推荐小学奥数训练专题 容斥原理之重叠问题一学生版
小学奥数专题-重叠问题(精华版)
小学奥数专题-重叠问题(精华版)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN小学奥数重叠问题专题日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复计算的情况，这类问题就叫做重叠问题。
重叠问题中涉及到的容斥原理是奥数的四大原理之一，是奥数重要知识点。
学生学习奥数，一定要掌握容斥原理。
下面小编给大家分享解决重叠的方法。
1. 解答重叠问题要用到数学中一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
2. 解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次。
明确需要要求的是哪一部分，从而找出解答方法。
3. 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合和集合之间的关系。
这种图称为韦恩图（也叫文氏图）。
4. 解答重叠问题的常用方法是：先不考虑重叠的情况，把有重复包含的几个计数部分加起来，再从它们的和中排除重复部分元素的个数，使得计算的结果既无遗漏又不重复。
这个原理叫做包含与排斥原理，也叫容斥原理。
5. 容斥原理1：如果被计数的对象，被分为A、B两大类，则：被计数对象的总个数=A类元素的个数+B类元素的个数-同时属于A类和B类的元素个数。
容斥原理2：如果被计数的对象，被分为A、B、C三大类，则：被计数对象的总个数=A类元素的个数+B类元素的个数+C类元素的个数-同时属于A类和B类元素的个数-同时属于A类和C类元素个数-同时属于B类和C类元素个数+同时属于A类、B类、C类元素个数。
一、重叠问题之长度：（1）拼接（对接）（2）搭接（3）打结题目1：（搭接正问题：求总长度）把两段同样是20厘米长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。
中间重叠的部分是6厘米，粘好的纸条长多少厘米？题目2：（搭接反问题一：等长搭接，求原来长度）把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。
小学奥数：几何中的重叠问题.专项练习及答案解析
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-U I (其中符号“U ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“I ”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B U 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =I (意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+U U I I I I I ．图示如下：教学目标知识要点7-7-3.几何中的重叠问题1．先包含——A B +重叠部分A B I 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-I把多加了1次的重叠部分A B I 减去．在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．【例 1】 把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长3853487+-=(厘米)．【答案】87厘米【巩固】 把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有多长？【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 焊接部分为两根铁条的重合部分，由包含排除法知，焊接后这根铁条长：2337357+-=(厘米)．【答案】57厘米【例 2】 两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答图32厘米4厘米【解析】 两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为2厘米的正方形，如果利用两个42⨯的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，被覆盖面积=长方形面积之和-重叠部分．于是，被覆盖面积4222212=⨯⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】12厘米例题精讲图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B I 、B C I 、C A I 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---I I I 重叠部分A B C I I 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --I I I 计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+I I I I I ．【巩固】 如图3，一张长8厘米，宽6厘米，另一个正方形边长为6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答图3 【解析】 两个图形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如果利用长方形和正方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在长方形和正方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积=长方形面积+正方形面积-重叠部分．