浙教版八年级上册+特殊三角形综合复习

初二几何第2单元疑难问题集锦一•选择题（共10小题）1. 如图：在△ ABC中，CE平分/ ACB CF平分/ ACD,且EF// BC交AC于M ,若CM=5,贝U CE+CF2等于（）A. 75B. 100C. 120D. 1252. 等腰Rt A ABC中，/ BAC=90, D是AC的中点，ECL BD于E,交BA的延长线于F,若BF=12则厶FBC的面积为（）A. 40B. 46C. 48D. 503. 如图，将两个大小、形状完全相同的△ ABC和厶A B拼在一起，其中点A 与点A重合，点C落在边AB上，连接B'.若/ ACB=/ AC B' =90AC=BC=3则B'的长为（）4. 如图，在Rt A ABC 中，/ ACB=90, CD L AB,垂足为D, AF 平分/ CAB 交CD于点E,交CB于点F.若AC=3, AB=5,贝U CE的长为（5•如图，是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形,如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是2,直角三角形较长的直角边为 m ，6.要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有（） ① 有两条直角边对应相等；② 有两个锐角对应相等；③ 有斜边和一条直角边对应相等；④ 有一条直角边和一个锐角相等；⑤ 有斜边和一个锐角对应相等；⑥ 有两条边相等.A . 6个B. 5个C. 4个D. 3个7. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已 知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x 、y 表示直角三角形的两直角 边（x >y ），下列四个说法：① x 2+y 2=49，②x -y=2，③ 2xy+4=49，④x+y=9.其 中说法正确的是（ ）A .①②B .①②③ C.①②④ D .①②③④D. 那么（m+n ）2的值为（25 D .无答案8. 如图，锐角△ ABC中，D、E分别是AB AC边上的点，△ ADG^A ADC, △AEB^A AEB,且G D/ EB7/ BC, BE、CD交于点F.若/ BAC=35,则/ BFC的大小是（）A. 105°B. 110°C. 100°D. 120°9. 如图甲是我国古代著名的赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6 BC=5将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的数学风车”则这个风车的外围周长是（）A. 52B. 42C. 76D. 7210. 如图，△ ABC面积为1,第一次操作：分别延长AB，BC, CA至点A i，B i, C i,使A1B=AB C1B=CB C1A=CA 顺次连接A1，B1，C，得到△A1B1C1 .第二次操作：分别延长A1B1,B1C1,C1A1 至点A Z,B2,C2,使A2B1=A1B1,B2C1=B I C1,QA1=C1A1,顺次连接A2, B2, C2,得到△ A2B2C2, ••按此规律，要使得到的三角形的面积超过2014,最少经过（）次操作.AA. 7B. 6C. 5D. 4二•填空题（共9小题）11. 在正三角形△ ABC所在平面内有一点P,使得△ PAB △ PBC △ PAC都是等腰三角形，则这样的P点有________ 个.12. 如图，在锐角厶ABC中，/ BAC=45, AB=2,Z BAC的平分线交BC于点D, M、N分别是AD和AB上的动点，贝U BM+MN的最小值是_______ .13. 在Rt A ABC中，/ C=90°, BC=8cm AC=4cm 在射线BC上一动点D,从点B出发，以一•厘米每秒的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t为_________ 秒.（结果可含根号）. 14. 如图，已知/ AON=40，0A=6,点P是射线ON上一动点，当△ AOP为直角三角形时，/ A= ______ ,Q P N15. _________ 如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），/ AON=30，当/ A= 时，△ AOP为直角三角形.16. 如图，在△ ABC中，AB=BC=8 AO=BQ点M是射线CO上的一个动点，/ AOC=60,则当△ ABM为直角三角形时，AM的长为________ .17. 如图，在 Rt A ABC 中，/ C=90°, AC=10, BC=5 线段 PQ=AB P, Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AO 上运动，当AP= ________ 时，△ ABC 和 △ PQA 全等.18. 