函数单调性的教学案例

函数单调性的教学案例

西安市培华职业中专王买霞

【学生】职一某班.

【教学环境】电脑教室，每生一台机，教师机可以控制学生机，例如观察某一台学生机学生的操作，让某一学生机学生观看教师机的操作，让所有学生观看教师机的操作，等等。

【理论指导】建构主义学习理论强调的是学生的认知主体作用，也就是认为学生是信息加工的主体，是意义的主动建构者，教师扮演组织者、指导者、帮助者和促进者的角色。

数学课堂生态化研究，强调的是一种动态的、生长的、可持续发展的课堂教学氛围，而不是以牺牲学生个性为代价追求效率的做法。数学课堂生态化研究，注重在教学过程中，教师、学生、内容和环境各个要素内部以及各个要素之间的相互沟通。

多媒体信息具有直观性强的特点，对学生形成多感官刺激，能引起学生的强烈兴趣和注意。利用多媒体的交互性，学生获得了对信息的完全控制，能激发学生的求知欲、创造欲。所以，以学生为中心、教师为主导的多媒体辅助教学往往能营造出一个让学生发现问题、讨论问题的全新的学习环境。

【构想及教学目的】在建构主义学习理论及生态学理论的指导下，我们的课堂教学应该为学生创造一个全新的学习环境，指导学生自主学习，让学生更注重知识的发生过程，为学生营造出一个在体验中发现、在发现中讨论、在讨论中解决的学习环境。为了深入学习函数单调性，我利用电脑辅助，创设问题情境，激发学习兴趣，让学生在充实背景下分析问题，思考问题，从而发现规律，抓住问题的本质。

本节课的教学目的是：

(1)要求学生掌握函数单调性的定义，并激发学生思考函数单调性的判断方法。

(2)渗透数形结合思想，了解数形结合方法。

【教学过程】

创设情境引入新课

师：上节课，我们学习了函数的三种表示法，分别为：

(师语音拉长，师生一块儿回答) 生：列表法、公式法、图像法。

师：它们的区别是什么？生：列表法就是用表格来表示函数的方法；公式法是用函数解析式来表示函数的方法；图像法是使用平面直角坐标系里的图形来表示函数的方法。

师：这三者之间又有密切的联系，它们之间可以相互转化。我们要研究一个函数，可

以由解析式来研究，还可以由图像来研究，这就是我们前面接触过的数形结合思想。

在生活中，很多现象都绘制成一个图像，我们可以根据图像来研究它们的规律，如：电视上经常看到的股市行情图，根据股市的行情图来估计某种股票在未来几天的走势等等，可见研究图像是非常必要的。

合作交流探索新知

这节课我们就来研究一下函数图像的性质。

我们先来研究一下y=x2, R的图像有什么特点？

为了研究这个问题，打开《几何画板》，完成以下步骤：

(1)用图表菜单建立直角坐标系。

(2)用选择工具选中x轴，再用作图菜单中的对象上的点，取X轴上的活动点A (它的

横坐标表示自变量X )。

(3)利用度量菜单的横坐标功能和计算功能分别计算出点A的横坐标x A及x2的值，并

用文本工具将其标签分别改为x, y。

(4)利用图表菜单的绘制点功能绘制点 B x, y，最后用选择工具选中点B,用显示菜单

中追踪绘制的点，用鼠标拖动点A,便可得到二次函数的图像y = x2,x ER的图像。

师：请同学们用鼠标拖动点A,观察抛物线是怎样变化的？，x,y的值又是怎样变化的？

生甲：点A由原点开始，越往左，点越咼；越往右，点也越咼，所以从整体看点是越来越高。

师：同学们觉得他说的对不对呢？

（部分同学说对，部分同学不说话，感到有些疑惑）

甲同学所说的前半部分是完全有道理的，但最后的结论就有一点小小的问题？注意他观

察的视线是怎样变化的？

生乙：它是从中间观察的，先向左看，再向右看。

师：对，我们研究任何事物都要遵循一定的规律，观察图像要方向一致，我们可以采

取从左向右看。

生丙：点A由左向右的运动中，图像的整体先下降，后上升，图像的左边那部分整体是下降的，随着x 的增大，函数值y在减小；图像的右边那部分整体是上升的的，随着x的增大，函数值y在增大。