于是，组合图形的面积：86664468⨯+⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】68平方厘米【巩固】 一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如果利用两个长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积=长方形面积之和-重叠部分．于是，组合图形的面积12810644140=⨯+⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】140平方厘米【例 3】 三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？【考点】几何中的重叠问题 【难度】2星 【题型】解答CBA10【解析】 将图中的三个圆标上A 、B 、C ．根据包含排除法，三个纸片盖住桌面的总面积=(A 圆面积B +圆面积C +圆面积-）（A 与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积+）三个纸片共同重叠的面积，得：100505050A =++-（）（与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积10+），得到A 、B 、C 三个圆两两重合面积之和为：16010060-=平方厘米，而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和，即：60103=⨯+阴影部分面积，则阴影部分面积为：603030-=(平方厘米)．【答案】30平方厘米【巩固】 如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，而3个圆覆盖的总面积为73．求阴影部分的面积．【考点】几何中的重叠问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 设甲圆组成集合A ，乙圆组成集合B ，丙圆组成集合C ．A B C ===30，A B I =6，B C I =8，A C I =5，A B C U U =73，而A B C U U =A B C +--A B B C A C A B C --+I I I I I .有73=30×3-6-8-5+A B C I I ，即A B C I I =2，即甲、乙、丙三者的公共面积(⑧部分面积)为2．那么只是甲与乙(④)，乙与丙(⑥)，甲与丙(⑤)的公共的面积依次为6-2=4，8-2=6，5-2=3，所以有阴影部分(①、②、③部分之和)的面积为73-4-6-3-2=58．【答案】58【例 4】 如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米．阴影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？【考点】几何中的重叠问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 阴而三张纸重叠部分是被计算了三次．所以三张纸重叠部分的面积60310040220=⨯--÷=（）(平方厘米)．【答案】20平方厘米【巩固】 如图所示，A 、B 、C 分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为38．若A 与B 、B 与C 的公共部分的面积分别为8、7，A 、B 、C 这三张纸片的公共部分为3．求A 与C 公共部分的面积是多少？【考点】几何中的重叠问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设A 与C 公共部分的面积为x ，由包含与排除原理可得：⑴ 先“包含”：把图形A 、B 、C 的面积相加：12281656++=，那么每两个图形的公共部分的面积都重复计算了1次，因此要排除掉．⑵ 再“排除”：5687x ---，这样一来，三个图形的公共部分被全部减掉，因此还要再补回．⑶ 再“包含”：56873x ---+，这就是三张纸片覆盖的面积．根据上面的分析得：5687338x ---+=，解得：6x =．【答案】6。
一年级奥数专题 重叠问题(学生版)
重叠问题学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位1、理解重叠问题各部分之间的关系,正确解答重叠现象中的相关数量。
2、经历活动过程,在猜想、验证、思考、交流等探究活动中发展学生的探究意识与探究能力；3、在探究生活中的重叠问题过程中,体验到数学与生活的联系,感悟到数学价值的。
知识梳理1、日常生活或数学问题中,在把一些数据按照某个标准分类时,常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别,这样在计算总数时就会出现重复计算的情况,这类问题就叫做重叠问题,解答重叠问题常用方法是：先不考虑重叠的情况,把有重复包含的几个计数部分加起来,再从它们的和中排除重复部分元素的个数,使得计算的结果既无遗漏又不重复。
这个原理叫做包含与排除原理,也叫容斥原理。
容斥原理包含以下两条基本计算公式：①容斥原理一,如果被计数的对象,被分为A、B两大类,则：被计数对象的总个数=A类元素个数+B类元素个数—同时属于A类和B类的元素个数。
2、图形具有形象、直观的特点,可以帮助我们理解抽象概念,解决很多问题,一个英国的科学家韦恩也想到用画图的办法来表示一切事物的整体,所以,这种集合图也称为韦恩图。
例题精讲【试题来源】【题目】有四块各长80厘米的木板,钉成一块木板(如图),中间钉在一起重叠的部分是10厘米,钉成的木板长多少厘米？【试题来源】【题目】小玲用胶水将两张同样长的纸粘成了一张长为80厘米的长纸条,其中粘在一起的部分长10厘米,这两张纸条各长多少厘米？【试题来源】【题目】二（1）班同学人人参加课外活动,有20人参加英语班,有26人参加电脑班。
其中4人两个班都参加。
