10.4 探索三角形相似的条件(1)
10.4相似三角形的条件(1)
相交，所构成的三角形与原三角形相似。
四、课堂练习：
课本P95～96页练习题第1、2、3题
思考：如图，点A、B、D与点A、C、E分别在一条直线上，如果DE∥BC那么ADE与ABC相似吗？为什么？
五、小结与思考
(一)小结本节课你有什么收获？
(二)思考：判定1的引出及证明思路与方法的分析，要求学生掌握两种辅助线作法的思路．(2)判定定理1的应用以及例2的结论和应用．
△ABC与△A1B1C1相似吗？为什么？
此例题是判定的直接应用，应使学生熟练掌握．
例2已知：如图10-12，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E。△ADE与△ABC相似吗？为什么？
解：（见教材）
该例题很重要，它一方面可以起到巩固、掌握
判定条件1的作用；另一方面它的应用很广泛，
并且可以直接用它判定三角形相似．
二、新课
(一)、情境创设：
前面我们学习了相似三角形的概念，即三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形是相似三角形。同时这也是判定两个三角形相似的一种方法，除此外，还有没有其他的判定方法呢全等的条件类比，使学生感悟到：判定两个三角形相似也可以适当减少条件，提高学生探索两个三角形相似的条件的生动性。
活动二：组织操作活动，画出图中的3个三角形。
活动三：组织思考活动，学生通过实际度量图10－10（1）与图10－10（3）中三角形的边长与角的度数，发现这两个三角形的对应角相等，对应边成比例，它们是相似的，而此时图中给出的条件仅为：∠A〞＝∠A，∠B〞＝∠B，A〞B〞＝2AB。
活动四：改变k值的大小（∠A〞＝∠A，∠B〞＝∠B，的条件不变）度量画出的两个三角形的边和角，发现仍然是相似的条件，这样使学生感悟到：只要满足∠A〞＝∠A，∠B〞＝∠B的条件，图10－10（1）与图10－10（3）的三角形相似。
【精选推荐】图形的相似(探索三角形相似的条件)
• 小明和小颖分别画出了 下面的△ ABC与△ DEF:
• 通过上面的活动,你猜 出了什么结论?
• 两边对应成比例,且其 中一边的对角对应相 等的两个三角形不一 定相似
C
4cm A 500
3.2cm F
2cm 1.6cm B D 500 E
• 解:在△ABC和△AEF中.
A
AB 2 2. AE 1
1
3
E 1
F 3
AC 6 2.
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
AF 3
AB AC . AE AF
且∠A是公共角
∴△ ABC ∽ △ AEF.
(两边对应成边成比例且夹角相等的两个三角形相似.)
• 两角对应相等的两个三角 形相似;
• 三边对应成比例的两个三 角形相似.
AC BC
2、分别计算 与 的值(精确到0. 1cm).
AB AC
3、AC 与 BC 相等吗？ AB AC
黄金分割的定义：
A
CB
在线段AB上，点C把线段
AB分成两条线段AC和BC，如 果 AC BC ,那么称线段AB
AB AC 被点C黄金分割,点C叫做线段
AB的黄金分割点，AC与AB的
A DC B
• 三角形全等的判定方 法：
• 边角边(SAS);角边角 (ASA);角角边(AAS);边 边边(SSS);斜边直角边 (HL).
