河南省焦作市高考三模数学试卷(理科)
河南省焦作、平顶山、许昌三市高三数学第三次调研考试试题理(扫描版)
理科数学答案一．选择题：(每小题5分）(1)C (2)A (3)C (4)D (5)B (6)A (7)D (8)A (9)D (10)C (11)C (12)D 二．填空题：(每小题5分）(13) [3,0]-，(14) 3，(15)1009， (16) 1(,2](1,]2-∞---．三．解答题：(17)解（Ⅰ）∵3cos sin 3a b C c B =+，∴3sin sin cos sin 3sin A B C B C =+，∴3cos sin sin 3sin B C B C =， ∴tan 3B =，∴3B π∠=．∵2222cos b a c ac B =+-，∴2230c c --=， ∴3c =．（Ⅱ）∵23sin(2)2sin ()3sin(2)1cos(2)61266A C A C μππππ=---=--+-3sin(2)cos(2)13sin(2)cos(2)163666A A A A π4ππππ=-+---=----2sin(2)13A π=--． …………10分∴由2sin(2)103A π--=，及62A ππ<<，可得4A π=． …………12分(18)（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A ，则1221()(1)(1)(1)23318P A =---=． ……………4分（II ）ξ的可能值得为0，1，2，3，4，5．4121(0)(1)(1),2348P ξ==--=1344112121(1)(1)(1)(1),223238P C ξ==--+-= 22213441121127(2)()(1)(1)(1),22322324P C C ξ==--+-=33222441121121(3)()(1)(1)()(1),2232233P C C ξ==--+-=4334121121(4)()(1)()(1),2322316P C ξ==-+-=4121(5)(),2324P ξ===所以随机变量ξ的分布列如下：ξ0 1 2 3 4 5P148 18 724 13 316 124……………10分故117131801234548824316243E ξ=+++++=．……………12分(19)（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为AD ⊥侧面PAB ，PE ⊂平面PAB ，所以AD PE ⊥．又因为△PAB 是等边三角形，E 是线段AB 的中点，所以PE AB ⊥．因为ADAB A =，所以PE ⊥平面ABCD ． (3)分由DA =AB =2，12BC AD =，可得BC =1． 因为△PAB 是等边三角形，可求得3PE =． 所以111(12)233332P ABCD ABCD V S PE -=⋅=⨯+⨯⨯=． …………6分（Ⅱ）以E 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -．则有(0,1,0),(0,0,0)(01,0),(11,0),(2,1,0),(0,03)A E B C D P --，，，，． 设000(,,),F x y z PF PB =λ，则)3,1,0()3,,(000--=-λz y x ， 所以(0F -λ． …………7分 设(,,x y z =）n 为平面DEF 的法向量，(2,1,0),(0,,33),ED EF ==-λ-λ0,0,ED EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n20330.x y y z +=⎧⎪⎨-λ+-λ=⎪⎩，即（） x 1y 22z .31⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪λ⎪=⎪λ-⎩，所以，（） 2(1,2,31λ∴=-λ-）（）n ． 又平面C的法向量为(0,0,1=）m ． …………10分ABCDE Pxyz∴22131cos ,421431m n λλ-==λ⎡⎤++⎢⎥λ-⎣⎦（）（），化简得23210λλ+-=． 解得1λ=-（舍去）或13λ=．所以存在点F ，且13PF P B = ． …………12分(20)（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设点P 的坐标为(,)x y ，则由题意得122222y y x x ⋅=-+-，化简得：22184x y +=且22x ≠±． 故动点P 的轨迹E 的方程为22184x y +=且22x ≠±． ………… 5分 （Ⅱ）设直线AB 的方程为(2)y k x =+，则直线CD 的方程为1(2)y x k=--． ………… 6分由22(2)184y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(21)8880k x k x k +++-=． …………7分由韦达定理得：2122821k x x k -+=+，2122821k x x k -=+，所以，2221212242(1)1()421k AB k x x x x k +=+⋅+-⋅=+． …………9分同理可得2242(1)2k CD k +=+． …………10分所以22221121232842(1)42(1)k k AB CD k k +++=+=++． ………… 12分 (21)（本小题满分12分）解：（Ⅰ）/()(1)()ln(1)2h x f x g x x x =+-=+-+，1x >-，所以 1()111xh x x x -'=-=++． 当10x -<<时，()0h x '>；当0x >时，()0h x '<．因此，()h x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减． …………5分（Ⅱ）不等式/(1)()3()4k x xf x g x -<++化为ln 21x x xk x +<+-，所以ln 21x x xk x +<+-对任意1x >恒成立．令()ln 21x x x g x x +=+-，则()()2ln 21x x g x x --'=-． 令()ln 2h x x x =--()1x >，则()1110x h x x x-'=-=>， 所以函数()h x 在()1,+∞上单调递增．因为()()31ln30,422ln 20h h =-<=->，所以方程()0h x =在()1,+∞上存在唯一实根0x ，且满足()03,4x ∈．当01()0x x h x <<<时，，即()0g x '<，当0()0x x h x >>时，，即()0g x '>， 所以函数()ln 21x x xg x x +=+-在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．所以()()()()()000000min001ln 122225,611x x x x g x g x x x x ++-==+=+=+∈⎡⎤⎣⎦--．所以()()0min 25,6k g x x <=+∈⎡⎤⎣⎦．故整数k 的最大值是5． ………… 12分(22)（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲 证明：（Ⅰ）由已知条件得∠BAE =∠CAD ，∵∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角，∴∠AEB =∠ACB ，∴△ABE ∽△ADC ． (5)分（Ⅱ）∵△ABE ∽△ADC ，∴AB ADAE AC =，即AB ·AC =AD ·AE ． ∵△ABC 的面积S =12AB ·AC sin ∠BAC ，又S =12AD ·AE ，故AB ·AC sin ∠BAC = AD ·AE ，∴sin ∠BAC =1．因为∠BAC 是三角形的内角，所以∠BAC =90°． …………10分（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ）当3απ=时，1C 的普通方程为3(1)y x =-，2C 的普通方程为221x y +=． 联立方程组223(1)1y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ ，解得1C 与2C 的交点为（1，0）与1322⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，． 所以，1C 被2C 截得的线段的长为1． ………… 5分（Ⅱ）将1C 的参数方程代入2C 的普通方程得22cos 0t t α+=，∴A 点对应的参数12cos 2t t t α+==-，∴A 点坐标为()2sin ,cos sin ααα-． 故当α变化时，A 点轨迹的参数方程为：2sin ,sin cos x y ααα⎧=⎨=-⎩（α为参数）．因此，A 点轨迹的普通方程为2211()24x y -+=．故A 点轨迹是以1(,0)2为圆心，半径为12的圆． (10)分(24)（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲解：（Ⅰ）当x <0时，原不等式可化为20x x -+<，解得0x >，又∵0x <，∴x 不存在；当102x ≤<时，原不等式可化为20x x --<，解得0x >，又∵102x ≤<，∴102x <<； 当12x ≥时，原不等式可化为211x x --<，解得2x <，又∵12x ≥，∴122x ≤<； 综上，原不等式的解为02x <<． ………… 5分（Ⅱ）∵22|()()||||||1|f x f a x x a a x a x a -<--+=-⋅+-|1||21|x a x a a <+-=-+-|||21|x a a ≤-+-1|2|12(||1)a a <++=+．∴|()()|2(||1)f x f a a -<+． ………… 10分。
2019届河南省焦作市高三第三次模拟考试数学(理)试题(解析版)
故选：C．
【点睛】
本题考查了抛物线的定义与圆的性质的应用，考查了转化思想，平面几何知识，属于中档题．
8．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《京地景物略》一书中才正式出现，如图所示的网格纸中小正方形的边长均为 ，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（）
由①②可得mn＝2c2﹣2b2，由渐近线方程y＝ x和圆x2+y2＝c2，
可得P（a，b），由三角形的面积公式可得： mn＝ •2cb，即c2﹣b2＝cb，
可得a2＝cb，即有a4＝c2（c2﹣a2）＝c4﹣c2a2，由离心率e＝ 可得1＝e4﹣e2，
即有e4﹣e2﹣1＝0．
故选：D．
【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查直角三角形的勾股定理和面积公式的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．
【答案】C
【解析】先求出集合 ，再由补集运算求出 最后并集运算即可.
【详解】
集合 ，所以 ，且 ，所以 = ，
故选：C
【点睛】
本题考查了集合的交并补运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.