如图1,这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称 它为赵爽弦图”此图案的示意图如图2,其中四边形ABCD 和四边形EFGH 都是 正方形，△ ABF △ BCG △ CDH △ DAE 是四个全等的直角三角形.若 EF=2CB三•解答题（共11小题）20.如图，在△ ABC中，M为BC的中点，DM丄BC, DM与/BAC的角平分线交于点D，DE丄AB, DF丄AC, E、F为垂足，求证：BE=CF21.已知：如图，△ ABC中，/ ABC=45, CD丄AB 于D，BE平分/ ABC，且BE 丄AC于E,与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G. （1）求证：BF=AC22 .如图，D为AB上一点，△ ACE^A BCD, AD2+DB2=D^，试判断厶ABC的形23. 把两个含有45°角的大小不同的直角三角板如图放置，点D在BC上，连接BE, AD, AD的延长线交BE于点F.说明：AF丄BE324. 图1、图2是两张形状大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1,线段AB EF的端点均在小正方形的顶点上.(1)如图1,作出以AB为对角线的正方形并直接写出正方形的周长；(2)如图2,以线段EF为一边作出等腰厶EFG(点G在小正方形顶点处)且顶角为钝角，并使其面积等于4.團1 圏225. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1 ,每个小格的顶点叫做格点, 以格点为顶点分别按下列要求画三角形.(1)在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；(2)在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；(3)在图3中，画一个正方形，使它的面积是10.26. 如图，△ ABC 中，/ B=90°, AB=3, BC=4 若CD=12, AD=13.求阴影部分的面积.27. 如图，在△ ACB 中，/ ACB=90 , CD 丄AB 于 D .(1) 求证：/ ACD=Z B ;(2) 若AF 平分/ CAB 分别交CD BC 于E 、F ,求证：/ CEF 2 CFE28. 如图所示，在△ ACB 中，/ ACB=90, /仁/ B .(1) 求证：CD 丄AB ;(2) 如果 AC=8 BC=6 AB=10,求 CD 的长.29. 如图，在厶ABC 中，/ B=90°, M 是AC 上任意一点（M 与A 不重合）MD 丄 BC,且交/ BAC 的平分线于点 D ,求证：MD=MA . A n5\ C4 9 30. 已知，在△ ABC 中，AC=BC / ACB=90，点D 是AB 的中点，点E 是AB 边 上一点. （1） 直线BF 丄CE 于点F ,交CD 于点G （如图①），求证：AE=CG（2） 直线AH 丄CE 于点H ,交CD 的延长线于点M （如图②），找出图中与BEz?相等的线段，并证明.第11页（共32初二几何第2单元疑难问题集锦参考答案与试题解析一•选择题（共10小题）1.如图：在△ ABC中，CE平分/ ACB CF平分/ ACD,且EF// BC交AC于M ,若CM=5,贝U CE+CF2等于（）A. 75B. 100C. 120D. 125【解答】解：：CE平分/ ACB, CF平分/ ACD,•••/ ACE寺/ ACB / ACF寺/ ACD,即/ ECF= (/ ACB^Z ACD) =90°,•••△ EFC为直角三角形，又T EF// BC, CE平分/ ACB CF平分/ ACD,•••/ ECB2 MEC=Z ECM , / DCF=/ CFM=Z MCF,••• CM=EM=MF=5 EF=10由勾股定理可知CE+CF^EFMOO.故选B.2.等腰Rt A ABC中，/ BAC=90 , D是AC的中点，ECL BD于E,交BA的延长线于F ,若BF=12则厶FBC的面积为（）A. 40B. 46C. 48D. 50【解答】解：：CEL BD ,第13页（共32:丄 BEF=90,vZ BAC=90,:丄 CAF=90,•••Z FAC Z BAD=90 , Z ABD+Z F=90°, Z ACF+Z F=90°,•••Z ABD=Z ACF ,•••在厶ABD 和A ACF 中ZBAD=ZCAFAB=AC, ZABD=ZACF• △ ABD ^A ACF ,• AD=AFv AB=AC D 为 AC 中点,• AB=AC=2AD=2AFv BF=ABAF=12• 3AF=12• AF=4• AB=AC=2AF=8• △ FBC 的面积是丄 X BF X AC 二 X 12X 8=48 , 2 2故选C .3•如图,将两个大小、形状完全相同的△ ABC 和厶A B 拼在一起,其中点 A与点A 重合，点C'落在边AB 上,连接B C 若Z ACB=/ AC B' =90AC=BC=3则B'的长为（ ）A . 