抽样推断中比例估计的几种方法及比较

t n-t
已有：
P
（T=k|S）
=
CkCN-k
N+t-n
Σ t n-t CkCN-k
k=t
k=t， t+1， …， N＋t-n。
Σ Σ Σ Σ 与第二种情况类似， P T＝
N＋1 n
t
|S
取到最大
值。
Σ Σ 得： T＾4=
N＋1 t n
Σ Σ 相应的P＾4=
N＋1 n
t
/N≈
t n
=p。
3.5 基于模型、 频率学派、 矩估计
服从一定的概率分布。
在只知道总体单元数为N， 没有其他信息的情
况下， T的先验分布为离散均匀分布：
P
（T＝k）
=
1 N＋1
，
k＝0，
1，
2，
…，
N。
这等价于的先验分布也为离散均匀分布：
≈ ≈ P
P=
k N
=
1 N＋1
，
k＝0，
1，
2，
…，
N。
注： 这不同于 [0， 1] 之间的连续均匀分布。
事件S为 “样本中具有该特征的个数为t”
可见： 基于设计的理念认为总体取值是确定的， 立足于抽样设计， 考察在一定的抽样设计下， 如何 用随机样本去推断确定总体； 基于模型的理念认为 总体取值是随机的， 立足于总体之上 “超总体” 的 模型假定， 考察在一定的模型假定下， 如何用得到 的量去推断未得的量以及未知的参数。
值得注意的是， 两种理念下， 估计量本身的内 涵就不一样， 对估计量期望或方差的解释也不一样。
。
根据全概率公式， 还有：
乙b t t
n-t
P （a≤θ≤b， S） ＝ a Cnθ （1－θ） dθ。
所以， 条件概率：
P
（a≤θ≤b|S）
=
（a≤θ≤b， P （S）
S）
btt
n-t
乙 乙 ＝
a Cnθ （1－θ）
1tt
dθ
n-t
=
（n+1）
t
Cn
bt
n-t
θ （1－θ） dθ
a
乙0Cnθ （1－θ） dθ
所以， θ 的后验分布密度为：
tt
n-t
f （θ｜S） ＝ （n+1） Cnθ （1－θ） 。
根据后验分布进行推断， 以该后验分布的期望
在不放回简单随机抽样下， 采用的简单模型是：
≈1 具有该特征
Yi= 0 不具有
， i=1,2,…,N，
抽样推断中比例估计的几种方法及比较
N
Σ 则 T= Yi； P=T/N i=1
并且， Yi 看作随机变量， 独立同分布， 服从两 点分布：
P （Yi＝1） ＝θ； P （Yi＝0） ＝1－θ。 并有： T 服从二项分布 T～B （N-θ）
作者简介： 艾小青 （1982 年生）， 湖南人， 北京工业大学经管学院讲师， 研究方向： 应用统计。
1 引言 在简单随机抽样下， 如何利用样本去估计总体 比例， 本文通过这个简单的问题， 揭示了两大抽样 理念 “基于设计和基于模型”， 两大统计学派 “频率 学派和贝叶斯学派” 和两种主要估计方法 “矩估计 和极大似然估计” 在抽样推断中的应用及特点。 比例相当于目标变量取值为 0 或 1 的均值， 总 体单元数为 N， 总体中具有某特征的个数为 T， 比 例为 P=T/N。 在样本量为的不放回简单随机抽样下， 设样本中具有该特征的个数为 t， 样本比例为 p=t/n。 如何估计总体比例 P 呢， 这个问题看似简单， 却能 带来有益的思考和丰富的信息。 2 相关概念 2.1 抽样中的两种理念 抽样中有两种理念： 基于设计和基于模型。 基于设计： 传统上把总体取值视为固定的， 样 本是随机的， 其随机性是由抽样导致， 并用随机样
本去推断确定总体。 基于模型： 存在一个超总体 （模型）， 总体只是
超总体的一个实现 （模型生成）， 可见总体取值即是 随机的， 抽样也是随机的， 样本具有双重随机性。 在一定的模型假设下， 揭示样本单元与非样本单元 的联系， 再通过样本数据估计 （也可以说是预测） 非样本数据， 进而得到基于模型下的估计。
可见： PT （t） 随着T的增大先增后减， 在
≤ ≤ T=
N＋1 n
t
时达到最大值。
≤ ≤ 得： T＾2=
N＋1 n
t
，
≤ ≤ 相应的P＾2=
N＋1 n
t
/N≈
t n
=p。
3．3 基于设计、 贝叶斯学派、 矩估计
总体中具有某特征的个数T有确定的唯一的值，