3．如图给出的是某小区居民一段时间内访问网站的比例图，则下列选项中不超过 的为（）
A．B．y2＝ xC．y2＝2xD．y2＝2 x
【答案】C
【解析】由A，B，M，N为同一个矩形的四个顶点，可得点A，N关于直线x＝ 对称，即 ，可得|NA|＝ =2p，由抛物线定义得2p＝2，可得E的方程．
2024届高三数学仿真模拟卷(全国卷)(理科)(考试版)
2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。
河南省焦作市数学高考模拟试卷(理科)(5)
河南省焦作市数学高考模拟试卷（理科）（5）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·福建模拟) 设a∈R，若复数z= （i是虚数单位）的实部为，则复数z的虚部为（）A .B . ﹣C .D . ﹣2. （2分）设全集U=R，集合则等于（）A . {2,3}B . {1,2,3,4}C . {5}D . {1,4,5}3. （2分）已知{an}是等差数列，a1+a2=4，a7+a8=28，则该数列前10项和S10等于（）A . 64B . 100C . 110D . 1204. （2分） (2017高二下·仙桃期末) 设x，y满足约束条件则的最大值是（）A .B .C .D .5. （2分）如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度：cm),则此几何体的表面积是（）A . 20cm2B .C .D . 24cm26. （2分） (2016高二下·龙海期中) 若曲线f（x）=x4﹣x在点P处的切线平行于直线3x﹣y=0，则点P的坐标为（）A . （﹣1，2）B . （1，﹣3）C . （1，0）D . （1，5）7. （2分） (2017高一下·长春期末) 对于任意实数a、b、c、d，命题：①若a＞b，c＜0，则ac＞bc；②若a＞b，则ac2＞bc2；③若ac2＜bc2 ，则a＜b；④ ；⑤若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd．其中真命题的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 48. （2分）在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（）A . 等腰直角三角形B . 直角三角形C . 等腰三角形D . 等边三角形9. （2分）如图是计算函数的值的程序框图，在①、②、③处应分别填入的是（）A . y=0,y=2xB . y=2x,y=0,C . y=0,y=2x,D . y=0,y=2x10. （2分） (2015高一下·广安期中) 在△ABC中，a=7，b=5，c=3，则cosA等于（）A . ﹣B .C .D .11. （2分） (2017高二上·黄山期末) 如图，空间四边形OABC中，点M、N分别OA、BC上，OM=2MA、BN=CN，则 =（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高三上·蓟县期末) 已知f（x）=（x2﹣3）ex（其中x∈R，e是自然对数的底数），当t1＞0时，关于x的方程[f（x）﹣t1][f（x）﹣t2]=0恰好有5个实数根，则实数t2的取值范围是（）A . （﹣2e，0）B . （﹣2e，0]C . [﹣2e，6e﹣3]D . （﹣2e，6e﹣3）二、填空题 (共4题；共14分)13. （1分）(2018·佛山模拟) 的展开式中的常数项是________.14. （2分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1，点A（﹣1，0），B（1，0），点P是圆上的动点，则d=|PA|2+|PB|2的最大值为________ 最小值为________15. （10分）(2017·泉州模拟) 如图1，在边长为4的正三角形ABC中，D，F分别为AB，AC的中点，E为AD的中点．将△BCD与△AEF分别沿CD，EF同侧折起，使得二面角A﹣EF﹣D与二面角B﹣CD﹣E的大小都等于90°，得到如图2所示的多面体．（1）在多面体中，求证：A，B，D，E四点共同面；（2）求多面体的体积．16. （1分） (2016高二上·上海期中) 数列{an}满足a1=2016，前n项和Sn=（1+2+…+n）•an ，对任意n∈N*成立，则a2015=________．三、解答题 (共7题；共55分)17. （10分） (2017高三上·徐州期中) 如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池ABCD及其矩形附属设施EFGH，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化．其中半圆的圆心为O，半径为R，矩形的一边AB在直径上，点C，D，G，H在圆周上，E，F在边CD上，且，设∠BOC=θ．（1）记游泳池及其附属设施的占地面积为f（θ），求f（θ）的表达式；（2）怎样设计才能符合园林局的要求？18. （5分）(2020·茂名模拟) 如图，在三棱柱中，平面，是的中点，，， .（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的平面角的余弦值.19. （5分）(2017·东北三省模拟) 某次数学测试之后，数学组的老师对全校数学总成绩分布在[105，135）的n名同学的19题成绩进行了分析，数据整理如下：组数分组19题满分人数19题满分人数占本组人数比例第一组[105，110]150.3第二组[110，115）300.3第三组[115，120）x0.4第四组[120，125）1000.5第五组[125，130）1200.6第六组[130，135）195y（Ⅰ）补全所给的频率分布直方图，并求n，x，y的值；（Ⅱ）现从[110，115）、[115，120）两个分数段的19题满分的试卷中，按分层抽样的方法抽取9份进行展出，并从9份试卷中选出两份作为优秀试卷，优秀试卷在[115，120）中的分数记为ξ，求随机变量ξ的分布列及期望．20. （10分）(2017·唐山模拟) 已知椭圆Γ：经过点，且离心率为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）直线l与圆O：x2+y2=b2相切于点M，且与椭圆Γ相交于不同的两点A，B，求|AB|的最大值．21. （10分） (2018高三上·成都月考) 己知函数，函数．（1）求时曲线在点处的切线方程；（2）设函数在上是单调函数，求实数k的取值范围．22. （5分）(2017·成都模拟) 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴为正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为（2 ，θ），其中θ∈（，π）（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）若射线OA与直线l相交于点B，求|AB|的值．23. （10分）(2018·河北模拟) 已知函数 .（1）解不等式；（2）若函数，若对于任意的，都存在，使得成立，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共14分)13-1、14-1、15-1、15-2、16-1、三、解答题 (共7题；共55分) 17-1、17-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。
2021年河南省焦作市高考数学第三次大联考试卷(理科)(附答案详解)
2021年河南省焦作市高考数学第三次大联考试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1,a2}，B={−1,0，1}，若A∪B=B，则A中元素的和为()A. 0B. 1C. 2D. −12.已知a为实数，复数z=(a−2)+ai(i为虚数单位)，复数z的共轭复数为z−，若z为纯虚数，则1−z−=()A. 1−2iB. 1+2iC. 2+iD. 2−i3.造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，这四种发明对中国古代的政治、经济、文化的发展产生了巨大的推动作用；2017年5月，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了“中国的新四大发明”：高铁、扫码支付、共享单车和网购.若从这8个发明中任取两个发明，则两个都是新四大发明的概率为()A. 114B. 17C. 314D. 144.已知两个单位向量a⃗和b⃗ 夹角为60°，则向量a⃗−b⃗ 在向量a⃗方向上的投影为()A. −1B. 1C. −12D. 125.已知△ABC的内角A，B，C成等差数列，若sin(B+α)=35+sinα，则sin(α+300°)= ()A. 35B. −45C. 45D. −356.(2−1x2)(1+ay)6展开式中x−2y3项的系数为160，则a=()A. 2B. 4C. −2D. −2√27.已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积是83π，则x=()A. 1B. 2C. 4D. 68.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)，(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，f(x)的图象过A(π4,1)，B(5π4,−1)两点，将f(x)的图象向左平移7π12个单位得到g(x)的图象，则函数g(x)在[0,3π4]上的最小值为()A. −√2B. √2C. −√3D. −19.已知圆C：(x+1)2+(y−1)2=1，P是直线x−y−1=0的一点，过点P作圆C的切线，切点为A，B，则|PC|⋅|AB|的最小值为()A. √14B. 2√7C. 3√2D. √1110.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，B是椭圆C的上顶点，直线x=13c与直线BF2交于点A，若∠AF1F2=π4，则椭圆C的离心率为()A. √55B. √33C. √22D. √3211.如图，已知四棱锥S−ABCD的底面是边长为6的菱形，∠BAD=60°，AC，BD相交于点O，SO⊥平面ABCD，SO=4，E是BC的中点，动点P在该棱锥表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的长为()A. 3B. 7C. 13D. 812.已知曲线C1：f(x)=xe x在x=0处的切线与曲线C2：g(x)=alnxx(a∈R)在x=1处的切线平行，令ℎ(x)=f(x)g(x)，则ℎ(x)在(0,+∞)上()A. 有唯一零点B. 有两个零点C. 没有零点D. 不确定二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出i的值为______ ．14.已知数列{a n}是等差数列，a1≥−1，a2≤2，a3≥0，则z=3a1−a5的最大值是______ ．15.定义在R上的函数f(x)满足：f(x)=ln2−f(−x)，函数g(x)=f(x)+2sinxcosx+π，若g(e a)=ln12(a∈R)，则g(−e a)=______ ．16.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2sinBsinCcosA+cos2A=1，则a2bc的最小值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}满足：a121+1+a222+1+a323+1+⋯+a n2n+1=12n−1，n∈N∗．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设等差数列{b n}的前n项和为S n，且S n=12n2−12n+k，令c n=b n−a n+kn2，求数列{c n}的前n项和T n．