第二章材料科学研究中常用的数值分析方法

第一节 线性方程组的数值解法



直接法和间接法。 直接法：精度高，重复工作量小，但编制 计算程序复杂，对计算机资源占用较多。 间接法：即迭代法。计算程序简单，占用 内存小，但重复工作量大，计算精度取决 于迭代次数。
一、直接法：
可经过有限次运算，求得在一定舍入误差内的精确 解。
n 阶线性方程组： a 11 x1 a 12 x 2 a 21 x1 a 22 x 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a 1 n x n b1 a 2n x n b2 a nn x n b n
a1n x1 b1 x b a2n 2 2 ai , j nn , x , b a nn xn bn
(1) a 11 x1
用顺序消去法得：x1=-104.0,x2=100.0,x3=5.546 用列主元消去法得：x1=17.46，x2=-45.77,x3=5.546
3、追赶法
在数值计算中，如三次样条插值或用差分方法解常微分方 程边值问题，常常会遇到求解以下形式的方程组 d1 c1 x1 b1 e d c x b 2 2 2 2 2 ei di ci xi bi 简记 Ax b. en 1 d n 1 cn 1 xn 1 bn 1 x b e d n n n n 此系数矩阵的非零元素集中分布在主对角线及其相邻两次对角线 上，称为三对角矩阵。方程组称为三对角方程组。
( 2) r1 r3 r3 , r2 r3 r3
课堂作业：
2 x1 x2 4 x3 1 3 x1 2 x2 x3 4 x 2 x 4 x 1 2 3 1
解：X＝(1，1，－1)T
2、高斯列主元消去法
(k ) 在高斯法消元过程中可能出现akk 0的情况，这时消去法 (k ) 将无法进行；即使主元素akk 0但很小，用其作除数，也会
答案：x1=0.2,x2=0.2,x3=-0.5,x4=0.8,x5=0.3
二、间接法（迭代法）
• 直接法比较适用于中小型方程组。对高 阶方程组，既使系数矩阵是稀疏的，但 在运算中很难保持稀疏性，因而有存储 量大，程序复杂等不足。 • 迭代法则能保持矩阵的稀疏性，具有计 算简单，编制程序容易的优点，并在许 多情况下收敛较快。故能有效地解一些 高阶方程组。
导致其他元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散。
为避免此种情况的发生，可通过交换方程的次序，选取 绝对值大的元素作主元。基于这种想法导出了主元素法。
a
(k ) kk
max{a ik , i k, k 1 ,
(k )
, n}
称列主元Gauss消去法。
0.001 2.000 3.000 x1 1.000 x 2.000 例2：3阶方程组 1.000 3.712 4.623 2 2.000 1.072 5.643 x3 3.000 四位有效数字精确解为x* (0.4904, 0.05104, 0.3675)T 解：（ 1）高斯消去法 0.001 2.000 3.000 1.000 m21 1000 1.00 0 3.712 4.623 2.000 A | b m22 2000 2.000 1.072 5.643 3.000 0.001 2.000 3.000 1.000 0.001 2.000 3.000 1.000 m32 1.997 0 0 2004 3005 1002 2004 3005 1002 4001 6006 2003 0 5.000 2.000 0 0 x (0.400, 0.09989, 0.4000)T
x 1 x2 xn
1、雅可比(Jacobi)迭代法（简单） a x a x a x b a x a x a x b
11 1 12 2 1n n 1 21 1 22 2 2n n 2
, n), 则有
1 2
b x b x b x b x
n n
a1i
(i )
(1)
x
i i
a1n x n b1
(i )
(1)
(1)
a x
ii
a in x n b i
( n 1)
(i )
a
(n)
( n 1) n 1n 1
x
n 1
a n 1n x n b n 1
( n 1) ( n) n
a x b
nn n
方程组的解可用递推公式表示为：
1 d1 , c1 c1 , 1 b1;
e2 e2 1
1 1
e2
e2
0, 2 d 2 c1 ; ei 1
1
e2
, c2 c2 ,
2 b2 1
ei 1 ei 1 i
i
, i 1 di 1 ci ;
ei 1
i
, ci 1 ci 1 ;
i 1 bi 1 i
i 1, 2, n 1
ei 1
i
原方程组化为： 1 c1 2 c2 i ci 0 方程组的解为： 0 x1 1 x 2 2 xi i cn 1 xn 1 n 1 x n n n
对于方程组 AX=b，构造一个[x(k)]值，代入 方程组，得出[x(k+1)]值，再不断迭代，使迭代 值收敛于方程组的精确解。这个逼近的过程 称为迭代法。
迭代法分为：简单迭代法；高斯－赛德尔迭 代法；超松弛法等。
a n1 x1 a n1 x 2 a nn x n b n 若系数矩阵非奇异即 a ii 0 (i 1, 2,
(n)
x b a
x
i
(n) nn
(i ) ii
(bi
(i )
j i 1
a x ) a
(i ) ij j
n
i n 1 , n 2 ,
,1
例1：用消去法解方程组 x1 x2 x3 6; 4 x2 x3 5; 2 x 2 x x 1. 2 3 1 解：用增广矩阵表示求解过程 1 1 A | b 0 4 2 2 1 0 0 1 6 1 1 1 6 0 4 1 5 1 5 1 1 0 4 1 11 1 1 6 x1=1,x2=2,x3=3. 4 1 5 0 2 6
第二章 材料科学研究中常用的数值 分析方法
典型模拟方法及所对应的模拟尺度
材料模拟技术中对应的时间－空间尺度
在科学技术及工程领域，许多力 学及物理问题已经得到了反映其规 律的基本方程（微分方程）和相应 的定解条件。但只有少数性质较简 单、边界较规整的问题能通过精确 的数值计算得到解析解。

