浙教版九年级数学上册同步练习(PDF)版)：3.6 圆内接四边形
浙教版九年级数学上册同步习题：3.6 圆内接四边形
3.6 圆内接四边形一、选择题（共10小题；共50分）1. 下面是圆周角的是A. B.C. D.2. 如图，，分别是线段，的中点，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，测量的度数，结果为( )A. B. C. D.3. 如图所示，，是上的两个点，是直径，若，则的度数是( )A. B. C. D.4. 如图，为的外接圆，，则的度数为( )A. B. C. D.5. 如图，在中，弦半径，，则的度数为( )A. B. C. D.6. 如图，四边形内接于，，则劣弧的度数是( )A. B. C. D.7. 如图，是的直径，、是上的两点，若，则的度数为( )A. B. C. D.8. 如图，四边形内接于，已知，则的大小是( )A. B. C. D.9. 如图所示，是的直径，，是半圆的三等分点，则的度数是( )A. B. C. D.10. 如图，的直径，是上半圆（、除外）上任一点，的平分线交于，弦过、的中点、，则的长是( )A. B. C. D.二、填空题（共10小题；共50分）11. 如图，在中，，则度．12. 如图所示，在中，，，则．13. 如图，四个边长为的小正方形拼成一个大正方形，、、是小正方形顶点，的半径为，是上的点，且位于右上方的小正方形内，则的度数为．14. 如图，点，，在上，的延长线交于点，，则的度数为．15. 如图，是半圆的直径，点是的中点，，则的度数为．16. 如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点处安装了一台监视器，它的监控角度是．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器台．17. 如图，在的内接五边形中，，则．18. 如图，圆内接四边形中两组对边的延长线分别相交于点，，且，，则．19. 如图，是的直径，，交于点，交于点，，给出下列五个结论：① ；② ；③ ；④劣弧是劣孤的倍；⑤ ．其中正确结论的序号是．20. 若为的外心，且，则．三、解答题（共5小题；共65分）21. 如图所示，是的直径，，，平分，求，的长．22. 如图，在锐角中，，于，以为直径的分别交，于，，连结，．Ⅰ 求证：；Ⅱ 已知是射线上一个动点，当点运动到时，连结，交于，连结．设，，那么与有何数量关系?试证明你的结论（在探究与的数量关系时，必要时可直接运用（1）的结论进行推理与解答）．23. 已知：如图，在中，弦、交于点，．求证：．24. 如图，在中，是直径，是弦，．Ⅰ 是优弧上一点（不与，重合），求证：；Ⅱ 点在劣弧上（不与，重合）时，与数量关系是否发生变化?若不变，请画图证明，若变化，请写出新的关系式并画图证明．25. 小明遇到这样一个问题：如图 1，在锐角中，，，分别为的高，求证：．小明是这样思考问题的：如图2，以为直径做半，则点，在上，，所以．请回答：若，则的度数是．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在锐角中，，，分别为的高，求证：．答案第一部分1. C2. B3. B4. B5. A6. D7. C8. A9. B 10. A第二部分11.12.13.14.15.16.17.18.19. ①②④20. 或第三部分21. ，是的平分线，，．是直径，，，．22. （1）是的直径，．又，．（2）．如图，，，．．由结论（1）可知，．，．．．23. 连接．，，，．24. （1）如图，连接．是直径，，．又，．（2）如图所示．有变化，与的数量关系是：．证明：由（1）知，．圆内接四边形形对角互补，．．25. （1）．（2）如图，由题意：，点，，，在以为直径的半圆上，，又，，同理：点，，，在以为直径的半圆上．，，。
浙教版九年级数学上册作业本：3.6 圆内接四边形
3.6 圆内接四边形1．圆内接四边形的对角________．2．拓展：①圆内接四边形的外角等于内对角；②对角互补的四边形四点共圆．A 组 基础训练1．如图，在圆内接四边形ABCD 中，若∠C ＝80°，则∠A 等于( )A ．120°B ．100°C ．80°D ．90°第1题图 第2题图 2．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠AOC ＝80°，则∠ABC 的度数为( )A ．100°B ．120°C ．140°D ．160°3．圆内接四边形ABCD 中，若∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶5，则∠D 等于( )A ．60°B ．120°C ．140°D ．150°4．如图，已知AB 是半圆O 的直径，∠BAC ＝20°，D 是AC ︵上任意一点，则∠D 的度数是( )A ．90°B ．100°C ．110°D ．120°第4题图 第5题图5．如图，已知∠BAE ＝125°，则∠BCD ＝________度． 6．平行四边形ABCD 为圆内接四边形，则此平行四边形是________．7．⊙O 的内接四边形ABCD ，∠AOC ＝140°，∠D ＞∠B ，则∠D ＝________．第8题图8．如图，已知四边形ABCD 内一点E ，若EA ＝EB ＝EC ＝ED ，∠BAD ＝70°，则∠BCD ＝________．9.如图，已知AD 是△ABC 的外角平分线，与△ABC 的外接圆交于点D.(1)求证：DB ＝DC ；(2)若过D 作DP ⊥AC 于点P ，DQ ⊥BA 于点Q ，求证：△CDP ≌△BDQ.