但却是未知的。 对于参数T， 在我们的主观判断中，
贝叶斯学派： 样本视为固定而参数视为随机，
着眼点在参数空间， 针对参数的分布， 并且遵循的
模式为参数的先验分布 （主观意义） 通过样本信息
加入而改进得参数的后验分布。
两种学派建立在各自的逻辑体系上， 其优劣难
以比较， 取决于具体应用的情况。
2.3 估计中的两种主要方法
估计有两种主要方法： 矩估计和极大似然估计。
t n-t
T=k下，
事件S的概率为P
（S|T=k）
=
CkCN-k
n
，
CN
- 30 -
根据全概率公式， 事件S的概率为：
N
P （S） ＝ΣP （T=k） P （S|T=k） k=0
N+t-n
Σ =
1
k = t N＋1
t n-t
CkCN-k
n
=
N+t-n
Σ 1 n
t n-t
CkCN-k 。
CN N＋1CN k = t
的估计也可作为 P 的估计。
抽取样本 S， 得到样本数据， 即得到 i∈S 中随
机变量 Yi 的值， 但得不到 i埸S 中随机变量 Yi 的值。i，
i=1
i∈S
i埸S
Σ Σ 其中 Yi 已知。 Yi 待估计。
i∈S
i埸S
从样本 S 中得到参数 θ 的最小二乘估计是
Σ p=y= Yi/n。 i埸S 中随机变量 Yi 的期望都为 θ， 则 i∈S
得：
P＾ 6=
t n
=p，
相 应 的T＾ 6=Np。
3.7 基于模型、 贝叶斯学派、 矩估计
模型为： Yi 独立同分布：
P （Yi＝1） ＝θ； P （Yi＝0） ＝1－θ。 在没有其他信息的情况下， 模型参数 θ 的先验
分布为 ［0， 1］ 之间的连续均匀分布：
θ～R （0， 1）， 即 θ 的先验分布概率密度为 1。
T的后验分布为：
P
（T=k|S）
=P
（T=k） P
P （S|T=k） （S）
t n-t
=
CkCN-k
N+t-n
，
Σ t n-t CkCN-k
k=t
k=t， t+1， …， N＋t-n
根据后验分布进行推断， 以该后验分布的期望
作为T的估计：
N+t-n
Σ Σ E （T|S） ＝
t n-t
kCkCN-k
T*P
PT （t） 达到最大值。
PT （t） PT-1 （t）
t n-t
t
n-t
=
CTCN-T
n
/
CT-1
CN-
n
（T－1）
CN
CN
＝
T （N－T＋1－n+t） （T－t） （N－T＋1）
，
PT （t） ≥PT-1 （t） 的充要条件是：
T （N－T＋1－n+t） ≥（T－t） （N－T＋1）
解得： T≤ N＋1 t。 n
矩估计的理论根据是大数定律， 也联系了最小
二乘法的思想， 用各阶样本矩估计相应的总体矩
（或参数）。
极大似然估计的思想简单而深刻： 产生结果
（样本特征） 的原因 （参数） 可能有多个， 找出最有
可能的原因， 该参数下， 出现该样本特征的概率最
大。
极大似然估计一般优于矩估计， 其渐进方差最
小， 但在非参数领域极大似然估计基本不适用。
， i=1,2,…,N。
Ii 为随机变量 ， 在 不 放 回 简 单 随 机 抽 样 下 ， 有
ΣΣ ΣΣ N
N
E
（Ii）
=
n N
，
所以：
E
（y）
=E
IiYi/n
i=1
= E （Ii）
i=1
N
Σ Yi/n=
n N
i
=
1
Yi/n=Y。
即： E （p） =P。
得： P＾ 1=p， 也有 T＾ 1=Np。
Σ i埸S 中 Yi 的最优线性无偏估计都为 y= Yii/n=t/n=p。 i∈S
Σ Σ Σ 所以：
T＾ = Yi+
i∈S
（N-n）
i
∈
S
Yi/n=
N n
i
∈
S
Yi=Np。
并且： E （T－T） ＝0。 得： T＾ 5＝Np， 相应的 P＾ 5＝p。
3.6 基于模型、 频率学派， 极大似然估计
样本中有特定的 t 个单元具备某特征， 有特定
的 n-t 个单元不具备。
这是已经观测到的事件 S。
并有： P （S） =θt （1－θ） n-t。
把 P （ S） 看 作 关 于 θ 的 函 数 ， 坠P （ S） /坠θ =0
时， P （S） =max。
解得：
θ=
t n
。
- 31 -
抽样推断中比例估计的几种方法及比较