二（1）班一共有多少人？【试题来源】【题目】老师出了两道测试题,全班每个同学都至少答对了一道,答对第一道题的有30人,答对第二道题的有28人,两道都答对的有18人,那么全班同学总共有多少人？【试题来源】【题目】20个同学报名参加美术组和舞蹈组,其中有16人参加了美术组,12人参加了舞蹈组．问两个小组都参加的有多少个同学？【试题来源】【题目】春天来了,全班52人到北海公园划船,有27人划了手摇船,29人划了脚踏船,4名同学因身体不好没有划船而去游览了白塔。
重叠问题(容斥原理,包含与排除)
包含与排除例题1，(1)五年级一班参加体育兴趣小组的有30人，参加文艺兴趣小组的有25人，两项活动都参加的有13人，全班每人至少参加一项活动。
问这个班有多少人？(2)三年级一班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。
这两队都没有参加的有10人。
请算一算，这个班共有多少人？1，学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。
这个文艺组一共有多少人？2,某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语文、数学双优的有12人，另外还有8人语文、数学均未获优。
这个班共有多少人？3，第一小组的同学们都在做两道数学思考题，做对第一题的有15人，做对第二题的有10人，两题都做对的有7人，两题都做错的有2人。
第一小组共有多少人？例题2，(1)五年级一班有42人，参加体育兴趣小组的有30人，参加文艺兴趣小组的有25人，全班每人至少参加一项活动。
问这个班两项活动都参加的有多少人？(2)一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。
两样都会的有多少人？(3)3,某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？1，五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人？2，一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。
问这两种棋都会下的有多少人？3，学校开展课外活动，共有250人参加。
其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。
问这250名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？例题3，(1)四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？(2)全班46名同学，仅会打乒乓球的有28人，会打乒乓球又会打羽毛球的有10人，不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人。
小学奥数 几何中的重叠问题 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：教学目标知识要点7-7-3.几何中的重叠问题1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；A B A B +-1A B 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，C1．先包含：A B C ++重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- A B C 3A B C ++-在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．【例 1】 把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长3853487+-=(厘米)．【答案】87厘米【巩固】 把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有多长？【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 焊接部分为两根铁条的重合部分，由包含排除法知，焊接后这根铁条长：2337357+-=(厘米)．【答案】57厘米【例 2】 两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答图32厘米4厘米【解析】 两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为2厘米的正方形，如果利用两个42⨯的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，被覆盖面积=长方形面积之和-重叠部分．于是，被覆盖面积4222212=⨯⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】12厘米【巩固】 如图3，一张长8厘米，宽6厘米，另一个正方形边长为6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答图3 【解析】 两个图形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如果利用长方形和正方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在长方形和正方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积=长方形面积+正方形面积-重叠部分．于是，组合图形的面积：86664468⨯+⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】68平方厘米例题精讲【巩固】 一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如果利用两个长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积=长方形面积之和-重叠部分．于是，组合图形的面积12810644140=⨯+⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】140平方厘米【例 3】 三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？