第9题图10.如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC 于点E ，交BC ︵于点D.(1)请写出四个不同类型的正确结论；(2)连结CD，设∠CDB＝α，∠ABC＝β，试找出α与β之间的一种关系式，并予以证明．第10题图B组自主提高11．如图所示，分别延长圆内接四边形ABCD两组对边相交于E和F两点，如果∠E ＝30°，∠F＝50°，那么∠A为()A．55°B．50°C．45°D．40°第11题图第12题图12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点O在四边形ABCD的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD的度数为________．13.如图所示，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连结ED、BE.(1)试判断DE与BD是否相等，并说明理由；(2)如果BC＝6，AB＝5，求BE的长．第13题图C组综合运用14.如图，正方形ABCD，E、F分别为CD、DA的中点，BE、CF相交于P.(1)BE、CF有怎样的数量关系和位置关系？(2)判断点P，F，A，B共圆吗？(3)直接写出与∠FPA相等的角；(4)求证：AP＝AB.第14题图参考答案【课堂笔记】1．互补【课时训练】1－4.BCBC 5.125 6.矩形 7.110° 8.110° 9.(1)∵AD 是∠EAC 的平分线，∴∠DAC ＝∠DAE.∵四边形ABCD 内接于圆，∴∠DCB ＝∠DAE ，∵∠DAC ＝∠DBC ，∴∠DCB ＝∠DBC ，∴DB ＝DC ； (2)∵AD 平分∠EAC ，DP ⊥AC ，DQ ⊥BA ，∴DP ＝DQ ，又∵DB ＝DC ，∴△CDP ≌△BDQ(HL)． 10.(1)不同类型的正确结论有：①BE ＝CE ；②BD ︵＝CD ︵；③∠BED ＝90°；④∠BOD ＝∠A ；⑤AC ∥OD ；⑥AC ⊥BC ；⑦OE 2＋BE 2＝OB 2；⑧S △ABC ＝BC·OE ；⑨△BOD 是等腰三角形(答案不唯一)； (2)α与β的关系式主要有如下两种形式：a .α－β＝90°.证明如下：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠ABC ＝90°①.又∵四边形ACDB 为⊙O 的内接四边形，∴∠A ＋∠CDB ＝180°②.②－①，得∠CDB －∠ABC ＝90°，即α－β＝90°.b .α>2β.证明如下：∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠OBD.又∵∠OBD ＝∠ABC ＋∠CBD ，∴∠ODB>∠ABC.∵OD ⊥BC ，∴CD ︵＝BD ︵，∴CD ＝BD ，∴∠CDO ＝∠ODB ＝12∠CDB ，∴12∠CDB>∠ABC ，即α>2β. 11.B 12.60° 13.(1)连结AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC ，∵AB ＝AC ，∴∠CAD ＝∠BAD ，即∠EBD ＝∠BAD ，∴DE ＝BD ； (2)∵AD ⊥BC ，AB ＝AC ，∴BD ＝CD ＝12BC ＝3，∴AD ＝AB 2－BD 2＝4，∵S △ABC ＝12×BC ·AD ＝12AC ×BE ，∴12×6×4＝12×5×BE ，∴BE ＝245. 14.(1)BE ＝CF ，BE ⊥CF ，理由：证△BCE ≌△CDF(SAS)得BE ＝CF ，∠CBE ＝∠DCF ，∵∠DCF ＋∠BCF ＝90°，∴∠CBE ＋∠BCF ＝90°，即BE ⊥CF ； (2)点P ，F ，A ，B 共圆．理由：∵BE ⊥CF ，∠A ＝90°，∴点P ，F ，A ，B 共圆． (3)∠FPA ＝∠FBA ＝∠FCD ＝∠EBC.(4)证明：∵∠FPA ＝∠FBA ＝∠FCD ＝∠EBC ，∴∠APB ＝90°－∠FPA ＝90°－∠EBC ＝∠ABP ，∴AP ＝AB.。
初中数学浙教版九年级上册第三章3.6圆内接四边形练习题
初中数学浙教版九年级上册第四章3.6圆内接四边形练习题一、选择题1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，∠AOD的大小为()A. 130°B. 100°C. 120°D. 110°2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B=108°，则∠D的大小为()A. 54°B. 62°C. 72°D. 82°3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD.若AC⏜=BC⏜，∠BDC=50°，则∠ADC的度数是()A. 125°B. 130°C. 135°D.140°4.如图，在圆内接四边形ABCD中，∠B=100°，则∠D的度数为()A. 60°B. 70°C. 80°D. 90°5.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC=CD，连接AC.若∠DAB=50°，则∠B的度数为()A. 50°B. 65°C. 75°D. 130°6.如图，四边形ABCD为半径为R的⊙O的内接四边形，若AB=R，CD=√3R，AD=4，BC=4√3，则⊙O的直径为()A. 4B. 4√3C. 8D. 8√37.