3 - B. 6 C. 3 * D. 1汀[【解答】解：I/ ACBKAC B' =90AC=BC=3•i AB= ［「j | =3 '_,/ CAB=45,•••△ ABC 和△ A B'大I 、、形状完全相同，•••/ C' AB /=AB=45, AB =AB=3,•••/ CAB =9Q°:B C =：J-甘 J =3 ：:，故选：A .4.如图，在 Rt A ABC 中，/ ACB=90，CD 丄AB,垂足为 D , AF 平分/CAB 交v/ ACB=90，CD 丄 AB,•••/ CDA=90,•••/ CAF+/ CFA=90, / FA&/ AED=90 ,v AF 平分/ CAB•••/ CAF=/ FAD,•••/ CFA=/ AED=/ CEF ••• CE=CFv AF 平分/ CAB / ACF=/ AGF=90 ,••• FC=FGv/ B=/ B , / FGB=/ ACB=90 ,•••△ BF3A BAC, :-FGAB = AC '【解答】解：过点F 作FG 丄AB 于点G ， 则CE 的长为（第15页（共32••• AC=3 AB=5, / ACB=90,••• BC=45•如图，是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是2,直角三角形较长的直角边为较短的直角边为n ，那么（m+n ）2的值为（ ）A . 23 B. 24 C. 25 D .无答案【解答】解：（m+n ）2=m 2+n 2+2m 门=大正方形的面积+四个直角三角形的面积和(13- 1) =25.故选C .6.要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有（）① 有两条直角边对应相等；② 有两个锐角对应相等；=13+即CE 的长为32③有斜边和一条直角边对应相等；第17页（共32④ 有一条直角边和一个锐角相等；⑤ 有斜边和一个锐角对应相等；⑥ 有两条边相等.A . 6个B. 5个C. 4个D. 3个【解答】解：①有两条直角边对应相等，可以利用 SAS 证明全等，正确;② 有两个锐角对应相等，不能利用 AAA 证明全等，错误；③ 有斜边和一条直角边对应相等，可以利用 HL 证明全等，正确；④ 有一条直角边和一个锐角相等，不一定可以利用 AAS 证明全等，错误;⑤ 有斜边和一个锐角对应相等，可以利用 AAS 证明全等，正确；⑥ 有两条边相等，不一定可以利用 HL 或SAS 证明全等，错误；故选D .7. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已 知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x 、y 表示直角三角形的两直角 边（x >y ），下列四个说法：① x 2+y 2=49，②x -y=2，③ 2xy+4=49，④x+y=9.其 中说法正确的是（ ）A .①②B .①②③ C.①②④ D .①②③④①-②得2xy=45 ③,2xy+4=49,① + ③得 x 2+2xy+y 2=94， .•.（ x+y ） 2=94，.①②③正确，④错误.故选B8. 如图，锐角△ ABC 中，D 、E 分别是 AB AC 边上的点，△ ADG^A ADC , △【解答】 解: 由题意AEB^A AEB,且G D/ EB7/ BC, BE、CD交于点F.若/ BAC=35,则/ BFC的大小是（）A. 105°B. 110°C. 100°D. 120°【解答】解：设/ C =,Z B'=,•••△ADC^A ADC, △AEB^A AEB,•••/ ACD=/ C' =, Z ABE=Z B' =，/ BAE=Z B' AE=35•••/ C' DB Z BACACD=35+a, Z CEB =35°.•••C' / EB'// BC,•••Z ABC=/ C DB Z BACACD=35+a, Z ACB=/ CEB =3倂B,•••Z BAG Z ABO Z ACB=180, 即卩105° + a+B =180：则a+B =75：•Z BFC Z BDG Z DBE,•Z BFC=35+a+B =35+75°=110°.9. 如图甲是我国古代著名的赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6 BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的数学风车”则这个风车的外围周长是（）第19页（共32【解答】解：依题意得，设 数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为X ,则貳=122+52=169,解得x=13.