幂函数的图像与性质

-2
-3
-4
(-2,4)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1
3
y=x 2
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2 4 6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
x -3 -2 y x1 -1/3 1/2
- 1 2 3 1 - 1 1/ 1/ 1 2 3
(-2,4)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
∵5.2<5.3
∴ 5.20.8 < 5.30.8
a<0
a=0
a>1
(2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数 ∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3 (3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
a=1
0<a<1
a=0
例2 用不等号填空：
＞ （1）5.1－2 ____ 5.9－2； ＞ 1.73.5 ____ 1.73； （ 2） ＞ 0。 （3）若3a＞2a，则a ____ ＞ （4）1.30.5 ____ 0.51.3；
x
答案（2）（6）（8）
联系旧知 形成区别 指数函数与幂函数的对比 自变量在指 数位置
指数函数：y=a （a>0且a 1)
x
幂函数：y=x ( R)
自变量在 底数位置

快速反应
y 0.2
x
yx
1 2
（指数函数）
（幂函数）
yx
1
y 5
5
x
（幂函数） x
（指数函数）
y 3
y x

(3) 函数式前的系数都是1；
(4) 形式都是
yx

，其中 是常数.
练习：判断下列函数哪几个是幂函数？
1 （） 1 y 3 ; (2) y 2 ; (3) y 2 x 2 ; x 1 2 (4) y x 1; (5) y 1; (6) y ； x (7) y ( x 1) 2 (8) y x 0 (9) y x 3
2
又因为f ( x)是偶函数
m 1不符合题意 ， 舍去 m 2
yx y x 练 习 I 5 G 3
y x3 y x2
y
1 2
2 3
yx
E
4 3
yx
B
3
yx
C
2
yx
J
X y
yx
D
X
1 3
yx
Fy
O X
1 2
A
O X
H
y O
y
O
O
X
(A)
y O X
(B)
-4
(-2,4)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x
3
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2 4 6
-1
(-1,-1)
-2
x
0
1 2
1
2
4
-3
yx
0
1
2
2
-4
(-2,4)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
3
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2 4 6
-1
(-1,-1)
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4)
4
(2,4) y=x
3
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2 4 6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4)
4
(2,4) y=x2 y=x
3
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2 4 6
-1
(-1,-1)
-2
-3
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=x -27 -8 -1 0 1 8 3 27
C4 C2 C3 C1 应图象依次为:________
1
范例讲解
例1. 利用单调性判断下列各值的大小。 （1）5.20.8 与 5.30.8 （2）0.20.3 与 0.30.3
(3) 解:(1)y= x0.8在(0,+∞)内是增函数,
-2 -2 2.5 5 与 2.7 5
a<0
a>1
a=1
0<a<1
1 2
范例讲解
例2.如果函数 f ( x) (m m 1) x 是幂函数，求满足条件的实数m的值.
2
m2 2 m 3
解：由题意有
m2 m 1 1
m2 m 2 0
m 2或m 1
三、五个常用幂函数的 图象和性质
2 3 y x (1) (2) y x (3) y x

1 2
解: 幂函数f ( x) x 的定义域是(0,) 且在定义域上是减函数 , 0 3 2m m 4 1 3 m ,即为m的取值范围 . 3 2

1 2
范例讲解
例4.如果函数 f ( x) (m m 1) x 是幂函数，且在区间（0，+∞）内是减函数，
(-2,4)
4
y=x3
(2 (4,2)
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2
y=x-1
4 6
-1
(-1,-1)
-2
当a为奇数时,幂函数为奇函数, 当a为偶数时,幂函数为偶函数.
-3
-4
0< <1
图 象 特 点 性 质
y y
>1
y
<0
1 o 1 x
2
m2 2 m 3
求满足条件的实数m的值.
m2 m 1 1 解：由题意有 2 m 2m 3 0 m2 m 2 0 m 2 或 m 1 2 2 m 2m 3 0 m 2m 3 0
m 2
yx
\ \ \ 0 1 1
27 …
2
3 …
…
y x … -1/3
1
-1 \ 1/2
1/ 1/2 3
4
3
2
1
(1,1)
2 4 6
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
-3 -2 -1 0 1 2 3 y=x 9 4 1 0 1 4 2 9
x
4
3
y=x
2
1
(1,1)
2 4 6
-6
-4
-2
1 o
1
1
x
o
1
x
都经过定点（1，1） 在[0，+∞)为 在[0，+∞)为 在（0，+∞)为 单调增函数. 单调增函数. 单调减函数.
（慢增）
（快增）
(慢减)
幂函数在第一象限的图像
幂函数图象在第一象限的分布情况：
1
0
＝1
0 1
★所有的幂函数在(0,+∞)都有定 义,并且函数图象都通过点(1,1). ★如果a>0,则幂函数的图象过 点(0,0),(1,1)并在[0,+∞) 上为增 函数.
R R
R
［0,+∞)
R ［0,+∞)
R ［0,+∞)
{x|x≠0}
{y|y≠0}
奇 增
偶
x∈[0,+∞)时,增 x∈(-∞,0]时,减
奇 增
(1,1) (0,0)
非奇非偶
奇
x∈[0,+∞)时,减 x∈(-∞,0]时,减
增
(1,1) (0,0)
(1,1) 公共点 (0,0)
(1,1) (0,0)
(1,1)
幂函数
问题引入
我们先看几个具体问题:
(1) 如果回收旧报纸每公斤１元,某班每年卖旧报纸 yx ｘ公斤,所得价钱ｙ是关于ｘ的函数 (2) 如果正方形的边长为ｘ，面积ｙ,这里ｙ是关于 2 ｘ的函数; yx (3) 如果正方体的边长为ｘ, 正方体的体积为ｙ, 3 这里ｙ是关于ｘ函数; yx (4)如果一个正方形场地的面积为ｘ, 这个正方形的 1 边长为ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数; y x2 (5)如果某人ｘ秒内骑车行驶了１ｋｍ,他骑车的平 1 均速度是ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数. yx 以上各题目的函数关系分别是什么？
1
3
y=x 2
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2
y=x-1
4 6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1
3
y=x 2
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2
y=x-1
4
y=x0
6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
二、新课讲解
y=x 定义域 值域 奇偶性 单调性 y=x2 y=x3 y=x1/2 y=x-1
从而有 f ( x) x +∞）内是减函数.