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为()A. 45°B. 50°C. 60°D. 75°8.如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=150°，则∠AOC的大小是()A. 75°B. 60°C. 100°D. 30°9.下列有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，④圆内接四边形对角互补.其中错误的结论有()个A. 1个B. 2个C. 3个D. 410.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=140°，连接OC，点P是半径OC上一点，则∠BPD不可能为()A. 55B. 65°C. 75°D. 85°二、填空题11.如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是CD⏜上一点，且DF⏜=BC⏜，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC.若∠ABC=105∘，∠BAC=25∘，则∠E的度数为．12.已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点E、F分别为AB、CD的中点，若AB=8，CD=6，⊙O的半径为5，则线段EF长的最大值为______．13.如图在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠ABC：∠BCD=3：5：6，分别延长AB，DC交于点P，则∠P的大小为______．14.如图，△ABC中，∠ABC=90∘，AB=6，BC=8，O为AC的中点，过O作OE⊥OF，OE、OF分别交射线AB、BC于E、F，则EF的最小值为．三、解答题15.四边形ABCD内接于⊙O，AC为其中一条对角线．(Ⅰ)如图①，若∠BAD=70°，BC=CD.求∠CAD的大小；(Ⅱ)如图②，若AD经过圆心O，连接OC，AB=BC，OC//AB，求∠ACO的大小．16.如图，AB、AC是⊙O的两条相等的弦，延长CA到点D，使AD=AC，连接DB并延长交⊙O于点E，连接CE，CE是⊙O的直径吗？为什么？17.已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E是AC⌢上一点，AE，DC的延长线相交于点F.求证：∠AED=∠CEF．18.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD⏜=CD⏜，∠BAC=70∘，．(Ⅰ)求∠ABD的度数；(Ⅱ)求∠BAD的度数．19.如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC=60°，对角线BD平分∠ADC．(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)过点B作BE//CD交DA的延长线于点E，若AD=2，DC=3，求△BDE的面积．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ABC+∠CBE=180°，∴∠ADC=∠CBE=50°，∵DA=DC，(180°−50°)=65°，∴∠DAC=∠DCA=12∴∠AOB=2∠ACD=130°，故选：A．首先证明∠ADC=∠CBE，再利用等腰三角形的性质求出∠ACD，利用圆周角定理即可解决问题．本题考查圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B=108°，∴∠D=180°−∠B=180°−108°=72°，故选：C．运用圆内接四边形对角互补计算即可．本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．3.【答案】B【解析】解：连接OA，OB，OC，∵∠BDC=50°，∴∠BOC=2∠BDC=100°，∵AC⏜=BC⏜，∴∠BOC=∠AOC=100°，∴∠ABC=1∠AOC=50°，2∴∠ADC=180°−∠ABC=130°．故选：B．连接OA，OB，OC，根据圆周角定理得出∠BOC=100°，再根据AC⏜=BC⏜得到∠AOC，从而得到∠ABC，最后利用圆内接四边形的性质得到结果．本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，关键在于画出半径，构造圆心角．4.【答案】C【解析】解：∵在圆内接四边形ABCD中，∠B=100°，∴∠D=180°−100°=80°，故选：C．根据圆内接四边形的性质解答即可．本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：∵BC=CD，∴BC⏜=CD⏜，∴∠DAC=∠CAB，∵∠DAB=50°，×50°=25°，∴∠CAB=12∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠B=90°−25°=65°，故选：B．首先证明∠DAC=∠CAB=25°，再证明∠ACB=90°，利用三角形内角和定理即可解决问题．本题考查圆内接四边形的性质，圆心角，弧，弦之间的关系，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6.