师：我们研究的函数y=x2，其定义域为R，同学们所说的两个部分可以认为是定义域内的两个区间，区间-：：,0〕和0, ?::。在区间」：，0〕内，函数从左到右是一段下降的

曲线，随着x的增大，函数值y在减小，则称函数y=x2在区间」：,0 1上是严格递减的。在区间0, ?：：内，函数从左到右是一段上升的曲线，随着x的增大，函数值y在增大，则

称函数在区间0, 上是严格递增的。

提出问题：如何将它转化为数学语言呢？

（学生讨论）

提示：打个比方，如果你组织班里的同学从左到右按由高到低排成一队，你如何来证明

你是按照这样的顺序排的呢？

学生甲：我们可以从此队中取两位同学来测量高度，只要取的那两位同学，左边同学身

高〉右边同学身高，就可以说明我是按照从左到右由高到低排的队。

学生乙：那两位同学符合但其他同学呢？所以那两位同学不具有代表性。

学生甲：那你可以随便取。

师：“随便取”用我们数学的语言来说就是一一“任意取”。(提示甲)你试着用数学的

语言来重新叙述你的观点

学生甲：我们可以从此队中任意取两位同学来测量高度，只要任意取的那两位，左边同

学身高>右边同学身高，就可以说明我是按照从左到右由高到低排的队。

师：“在区间-：：,0 ],随着x的增大，函数值在减小”如何用数学语言描述呢？

学生丙：受刚才那个例子的启发，要说明在区间一：：，0 ]内所有点的x增大，y都减小, 我们可以在这个区间内任意取x-i, x2，当为：：:X2时，都有f(xj ? f(x2)，那么这个问题就解决了。

总结深化得出概念

我们得到以下概念

教师打出第一张PowerPoint幻灯片

1.设函数f (x)的定义域为A,区间I二A,如果对于任意的x1, x^ I，当x( ：：：x2时, 都有

f(X i) ：：f(X2), (1)

则称函数f (x)在区间I上是严格递增的。(或者说函数f (x)在区间I上是增函数)

称区间I是单调上升区间。

2.设函数f (x)的定义域为A,区间I A,如果对于任意的x1,x^ I，当x, ：：：x2时, 都有

f(X i) f(X2), (2)

则称函数f(x)在区间I上是严格递减的。(或者说函数f (X)在区间I上是减函数) 称区间I是单调下降区间。

说明：如果在(1)中把“ <”换成“叮’则称函数f(x)在区间I上是递增的。

如果在⑵中把“ >”换成“ _”则称函数f (X)在区间I上是递减的。

3.如果函数f (x)在定义域上是递增的(或递减的)则称 f (x)是单调函数。

如果函数f (X)在定义域上是严格递增的(或严格递减的)则称 f (X)是严格单调函数。

4.函数在某个区间上是递增或递减的性质统称为函数的单调性。

注：函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。

提出问题课后思考

教师打出第二张PowerPoint幻灯片

思考：函数y = -x2

①在-：：,0 1内是否具有单调性呢？若有，它是单调递增还是单调递减

②在0, v内呢？

③在整个定义域内也具有单调性呢？

（带着思考结束函数单调性的概念教学，相信这个问题学生可以自己解决。）

课后记这两年我在多媒体教学方面做了很多努力，收效也很好。我由原来课前做好课

件到边上课边做课件的转变，更进一步的体会到多媒体并不只是老师“教”的工具，也是学生“学”的工具，虽然上课的内容少一点，但是学生对此有极高的兴趣，而兴趣是学生参与的最可贵的原动力。