【考点】几何中的重叠问题 【难度】2星 【题型】解答CBA10 【解析】 将图中的三个圆标上A 、B 、C ．根据包含排除法，三个纸片盖住桌面的总面积=(A 圆面积B +圆面积C +圆面积-）（A 与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积+）三个纸片共同重叠的面积，得：100505050A =++-（）（与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积10+），得到A 、B 、C 三个圆两两重合面积之和为：16010060-=平方厘米，而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和，即：60103=⨯+阴影部分面积，则阴影部分面积为：603030-=(平方厘米)．【答案】30平方厘米【巩固】 如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，而3个圆覆盖的总面积为73．求阴影部分的面积．【考点】几何中的重叠问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 设甲圆组成集合A ，乙圆组成集合B ，丙圆组成集合C ．A B C ===30，A B =6，B C =8，A C =5，A B C =73， 而A B C =A B C +--A B B C A C A B C --+.有73=30×3-6-8-5+A B C ，即A B C =2，即甲、乙、丙三者的公共面积(⑧部分面积)为2．那么只是甲与乙(④)，乙与丙(⑥)，甲与丙(⑤)的公共的面积依次为6-2=4，8-2=6，5-2=3，所以有阴影部分(①、②、③部分之和)的面积为73-4-6-3-2=58．【答案】58【例 4】 如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米．阴影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？【考点】几何中的重叠问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】阴部分的面积60310040220（）(平方厘米)．=⨯--÷=【答案】20平方厘米【巩固】如图所示，A、B、C分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为38．若A与B、B与C的公共部分的面积分别为8、7，A、B、C这三张纸片的公共部分为3．求A与C公共部分的面积是多少？【考点】几何中的重叠问题【难度】3星【题型】解答【解析】设A与C公共部分的面积为x，由包含与排除原理可得：⑴先“包含”：把图形A、B、C的面积相加：12281656++=，那么每两个图形的公共部分的面积都重复计算了1次，因此要排除掉．⑵再“排除”：5687x---，这样一来，三个图形的公共部分被全部减掉，因此还要再补回．⑶再“包含”：56873---+，这就是三张纸片覆盖的面积．x根据上面的分析得：5687338x=．---+=，解得：6x【答案】6。
三年级奥数讲义必备专题第3讲.重叠问题.学生版
一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集AB 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．第三讲重叠问题教学目标知识点拨1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去．A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．模块一：两量重叠问题【巩固】 把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？例题精讲例题 11图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．【巩固】 把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有多长？【巩固】 芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？例题33例题22【巩固】 四年级科技活动组共有63人．在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人．每个同学都至少完成了一项活动．问：同时完成这两项活动的同学有多少人？【巩固】 实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的有7人．这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？【巩固】 某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有32人，参加军棋比赛的有28人，有18人两项比赛都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？【巩固】 47名学生参加数学和语文考试，其中语文得分95分以上的14人，数学得分95分以上的21人，两门都不在95分以上的有22人．问：两门都在95分以上的有多少人？例题44【巩固】某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了．这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？【巩固】四年级一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了．一班有多少人两项比赛都没有参加？【巩固】某次英语考试由两部分组成，结果全班有12人得满分，第一部分有25人做对，第二部分有19人有错，问两部分都有错的有多少人？【巩固】对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人．两项都会的有10人，两项都不会的有9人．这个班一共有多少人？5例题5【巩固】 育才小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的，五、六年级共展出25幅画，其他年级的画共有多少幅？例题88例题77例题66【巩固】在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?【巩固】求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数。