【答案】C【解析】解：如图，取⊙O的圆心O，连接OA、OB、OC、OD，过点O作OE⊥CD，OF⊥BC，OG⊥AD，垂足分别为E，F，G，∴OA=OB=AB=R，∴AOB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∵OE⊥CD，CD=√3R，∴CE=12CD=√32R，在Rt△COE中，sin∠COE=CECO =√32RR=√32，∴∠COE=60°，∴∠COD=2∠COE=120°，∴∠AOD+∠BOC=360°−∠COD−∠AOB=180°，∵OF⊥BC，OG⊥AD，∴AG=12AD=2，BF=12BC=2√3，∠AOG=12∠AOD，∠BOF=12∠BOC，∴∠AOG+∠BOF=12(∠AOD+∠BOC)=90°，又∵∠AOG+∠OAG=90°，∴∠BOF=∠OAG，∵∠BOF=∠OAG，∠BFO=∠OGA=90°，OB=OA，∴△BOF≌△OAG(AAS)，∴OF=AG=2，在Rt△BOF中，OB=√OF2+BF2=√22+(2√3)2=4．∴⊙O的直径=2OB=8，故选：C．取⊙O的圆心O，连接OA、OB、OC、OD，过点O作OE⊥CD，OF⊥BC，OG⊥AD，垂足分别为E，F，G，先证得AOB为等边三角形，∠AOB=60°，进而解直角三角形求得∠COE=60°，即可得到∠COD=2∠COE=120°，得到∠AOD+∠BOC=180°，进而求得∠AOG+∠BOF=90°，由∠AOG+∠OAG=90°，得出∠BOF=∠OAG，从而根据AAS证得△BOF≌△OAG，证得OF=AG=2，根据勾股定理求得OB，得到半径，即可求得直径．本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，垂径定理以及三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用，作出辅助性根据直角三角形是解题的关键．7.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，平行四边形的性质.应牢固掌握该定理并能灵活运用，设∠ADC的度数=x°，则∠AOC的度数=2x°，由题意可得方程，求出x即可解决问题．【解答】解：设∠ADC=x∘，则∠AOC=2x∘．∵四边形ABCO是平行四边形，∴∠B=∠AOC．∵∠B+∠D=180∘，∴x+2x=180．∴x=60．∴∠ADC=60∘．故选C．8.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，得出∠B的度数是解题关键．根据圆内接四边形的性质求得∠B=30°，利用圆周角定理，得∠AOC=2∠B=60°．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B+∠ADC=180°，∵∠ADC=150°∴∠B=180°−150°=30°．∴∠AOC=2∠B=60°．故选B．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质一一判断即可；【解答】解：①任意三点确定一个圆；错误，应该的不在同一直线上的三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中；③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，错误，此弦不是直径；④圆内接四边形对角互补；正确；故选：C．10.【答案】D【解析】解：连接OD、OB，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DCB=180°−∠DAB=40°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠DCB=80°，∴40°≤∠BPD≤80°，∴∠BPD不可能为85°，故选：D．连接OD、OB，根据圆内接四边形的性质求出∠DCB，根据圆周角定理求出∠BOD，求出∠BPD的范围，即可解答．本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．11.【答案】50°【解析】【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，∴∠ADC=180°−∠ABC=180°−105°=75°．∵DF⏜=BC⏜，∠BAC=25°，∴∠DCE=∠BAC=25°，∴∠E=∠ADC−∠DCE=75°−25°=50°．故答案为50°．12.【答案】7【解析】解：连接OA、OD、OE、OF，∵点E、F分别为AB、CD的中点，∴OE⊥AB，AE=12AB=4，OF⊥CD，DF=12CD=3，由勾股定理得，OE=√OA2−AE2=√52−42=3，OF=√OD2−DF2=√52−32=4，当E、O、F在同一条直线上时，EF最大，最大值为3+4=7，故答案为：7．连接OA、OD、OE、OF，根据垂径定理的推论得到OE⊥AB，OF⊥CD，根据勾股定理分别求出OE、OF，结合图形计算，得到答案．本题考查的是垂径定理的推论、勾股定理，掌握平分弦(不是直径)的直径垂直于弦是解题的关键．13.【答案】40°【解析】解：∵∠A：∠ABC：∠BCD=3：5：6，设∠A=3k，∠ABC=5k，∠BCD=6k，∵∠A+∠BCD=180°，∴3k+6k=180°，∴k=20°，∴∠A=60°，∠ABC=5k=100°，∴∠D=80°，∴∠P=180°−∠A−∠D=40°，故答案为：40°．