18.从2020年元月份以来，全世界的经济都受到了新冠病毒的严重影响，我国抗疫战斗取得了重大的胜利，全国上下齐心协力复工复产，抓经济建设；某公司为了提升市场的占有率，准备对一项产品实施科技改造，经过充分的市场调研与模拟，得到x，y之间的五组数据如表：x23578y58121416其中，x(单位：百万元)是科技改造的总投入，y(单位：百万元)是改造后的额外收益；设U=2x+y是对当地生产总值增长的贡献值．(1)若从五组数据中任取两组，求恰有一组满足U>30的概率；(2)记ξ为U>20时的任意两组数据对应的贡献值的和，求随机变量ξ的分布列和数学期望；(3)利用表中数据，甲、乙两个调研小组给出的拟合直线方程分别为甲组：ŷ=2x+1，乙组：ŷ=52x−32，试用最小二乘法判断哪条直线的拟合效果更好？附：对于一组数据(x1,y1)，(x2,y2)，…，(x n,y n)，其拟合直线方程ŷ=b̂x+â的残差平方和为D=∑(ni=1y i−b̂x i−â)2，D越小拟合效果越好．19.如图，已知ABB1A1是圆柱OO1的轴截面，O，O1分别是两底面的圆心，C是弧AB⏜上的一点，∠ABC=30°，圆柱的体积和侧面积均为4π．(1)求证：平面ACA1⊥平面BCB1；(2)求二面角B−A1B1−C的大小．20. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，P 为椭圆的下顶点，△OPF 2为等腰三角形，当l ⊥x 轴时，△OAB 的面积为√22．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l 不与坐标轴垂直，线段AB 的中垂线l′与y 轴交于点M ，若直线F 1M 的斜率为13，求直线l 的方程．21. 已知函数f(x)=e x ，g(x)=x 2+ax −x +1．(1)令ℎ(x)=g(x)f(x)，讨论函数ℎ(x)的单调性；(2)令φ(x)=f(x)g(x)，当a ≥1时，若φ(x)≥−1e 恒成立，求实数a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过定点P(3,0)，倾斜角为α(0<α<π2)，曲线C的参数方程为{x =t +1ty =t 2−12t (t 为参数)；以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)已知直线l交曲线C于M，N两点，且|PM|⋅|PN|=10，求l的参数方程．323.已知函数f(x)=x2−a|x−1|−1，a∈R．(1)当a=2时，解不等式f(x)+f(2)≥0；,+∞)，f(x)≥a|x+1|恒成立，求实数a的取值范围．(2)对任意的x∈[32答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A={1,a2}，B={−1,0，1}，A∪B=B，∴a2=0，解得a=0，∴A={1,0}．∴A中元素的和为1．故选：B．由集合A={1,a2}，B={−1,0，1}，A∪B=B，解得a=0，求出集合A，由此能求出A中元素的和．本题考查集合中元素的和的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了复数的定义的理解和应用，主要考查了纯虚数和共轭复数的定义，属于基础题．利用纯虚数的定义求出a的值，从而得到z，然后利用共轭复数的定义求解即可．【解答】解：因为复数z=(a−2)+ai为纯虚数，所以a=2，则z=2i，故1−z−=1+2i．故选：B．3.【答案】C【解析】解：从这8个发明中任取两个发明，基本事件总数n=C82=28，2个都是新四大发明包含的基本事件个数m=C42=6，∴两个都是新四大发明的概率为P=mn =628=314．故选：C．基本事件总数n=C82=28，2个都是新四大发明包含的基本事件个数m=C42=6，由此能求出两个都是新四大发明的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．4.【答案】D【解析】解：两个单位向量a⃗和b⃗ 夹角为60°，可得a⃗⋅b⃗ =1×1×12=12，(a⃗−b⃗ )⋅a⃗=a⃗2−a⃗⋅b⃗ =1−12=12，向量a⃗−b⃗ 在向量a⃗方向上的投影为(a⃗ −b⃗)⋅a⃗|a⃗ |=121=12，故选：D．运用向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，向量的投影概念，计算即可得到所求值．本题考查向量数量积的定义和性质，以及向量投影的求法，考查运算能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：∵A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，又A+B+C=180°，∴B=60°，∵sin(B+α)=35+sinα，∴sin(60°+α)=35+sinα，整理得：√32cosα−12sinα=35，即cos(30°+α)=35，∴sin(α+300°)=sin(270°+30°+α)=−cos(30°+α)=−35，故选：D．先由A，B，C成等差数列得到：B=60°，然后由sin(B+α)=35+sinα整理得到：cos(30°+α)=35，再利用诱导公式求出结果即可．本题主要考查等差数列的定义及三角公式的应用，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：二项式(1+ay)6展开式的通项公式为T r+1=C6r⋅(ay)r，故(2−1x2)(1+ay)6展开式中x−2y3项的系数为−C63⋅a3=160，则a=−2，故选：C．求出二项式(1+ay)6展开式的通项公式，可得(2−1x2)(1+ay)6展开式中x−2y3项的系数，再根据它的系数为−160，求得a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由三视图知，该几何体是一个圆台，中间挖去一个以圆台上底面为底面的圆柱后所得几何体，且圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为x，圆柱的底面半径为1，高为x，所以该几何体的体积是：V=13⋅x⋅(π⋅12+π⋅22+√π⋅12⋅π⋅22)−π⋅12⋅x=43πx，由题意知，43πx=83π，解得x=2．故选：B．由三视图知该几何体是一个圆台，中间挖去一个圆柱后所得几何体，结合图中数据求出它的体积，再列方程求出x的值．本题考查了利用三视图求简单组合体的体积应用问题，是基础题．8.【答案】A【解析】解：∵函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象，f(x)的图象过A(π4,1)，B(5π4,−1)两点，∴12×2πω=5π4−π4，∴ω=1，f(x)=2sin(x+φ)．把点A的坐标代入，可得sin(π4+φ)=12，sin(5π4+φ)=−12，∴π4+φ=π6，且5π4+φ=7π6，∴φ=−π12，f(x)=2sin(x−π12).将f(x)的图象向左平移7π12个单位得到g(x)=2sin(x+7π12−π12)=2cosx的图象，则当x=3π4时，函数g(x)在[0,3π4]取得最小值为−√2，故选：A．由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，可得f(x)的解析式，再利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，余弦函数的定义域和值域，求得函数g(x)在[0,3π4]上的最小值．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，余弦函数的定义域和值域，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：由圆C：(x+1)2+(y−1)2=1，可得圆心C坐标(−1,1)，半径r=1，设四边形PACB的面积为S，由题意及圆的切线性质得：|PC|⋅|AB|=2S=2⋅2S△PAC=4⋅12⋅|PA|⋅|AC|，∵|AC|=r=1，∴|PC|⋅|AB|=2|PA|=2√|PC|2−r2=2√|PC|2−1，圆心C(−1,1)到直线x−y−1=0的距离d=√2=3√22，∴|PC|的最小值为3√22，则|PC|⋅|AB|的最小值2(3√22)=√14，故选：A．由圆的方程可得圆心坐标和半径，设四边形PACB的面积为S，求出四边形的面积，可得|PC|⋅|AB|的表达式，由|PC|的最小值可得|PC|⋅|AB|的最小值．本题考查直线与圆的位置关系，考查化归与转化、数形结合思想，考查运算求解能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：由题意知，B(0,b)，F2(c,0)，所以直线BF2的方程为xc +yb=1，联立{x=13cxc+yb=1，解得x=13c，y=23b，即A(13c,23b)，设直线x=13c与x轴交于点M，则|F1M|=43c，|MA|=23b，因为∠AF1F2=π4，所以|F1M|=|MA|，即43c=23b，所以b=2c，所以a2−c2=b2=4c2，即a=√5c，所以离心率e=ca =√55．故选：A．由直线的截距式写出直线BF2的方程，将其与x=13c联立，解得A的坐标，设直线x=13c与x轴交于点M，由|F1M|=|MA|，可推出b=2c，再结合a2−c2=b2和e=ca，得解．本题考查椭圆的几何性质，离心率的求法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：取DC、SC的中点G、F，连接GE，FE，∵E是BC的中点，∴GE//DB，FE//SB，又GE、FE⊂平面FEG，GE∩FE=E，∴平面FEG//平面SBD，∵SO⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴SO⊥AC，又四边形ABCD是菱形，∴DB⊥AC，∵SO∩DB=O，∴AC⊥平面SBD，则AC⊥平面EFG，故只要动点P在平面FEG内，即总保持PE⊥AC，又动点P在棱锥表面上运动，∴动点P的轨迹的长即为△FEG的周长，∵四边形ABCD为菱形，边长为6，且∠BAD=60°，∴BD=6，则OB=OD=3，又SO=4，∴SB=SD=5，故FE=FG=52，GE=3，∴△FEG的周长为8．故选：D．根据题意可知点P的轨迹为三角形EFG，其中G、F为中点，根据中位线定理求出EF、GE、GF，从而求出轨迹的周长．本题主要考查了轨迹问题，以及点到面的距离等有关知识，同时考查了空间想象能力，计算推理能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：f(x)=xe x的导数为f′(x)=(x+1)e x，可得f(x)在x=0处的切线的斜率为1，g(x)=alnxx 的导数为g′(x)=a(1−lnx)x2，可得g(x)在x=1处的切线的斜率为a，由两条切线平行，可得a=1，则ℎ(x)=f(x)g(x)=xe x⋅lnxx=e x lnx，由ℎ(x)=0，可得x=1，故选：A．分别求得f(x)，g(x)的导数，可得它们在x=0处和x=1处的切线斜率，由两直线平行的条件可得a，进而得到ℎ(x)，令ℎ(x)=0，可得零点个数．本题考查导数的运用：求切线的斜率，以及两直线平行的条件和函数的零点的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．13.【答案】4【解析】解：执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，当n=3时，n是奇数，n=3+1=4，i=2；当n=4时，n不是奇数，n=42=2，i=3；当n=2时，n不是奇数，n=22=1，i=4；满足退出循环的条件，则输出i的值为4．故答案为：4．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．14.