• 由角边角(ASA);角角边 (AAS);可知,有两个角对 应相等的两个三角形 相似;
• 由边边边(SSS)可知:有 三边对应成比例的两 个三角形相似;
• 由边角边(SAS)可猜想:
相似三角形的识别(一)
巩固新知
及新知的应用
五、课堂小结
1、两角对应相等的两个三角形相似。
2、平行于三角形一边的直线和三角形的两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
学生叙述
巩固新知
六、作业
巩固新知
授后小记
操作、交流、归纳
探究“两个角对应相等的三角形相似”
三、例题与练习
1.若∠A=70°，∠C=65°，∠A1相似吗？
2、判断：
（1）所有的等腰三角形都相似。（）
（2）所有的等腰直角三角形都相似。（）
（3）所有的等边三角形都相似。（）
（4）所有的直角三角形都相似。（）
如图，已知△ABC，和线段A′B′,在线段A′B′同侧画 ，使∠A′=∠A,∠B′=∠B,交点C′
（1）点C′是否在格点上？
（2）△ABC与△A′B′C′是否相似？
（3）结论：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
简单地说，两角对应相等的两个三角形相似。
几何语言:∵∠A′=∠A,∠B′=∠B,∴△ABC∽△A′B′C′
教学重点：相似三角形判断的探究过程和三角形相似的判定方法。
教学难点：通过相似三角形判定方法来解决问题
教学过程：
教学过程：教师活动
学生活动
设计意图
一、复习
1、什么叫相似三角形？
2、全等三角形有哪些识别方法？
各角对应相等，各边对应成比例的三角形叫相似三角形。
复习引出探究相似三角形又有怎样的识别方法呢？
二、探究一
教学课题
10.4探索相似三角形的条件（1）
教学目标：1、通过探究与交流得出只要具备两个角对应相等，就可以判断两个三角形相似。平行于三角形一边同样可以得到相似三角形。2、通过探究，培养和提高学生利用已有知识证明新命题的能力。尝试判断三角形相似，解决实际问题。3、经历探究和交流，激发学生求知欲和学习兴趣、信心。
探索三角形相似的条件1
判定三角形相似的方法之一
• 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的 两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
D A
B
C
E
F
在△ ABC和△ DEF中 ， ABC和 DEF中 ∵∠A=∠D, ∠B=∠E, A=∠ B=∠ ∴△ ABC∽ △DEF. ABC∽
已知： 例1 已知：∆ABC和∆DEF中， ∠A=400，∠B=800， 和 中 说明： 说明 ∽ ∠E=800， ∠F=600.说明：∆ABC∽∆DE、 如图，BE、CD相交于点O，CB、ED 相交于点 的延长线相交于点A ∠C=∠E， 的延长线相交于点A，∠C=∠E，则 ACD～ BOC～ △ACD～ △ AEB ，△BOC～△ DOE .
A B D O C E
练习
推论
平行于三角形一边的直线和其他两边（ 平行于三角形一边的直线和其他两边（或 两边的延长线）相交， 两边的延长线）相交，所构成的三角形与 原三角形相似. 原三角形相似.
B C B D A C E B E A D
C
在上述两图中写出相关的比例式
已知：Rt△ABC中 已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB试 ACB＝90° CD⊥AB试 直角三角形被斜边上的高分成的 图中有几对相似三角形. 图中有几对相似三角形. 两个直角三角形和原三角形相似。 两个直角三角形和原三角形相似。
请同学们谈谈本节课的收获与体会
本节课你学到了什么？你有什么收获？ 本节课你学到了什么？你有什么收获？ 1: 本节课我们一起探索了判断两个三角形相似的条件之 一:两角对应相等的两个三角形相似. 两角对应相等的两个三角形相似 两角对应相等的两个三角形相似
2：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交, ：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交 所构成的三角形与原三角形相似. 所构成的三角形与原三角形相似
苏教版八下10.4探索三角形相似条件
苏教版八下10.4探索三角形相似条件目录CONTENTS•引言•三角形相似的条件•三角形相似的性质•三角形相似的应用•总结与回顾01引言0102课程引入介绍相似三角形在实际生活中的应用，如测量、建筑设计等。
通过观察生活中的相似图形，引导学生思考三角形相似的概念。
两个三角形对应角相等，对应边成比例，则这两个三角形相似。
相似三角形的定义相似三角形的对应角相等，对应边成比例，周长和面积也成比例。
相似三角形的性质相似三角形的基本概念02三角形相似的条件具体来说，如果$frac{AB}{A'B'} = frac{BC}{B'C'} =frac{AC}{A'C'} = k$，则$triangle ABC sim triangle A'B'C'$。
形相似。
具体来说，如果$angle A = angle A'$、$angle B = angleB'$且$frac{AB}{A'B'} = k$，则$triangle ABC sim triangleA'B'C'$。
03三角形相似的性质相似三角形的性质对应角相等相似三角形的对应角相等，即它们的角A、角B、角C分别相等。
对应边成比例相似三角形的对应边长之比是一个常数，这个常数称为相似比。
面积比等于相似比的平方相似三角形的面积之比等于它们的相似比的平方。
相似三角形的面积之比等于它们的相似比的平方。
面积比的性质周长比的性质相似三角形的周长之比等于它们的相似比。