设∠A=3k，∠ABC=5k，∠BCD=6k，根据圆内接四边形的性质得到k=20°，求得∠A=60°，∠ABC=5k=100°，∠D=80°，根据三角形的内角和即可得到结论．本题考查了圆内接四边形的性质，三角形的内角和，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．14.【答案】5【解析】【分析】此题考查了四点共圆的知识、勾股定理以及直角三角形斜边上的中线性质等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．首先证得E、B、F、O四点共圆，得到EF≥OB，再由勾股定理求出AC的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OB的长即可解答．【解答】解：对角互补的四边形的四个顶点共圆，由∠ABC=∠EOF=90∘可得E、B、F、O四点共圆，直径是EF，圆心是EF的中点．由直径是圆中最长的弦可得EF≥BO，所以EF的最小值为BO的长，在Rt△ABC中，O为BC的中点，所以BO=12AC=12×√62+82=12×10=5，即EF的最小值为5．15.【答案】解：(1)∵BC=CD，∴BC⏜=CD⏜，∴∠CAD=∠CAB=1∠BAD=35°；2(2)连接BD，∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA，∵OC//AB，∴∠BAC=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠BAC=∠BCA=∠OAC，由圆周角定理得，∠BCA=∠BDA，∴∠BAC=∠BDA=∠OAC，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∴∠ACO=30°．【解析】(1)根据圆心角、弧、弦之间的关系解答；(2)连接BD，根据圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质得到∠BAC=∠BDA=∠OAC，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，计算即可．本题考查的是圆内接四边形的性质、圆心角、弧、弦之间的关系、圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．16.【答案】解：CE是⊙O的直径，理由：连接BC，∵AD=AC=AB，∴△DCB是直角三角形，∴∠CBE=90°，∴CE是⊙O的直径．【解析】首先连接BC，进而得出△CDB是直角三角形，再根据圆周角定理可得CE是⊙O 的直径．此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握90°的圆周角所对的弦是直径．17.【答案】解：如图，连接AD∵CD ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径∴AC ⌢=AD ⌢∴∠AED =∠ADC∵A ，D ，C ，E 共圆∴∠CEF =∠ADC∴∠AED =∠CEF ．【解析】本题考查了垂径定理，圆周角定理及圆内接四边形的性质.先连接AD ，根据垂径定理、圆周角定理得出∠AED =∠ADC ，再根据四点共圆的性质可得∠CEF =∠ADC ，然后根据等量代换即可得证．18.【答案】解：(1)∵AD⏜=CD ⏜， ∴∠ABD =∠CBD ．，；，．【解析】本题主要考查了同一个圆中，圆周角、弧、弦的关系，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理等，(1)由弧度相等，得出所对的圆周角相等，由三角形内角和定理求出∠ABC，再由圆中弧、弦的关系得出结论即可；(2)由同弧所对的圆周角相等，得到，再由三角形内角和定理求解即可．19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD内接于⊙O．∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC=60°，∴∠ADC=120°，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB=60°，∴∠ACB=∠ADB=60°，∠BAC=∠CDB=60°，∴∠ABC=∠BCA=∠BAC，∴△ABC是等边三角形(2)过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．∴∠AMD=90°∵∠ADC=120°，∴∠ADM=60°，∴∠DAM=30°，∴DM=12AD=1，AM=√AD2−DM2=√22−12=√3，∵CD=3，∴CM=CD+DE=1+3=4，∴S△ACD=12CD⋅AM=12×3×√3=3√32，Rt△AMC中，∠AMD=90°，∴AC=√AM2+CM2=√3+16=√19，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=√19，∴BN =√32BC =√572， ∴S △ABC =12×√19×√572=19√34，∴四边形ABCD 的面积=19√34+3√32=25√34，∵BE//CD ， ∴∠E +∠ADC =180°，∵∠ADC =120°，∴∠E =60°，∴∠E =BDC ，∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠EAB =∠BCD ，在△EAB 和△DCB 中{∠E =∠BDC ∠EAB =∠DCB AB =BC，∴△EAB≌△DCB(AAS)，∴△BDE 的面积=四边形ABCD 的面积=25√34．