讨论判断函数单调性的方法的活动课

学习的本质是一种认知过程，认知心理学表明学生的知识形成过程是外来的信息与学生

原有知识和思维结果相互作用的过程，学生的数学能力是通过活动作为中介形成的，在活动中进行思考，在思考中进行活动是青少年的一个重要心理特征。

为了使学生更好的理解函数单调性的概念，学会判断函数的单调性的方法，我决定上两

节活动课，考虑到在活动课中，学生活动不能盲目的忙碌、活跃，而应有目的的进行，所以我在上完第一节函数单调性的概念之后，就给每个学生发2张作业纸，并告诉学生，在下一

节课时，我们将讨论这些问题，请同学们课后自己思考，这样就使他们明确活动的目的。

在活动课中，学生自由组合成组，并分工合作，有记录员，专门记录本组成员的想法及思路；有组织者，专门负责小组活动中讨论问题的顺序；有总结者，专门负责总结本小组活动后对各个问题的见解，并写出参考答案；有解说员，专门负责把本组的参考答案解说给全班同学，这样有利于学生发挥各自的想象力及特长。另外为了使各个小组之间有相互交流分

享活动结果的机会，在讨论结束后，让各组的解说员站在讲台上，来讲解他们的参考答案。要求解说员不能单纯的读参考答案，必须向老师讲课一样，讲给大家听，让他们扮演一回小

老师，其他同学对不理解的地方可以提出问题，让解说员来解答，这样不仅能锻炼学生的思

维能力及表达能力，还可以使他们在讲解中发现问题，从而更好地解决问题。

不会激励学生的老师不是好老师，激励是学生创新精神和能力的生长剂，是活跃课堂心

理环境的催化剂。所以，在学生讨论时，我鼓励学生大胆的提出自己的见解，并注意捕捉学生身上的“闪光点”及时地给予表扬，使每个学生能够体验到成功的喜悦。我的赞扬语主要有：很好！，非常好！，非常精彩！，真了不起！你真棒！注意在赞扬中的语气要饱含激情，让学生听了之后感到很振奋，并对自己充满信心。在鼓励之后，给他们提示存在的问题，但我是不会直接给予答案的。美籍匈牙利的数学家和数学教育家乔治?波利亚(George Polya)

对我们教师提出的十诫之一是：不要立刻透漏你的秘密一一让学生在你说出来之前先去猜，尽量让他们自己找出来。

本次活动课的课时安排为2课时

活动1 (作业纸1)

问题1同学们主要采用了以下几种方法：

1.通过在本子上画出函数g(x) =2x_1在区间(-：：，?：：)上的图像来观察它从左到右的是上升的

直线得到它在这个区间内是是增函数

2.通过利用《几何画板》软件作出函数g(x)=2x_1在区间(_：：,?：：)上的图像，禾【J用图像上一点动态的观察得到结论。

这个问题的解决比较容易一些，大部分同学都采用了第一种方法，因为同学们对于它的

图像比较熟悉，第一种方法比较简单，但还有一部分同学采取了第二种方法，这部分同学通

过上节课的学习，对《几何画板》产生了极大的兴趣，发现原来计算机除了可以上网，打游戏外还有这样的用途一一可以用来学习数学。

从学生的行动及表情上可以看出他们在作出这个问题之后，内心充满了喜悦，对自己也

有了极大的信心，准备攻克问题2。

问题2是研究一次函数一般形式的单调性的问题。我们研究事物经常采取由特殊到一

般的思维过程，问题2就体现了这样的思想。

问题1是由图像得到函数的单调性，同学们想到对于问题2是否也可以用同样的方法来

解决呢？函数f(x)二kx，b(k =0)的图像可以作出来吗？同学们展开了讨论，有的同学说，题目中没有告诉具体的k值，无法作出图像，有的同学说，可以讨论k值当k 0时，函数肯定过一、三象限，当k ： 0时，函数肯定过二、四象限，这样就可以大致画出函数的图像了。另一个同学说：数学要讲究严密性，什么是“大致”？(我在上课时经常提到“数学要讲究严密性”没想到居然用到了这里，可见我们作为老师你每讲一句话都可能影响到学生，所以上课一定要注意自己的语言)

那么应该如何判断函数的单调性呢？这样就给学生又设置了一个悬念，此时，有的组的

同学想到，数学中的定义既可以看作性质，又可以当作判定，那么是否可以用定义来判定呢？于是，他们就开始了新的讨论。有的组仍然用图像来做，给k取值当k=1时、当k = 2时、

当k = 3时、当k = -1时、当k = -2时、当k = -3时，由这些特殊的情况总结出一般的情况，实际上他们采取的是数学归纳法的思想方法，这使我想到，是否可以由这个问题给他们讲一下数学归纳法呢？此时讲，这组的同学一定会听得非常认真，因为这是他们发现的知识。