【答案】16【解析】解：由题意得{a 1≥−1a 1+d ≤2a 1+2d ≥0， 设x =a 1，y =d ， 则{x ≥−1x +y ≤2x +2y ≥0，对应的可行域如图所示的三角形及内部， 由z =3a 1−a 5=2a 1−4d =2x −4y ，当z =2x −4y 过A(4,−2)时，z 取得最大值16． 故答案为：16．由题意得{a 1≥−1a 1+d ≤2a 1+2d ≥0，x =a 1，y =d ，则{x ≥−1x +y ≤2x +2y ≥0，然后结合线性规划可求．本题主要考查了等差数列的通项公式，还考查了线性规划的知识，属于基础题．15.【答案】ln4【解析】解：∵f(x)=ln2−f(−x)，∴f(x)+f(−x)=ln2， 令ℎ(x)=2sinxcosx+π，则ℎ(−x)=−ℎ(x)，∴g(e a )+g(−e a )=f(e a )+f(−e a )+ℎ(e a )+ℎ(−e a )， ∵ℎ(e a )+ℎ(−e a )=0，∴g(e a )+g(−e a )=f(e a )+f(−e a )=ln2， ∵g(e a )=ln 12，∴g(−e a )=ln2−ln 12=ln4，故答案为：ln4．令ℎ(x)=2sinxcosx+π，求出g(x)是奇函数，求出g(e a )+g(−e a )=f(e a )+f(−e a )=ln2，从而求出g(−e a )的值即可．本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数求值，是中档题．16.【答案】23【解析】解：因为2sinBsinCcosA +cos2A =1， 所以2sinBsinCcosA =1−cos2A =2sin 2A ， 由正弦定理得2bccosA =2a 2，由余弦定理得，2bccosA =b 2+c 2−a 2， 则2a 2=b 2+c 2−a 2，所以3a 2=b 2+c 2≥2bc ，当且仅当b =c 时取等号， 故a 2bc≥23，即最小值23． 故答案为：23．由已知结合二倍角公式及正弦余弦定理进行化简，然后结合基本不等式即可求解． 本题主要考查了二倍角公式，正弦定理，余弦定理及基本不等式在求解三角形中的应用，属于中档题．17.【答案】解：(1)由题意，当n =1时，a 121+1=121−1，解得a 1=−32， 当n ≥2时，由a 121+1+a 222+1+a 323+1+⋯+a n2n +1=12n −1， 可得a 121+1+a 222+1+a 323+1+⋯+a n−12n−1+1=12n−1−1， 两式相减，可得a n2n +1=12n −12n−1， 化简整理，得a n =−1−12n ， ∵当n =1时，a 1=−32也满足上式， ∴a n =−1−12n ，n ∈N ∗．(2)由题意，设等差数列{b n }的公差为d ， 则S n =d2n 2+(b 1−d2)n =12n 2−12n +k ，故有{d 2=12b 1−d 2=−12k =0，解得{b 1=0d =1k =0，∴b n =0+1⋅(n −1)=n −1，n ∈N ∗，由(1)知，c n =b n −a n +kn 2=n −1+1+12n =n +12n ，∴T n =c 1+c 2+⋯+c n =(1+121)+(2+122)+⋯+(n +12n) =(1+2+⋯+n)+(121+122+⋯+12n) =n(n +1)2+12−(12)n+11−12=n(n+1)2+1−12n．【解析】(1)先将n =1代入表达式计算出a 1的值，当n ≥2时，由a 121+1+a 222+1+a 323+1+⋯+a n2n +1=12n−1，可得a 121+1+a 222+1+a 323+1+⋯+a n−12n−1+1=12n−1−1，两式相减并进一步计算，即可得到数列{a n }的通项公式；(2)先设等差数列{b n }的公差为d ，然后将S n 写成关于n 的二次函数的形式，再与表达式S n =12n 2−12n +k 的系数进行比较，即可得到b 1、d 、k 的值，从而可得到等差数列{b n }的通项公式，然后结合第(1)题的结果计算出数列{c n }的通项公式，最后运用分组求和法即可计算出前n 项和T n ．本题主要考查数列求通项公式，以及运用分组求和求前n 项和．考查了转化与化归思想，函数思想，方程思想，等差数列的性质应用，等差数列和等比数列的求和公式的应用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．18.【答案】解：(1)设所给的五组数据分别为A ，B ，C ，D ，E ，从五组数据中任意取出两组的情况有C 52=10种抽法，其中恰有一组满足U =2x +y >30的有AE ，BE ，CE ，DE 共4种抽法， 所以所求概率为P =410=25；(2)满足U >20的数据是后3组，所以ξ的可能取值为50，54，60， 所以P(ξ=50)=1C 32=13，P(ξ=54)=1C 32=13，P(ξ=60)=1C 32=13，所以ξ的分布列为：故ξ的数学期望E(ξ)=50×13+54×13+60×13=1643；(3)用甲组给出的拟合直线方程列表如下：x 2 3 5 7 8 y 5 8 12 14 16 y ̂=2x +157111517用乙组给出的拟合直线方程列表如下：x 2 3 5 7 8 y 5 8 12 14 16 y ̂=52x −323.56111618.5由表中的数据可得，D 甲=02+12+12+(−1)2+(−1)2=4，D 乙=1．52+22+12+(−2)2+(−2.5)2=17.5， 故D 甲<D 乙，所以甲组给出的拟合直线方程y ̂=2x +1的拟合效果更好．【解析】(1)分别求出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式求解即可；(2)确定ξ的可能取值，分别求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可；(3)分别利用甲组和乙组给出的拟合直线方程列表，求出它们的残差平方和，比较即可得到答案．本题考查了离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，线性回归方程的逻辑和应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．19.【答案】(1)证明：因为AB 为⊙O 直径，所以AC ⊥BC ， 因为B 1B 为圆柱的母线，所以B 1B ⊥平面ABC ，又因为AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥B 1B ，又因为B 1B ∩BC =B ，所以AC ⊥平面BCB 1，又因为AC ⊂平面ACA 1，所以平面ACA 1⊥平面BCB 1； (2)解：设圆柱的底面半径为r ，母线长为l ， 因为圆柱的体积和侧面积均为4π， 所以{2πrl =4ππr 2l =4π，解得{r =2l =1，因为∠ABC =30°，所以AC =2，BC =2√2，于是A 1C =√A 1A 2+AC 2=√5，B 1C =√B 1B 2+BC 2=√13， 过C 作CM ⊥A 1B 1于M ，过M 作MN ⊥A 1B 1，交AB 于N ，连接NC ， ∠CMN 为二面角B −A 1B 1−C 的平面角， 设A 1M =x ，因为A 1C 2−A 1M 2=B 1C 2−B 1M 2，所以5−x 2=13−(4−x)2， 解得x =1，于是MC =√5−1=2， 因为MN//A 1A ，所以MN ⊥平面ABC ， 又因为CN ⊂平面ABC ，所以MN ⊥CN ， 于是cos∠CMN =MN CM=12，所以∠CMN =60°，故二面角B −A 1B 1−C 的大小为60°．【解析】(1)根据平面与平面垂直的判定定理证明；(2)列方程组求圆柱的底面半径与母线长，作二面角的平面角，转化为解直角三角形问题．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题设知，F 2(c,0)，P(0,−b)，因为△OPF 2为等腰三角形， 所以b =c ，又直线l 过F 2，当l ⊥x 轴时，|AB|=2b 2a，所以△OAB 的面积为12⋅|AB|⋅c =12⋅2b 2a⋅c =√22， 所以2b 2c =√2a ，所以{b =c2b 2c =√2a a 2=b 2+c 2，解得a =√2，b =c =1，所以椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1．(2)由(1)知，F 1(−1,0)，F 2(1,0)， 设直线l 的方程为x =ty +1(t ≠0)，由{x =ty +1x 2+2y 2=2，得(t 2+2)y 2+2ty −1=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，所以y 1+y 2=−2tt 2+2，y 1y 2=−1t 2+2， 设线段AB 的中点为N(x 0,y 0)， 则y 0=y 1+y 22=−tt 2+2，x 0=ty 0+1=2t 2+2， 即N(2t 2+2,−tt 2+2)， 设M(0,m)， 因为MN ⊥AB ， 所以m+t t 2+2−2t 2+2⋅1t =−1，解得m =tt 2+2，即M(0,tt 2+2)，因为直线F 1M 的斜率为13， 所以tt 2+2−00−(−1)=13，即t 2−3t +2=0， 解得t =1或t =2，所以直线l 的方程为x −y −1=0或x −2y −1=0．【解析】(1)由△OPF 2为等腰三角形，△OAB 的面积为√22，列方程组，解得a ，b ，c ，即可得出答案．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线l 的方程为x =ty +1(t ≠0)，联立椭圆的方程，结合韦达定理可得y 1+y 2，y 1y 2，设线段AB 的中点为N(x 0,y 0)，由中点坐标公式可得N(2t 2+2,−tt 2+2)，设M(0,m)，由MN ⊥AB ，得m+t t 2+2−2t 2+2⋅1t=−1，解得m ，由直线F 1M 的斜率为13，解得t ，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)ℎ(x)=g(x)f(x)=x 2+ax−x+1e x，则ℎ′(x)=(2x+a−1)e x −(x 2+ax−x+1)e x(e x )2=−(x−1)(x+a−2)e x.令ℎ′(x)=0，解得x =1，或x =2−a ．①当a <1时，1<2−a ，可得函数ℎ(x)在(−∞,1)，(2−a,+∞)上单调递减；在(1,2−a)上单调递增．②当a =1时，1=2−a ，可得：ℎ′(x)≤0，∴函数ℎ(x)在R 上单调递减；③当a >1时，1>2−a ，可得函数ℎ(x)在(−∞,2−a)，(1,+∞)上单调递减；在(2−a,1)上单调递增．(2)φ(x)=f(x)g(x)=e x (x 2+ax −x +1)． φ′(x)=e x (x +a)(x +1)．当a =1时，φ′(x)=e x (x +1)2≥0在R 上恒成立，此时函数φ(x)在R 上单调递增，φ(x)=e x (x 2+1)>0>−1e 恒成立，满足条件．当a >1时，−a <−1，可得函数φ(x)在(−∞,−a)上单调递增，在(−a,−1)上单调递减，在(−1,+∞)上单调递增，当x ≤−a 时，∵x 2+ax −x +1=x(x +a)+1−x >0恒成立，∴φ(x)=e x (x 2+ax −x +1)>0>−1e 恒成立，满足题意．当x >−a 时，x =−1函数φ(x)取得极小值即最小值，φ(x)≥φ(−1)=e −1(3−a)≥−1e 恒成立，解得a ≤4， 因此1<a ≤4．综上可得：实数a 的取值范围是[1,4]．【解析】(1)ℎ(x)=g(x)f(x)=x 2+ax−x+1e x，可得ℎ′(x)=−(x−1)(x+a−2)e x.令ℎ′(x)=0，解得x =1，或x =2−a.对a 分类讨论，比较两个实数根的大小，即可得出函数ℎ(x)的单调性． (2)φ(x)=f(x)g(x)=e x (x 2+ax −x +1).φ′(x)=e x (x +a)(x +1).对a 分类讨论，比较两个实数根的大小，即可得出函数ℎ(x)的单调性．