小学奥数总复习第七讲《容斥原理》练习
1、先包含——A ＋B 重叠部分A ∩B 计算了2次，多加了1次；2、再排除——A ＋B －A ∩B小学奥数总复习第七讲《容斥原理》练习容斥原理1：两量重叠问题计算公式：A ∪B=A ＋B-A ∩B说明：A ∪B 读作：“A 并B ”，表示A 、B 情况的总和。
A ∩B 读作：“A 交B ”，表示A 、B 的公共部分。
容斥原理2：三量重叠问题计算公式： A ∪B ∪C= A ＋B ＋C －A ∩B －B ∩C －A ∩C －A ∩B ∩C说明：A ∪B ∪读作：“A 并B 并C ”，表示A 、B 、C 情况的总和。
A ∩B ∩C 读作：“A 交B 交C ”，表示A 、B 、C 的公共部分。
1、有两块一样长的木板，各长130厘米，中间钉在一起后成了一块长木板，中间钉在一起的重叠部分时10厘米，长木板的长度是多少？2、把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板。
中间重叠部分长11厘米。
这两块木板各长多少厘米？3、老师出了两道数学题，在40人中，做对第一题的有31人，做对第二题的有28人，每人至少做对一道，两道题都做对的有几人？4、三（1）班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种，已知参加赛跑的有36人，参加跳绳的有38人。
问两项比赛都参加的有几人？5、某班共有42人，参加美术小组的有11人，参加陶艺小组的有15人，有6人两个小组都参加。
这个班既没参加美术小组也没参加陶艺小组的有多少人？6、三（2）班订《数学报》的有32人，订《阅读报》的有30人，两份报纸都订的有10人，全班每人至少订一种报纸，三(1)班有学生多少人？7、校运动会上，四个年级共有118人参加跑步比赛。
其中一、二年级共有70人参加，一、三年级共有65人参加，二、三年级共有59人参加。
问:四年级有多少学生参加跑步比赛？8、某校三年级共有三个班级128名学生，一班和二班共有89人，二班和三班共有87人。
三年级各班有多少名学生？A ∩C A ∩B ∩C B ∩C A ∩B 图中小圆表示A 的个数，中圆表示B 的个数，大圆表示C 的个数 1、先包含——A ＋B ＋C 重叠部分A ∩B 、 B ∩C 、 A ∩C 重叠了2次， A ∩B ∩C 重叠了3次。
奥数素养思维强化练习——重叠问题(专项训练)-2024-2025学年六年级数学下册数学人教版
奥数素养思维强化练习——重叠问题班级：姓名：学号：一、知识点：1. 含义重叠问题是数学上非常常见的一类数学问题，它要用到数学中的一个非常重要的原理：容斥原理，即当两个(或多个)计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们的和中排除重复部分。
2. 解题思路和方法解决重叠问题时，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画图，借助图形进行思考，找出哪些是重叠的和重叠的次数，明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。
当两个计数部分重叠时，可从它们的单项和中减去重叠的部分，得出总数。
二、精讲练习★1.二（1）班同学人人参加课外活动，有20人参加英语班，有26人参加电脑班，每人至少参加一项。
其中4人两个班都参加。
二（1）班一共有多少人？★2.成了一块木板。
如果这块钉在起的木板长120厘米，中把两块一样长的木板像如图一样钉在一起，中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米？★3.101个同学带着矿泉水和水果去春游，其中矿泉水的78人，带水果的有71人，只带矿泉水和只带水果的各有多少人？★★4.冬天来了，一群大雁排成一队飞向南方，有一只穿花衣服的大雁非常漂亮。
从前面数，它排第6,；从后面数它排第3。
一共有多少只大雁？★★5.芳草地小学四年级的64人都会钢琴或画画中的一种，其中有58人学钢琴，43人学画画，问只学钢琴和只学画画的分别各有多少人？★★6.世博澳门馆100万名旅客中，若每人至少懂中文和英语两种语种之一，其中懂中文的有58万人，懂英语的有50万人。
只懂中文和只懂英语的各有多少人？★★7.某校对五年级100名同学进行学习兴趣调查，结果有58人喜欢语文，有38人喜欢数学，有52人喜欢外语。
而且喜欢语文和数学(但不喜欢外语)的有6人，喜欢数学和外语(但不喜欢语文)的有4人，三科都喜欢的有12人，而且每人至少喜欢一科。
问有多少同学只喜欢语文？★★★8.学校乐器队招收了42名新学员，其中会拉小提琴的有25名，会弹电子琴的有22名，两项都不会的有3名。