【解析】(1)根据三个内角相等的三角形是等边三角形即可判断；(2)过点A 作AE ⊥CD ，垂足为点E ，过点B 作BF ⊥AC ，垂足为点F.根据S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD ，分别求出△ABC ，△ACD 的面积，即可求得四边形ABCD 的面积，然后通过证得△EAB≌△DCB(AAS)，即可求得△BDE 的面积=四边形ABCD 的面积=25√34． 本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．1、最困难的事就是认识自己。
浙教版初中数学九年级上册《3.6 圆内接四边形》同步练习卷
浙教新版九年级上学期《3.6 圆内接四边形》同步练习卷一．选择题（共3小题）1．如图，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C，D分别在两圆上，若∠ADB＝100°，则∠ACB的度数为（）A．35°B．40°C．50°D．80°2．四边形ABCD内接于圆，且CD＝1，AB＝，BC＝2，∠ABC＝45°，则四边形ABCD的面积是（）A．B．C．D．3．在菱形ABCD中，记∠ABC＝∠α（0°＜∠α＜90°），菱形的面积记作S，菱形的周长记作C，若AD＝2，则（）A．C与∠α的大小有关B．当∠α＝45°时，S＝C．A，B，C，D四个点可以在同一个圆上D．S随∠α的增大而增大二．填空题（共25小题）4．如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝．5．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点D是的中点，点E是上的一点，若∠CED＝40°，则∠ADC＝度．6．四边形ABCD内接于圆，若∠A＝110°，则∠C＝度．7．如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形．若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是．8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD＝120°，则∠DCE＝．9．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是°．10．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠A＝70°，∠OBC＝60°，则∠ODC ＝．11．如图，AB是半圆O的直径，C、D是上两点，∠ADC＝120°，则∠BAC 的度数是度．12．已知：如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，经过A的直线CD与⊙O1交于点C、与⊙O2交于点D，经过点B的直线EF与⊙O1交于点E、与⊙O2交于点F，连接CE、DF．若∠AO1E＝100°，则∠D的度数为度．13．如图所示，已知四边形ABCD是圆内接四边形，∠1＝120°，则∠CDE＝度．14．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，AC＝a，则四边形ABCD的面积为．15．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A：∠B：∠C＝2：1：4，则∠D ＝度．16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D为的中点，若∠B＝50°，则∠A的度数为度．17．如图，⊙O内接四边形ABCD中，点E在BC延长线上，∠BOD＝160°，则∠DCE＝．18．如图，A、B、C、D是⊙O上四点，BD是⊙O的直径．若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADB＝°．19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC∥AD，∠DAB＝60°，∠ADC＝106°，则∠OCB＝°．20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是AC上一点，且AB＝AD＝AE，∠DAC ＝50°，则∠CBE＝度．21．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝BC，∠D＝72°，则∠BAC＝°．22．如图，已知⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F，若∠E+∠F＝70°，则∠A的度数是23．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝140°，则∠A等于°．24．如图，A、B、C、P是⊙O上的四个点，∠ACB＝60°，且PC平分∠APB，则△ABC的形状是．25．如图，四边形ABCD为⊙O内接四边形，已知∠BOD＝60°，则∠BAD＝，∠BCD＝．26．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，OD∥BC，∠BCD＝110°，则∠ABC＝°．