根据当a ≥1时，若(x)≥−1e 恒成立，即可实数a 的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)曲线C 的参数方程为{x =t +1t y =t 2−12t (t 为参数)；整理得{x =t +1t 2y =t −1t ，故(t +1t)2−(t−1t )2=4，转换为直角坐标方程为x 2−4y 2=4，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为极坐标方程为ρ2cos 2θ−4ρ2sin 2θ=4．(2)直线l 过定点P(3,0)，倾斜角为α(0<α<π2)，转换为参数方程为{x =3+tcosαy =tsinα(α为参数)，把直线的参数方程代入x 2−4y 2=4， 得到(cos 2α−4sin 2α)t 2+6cosαt +5=0， 所以t 1t 2=5cos 2α−4sin 2α=103，解得cosα=±√22，由于0<α<π2， 故cosα=√22，所以α=π4．所以直线的参数方程为{x =3+√22t y =√22t (t 为参数)．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数的值的应用求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)当a =2时，f(x)=x 2−2|x −1|−1，所以f(2)=1，则不等式f(x)+f(2)≥0为x 2−2|x −1|≥0，当x ≥1时，x 2−2|x −1|≥0为x 2−2x +2≥0，恒成立，所以x ≥1；当x <1时，x 2−2|x −1|≥0为x 2+2x −2≥0，解得x ≤−1−√3或1+√3≤x <1． 综上可得，不等式f(x)+f(2)≥0的解集为(−∞,−1−√3]∪[−1+√3,+∞)； (2)对任意的x ∈[32,+∞)，f(x)≥a|x +1|恒成立， 即为x 2−a|x −1|−1≥a|x +1|，即a ≤x 2−1|x−1|+|x+1|对任意的x ∈[32,+∞)恒成立， 即a ≤x 2−1x−1+x+1=x 2−12x =12(x −1x )对任意的x ∈[32,+∞)恒成立，因为y =12(x −1x )在[32,+∞)递增，最小值为12(32−23)=512， 所以a ≤512，].故实数a的取值范围是(−∞,512【解析】(1)求得f(2)，再由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；(2)由参数分离和绝对值的意义，去绝对值，结合函数的单调性求得最值，由不等式恒成立思想，可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法以及不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．第21页，共21页。
2020届河南省焦作市高三第三次模拟考试数学(理)试题及答案
绝密★启用前2020届河南省焦作市高三第三次模拟考试数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知全集{}1,0,1,2,3,4,5U =-集合{}{}|12,2,3,4,5A x Z x B =∈-≤=，则()UA B =（）A ．{}4,5B ．{}2,3,5C ．{}1,3D ．{}3,4答案：A先求出,A B ,U A B C A ，，再交集运算即可. 解：因为全集{1,0,1,2,3,4,5}U =-集合{}{}11,0,1,2,3,2,3.4,5A B =-=，所以{4,5}U C A =，所以(){4,5}U C A B ⋂= 故选：A 点评：本题考查集合的交集运算及简单的绝对值不等式的解法，考查运算求解能力,属于简单题目.2．复数212i z i-=-的共轭复数为（）A ．1355i + B ．4255i -- C ．1355i - D ．4255i -+ 答案：D分子分母同时乘以2+i 化简，再实部相同虚部互为相反数即可求得共轭复数. 解：因为2111422255i z i i i ---===----所以其共轭复数4255z i =-+ 故选：D 点评：本题考查复数的运算和复数的概念，考查运算求解能力，属于简单题目.3．设0.50.20.76,π,0.3a log b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．b a c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<答案：C分布和0,1进行比较即可判断大小. 解：因为0.50.200.7log 60,1,00.30.31a b c ππ=<=>=<=<=，所以a c b <<. 故选：C 点评：本题考查指对数函数的单调性，考查数学运算能力,属于较易题目.4．已知向量()()3,1,,4a b x =-=-.若()a b a +⊥，则向量a 与b 的夹角为（） A ．π4B ．π3C ．2π3D ．3π4答案：D先通过向量坐标运算求出a b +，再根据()a b a +⊥求出x ，代入公式即可求得向量a 与b 的夹角.解：因为(3,3),()a b x a b a +=--+⊥ 所以3(3)1(3)0x --+⨯-=，解得2x =.设向量a 与b 的夹角θ，则cos ||||2a b a b θ⋅==-. 又因[]0,θπ∈，所以34πθ= 故选：D 点评：本题考查向量的坐标运算以及数量积的运算，考查化归与转化以及运算求解能力.属于较易题目.5．要想得到函数cosx y x =+的图象，可将函数sin y x x =-的图象（）A ．向左平移π2个单位长度 B ．向右平移π2个单位长度C ．向左平移π3个单位长度 D ．向右平移π3个单位长度 答案：A先通过辅助角公式进行化简，在利用诱导公式即可求解平移变化. 解：因为1cos 2cos 2sin 26y x x x x x π⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭又因sin 2sin 3y x x x π⎛⎫==-⎪⎝⎭因为2sin 2sin 632y x x πππ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数cos y x x =+的图象可由函数sin y x x =的图象向左平移2π个单位长度得到. 故选：A 点评：本题考查三角函数的图象，性质以及平移伸缩变换，考查学生的数学运算和逻辑推理能力.属于较易题目.6．向一块长度为4，宽度为3的矩形区域内，随机投一粒豆子(豆子大小忽略不计)，豆子的落地点到矩形各边的距离均不小于1的概率为（） A ．16B ．14C ．12D ．56答案：A到矩形各边的距离均不小于1的概率为矩形内长度为2，宽度为1的矩形区域，面积比即为概率. 解：豆子的落地点到矩形各边的距离均不小于1的概率为矩形内长度为2，宽度为1的矩形区域面积与原矩形的面积比，所以所求概率211436P ⨯==⨯ 点评：本题考查几何概型的概率计算，考查学生理解能力及数学运算能力,属于简单题目. 7．已知,m l 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列可以推出αβ⊥的是（）A ．,,m l m l βα⊥∈⊥B ．,,m l l m αβα⊥⋂=⊂C ．//,,m l m l αβ⊥⊥D ．,//,//l m l m αβ⊥答案：D根据选项逐一分析，一般根据面线顺序进行考虑，代入空间平行垂直证明定理即可. 解：对于A ，有可能出现,αβ平行这种情况，故A 错误； 对于B ，会出现平面,αβ相交但不垂直的情况，故B 错误； 对于C ，,,m l m l αβαβ⊥⊥⇒，故C 错误；对于D.,l m l m αα⊥⇒⊥，又由m βαβ⇒⊥，故D 正确 故选：D 点评：本题考查空间中的平行，垂直关系的判定，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力. 8．执行如图所示的程序框图，若输出的S 为154，则输入的n 为（）A ．18B ．19C ．20D ．21答案：B找到输出的S 的规律为等差数列求和，即可算出i ，从而求出n . 解：由框图可知，()101231154S i =+++++⋯+-=， 即()1231153i +++⋯+-=，所以()11532i i -=，解得18i =，故最后一次对条件进行判断时18119i =+=，所以19n =. 故选：B 点评：本题考查程序框图，要理解循环结构的程序框图的运行，考查学生的逻辑推理能力.属于简单题目.9．设()f x 和()g x 是定义在[],a b 上的函数，且图象都是一条连续不断的曲线.定义:()()()max ,d f g f x g x =-则"[]()000,()x a b f x g x ∃∈≠"是"(,)0d f g >"的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：C如果前面可以推出后面则充分性满足，后面可以推出前面必要性满足，所以依次假设代入判断即可. 解： 若[]()()000,,x a b f x g x ∃∈≠，则()()()()()00MAX ,0d f g f x g x f x g x =-≥->，所以充分性成立.反过来，若(),0d f g >，则[]()()()()00000,,0,x a b f x g x f x g x ε∃∈->≠即，所以必要性成立. 故选：C 点评：本题考查充分条件和必要条件的判断,关键点理解清楚题意根据假设能否推导出结论，属于较易题目. 10．已知3(π,π),2sin 21cos 22ααα∈=-，则tan 2α=（）A ．B ．32- C ．12- D ．-答案：D先根据二倍角公式和角的范围求出sin cos ，αα，再利用半角公式即可求解tan 2α.解：由2sin 21cos2αα=-，得24sin cos 2sin ααα= 因为3π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以sin 0,cos 0αα≠≠，所以sin 2cos αα=，又22sin cos 1αα+=，联立解得255 sincosαα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以()21sin sin cos sin sin512222tan121coscos cos1cos222αααααααααα+=====-++.故选：D点评：本题考查同角三角函数的基本关系二倍角和半角公式的应用,注意根据角所在范围进行根的判断，属于较易题目.11．已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>)的左，右焦点分别为12,F F，其右支上存在一点M，使得21MF MF⋅=,直线:0l bx ay+=，若直线2//MF l则双曲线C的离心率为（）A．2B．2 C．5D．5答案：C易得且1MF l⊥，从而l是线段1MF的垂直平分线求出直线1MF的方程与渐近线方程联立求出交点坐标，进而求得M坐标，根据勾股定理即可求解离心率.解：由12MF MF⋅=可得12MF MF⊥易知直线:0l bx ay+=为双曲线的一条渐近线，可知l的方程为by xa=-，且1MF l⊥，从而l是线段1MF的垂直平分线，且直线1MF 的方程为()ay x cb=+设1MF，与l相交于点(),N x y.由()ay x cbby xa⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得2axcabyc⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即2,a abNc c⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()1,0F c-，由中点坐标公式，得222,.a ab M c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭由双曲线性质可得122MF MF a -=①，由12MF MF ⊥得222124MF MF c +=②，①②联立，可得2122MF MF b ⋅=所以点M的纵坐标为2b c ，所以22b ab c c =即2b a =所以e == 故选：C 点评：本题考查双曲线性质的综合问题，考查数形结合思想，对于学生的数学运算和逻辑推理能力要求较高，属于一般性题目.12．