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（一）7-7-1.容斥原理之重叠问题教学目标了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；1.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．2.知识要点一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集(”和”或者“或用式子可表示成：其中符号“”读作“并”，相当于中文“的元素个数，BA?B?AB?A则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原)且”的意思．读作的意思；符号“”“交”，相当于中文“，即表示小圆部分，表示大圆部分，表示大圆与小圆的公共部分，记为：理．图示如下:BACBA，记为：表示小圆部分，表示大圆部分，表示大圆与小圆的公共部分，阴影面积．图示如下:BACBA即阴影面积．1．先包含——B?A重叠部分计算了次，多加了次；1BA2．再排除——2B?AA?B减去．次的重叠部分把多加了1BA的元素的个数，可分以下两步进行：包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合的并集BAB、A包的一切元素都分别计算集合的元素个数，然后加起来，即先求(意思是把“第一步：BA、B、ABA?进来，加在一起)含”；．”了重复计算的元素个数即减去()意思是“排除从上面的和中减去交集的元素个数，第二步：BC?A二、三量重叠问题类又既是类元素的个数类元素个数类元素个数类、类与类元素个数的总和?CC?A??AABB类、同时是类又是类的元素个数类的元素个数既是类又是类的元素个数既是是??CC?BABAB．图示类的元素个数．用符号表示为：类、CBC?AB?AB?C?A?ABC?AB?CC如下：的元素的个数，图中小圆表示的元素的个数，中圆表示BA的元素的个数．大圆表示C．先包含：1C?B?A次．次，多加了、重叠部分、重叠了1ABACBC2．再排除：2CABC??A?B?C?AB次，但是在进行重叠了重叠部分CBA??C3BA?计算时都被减掉了．CB?C?AAB．3．再包含：C?AC?ACBA???BB?CAB1在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．例题精讲两量重叠问题【例1】小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、音乐、陶艺、跳绳。
用圆A、圆B分别表示小明、小英的爱好，如图所示，则图中阴影部分表示________。
AB【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第3题【解析】阴影部分是两人都爱好的：数学、音乐【答案】数学、音乐四（1）班全体同学站成一排，当从左向右报数时，小华报：18；当从右向左报【例2】数时，小华报：13.那么该班有学生______________名。
【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第2题【解析】该班学生人数为：（名）。
30?18?13?1【答案】名30【例3】实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有人，参加数学兴趣小组的有人，有人292812两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？B【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】解答【解析】如图所示，圆表示参加语文兴趣小组的人，圆表示参加数学兴趣小组的人，与重合BBAA 的部分(阴影部分)表示同时参加两个小组的人．图中圆不含阴影的部分表示只参加语文CA兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有(人)；图中圆不含阴影的部分表示只参16?28?12B加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有(人)．1712?29?方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：(人)．4516?12?17?方法二：根据包含排除法，直接可得：?参加语文兴趣小组的人参加数学兴趣小组的人参加语文或数学兴趣小组的人两个小组都参加的??人，即：(人)．45??2829?12【答案】人45【巩固】芳草地小学四年级有人学钢琴，人学画画，人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只374358学画画的分别有多少人？2ABC【题型】解答【难度】1星【考点】两量重叠问题包含与排除题，画图是一种很直观、简捷的方法，可以帮助解决问题，画图时注意把不同解【解析】的对象与不同的区域对应清楚．建议教师帮助学生画图分析，清楚的分析每一部分的含义．圆不含阴表示既学钢琴又学画画的人，图中圆表示学画画的人，圆表示学钢琴的人，如图，CAAB 圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，有：)，图中(影的部分表示只学画画的人，有：人6??4337B )．(人21?58?37【答案】人21人，写完数学作班有名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有四(二)【巩固】3048人，语文数学都没写完的有人．业的有620⑴问语文数学都写完的有多少人？⑵只写完语文作业的有多少人？【题型】解答星【考点】两量重叠问题【难度】1至少完成了一科作业，根据包含排除原理，两科作业都完成的)( 由题意，有人【解析】⑴42?486?．(人)学生有：842??20?30．人)( 只写完语文作业的人数写完语文作业的人数-语文数学都写完的人数，即⑵?22?30?8人【答案】22人，则这个班2830人，会拉小提琴的有四（1）班有46人，其中会弹钢琴的有【巩固】人。
既会弹钢琴又会拉小提琴的至少有【题型】填空1【难度】星【考点】两量重叠问题6题【关键词】希望杯，四年级，二试，第46-34=12人至少一项不会的最多有(46-30)+(46-28)=34,那么两项都会的至少有【解析】【答案】人12整5表示这50个数中能被50个自然数中能被3整除的数，圆BA【例4】如图，圆表示1到50这。