27．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BAD的平分线交⊙O于点P，交DC的延长线于点E，若∠BAD＝86°，则∠PCE＝°．28．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝36°，则∠A的度数为．三．解答题（共18小题）29．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．（1）若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC；（2）若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；（3）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．30．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC＝DE．（1）求证：∠A＝∠AEB；（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．31．如图，在△ABC中，∠C＝60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为．（1）求证：△CDE∽△CBA；（2）求DE的长．32．已知△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆O交BC于D，交AC于E，（1）如图①，若AB＝6，CD＝2，求CE的长；（2）如图②，当∠A为锐角时，使判断∠BAC与∠CBE的关系，并证明你的结论；（3）若②中的边AB不动，边AC绕点A按逆时针旋转，当∠BAC为钝角时，如图③，CA的延长线与圆O相交于E．请问：∠BAC与∠CBE的关系是否与（2）中你得出的关系相同？若相同，请加以证明，若不同，请说明理由．33．已知：如图，圆内接四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于点E，且∠DBA＝∠EBC．求证：AD•BE＝EC•BD．34．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，A是弧BD的中点，过A 点的切线与CB的延长线交于点E．（1）求证：AB•DA＝CD•BE；（2）若点E在CB延长线上运动，点A在弧BD上运动，使切线EA变为割线EF A，其它条件不变，问具备什么条件使原结论成立？（要求画出示意图，注明条件，不要求证明）35．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（2）若BC的长为6，求⊙O的半径．36．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，直径DG交边AB于点E，AB、DC的延长线相交于点F．连接AC，若∠ACD＝∠BAD．（1）求证：DG⊥AB；（2）若AB＝6，tan∠FCB＝3，求⊙O半径．37．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD＝120°，CA平分∠BCD．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）若BD＝3，求⊙O的半径．38．如图，点A、E、B、C在所给圆上，CD是△ABC的高，∠ACE＝∠BCD．求证：CE是所给圆的直径．39．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E．（1）求证：AB＝AC．（2）若BD＝11，DE＝2，求CD的长．40．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝110°．若点P为上，求∠P的度数．41．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，E是AD延长线上一点，且AC＝BC，求证：DC平分∠BDE．42．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠D＝108°，连接AC．（1）求∠BAC的度数；（2）若∠DAC＝45°，DC＝8，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．43．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM．（1）求证：BM＝CM；（2）当⊙O的半径为2时，求的长．44．如图1，已知△ABC，AB＝AC，以边AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC 于点E，连接DE．（1）求证：DE＝DC．（2）如图2，连接OE，将∠EDC绕点D逆时针旋转，使∠EDC的两边分别交OE的延长线于点F，AC的延长线于点G．试探究线段DF、DG的数量关系．45．如图所示，圆O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交圆O于点D，连接BD、DC．（1）求证：BD＝DC＝DI；（2）若圆O的半径为10cm，∠BAC＝120°，求△BDC的面积．46．如图，⊙O为△ABC的外接圆，且AB＝AC，过点A的直线交⊙O于D，交BC延长线于F，DE是BD的延长线，连接CD．