故数学风车”的周长是：（13+6）X 4=76.故选：C.10. 如图，△ ABC 面积为1,第一次操作：分别延长 AB , BC, CA 至点A i , B i , C 1 ,使 A 1B=AB GB=CB GA=CA 顺次连接 A , B 1 , C ，得到△ A 1B 1C 1 .第二次 操作：分别延长 A 1B 1 , B 1C 1 , C 1A 1 至点 A 2 , B 2 , C 2 ,使 A 2B 1=AB 1, B 2C 1=B I C 1 , C 2A 1=C 1A 1 , 顺次连接A 2 , B 2 , C 2 ,积比为1： 2,得到△ A 2B2C 2, ••按此规律，要使得到的三角形的面积超 过2014,最少经过（ ）次操作.C. 5 D . 4【解答】解: △ ABC 与厶A i BBi 底相等 (AB=AB ),高为 1： 2 (BB i =2BC ),故面 A . 7 B. 6 4S A1B1B F2.同理可得，S\CIBI（=2,S\AAIC=2,S\ A1B1C=S\ C1B1（+S\ AA1C+S^ A1B1B+S\ ABC=2+2+2+1=7；同理可证厶A2B2C2的面积=7XA A1B1C1的面积=49,第三次操作后的面积为7X 49=343,第四次操作后的面积为7X 343=2401.故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2014,最少经过4次操作.故选D.二•填空题（共9小题）11 •在正三角形△ ABC所在平面内有一点P,使得△ PAB △ PBC △ PAC都是等腰三角形，则这样的P点有10 个.【解答】解：（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC CA的垂直平分线的交点，是三角形的外心；（2）分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的.每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个，故答案为：10.12.如图，在锐角厶ABC中，/ BAC=45, AB=2,Z BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，贝U BM+MN的最小值是—丄_ .【解答】解：如图，作BH 丄AC,垂足为H ,交AD 于M 点，过M 点作M N1AB, 垂足为N',则BM+M N 为所求的最小值.••• AD 是/ BAC 的平分线，••• M H=M N••• BH 是点B 到直线AC 的最短距离（垂线段最短）,••• AB=2 / BAC=45,••• BH=AB?si n45 =乂返，！,2••• BM+MN 的最小值是 BM +M N =B+M H=BH=[.故答案为：一二13.在 Rt A ABC 中，/ C=90°, BC=8cm AC=4cm 在射线 BC 上一动点 D ,从点 B 出发，以.匚厘米每秒的速度匀速运动，若点 D 运动t 秒时，以A 、D 、B 为顶 点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t 为_「.!.一：,—秒.（结果可含 根号）.【解答】解：①如图1，当AD=BD 时，在Rt A ACD 中，根据勾股定理得到: AD 2=AC ?+CD 2, 即卩 BD ^= （8 - BD ） 2+42，解得，BD=5 （cm ）,则t=〒=.，（秒）;② 如图2,当AB=BD 时.在Rt A ABC 中，根据勾股定理得到:AB=J ; ；'=4「！•，则 A N V B（秒）；③如图3,当AD=AB时，BD=2BC=16则t于■弋蜃（秒）；综上所述，t的值可以是：！ . —- \ ;14•如图，已知/ AON=40, 0A=6,点P是射线ON上一动点，当△ AOP为直角三角形时，/ A= 50 或90【解答】解：当AP I ON时，/ APO=90,则/ A=50°,当PAIOA时，/ A=90°,即当△ AOP为直角三角形时，/ A=50或90°故答案为：50或90.15. 如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），/ AON=30 , 第19页（共32页）当/ A 60或90°时，△ AOP为直角三角形.【解答】解：若/ APO是直角，则/ A=90°-Z AON=90 - 30°60°,若/ APO是锐角，•••/ AON=30是锐角，•••Z A=90°，综上所述，Z A=60°或90°故答案为：60°或90°16. 如图，在△ ABC中，AB=BC=8 AO=BQ点M是射线CO上的一个动点，Z AOC=60,则当△ ABM为直角三角形时，AM的长为 J或4—或4 .