设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，抛物线C 与圆22525:()416C x y +-='于,A B 两点，且AB =若过抛物线C 的焦点的弦MN 的长为8，则弦MN 的中点到直线2x =-的距离为（） A ．2 B ．5 C ．7 D ．9答案：B易得圆C '过原点，抛物线22y px =也过原点，联立圆和抛物线方程由AB 求得交点坐标，从而解出抛物线方程，根据抛物线定义即可求得弦MN 的中点到直线2x =-的距离. 解：圆:22525:,416C x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭'即为2252x y y +=,可得圆经过原点. 抛物线22y px =也过原点. 设()()0,0,,,0A B m n m >.由AB =可得225m n +=， 又2252m n n +=联立可解得2,1n m ==. 把()1,2B 代人22y px =，解得2p =，故抛物线方程为24y x =，焦点为()1,0F ，准线l 的方程为1x =-.如图，过,M N 分别作ME l ⊥于E ，NK l ⊥于K ，可得,MF ME NK NF ==，即有MN MF NF ME KN =+=+|. 设MN 的中点为0P ，则0P 到准线l 的距离11(|)422EM KNI MN +==， 则MN 的中点0P ，到直线2x =-的距离是415+=. 故选：B 点评：本题考查抛物线的几何性质，考查学生的分析问题，解决问题的能力，数形结合思想.属于一般性题目. 二、填空题13．在某歌唱比赛中，一名参赛歌手的得分为169，162，150，160，159，则这名歌手得分的方差为________. 答案：()18637.25五个歌手总分之和除以5得到平均数，再利用方差计算公式即可求解. 解：根据题意，歌手的得分为169，162，150，160，159，则这名歌手得分的平均数()11691621501601591605x =++++=， 方差28141001186.55s +++== 故答案为：()18637.25点评：本题考查数据的平均数，方差问题，考查学生的分析数据解决问题的能力.属于简单题目.14．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知460,2,3A a AC AB =︒=⋅=则ABC 的周长为________.答案：232根据向量积求得bc ，再利用余弦定理求得b c +，即可求得周长.解： 由43AC AB ⋅=，得4cos603bc ︒= 所以83bc =，又因2,60a A ==︒， 所以由余弦定理得222604b c bcos +-︒=， 即224b c bc +-=，所以()24312b c bc +=+=，所以b c +=所以2a b c ++=故答案为：2+ 点评：本题考查三角形周长，向量数量积以及余弦定理，注重对学生运算能力的考查.属于较易题目.15．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=-，且当(?1,0)x ∈)时1()25x f x =+，则()220f log =________.答案：1-先根据奇函数和()()2f x f x -=-，求得周期为4，再将220log 通过周期和奇偶性转化到区间()–1,0上代入表达式计算即可. 解：因为()y f x =是定义在R 上的函数，且()()2f x f x -=-， 所以()()()24f x f x f x =-+=+， 所以两数()f x 是周期为4的函数. 又由22241620325log log log =<<=，得()()()2222252020420164f log f log f log log f log ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭又因为函数()f x 是奇函数，所以2255log log .44f f ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又当()1,0x ∈-时，()12,5xf x =+所以25log 4251log 2145f -⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭ 所以()22255log 20log log 144f f f ⎛⎫⎛⎫==--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：1- 点评：本题考查函数的奇偶性，周期性，函数解析式以及函数求值问题，注重对学生运算能力的考查.属于较易题目.16．下图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后，左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直.则这个几何体的体积为________.答案：16232-该几何体体积等于两个四棱柱的体积和减去两个四棱柱交叉部分的体积，根据直观图分别进行求解即可. 解：该几何体的直观图如图所示，该几何体的体积为两个四棱柱的体积和减去两个四棱柱交叉部分的体积. 两个四棱柱的体积和为222432V =⨯⨯⨯=. 交叉部分的体积为四棱锥S ABCD -的体积的2倍. 在等腰ABS 中，2,SB SB =边上的高为2，则 6.SA =由该几何体前后，左右上下均对称，知四边形ABCD 6的菱形.设AC 的中点为H ，连接,BH SH 易证SH 即为四棱锥S ABCD -的高， 在Rt ABH中， 2.BH ==又AC SB ==所以1222ABCDS=⨯⨯=因为BH SH =，所以112233ABCDS ABCD V S -=⨯=⨯=四棱柱所以求体积为32232=-故答案为：323- 点评：本题考查空间组合体的结构特征.关键点弄清楚几何体的组成，属于较易题目. 三、解答题17．记数列{}n a 的前n 项和为S ，已知221n n S a n =-+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记224(1)log (4),33nn n b a ⎡⎤=-⋅+-⎢⎥⎣⎦数列n b 的前n 项和为n T ，求n T答案：（1）1322n n a -=⋅-；（2）,21,n nn T n n n⎧⎪⎪=⎨--⎪⎪⎩为偶数为奇数(1)根据1n n n a S S -=-得到n a 和1n a -的关系，再构造数列即可求解n a .(2)讨论n 的奇偶性代入即可求和. 解：（1）当1n =时，由221n n S a n =-+，可得111221a S a ==-+，即有11a = 当2n ≥时，()112212211n n n n n a S S a n a n --=-=-+-+--， 即为122n n a a -=+，可得()1222n n a a -+=+，显然，120n a -+≠. 所以数列{},2n a +是首项为3，公比为2的等比数列，则1232n n a -+=⋅，即有1322n n a -=⋅-（2）()()()()122241log 3221log 2133n n n n nn b n -⎡⎤=-⋅⋅+-=-⋅=-⋅⎢⎥⎣⎦ 当n 为偶数时()()(),12341,2n nT n n =-++-+++-++=当n 为奇数时，11122n n n n n T T b n ----=+=-= 综上可得，,21,n nn T n n n⎧⎪⎪=⎨--⎪⎪⎩为偶数为奇数点评：本题考查等比数列的通项公式以及前n 项和，对数的运算性质的综合问题，对数值n 的奇偶性进行分类讨论求解，考查学生的分类讨论思想和数学运算能力.属于一般性题目. 18．截至2019年，由新华社《瞭望东方周刊》与瞭望智库共同主办的"中国最具幸福感城市"调查推选活动已连续成功举办12年，累计推选出60余座幸福城市，全国约9亿多人次参与调查，使"城市幸福感"概念深入人心.为了便于对某城市的"城市幸福感"指数进行研究，现从该市抽取若干人进行调查，绘制成如下不完整的2×2列联表(数据单位:人).（1）将列联表补充完整，并据此判断是否有90%的把握认为城市幸福感指数与性别有关；（2）若感觉"非常幸福"记2分，"比较幸福"记1分，从上表男性中随机抽取3人，记3人得分之和为ξ，求ξ的分布列，并根据分布列求4ξ≤的概率附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.答案：（1）表格见解析，没有90%的把握认为城市幸福感指数与性别有关；（2）分布列见解析，23(1)根据题意补充完整表格，代入公式即可求得2K ，再和表格数据比较即可求解.(2)ξ的可能取值有3，4，5，6,分别求出概率，写出分布列，则()()()434P P P ξξξ==+=.解：（1）表格如下所示:因为()2230491160.6 2.70615151020K ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯所以没有90%的把握认为城市幸福感指数与性别有关 （2）由题可知，ξ的可能取值有3，4，5，6，则()36310136C P C ξ===，()()()21123646443331010101314,5621030C C C C C P PP C C C ξξξ⋅⋅=========， 所以ξ的分布列为 所以()()()2434.623P P P ξξξ==+==+= 点评：本题以生活实际为背景，考查独立性检验，随机变量的分布列以及概率问题，对学生的分析问题，解决问题的能力要求较高.属于一般性题目.19．在如图所示的几何体中，底面ABCD 是矩形，平面MAD ⊥平面ABCD ，平面MAB 平面MCD MN =，MAD ∆是边长为4的等边三角形，22CD MN ==.（1）求证：MN MD ⊥；（2）求二面角M BD N --的余弦值 答案：（1）见解析；（2）15(1)先证明AB ⊥平面MAD ，又MNAB ，从而证明MN ⊥平面MAD .即可得证.(2)以AD 的中点为O 为原点建立空间之间坐标系，标出点的坐标，求出平面MBD 的法向量为1n ，平面NBD 的法向量2n 代入公式即可求解. 解：（1）由底面ABCD 为矩形可得AB AD ⊥，又平面MAD ⊥平面ABCD ，平面MAD ⋂平面ABCD AD =，AB平面ABCD ，所以AB ⊥平面MAD因为,AB CD CD ⊂平面MCD ，AB ⊄平面MCD ，所以AB ∥平面MCD ， 而平面MAB平面MCD MN =，所以MNAB ，所以MN ⊥平面MAD .又MD ⊂平面MAD ，所以MN MD ⊥. （2）如图，设AD 的中点为O ，过O 作OHAB 交BC 于H .易知,,OA OH OM 两两垂直，以O 为原点，分别以,,OA OH OM 为,,x y z ，轴建立空间直角坐标系O xyz -则()()2,2,0,2,0,0B D -，((0,0,230,1,2,23M N ，所以()4,2,0BD =--，(2,BM =--，(2,1,DN = 设平面MBD 的法向量为()1111,,n x y z =.由1100n BD n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得11111420220x y x y --=⎧⎪⎨--+=⎪⎩可令13x =，可得(13,6,n =-设平面NBD 的法向量()2222,,.n x y z =由2200n BD n DN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得22222420220x y x y --=⎧⎪⎨--+=⎪⎩令21x =，可得()21,2,0n =-则121212cos(,443n n n n nn ⋅〉===⋅易知二面角M BD N --为锐角，所以二面角M BD N --的余弦值为4点评：本题考查立体几何中的垂直关系判定及二面角问题.