时表示抛物线；时表示椭圆；1110>=<

4平移变换公式：`

`),()(y x k h y x +=++

理解为：平移前点的坐标+平移向量的坐标=平移后点的坐标

5 的直线的参数方程为且倾斜角为过点α),(000y x P

θρcos 1e ep

-=

坐标伸缩变换。为平面直角坐标系中的，称对到应点的作用下，点

：任意一点，在变换是平面直角坐标系中的定义：设点ϕλλϕ),(),()0()

0({

),(y x P y x P u y u y x x y x P ''>⋅='>⋅='为参数）

t t y y t x x (sin cos {

00α

α

+=+=2202000)()()(sin cos {r y y x x r y y r x x =-+-+=+=对应的普通方程为为参数θθθ。轴上的椭圆的参数方程，焦点在这是中心在原点为参数的一个参数方程为椭圆x O b y a x b a b y a x )(sin cos {)0(12222ϕϕϕ==>>=+程。轴上的双曲线的参数方，焦点在这是中心在原点为参数，的一个参数方程为，双曲线x O b y a x b a b y a x )2,20(tan sec {)00(122

22πϕπϕϕϕϕ≠<≤==>>=-参数方程。

轴正半轴上的抛物线的，焦点在这是中心在原点为参数）的一个参数方程为抛物线x O t pt y pt x p px y (22{)0(222

==>=

一、选择题：

1．直角坐标为（-12，5）的P 点的一个极坐标是 （ ）

A ．(13，arctan 125)

B ．(13，π-arctan 125)

C ．(13，π+arctan 12

5)

D ．(13，- arctan 12

5)

2．极坐标系中，下列各点与点P （ρ，θ）（θ≠k π，k ∈Z ）关于极轴所在直线对称的是 （ ）

A ．（-ρ，θ）

B ．（-ρ，-θ）

C ．（ρ，2π-θ）

D ．（ρ，2π+θ）

3．已知点P 的极坐标为（1，π），那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 （ ）

A ．ρ=1

B ．ρ=cosθ

C ．ρ=-θ

cos 1

D ．ρ=θ

cos 1

4．以极坐标系中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是

（ ）

A ．ρ=2cos(θ-

4π) B ．ρ=2sin(θ-4

π

) C ．ρ=2co s(θ-1) D ．ρ=2sin(θ-1)

5．极坐标方程ρ2

cosθ+ρ-3ρcosθ-3=0表示的曲线是 （ ）

A ．一个圆

B ．两个圆

C ． 两条直线

D ．一个圆和一条直线

6．下列命题正确的是 （ ）

A ．过点（a ，π）且垂直于极轴的直线的极坐标方程为ρ=-θ

cos a

B ．已知曲线

C 的方程为ρ=4+π2θ及M 的坐标为（4，2π），M 不在曲线C 上

C ．过点（a ，

2π

）且平行于极轴的直线的极坐标方程为ρ=θ

sin a

D ．两圆ρ=cosθ与ρ=sinθ的圆心距为2

2

7

．曲线2,

3x y ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）上的点与A （-2，3）的距离为2，则该点坐标是（ ）

A ．（-4，5）

B ．（-3，4）或（-1，2）

C ．（-3，4）

D ．（-4，5）或（0，1）

8．已知直线l

的参数方程为2,1

x y ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩(t 为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极

坐标系中，点P 的极坐标为（-2，π），则点P 到直线l 的距离为 （ ）

A ．2

1

B ．2

2

C ．1

D ．

2

9．已知曲线的参数方程是33

4cos ,4sin x y θθ

⎧=⎪⎨

=⎪⎩（θ为参数），则该曲线 （ ）

A ．关于原点、x 轴、y 轴都对称

B ．仅关于x 轴对称

C ．仅关于y 轴对称

D ．仅关于原点对称

10．已知抛物线24,4x t y t

⎧=⎨=⎩（t 为参数）的焦点为F ，则点M （3，m ）到F 的距离|MF|为

（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

11．若关于x 的方程x 2

+px+q=0的根是sinα和cosα，则点(p ，q)的轨迹为

（ ）

12．设P(x ，y)是曲线C ：⎩⎨

⎧θ

=θ+-=sin y ,cos 2x （θ为参数，0≤θ<2π）上任意一点，则

y x

的取值

范围是 （ ）

A ．[-

3，3]

B ．（-∞，3）∪[

3，+∞]

C ．[-33，3

3] D ．（-∞，

3

3

）∪[33，+∞]

二、填空题：．

13．已知直线的参数方程是1sin ,6

2cos

6x t y t ππ⎧

=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩

（t 为参数），则直线的倾斜角大小是 ．

14．设A 、B 两点的极坐标分别是（2，4

π），（

2，-4

π）

，则AB 线段的两个三等分点的极坐标是 ．

15．曲线的极坐标方程是ρ=4cos(θ-

3

π

)，则它相应的直角坐标方程是 ．