【解答】解：如图1,当Z AMB=90时,•OM=OB=4,又TZ AOC=/ BOM=6°，•△ BOM是等边三角形，••• BM=B0=4,••• Rt A ABM 中，AM= j — =4 . 如图2,当/ AMB=90时，v O是AB的中点，AB=8, ••• OM=OA=4,又v/ AOC=60,•△ AOM是等边三角形，•AM=AO=4;如图3,当/ ABM=90时,v/ BOM=/ AOC=60,•/ BMO=3° ,•MO=2BO=2X 4=8,--Rt A BOM 中，BM二q j. =4 :;,Rt A ABM 中，AM= , . 'ir =4 7,综上所述，当△ ABM为直角三角形时，AM的长为4 -；或4 -或4.故答案为：4■或4■或4.17. 如图，在Rt A ABC中，/ C=90°, AC=10, BC=5 线段PQ=AB P, Q 两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP= 5 或10 时，△ ABC 和厶PQA全等.【解答】解：当AP=5或10时，△ ABC和厶PQA全等,理由是：I / C=90, AO丄AC,•/ C=/ QAP=90，①当AP=5=BC时，在Rt A ACB和Rt A QAP 中fAB=PQ|BC=AP•Rt A ACB^ Rt A QAP ( HL)，②当AP=10=AC时，在Rt A ACB和Rt A PAQ中fAB=PQ 仏二AP•Rt A ACB^ Rt A PAQ( HL)，故答案为：5或10.18. 如图1,这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为赵爽弦图”此图案的示意图如图2,其中四边形ABCD和四边形EFGH都是第22页（共32页）正方形，△ ABF △ BCG △ CDH △ DAE是四个全等的直角三角形.若EF=2••• BF=BG- BF=6,•••直角△ ABF中，禾I」用勾股定理得：AB=十，厂=10・故答案是：10.19. 如图：在△ ABC中，AB=AC BC=BD AD=DE=EB 贝U/ A= 45【解答】解：：DE=EB•••设/ BDE=/ ABD=x•••/ AED=/ A=2x,•••/ BDC=/ C=/ ABC=3x 在厶ABC中，3x+3x+2x=180°, 解得x=22.5 °•••/ A=2x=22.5°X 2=45°.故答案为：45°.三.解答题（共11小题）20. 如图，在△ ABC中，M为BC的中点，DM丄BC, DM与/BAC的角平分线交于点D , DE 丄AB , DF 丄AC, E 、F 为垂足，求证：BE=CF•••点D 在BC 的垂直平分线上,••• DB=DCv D 在/BAC 的平分线上，DE± AB, DF 丄AC, ••• DE=DFvZ DFC=z DEB=90,在 Rt A DCF 和 Rt A DBE 中，卩出DCI DMF ,••• Rt A DCF ^Rt A DBE (HL ),21. 已知：如图，△ ABC 中，Z ABC=45, CD 丄AB 于 D , BE 平分Z ABC ,且 BE丄AC 于E ,与CD 相交于点F , H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G .（1）求证：BF=AC【解答】解：连接DB.••• CF=BE （全等三角形的对应边相等）【解答】(1)证明：T CD 丄AB ,/ ABC=45,•••△ BCD 是等腰直角三角形.••• BD=CDv/ DBF=90-/ BFD, / DCA=90 -/ EFC 且/ BFD=Z EFC•••/ DBF=/ DCA在 Rt A DFB 和 Rt A DAC 中，ZBDF=ZCDA■-■ I -,BD=DC••• Rt A DFB ^ Rt ^ DAC (AAS ,••• BF=AC(2) 证明：v BE 平分/ ABC,•••/ ABE=/ CBE在 Rt A BEA 和 Rt A BEC 中,ZAEB=ZCEBr …, ZABE=ZCBE••• Rt A BEA^ Rt A BEC(ASA ).••• CE=AE 二AC,2 ，又 v BF=AC••• CE 丄 BF. 222 .如图，D 为AB 上一点，△ ACE^A BCD AD 2+DB 2=D^，试判断厶ABC 的形[ [状，并说明理由.【解答】解：△ ABC是等腰直角三角形,理由是::△ ACE^A BCD,••• AC=BC / EAC2 B, AE=BD••• A D2+DB2=DE：,••• AD2+AE2=DE?,•••/ EAD=90 ,•••/ EAOZ DAC=90 ,•••/ DAG/ B=90° °•••/ ACB=180 - 90°=90°°••• AC=BC•••△ ABC是等腰直角三角形.23•把两个含有45°角的大小不同的直角三角板如图放置，点D在BC上,连接BE, AD , AD的延长线交BE于点F.