10x1 x2 2 x3 72 例：用Jacobi迭代法求解 x1 10 x2 2 x3 83 x x 5 x 42 3 1 2
取x(0) (0,0,0)T , 代入迭代式，得x(1) Bx(0) g (7.2,8.3,8.4)T x(2) Bx(1) g (9.71,10.70,11.5)T 精确解为x (11,12,13)T . x(9) (10.9994,11.9994,12.9992)
n 1
xn n , xi ( i ci xi 1 ) i n
i (n 1), (n 2), , 2,1
课堂作业
（追赶法）
4 1 x1 1 1 4 1 x 0.5 2 1 4 1 x3 1 1 4 1 x4 3 2 1 4 x 5
课 后 作 业
（高斯列主元消去法）
• 在四位十进制的限制下，分别用顺序高 斯消去法和列主元消去法求解下列线性 方程组。 0.012x1 0.01x2 0.167 x3 0.6781 x1 0.8334 x2 5.91x3 12.1 3200 x 1200 x 4.2 x 981 1 2 3
（2）交换行，避免绝对值小的主元作除数。（列主元素法） 2.000 1.072 5.643 3.000 1.000 3.712 4.623 2.000 m21 0.5000 A | b m22 0.0005 0.001 2.000 3.000 1.000 2.000 1.072 5.643 3.000 m32 0.6300 0 3.176 1.801 0.500 2.001 3.003 1.002 0 2.000 1.072 5.643 3.000 0 3.176 1.801 0.500 0 1.868 0.687 0 x ( 0.4900, 0.05113, 0.3678)T
12 2 13 3 21 1 23 3
b1n x n g
b 2n x n g g
b x b x b x
n1 1 n2 2 n3
3

n
其中bij
aij aii
, (i j , i, j 1, 2,
bi , n), g i (i 1, 2, aii
, n)
矩阵表示记为 AX b
1、高斯顺序消去法
解线性方程组AX＝b，对增广矩阵[A：b]顺序作初等 行变换，把矩阵A化为上三角形矩阵，再回代，从而得 到线性方程组的解。要求作初等行变换消元过程中， aii(i)≠0 .