考查学生的空间想象能力，逻辑推理能力以及运算能力.属于一般性题目.20．已知椭圆222:1(0)4x y C a a +=>的中心为原点O ，左焦点为F 不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C 交于,M N 两点. （1）若()2,1K 为线段MN 的中点，求直线l 的方程.（2）若点P 是直线x =Q 在椭圆C 上，且满足0PF QF ⋅=，设直线PQ 与直线OQ 的斜率分别为12,k k ，问:12,k k 是否为定值?若是.请求出12,k k 的值；若不是，请说明理由.答案：（1）89250x y +-=；（2）是定值，49-(1)根据离心率和224a c =+求出椭圆方程，根据点差法求得斜率，即可求解直线l 的方程.(2)设点()00,,P t Q x y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,根据0PF QF ⋅=和点()00,Q x y 在椭圆C 上表示出12k k 化简即可求解. 解：（1）设椭圆C 的半焦距为c，由题意可得224c a a c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得3a =故椭圆C 的方程为22194x y +=设()()1122,,,M x y N x y ，易知12x x ≠由于点,M N 都在椭圆上，所以22112222194194x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩所以222221210.94x x y y --+= 因为()2,1K 为线段MN 的中点，所以()()212121214899MN x x y y k x x y y +-==-=--+故直线l 的方程为()8129y x -=--，即89250x y +-=. （2）由（1）可知，直线255x =-=-,点()F设点()00,,P t Q x y ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，易知00x ≠.因为0PF QF ⋅=所以()00,0t x y ⎛⎫-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭，得004ty x = 因为点()00,Q x y 在椭圆C 上，所以2200194x y +=即2200419x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以2200012044449x y k x k ---====- 所以12k k 的值是定值，且值为49- 点评：本题主要考查向量与椭圆方程结合的综合问题及与直线结合的斜率之积的求解问题，对学生的运算求解能力和分析问题、解决问题的能力要求比较高.属于较难题目. 21．已知()2124()x f x e ax a R -=+∈.（1）若1a e=，求()f x 在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若()f x 在[]1,2上的最大值为33e ，求a 的值.答案：（1）14e ；（2）38e a =(1)先求出切线方程从而得到在坐标轴上的截距，即可求得面积. (2)先求导后()21'44x f x ea -=+，讨论0a ≥和0a <不同情况()f x 在[]1,2上的最大值位置不同进行求解即可. 解：（1）由题易知()2142x f x ex e -=+可得()2'144x f x e e-=+ 则()()11,'0802f e f e --==则切线方程为1128y ee x ---=令0x =可得12y e -=，令0y =可得14x =-所以切线与两坐标轴围成的三角形面积为11112244S e e-=⋅⋅-= （2）()21'44x f x ea -=+.(i)当0a ≥时()0f x >，故()f x 在[]1,2上单调递增，所以()f x 在[]1,2上的最大值为()332283f e a e =+=所以38ea =.(ⅱ)当0a <时，由()0f x '=可得()1ln 12x a ⎡⎤=-+⎣⎦. ①当1[ln()1]12a -+≤，即0e a -≤<时，()f x 在[]1,2上单调递增，所以()f x 在[]1,2上的最大值为()332283f e a e =+=所以308ea =>舍去，②当()1ln 12,2a ⎡⎤-+⎣⎦即3a e ≤-时()f x 在[]1,2上单调递减， 所以()f x 在[]1,2上的最大值为()31243f e a e =+=，所以33142a e e =-不满足3a e ≤-，舍去 ③当()11ln 122a ⎡⎤<-+<⎣⎦，即3e a e -<<-时，在 ()11,ln 12a ⎡⎤⎡⎤-+⎣⎦⎢⎥⎣⎦上()0f x '<，在()1ln 1,22a ⎡⎤⎡⎤-+⎣⎦⎢⎥⎣⎦上()0f x '>.所以()f x 在()11,ln 12a ⎡⎤⎡⎤-+⎣⎦⎢⎥⎣⎦单调递减，在()1ln 1,22a ⎡⎤⎡⎤-+⎣⎦⎢⎥⎣⎦上单调递增， 由上面分析可知，当3e a e -<<-时,()2f 不可能是最大值.()()3124,228f e a f e a =+=+由()()()32142e e 0f f a -=+-<可得311a e e 22<- 此时()()()21,f f f x <的最大值()31243e f e a =+= 所以331e e 42a =-，不符合311e e 22a <-.舍去. 综上可知，38e a =点评：本题考查利用求导法求解函数的切线方程，函数在区间上的最值及参数的值，对学生的分类讨论思想，化归与转化以及运算求解能力要求较高.属于较难题目.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方2cos 2sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（其中t 为参数，[0,π)α∈)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2.sin ρθ=（1）若点(),P x y 在直线l 上，且24x yx y +=-+求sin α的值；（2）若4πα=求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值.答案：（1）10；（2）12+ （1）设点()2,2P tcos tsin αα-++代入4x yx y +-+进行化简即可求得sin α的值.(2)先求出曲线C 和直线l 的直角坐标方程，最远距离即是圆心到直线的距离加上半径. 解：（1）设点()2,2P tcos tsin αα-++，则sin cos sin cos 24cos sin cos sin x y t t x y t t αααααααα+++===-+--整理可得3sin cos αα=，再结合[)221,0,πsin cosααα+=∈，可得sin 10α=（2）曲线C 的方程可化为22sin ρρθ=化成普通方程可得222x y y +=，即()2211x y +-= 曲线C 表示圆心为()0,1C ，半径为1的圆. 直线l 的参数方程化成直角坐标方程为40x y -+=.圆心C 到直线l 的距离2d ==则曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为12+ 点评：本题考查直线的参数方程和圆的极坐标方程，考查学生的化归与转化能力，运算求解能力.属于一般性题目.23．已知()12()f x x ax a a R =---∈. （1）若1a =，求()f x 的值域；（2）若不等式()4f x x ≥-在[)2,9x ∈上恒成立，求a 的取值范围. 答案：（1）[1,1]-；（2）33,77⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ (1)由绝对值不等式可得()()()1212f x x x x x =---≤---即可求解.(2)由()4f x x ≥-在[)2,9x ∈上恒成立化简得()23a x -≤恒成立，分离参数即可求解.解：（1）当1a =时()12f x x x =---.所以()()()|12|121f x x x x x =---≤---=， 所以()11f x -≤≤，即()f x 的值域为[]–1,1. （2）当29x ≤<时()()12f x x a x =---. 由()4f x x ≥-可得()23a x -≤. 当2x =时，不等式显然成立； 当29x <<时，可得3||2a x -当()2,9x ∈时，3327x >-，故只需37a 即3377a -所以a 的取值范围是33,77⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 点评：本题考查绝对值不等式解法，函数的值域，以及含参不等式恒成立问题，考查学生的化归与转化思想.属于较易题目.。
河南省焦作市数学高三理数质量监测(三)试卷
河南省焦作市数学高三理数质量监测（三）试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高三下·绍兴开学考) 集合A={y∈R|y=2x}，B={﹣1，0，1}，则下列结论正确的是（）A . A∩B={0，1}B . A∪B=（0，+∞）C . （∁RA）∪B=（﹣∞，0）D . （∁RA）∩B={﹣1，0}2. （2分） (2017高二下·沈阳期末) 设复数Z满足，则的共轭复数（）A .B .C .D .3. （2分）刘徽是我国古代最伟大的数学家之一，他的（）是极限思想的开始，他计算体积的思想是积分学的萌芽．A . 割圆术B . 勾股定理C . 大衍求一术D . 辗转相除法4. （2分） (2017高三上·太原月考) 已知函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a＝，b＝f(2)，c＝f(3)，则a ， b ， c的大小关系为（）A . c<b<aB . b<a<cC . b<c<aD . a<b<c5. （2分）(2017·广州模拟) 将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）A . 最大值为1，图象关于直线x= 对称B . 在（0，）上单调递减，为奇函数C . 在（﹣，）上单调递增，为偶函数D . 周期为π，图象关于点（，0）对称6. （2分）(2017·衡阳模拟) 执行如图所示的程序框图，若输出的S值为﹣4，则条件框内应填写（）A . i＞3？B . i＜5？C . i＞4？D . i＜4？7. （2分） (2018高二下·集宁期末) 从8名女生4名男生中,选出3名学生组成课外小组,如果按性别比例分层抽样,则不同的抽取方法数为（）A . 112种B . 100种C . 90种D . 80种8. （2分）(2018·河南模拟) 已知四棱锥的三视图如图所示，则四棱锥外接球的表面积是（）A .B .C .D .9. （2分）在△ABC中，若，，此三角形面积，则a的值是（）A .B . 75C . 51D . 4910. （2分） (2016高二上·桐乡期中) 设一个球的表面积为S1 ，它的内接正方体的表面积为S2 ，则的值等于（）A .B .C .D .11. （2分）(2020·定远模拟) 已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且直线与圆交于两点.若，则直线的斜率为（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·南阳模拟) 使log2（﹣x）＜x+1成立的实数的取值范围是（）A . （﹣∞，1）B . （﹣∞，0）C . （﹣1，+∞）D . （﹣1，0）二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）(2016·新课标Ⅲ卷文) 设x，y满足约束条件，则z=2x+3y﹣5的最小值为________．