说明：AF丄BE【解答】证明：AF丄BE,理由如下：由题意可知/ DEC/ EDC=4O5 , / CBA=/ CAB=45 ,••• EC=DC BC=AC 又/ DCE/ DCA=90 ,•••△ ECD^PA BCA都是等腰直角三角形,••• EC=DC BC=AC / ECD/ ACB=90.在厶BEC^n^ ADC中EC=DC / ECB W DCA, BC=AC•••△ BEC^A ADC (SAS.•••/ EBC=z DACvZ DAC+Z CDA=90，/ FDB=Z CDA•••/ EBG Z FDB=90.•••Z BFD=90,即AF丄BE.24. 图1、图2是两张形状大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1,线段AB EF的端点均在小正方形的顶点上.（1）如图1,作出以AB为对角线的正方形并直接写出正方形的周长；（2）如图2,以线段EF为一边作出等腰厶EFG（点G在小正方形顶点处）且顶角为钝角，并使其面积等于4.【解答】解：（1）以AB为对角线的正方形AEBF如图所示，正方形的周长为4.丨| .囹1(2)等腰△ EFG如图所示，&EFG^ X ■ tx「=4.11严■ ■ * ■ u r!，•■ - —|1■ . -4L_. JF■…/iN；；111_ 125. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1 ,每个小格的顶点叫做格点, 以格点为顶点分别按下列要求画三角形.（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是10.【解答】解：（1）三边分别为：3、4、5 （如图1）;（2）三边分别为：.】、2二、.II （如图2）;26. 如图，△ ABC 中，/ B=90°, AB=3, BC=4 若CD=12, AD=13.求阴影部分的面积.【解答】解::△ ABC中，/ B=90 ° AB=3,••• AC=一= ：L '=5-v CD=12 AD=13. AC=5,••• AC2+CD2=AD2,•••△ ACD是直角三角形,S阴影=S\ACD—S A ABC^X 5X 12 - —X 3X 4=30- 6=24. :- :-27. 如图，在△ ACB中，/ ACB=90 , CD丄AB于D.(1)求证：/ ACD=Z B;(2)若AF平分/ CAB分别交CD BC于E、F,求证：/ CEF2 CFE【解答】证明：(1)vZ ACB=90 , CD丄AB于D,•••/ ACD F Z BCD=90，/ B+Z BCD=90,•••/ ACD=/ B;(2)在Rt A AFC中，Z CFA=90—Z CAF, 同理在Rt A AED中，Z AED=90-Z DAE 又v AF平分Z CAB•••Z CAF=/ DAE,•••Z AED=/ CFE又vZ CEF Z AED,• Z CEF Z CFE28. 如图所示，在△ ACB 中，/ ACB=90, /仁/ B . (1) 求证：CD 丄AB ;(2) 如果 AC=8 BC=6 AB=10,求 CD 的长.【解答】(1)证明：I / ACB=90, •••/ 1+/ BCD=90,v/ 仁/ B,•••/ B+/ BCD=90, •••/ BDC=90, ••• CD 丄 AB ;29. 如图，在△ ABC 中，/ B=90°, M 是AC 上任意一点（M 与A 不重合）MD 丄 BC,且交/ BAC 的平分线于点 D ,求证：MD=MA .【解答】 证明：v MD 丄BC,且/ B=90°,.AB// MD , ./ BAD=/ D又v AD 为/ BAC 的平分线 ./ BAD=/ MAD , •••/ D=Z MAD, ••• MA=MD...CD —I IAB10=4.8.(2)解：v S\AB ?CD 丄 AC ?BC30.已知，在△ ABC 中，AC=BC / ACB=90,点D 是AB 的中点，点E 是AB 边 上一点.（1） 直线BF 丄CE 于点F ,交CD 于点G （如图①），求证：AE=CG（2） 直线AH 丄CE 于点H ，交CD 的延长线于点M （如图②），找出图中与BE 相 等的线段，并证明.•••/ ACB=90，•••/ A=Z ABC=45，Z ACE=90-Z BCF••• BF 丄 CE, •••/ CFB=90,•••/ CBG=90-Z BCF•••/ ACE W CBQ 在厶ACE ft^ CBG 中，ZA=ZBCG=45&AC=BC, ZACE=ZE0G•••△ ACE^A CBG( ASA )， ••• AE=CG(2)解：CM=BE 理由： •••CD 丄AB ，AH 丄CE •••/ CDE W CHM=9,，•••/ DCE ■/CEB=90，Z DCE^Z CMA=90， •••/ CEB W CMA , 在厶 BCE^n ^ ACM 中，[r ZB=ZACI!-45frZCEB=ZCMA ,t AC=BC•••△ BCE^A ACM (AAS),••• CM=BE。