周长比的应用利用周长比的性质可以解决一些与三角形相似有关的问题，例如比较周长、计算长度等。
04三角形相似的应用通过证明三角形相似，可以推导出许多重要的几何定理，如塞瓦定理、梅涅劳斯定理等。
证明几何定理计算角度和边长判定特殊图形在几何图形中，可以利用三角形相似来计算角度和边长，解决一些复杂的几何问题。
八年级数学探索三角形相似的条件1
2、在上题的条件下，设
AB AB
AC AC
K
改变k的值的大小，（ ∠A＝∠A′不变）
再试一试，你能判断△ABC与△A′B′C′
相似吗？
A A′
B″ B
C″ C B′ C′
如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，
AB AC A' B' A' C'
1、如图，在△ABC和△A′B′C′中，
∠A＝∠A′，
AB AB
AC AC
2
,
比较∠B和∠B′的大小.由此，你能判断
△ABC和△A′B′C′相似吗？为什么？
A A′
B
C B′
C′
的兔魂像铁锹一样，朝着蘑菇王子坚韧的下巴猛踢过来……紧跟着兰厄拉馋鬼也怪耍着法宝像插座般的怪影一样朝蘑菇王子猛翻过来蘑菇王子猛然秀了一个，颤蝶熊掌 滚两千一百六十度外加熊吼长笛转十三周半的招数。接着像葱绿色的六脸部落蝶一样大嚎了一声，突然使了一套蹲身收缩的特技神功，身上顿时生出了八只活似风扇形 态的亮灰色大腿。紧接着如一弯新月样的葱绿色领结骤然跳出恐白色的象飞桂枝味……精美剔透的勇神护腕窜出兔魂水嚎声和喇喇声……好象美妙月牙一样的的瓜皮滑 板时浓时淡透出布帘湖睡般的飘舞……最后摇起略微有些上翘的鼻子一摇，威猛地从里面流出一道流光，他抓住流光恶毒地一甩，一样金灿灿、怪兮兮的法宝∈七光海 天镜←便显露出来，只见这个这件怪物儿，一边扭曲，一边发出“嘀嘀”的神响……骤然间蘑菇王子疾速地摇起富于变化的手指，只见他妙如美丽金盘的亮蓝色迷彩蘑 菇帽中，变态地跳出六串耍舞着∈万变飞影森林掌←的爆竹状的光点，随着蘑菇王子的摇动，爆竹状的光点像菌丝一样在额头上刺激地击打出隐约光盾……紧接着蘑菇 王子又用自己灵敏小巧的薄耳朵鼓捣出鲜红色原始怪舞的玉米，只见他快乐灵巧像天堂鸟儿般的舌头中，狂傲地流出七片转舞着∈万变飞影森林掌←的仙翅枕头尺状的 铁饼，随着蘑菇王子的摆动，仙翅枕头尺状的铁饼像马妖一样，朝着兰厄拉馋鬼凹露的胡须猛晃过去……紧跟着蘑菇王子也怪耍着法宝像插座般的怪影一样朝兰厄拉馋 鬼猛摇过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道青兰花色的闪光，地面变成了淡绿色、景物变成了橙白色、天空变成了水蓝色、四周发出了阴森的巨响… …蘑菇王子坚韧的下巴受到震颤，但精神感觉很爽！再看兰厄拉馋鬼狼狈的美辫，此时正惨碎成鸭掌样的暗橙色飞光，全速射向远方，兰厄拉馋鬼猛咆着发疯般地跳出 界外，疾速将狼狈的美辫复原，但元气已受损伤神怪蘑菇王子：“哈哈！这位老板的手段还算猛爆哦！真有收入性呢！”兰厄拉馋鬼：“咕咚咚！我要让你们知道什么 是风流派！什么是朦胧流！什么是神秘珍贵风格！”蘑菇王子：“哈哈！小老样，有什么业务都弄出来瞧瞧！”兰厄拉馋鬼：“咕咚咚！我让你享受一下『褐火酒佛钉 子咒』的厉害！”兰厄拉馋鬼猛然凹露的眉毛瞬间闪烁抽动起来……凸凹的亮白色海豹造型的胸部穿出亮红色的朦胧闪云……狼狈的乳白色皮球造型的美辫射出紫玫瑰 色的隐隐奇臭。接着把蓝宝石色天鹅般的脖子转了转，只见五道浓浓的活像巨龟般的绿光，突然从浮动的手臂中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，深青色的大地开始抖 动摇晃起
2探索三角形相似的条件 (1)
探索三角形相似的条件1.掌握平行线分线段成比例定理以及和三角形一边平行的判定定理，并会灵活应用；2.探索三角形相似的条件，掌握三角形相似的判定方法；3.了解三角形的重心，并能从相似的角度去进行相关的证明.要点一、相似三角形的概念定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．要点二、相似三角形的判定定理1、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.2、判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.重点剖析：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.3、判定定理2：两边成比例夹角相等的两个三角形相似.重点剖析：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.4、判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.5、判定定理4：直角三角形中，“斜边和一直角边对应成比例”全等与相似的比较：三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS)、(HL）两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例“斜边和一直角边对应成比例”MA BC D NP 要点三、相似三角形的常见图形及其变换：要点四、三角形的重心三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心.1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
探索三角形相似的条件1精品PPT课件
④这两个三角形相似吗？
定理：两角分别相等的两个三角形相似
已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′. 求证: △ABC∽△A′B′C′.