问题3在问题2的基础之上，问题3似乎已不成问题了，所以有大部分同学已经放松了

警惕性，他们先研究者这个函数的定义域是-：：,0 一0, ?::，各组仍然按照问题2的思

路来做，他们在做的过程中，发现这个问题也需要讨论，通过讨论之后，他们很快得到了结论。

1 某一组的解说员在讲解这个题时说：经过我们组的讨论，反比例函数f(x) 在区

x

间-:：,0上是严格单调递减的，在区间0, ?二上也是严格单调递减的，所以反比例函数

1

f(x) 在整个定义域内也是严格单调递减的。(这一组采用的是利用定义证明) x

用图像来观察的另一组的一位同学发现问题了，他发现当x^ -1时y^ -1，当x2 = 1

时y^1，得到花：：：x2，y^：： y2这好像不符合函数是严格单调递减的定义，但好像又找不到错误的原因，这个学生是比较内向的学生，思维是非常严谨的，他没有象有些学生，大胆的向解说员提出问题，而是低声叫了一声老师，然后，我走了过去，他向我提出了疑问，在我的一再鼓励之下，他站起来向大家说出他的见解，课后，他告诉我，他这次虽然讲的不好，但他非常高兴，应为他战胜了自己。

那位同学提出问题后，同学们又陷入了沉思！

问题4是在前三个问题解决的基础上才提出来的，前三个问题是通过他们自己的努力得

到的，所以第四个问题就较好解决了，学生们在完成这个问题的讨论之后，脸上露出了甜美

的微笑，这微笑中不但包含着他们对成功的喜悦，还包含着他们对未来的希望，我觉的，学生此时的微笑是最灿烂的！

活动2 (作业纸2)是属于社会实践的问题，

学生在完成了前两节课之后，我给学生留了一个星期的时间来完成“统计数据、作出图像、分析图像、得出结论”这些工作。

我原估计，很多同学可能都只做第一题，第二题根本不做。

一个星期之后，结果完全出乎我的意料，第一题是每位同学都做了，并且做得非常好。

第二题也几乎每一位同学都做了，更出乎我的意料的是，他们的想法已经涉及到了各个领域，有的做了一个我国人口随时间变化的曲线图，通过图像来分析我国在各个时期的人口变化状况，并提出他对这个问题的观点；有的做了我市在去年一年中，青少年作案的次数随着月份的变化的曲线图；有的同学作出了身高随年龄变化的曲线图；有的同学利用物理知识，作了竖直上抛运动，位移随时间的变化图；可见，学生为了这个问题还是下了一定的功夫，而又是什么促使他们这样去做呢？我想还是兴趣吧！值得一提的是还有一位同学，作了我国在近几年中，爱兹病人数变化图，多么贴近生活，也多么去大胆，这是我的第一感觉，在现在这个社会，连很多大人都不愿意提及的话题却从我们的学生口中出现，这多么值得我们去珍惜呀！

学生在讲解的过程中，从语言及思路上都比一个星期前有了一定的进步。数学应用意识是潜伏在学生头脑中的，它需要那种“随风潜入夜，润物细无声”的潜移默化的教育，但是除了这种静悄悄的进行外，特别在课堂这一层面上，我们更应当提倡在“轰轰烈烈”的气氛中展示他们各自的才华，而这样做往往会收到意想不到的效果。

作业纸1:

1函数g(x) =2x_1在区间(」：，?：：)上是增函数还是减函数？你是如何判断的?

2函数f (x) = kx b(k = 0)在区间(-处，?：：)上是否具有单调性呢？若有单调性，它在那个区间是增函数还是减函数？

1

3反比例函数f(x) 在他的定义域内是否具有单调性呢？可以证明你的结论吗?

x

4由以上问题可以总结出判定函数在某个区间上的单调性的方法吗?

作业纸2：

1 利用温度计记录下你们家一天温度的变化并绘制成图像，以时间为轴，自己当

x 轴，以温度为y 一回解说员，给大家描述一下你家温度变化的情况。

2 在你的身边，还有哪些现象和我们学习的函数单调性有关呢？试着描述一下，并说明你对这个现象的见解。