14. （1分） (2017高二上·佳木斯期末) 在2017年3月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某种商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：价格99.51010.511销售量1110865由散点图可知，销售量与价格之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是：，则________．15. （1分）已知，则不等式的解集为________．16. （2分）(2018·浙江学考) 已知函数，则的最小正周期是________，的最大值是________.三、解答题 (共7题；共55分)17. （10分） (2015高三上·唐山期末) 已知数列{an}是公差不为0的等差数列，数列{bn}是等比数列，且b1=a1=1，b2=a3 ， b3=a9（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an•bn}的前n项和Sn．18. （10分）(2016·黄山模拟) 如图是两个独立的转盘（A）、（B），在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、180°．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘（A）指针所对的区域为x，转盘（B）指针所对的区域为y，x、y∈{1，2，3}，设x+y的值为ξ．（1）求x＜2且y＞1的概率；（2）求随机变量ξ的分布列与数学期望．19. （5分）(2017·自贡模拟) 如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC 且AB⊥BC，（Ⅰ）求证：AC⊥A1B；（Ⅱ）求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．20. （5分） (2018高二上·西城期末) 已知椭圆的一个焦点为，离心率为 . 点为圆上任意一点，为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）记线段与椭圆交点为，求的取值范围；（Ⅲ）设直线经过点且与椭圆相切，与圆相交于另一点，点关于原点的对称点为，试判断直线与椭圆的位置关系，并证明你的结论.21. （10分） (2017高二下·衡水期末) 已知函数f（x）=ln（x+1）+ax2 ， a＞0．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）在区间（﹣1，0）有唯一零点x0，证明：．22. （10分） (2016高二下·新洲期末) 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．（1）若A，B为曲线C1，C2的公共点，求直线AB的斜率；（2）若A，B分别为曲线C1，C2上的动点，当|AB|取最大值时，求△AOB的面积．23. （5分）已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣a|（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＜1的解集；（Ⅱ）若f（x）的最大值为6，求a的值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。
2019届河南省焦作市高三第三次模拟考试数学(理)试题(解析版)
属于基础题.
4．为了得到函数 以为（ ）
的图像，需对函数
的图像所作的变换可
A．先将图像上所有的横坐标压缩为原来的 ，纵坐标不变，再向右平移 个单位
B．先向左平移 个单位，再将图像上所有点的横坐标压缩为原来的 ，纵坐标不变
C．先向左平移 个单位，再将图像上所有点的横坐标压缩为原来的 ，纵坐标不变
D．先向右平移 【答案】B
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】利用程序框图的功能，进行模拟计算即可．
【详解】
程序的功能是计算 S＝1sin +3sin +5sin+ …＝1﹣3+5﹣7+9+…+， 则 1011＝1+505×2＝1﹣3+5﹣7+9+…
则第 1011 个奇数为 2×1011﹣1＝2021 不成立， 第 1012 个奇数为 2×1012﹣1＝2023 成立， 故条件为 i＞2022？， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查程序框图的应用，利用程序框图的功能是解决本题的关键，属于基础题. 11．在棱长为 4 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，点 E、F 分别在棱 AA1 和 AB 上，且 C1E⊥EF， 则|AF|的最大值为（ ）
∵圆 C：（x﹣ ）2+y2＝4 的半径为 2， ∴|NC|＝2，根据抛物线定义可得：|NA|＝|NC|＝2．∵A，B，M，N 为同一个矩形的四
个顶点，∴点 A，N 关于直线 x＝ 对称，即
＝
＝2，∴2p＝2，则 E 的方程为 y2＝2x．
故选：C．
，∴
，∴|NA|
【点睛】 本题考查了抛物线的定义与圆的性质的应用，考查了转化思想，平面几何知识，属 于中档题． 8．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合 撰的《京地景物略》一书中才正式出现，如图所示的网格纸中小正方形的边长均为 ， 粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（ ）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
河南省焦作市高考三模数学试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2018高一上·大庆期中) 已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则M∩N＝（）．
A . {1,2}
B . {2,3}
C . {1,2,3,4}
D . {1,4}
2. （2分）复数，则图中表示的共轭复数的点是（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分）命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）
A . 不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0
B . ∃x0∈R，﹣+1≥0
C . ∃x0∈R，﹣+1＞0
D . ∀x∈R，x3﹣x2+1＞0
4. （2分）公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于（）
A . 18
B . 24
C . 60
D . 90
5. （2分） (2019高一下·吉林期末) 圆：被直线截得的线段长为（）
A . 2
B .
C . 1
D .
6. （2分） (2019高二上·水富期中) 某几何体的三视图如图所示，设正方形的边长为，则该几何体的表面积为（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分） (2016高三上·黑龙江期中) 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象的一条对称轴方程可以是（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分）执行如图所示的程序框图，则输出的s的值是（）
A . 7
B . 6
C . 5
D . 3
9. （2分）(2020·新课标Ⅱ·理) 设O为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则C的焦距的最小值为（）
A . 4
B . 8
C . 16
D . 32
10. （2分） (2016高二下·黄骅期中) 对任意实数x，若不等式|x+2|+|x+1|＞k恒成立，则实数k的取值范围是（）
A . k＞1
B . k=1
C . k≤1
D . k＜1
11. （2分）正方体的内切球，与各棱相切的球，外接球的体积之比为（）
A . 1：2：3
B .
C .
D .
12. （2分） (2019高三上·石城月考) 已知，若关于的方程恰有两个不同实根，则实数的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）(2016高二下·高密期末) 若（1﹣2x）9=a9x9+a8x8+…+a2x2+a1x+a0 ，则a1+a2+…+a8+a9=________．
14. （1分）(2019·中山模拟) 已知向量夹角为，且，则
________.
15. （1分） (2019高二上·会宁期中) 已知数列的前n项和 = -2n+1,则通项公式 =________.
16. （1分）已知函数 f（x）=ax3+f'（2）x2+3，若 f'（1）=﹣5，则a=________．
三、解答题 (共7题；共60分)
17. （10分） (2017高一下·盐城期中) 在三角形ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，a=7，c=3，且．
（1）求b；
（2）求∠A．
18. （5分） (2018高三上·昭通期末) 某研究机构为了解中学生的学习习惯，对某校高中部和初中部学生分别进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
有自学习惯没有自学习惯合计
高中学生18060240
初中学生6040100
合计240100340
(I)根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0．010的前提下认为是否有自学习惯与是初中生还是高中生有关；
(II)用样本估计总体，从该校有自学习惯的学生中，随机抽取4人，记其中高中生人数为X，求X的分布列及数学期望E(X)．参考公式
附表：
P(K2≥氏)0.150.100.050.0250.0100.0050.001
‰ 2.072 2.706 3.8415,024 6.6357.87910.828
19. （5分）(2019·河南模拟) 如图，在四棱锥中，且
和分别是棱和的中点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值.
20. （10分）(2020·南通模拟) 如图，点分别为椭圆的左､右顶点和右焦点，过点F的直线交椭圆C于点 .
（1）若，点F与椭圆左准线的距离为5，求椭圆C的方程；
（2）已知直线的斜率是直线MA斜率的倍.
①求椭圆C的离心率；
②若椭圆C的焦距为2，求面积的最大值.
21. （10分）(2018·徐州模拟) 已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数的取值范围．
22. （10分）已知直线l在直角坐标系xOy中的参数方程为为参数，θ为倾斜角），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，在极坐标系中，曲线的方程为ρ﹣ρcos2θ﹣4cosθ=0．
（1）写出曲线C的直角坐标方程；
（2）点Q（a，0），若直线l与曲线C交于A、B两点，求使为定值的值．
23. （10分）已知函数f（x）=x2﹣|x2﹣ax﹣2|，a为实数．
（1）当a=1时，求函数f（x）在[0，3]上的最小值和最大值；
（2）若函数f（x）在（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共7题；共60分)
17-1、
17-2、
18-1、
19-1、
20-1、
21-1、
21-2、22-1、
22-2、23-1、
23-2、。