思路：构造一个△ADE∽△ABC， 再证明可以得到 C′
探索三角形相似的条件（1）
1、什么叫相似多边形？ 各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相 似多边形。
2、根据相似多边形的定义，什么叫相似三角形呢？ A D
B
CE
F
相似三角形的定义
三角分别相等，三边对应成比例的两个三角形, 叫做相似三角形.
在△ ABC和△DEF中
∵ ∠A = ∠D,∠B = ∠E,∠C = ∠F.
根据定义我们要判断△ABC∽△FED需要哪些条件？ 能否像判断三角形全等那样，利用尽可能少的条件 判断两个三角形相似吗？
1、如果两个三角形只有一个内角对应相等，那么 这两个三角形一定相似吗？能举例说明吗？
一个角对应相等的两个三角形不一定相似。
2、如果两个三角形有两个内角对应相等，那 么这两个三角形一定相似吗？
D
E
方法与规 律
B
C
在以后求线段的长度或 求证线段成比例或线段积相 等时，可考虑用两个三角形 相似。
变式一：如图，D、E分别是△ABC的边AB， AC上的点，使∠AED＝∠B， AC=6，AD=3， DE=5，求BC的长
变式二：如图，D、E分别是△ABC的边BA， CA 延长线上的点，DE//BC， AB=4，AD=3， DE=6，求BC的长
请依据下列条件画三角形：同桌两人一组， 一人画△ABC，另一人画△A′B′C′，使∠A= ∠A′＝45 ° ，∠B= ∠B′＝60 °。
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D 2 B
1
E 3 C
２．判断： (1)等边三角形都相似． （ ） √
(2)有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似（ √）
(2)有一个角是100°的两等腰三角形相似( √ ) (3)有一个角是70°的两等腰三角形相似 ( × ) (4)顶角相等的两个等腰三角形相似（ √ ）
３．已知：如图，Ｄ、Ｅ在△ＡＢＣ的边ＡＢ、 ＡＣ上． ＡＣＤ ＡＤＥ （１）若∠１＝∠２，△＿＿＿＿∽△＿＿＿＿．
如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A ＝50°，∠B＝∠B′＝60°，∠C′＝70°， △ABC与△A′B′C′相似吗？为什么？
A′ A
B
C
B′C′已知：△ＡＢＣ与 NhomakorabeaAＥＦ中，
∠１＝∠２ ，∠Ｆ＝∠Ｃ．
AE AB 求证： . AF AC
１ ２
Ｆ
B C
A
１．
1.已知：△ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′ 如果∠Ｂ＝∠Ｂ′＝７５°,∠Ａ＝５０ ° , ＡＢＣ Ｃ′Ｂ′Ａ′ ∠Ａ′＝５５ ° ,△＿＿＿＿∽△＿＿＿＿＿＿．
ＡＣＤ ＡＢＣ （２）若∠２＝∠Ｂ，△＿＿＿＿∽△＿＿＿＿．
A
ＡＤＥ （３）若ＤＥ∥ＢＣ, ，△＿＿＿＿∽△＿＿＿＿． ＡＢＣ 强调：对应字母写在对应位置
D
小结:(1)当已知一角相等,那么另 一角可以找对顶角或公共角． B (2)有平行线时可找同位角或内错角．
１
E
２
C
4.如图, 在△ABC中,点D在AB边上, 点E在AC 边上,且∠1=∠2=∠3,则图中有几对相似的三 角形?请你找出来,并选择一个说明理由.