除的数，则阴影部分表示的数是AB【题型】填空星1【考点】两量重叠问题【难度】题4【关键词】希望杯，四年级，二试，第，，30＝15整除的数，即15个自然数中能被到和阴影部分是AB共有的，即150这503×5【解析】45，【答案】，154530学校为了丰富学生的课余生活，组建了乒乓球俱乐部和篮球俱乐部，同学们踊跃报名参加，【例5】人报名参加了篮球俱乐部，但学校最后发现有429321其中有人报名参加乒乓球俱乐部，3人什么俱乐部都没报23又报名参加了篮球俱乐部，还有50人既报名参加了乒乓球俱乐部，名学生．名，问该学校共有【题型】填空【难度】1星【考点】两量重叠问题题年级，第5【关键词】学而思杯，4 人【解析】723??50?23321?429人【答案】723人两个小组都参加人，参加音乐小组的有人，有某班共有6】人，参加美术小组的有【例5462312了．这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？【题型】解答1星【考点】两量重叠问题【难度】知全班总人数，从反面思考，找出参加美术或音乐小组的人数，只需用全班总人数减去这已【解析】个人数，就得到既没参加美术小组也没参加音乐小组的人数．根据包含排除法知，该班至少．所以，该班未参加美术或音乐小组的人数是人)参加了一个小组的总人数为(30?12?23?5 )．(人1646?30?【答案】人16人两人参加了作文比赛，人参加了数学竞赛，四年级一班有人，其中【巩固】26451222项比赛都参加了．一班有多少人两项比赛都没有参加？【题型】解答【难度】1星【考点】两量重叠问题，所以，两项比赛都)包含排除法可知，至少参加一项比赛的人数是：(人【解析】由36?22?12?26．人)没有参加的人数为：(9?36?45人【答案】9人，两种都能表演1810人，能表演跳舞的有【巩固】实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有人．这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？的有7 【题型】解答1星【考点】两量重叠问题【难度】)．根据包含排除法，这个表演队能登台表演歌舞的人数为：(人【解析】21?10?187?【答案】人21人有直尺，有三角板的人中，男生是28全班50个学生，每人恰有三角板或直尺中的一种，7【例】人。
31人，那么有直尺的女生有____14人，若已知全班共有女生【题型】填空【难度】1星【考点】两量重叠问题题【关键词】华杯赛，初赛，第831-8=2322-14=8（人），那么有直尺的女生有有三角板的学生共50-28=22（人），其中女生【解析】（人）。
【答案】人23人做对，第二部分有人得满分，第一部分有】某次英语考试由两部分组成，结果全班有【例82512人有错，问两部分都有错的有多少人？19只做对两部只做对第一部分全第二部分的对的分的两部分都有错的【考点】两量重叠问题【难度】2星【题型】解答【解析】如图，用长方形表示参加考试的人数，圆表示第一部分对的人数．圆表示第二部分对的BA人数，长方形中阴影部分表示两部分都有错的人数．4已知第一部分对的有人，全对的有人，可知只对第一部分的有：(人)．又因为第二部1325?12?2512分有人有错，其中第一部分对第二部分有错的有人，那么余下的(人)必是第一部分和第61919?1313?二部分均有错的，两部分都有错的有人．6【答案】人6【例9】对全班同学调查发现，会游泳的有人，会打篮球的有人．两项都会的有人，两项都102520不会的有人．这个班一共有多少人？9两项会游会打都会泳的篮球的的两项都不会的【考点】两量重叠问题【难度】2星【题型】解答【解析】如图，用长方形表示全班人数，圆表示会游泳的人数，圆表示会打篮球的人数，长方形BA中阴影部分表示两项都不会的人数．由图中可以看出，全班人数至少会一项的人数两项都不会的人数，至少会一项的人数为：??(人)，全班人数为：(人)．4435?920?25?10?35?【答案】人44【巩固】某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有人，参加军棋比赛的有人，有人两项182832比赛都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？两项只参加只参加比赛象棋比围棋比都参赛的赛的加的AB【考点】两量重叠问题【难度】2星【题型】解答【解析】如图，圆表示参加象棋比赛的人，圆表示参加军棋比赛的人，与重合的部分表示同BAAB 时参加两项比赛的人．图中圆不含阴影的部分表示只参加象棋比赛不参加军棋比赛的人，A有(人)；图中圆不含阴影的部分表示只参加军棋比赛不参加象棋比赛的人，有14??1832B(人)．由此得到参加棋类比赛的人有(人)．42??14?181028?18?10或者根据包含排除法直接得：(人)．42?32?28?18【答案】人42【例10】在人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有人，既采了樱桃又采了杏的有人，既没采18746樱桃又没采杏的有人，问：只采了杏的有多少人？6既采樱桃AB又采杏的既没采樱桃又没采杏的【考点】两量重叠问题【难度】2星【题型】解答【解析】如图，用长方形表示全体采摘人员人，圆表示采了樱桃的人数，圆表示采了杏的人46BA 数．长方形中阴影部分表示既没采樱桃又没采杏的人数．由图中可以看出，全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之和，则至少采了一种的人数?只采了樱桃的人数两种都采了的人数只采了杏的人人为：)，而至少采了一种的人数(4046??6??数，所以，只采了杏的人数为：(人)．15???40187【答案】人155块玻璃不是甲、乙、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中块玻璃不是甲组擦的，【例11】5268块玻璃．那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻乙组擦的，且甲组与乙组一共擦了60璃？【题型】解答【难度】2星【考点】两量重叠问题块玻璃不是乙组擦的，说8块玻璃不是甲组擦的，说明这块玻璃是乙、丙两组擦的；【解析】65268明这块玻璃是甲、丙两组擦的．52块玻璃．因甲乙两组共擦块玻璃，圆表示甲、丙两组擦的如图，用圆表示乙、丙两组擦的5268BA块)．丙组擦了块)，这是两个丙组擦的玻璃数．(块了块玻璃，那么(30??60?6060268?52?3060 )玻璃．)玻璃，甲组擦了：(块玻璃．乙组擦了：(块22??3852?3068?30块玻璃。