（1）求证：∠EDF＝∠CDF；（2）求证：AB2＝AF•AD；（3）若BD是⊙O的直径，且∠EDC＝120°，BC＝6cm，求AF的长．浙教新版九年级上学期《3.6 圆内接四边形》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．如图，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C，D分别在两圆上，若∠ADB＝100°，则∠ACB的度数为（）A．35°B．40°C．50°D．80°【分析】由A，B，O，D都在⊙O上，根据圆内接四边形的性质得到∠D+∠AOB ＝180°，可求得∠AOB＝80°，再根据圆周角定理即可得到∠C的度数．【解答】解：连OA，OB，如图，∵A，B，O，D都在⊙O上，∴∠D+∠AOB＝180°，而∠ADB＝100°，∴∠AOB＝80°，∴∠ACB＝∠AOB＝40°．故选：B．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆的内接四边形的对角互补；也考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．2．四边形ABCD内接于圆，且CD＝1，AB＝，BC＝2，∠ABC＝45°，则四边形ABCD的面积是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据AB ＝，BC ＝2，∠ABC ＝45°可以推出BC 是圆的直径． 过A 作AF ⊥BC 于F ，可以得到AF ＝BF ＝1，∠BAF ＝∠CAF ＝45°．在直角三角形BCD 中，由CD ＝1，BC ＝2可以得到∠DBC ＝30°，∠BCD ＝60°． 过D 作DE ⊥BC 于E ，可以求出DE ＝；过D 作DH ⊥AF 于H ，接着求出AH ，DH ，然后就可以求出三角形AHD 的面积，三角形ABF 的面积，矩形DHFE 的面积，三角形EDC 的面积，最后即可求出四边形ABCD 的面积．【解答】解：如图，过A 作AF ⊥BC 于F ．∵AB ＝，∠ABC ＝45°，∴BF ＝AF ＝1，而BC ＝2，∴F 为CB 中点，∴AC ＝，∠BAC ＝90°，∴BC 应该是圆的直径，∴∠BAF ＝∠CAF ＝45°，∴∠BDC ＝90°．∴直角三角形BCD 中，CD ＝1，BC ＝2，∴∠DBC ＝30°，∠BCD ＝60°．过D 作DE ⊥BC 于E ．∴DE ＝，过D 作DH ⊥AF 于H ，∴AH ＝．DH ＝CF ﹣CE ＝1﹣1.5＝0.5，∴S △AHD ＝．而S △ABF ＝，S 矩形DHFE ＝，S △EDC ＝，∴S 四边形ABCD ＝S △ABF +S △AHD +S △DEC +S 矩形DHFE ＝． 故选：D ．【点评】此题首先通过作辅助线把一般四边形的面积问题转换为几个规则图形的面积的和差，此题关键是根据边的长和角的度数来得出特殊三角形从而求出四边形的面积．3．在菱形ABCD中，记∠ABC＝∠α（0°＜∠α＜90°），菱形的面积记作S，菱形的周长记作C，若AD＝2，则（）A．C与∠α的大小有关B．当∠α＝45°时，S＝C．A，B，C，D四个点可以在同一个圆上D．S随∠α的增大而增大【分析】根据菱形的周长公式、菱形的面积公式、锐角三角函数的定义判断即可．【解答】解：A、错误．菱形的周长＝8，与∠α的大小无关；B、错误，∠α＝45°时，菱形的面积＝2•2•sin45°＝2；C、错误，A，B，C，D四个点不在同一个圆上；D、正确．∵0°＜α＜90°，S＝菱形的面积＝2•2•sinα，∴菱形的面积S随α的增大而增大．故选：D．【点评】本题考查菱形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质定理、四点共圆的知识以及菱形的面积公式．二．填空题（共25小题）4．如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝70°．【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC，进而得出答案．【解答】解：∵＝，∠CAD＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，∴∠DBC＝∠DAC＝30°，∵∠ACD＝50°，∴∠ABD＝50°，∴∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°．故答案为：70°．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出∠ABD 度数是解题关键．5．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点D是的中点，点E是上的一点，若∠CED＝40°，则∠ADC＝100度．【分析】先求出∠AEC，再用圆内接四边形的性质即可得出结论．【解答】解：如图，连接AE，∵点D是的中点，∴∠AED＝∠CED，∵∠CED＝40°，∴∠AEC＝2∠CED＝80°，∵四边形ADCE是圆内接四边形，∴∠ADC+∠AEC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣∠AEC＝100°，故答案为：100．【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质，同圆中，等弧所对的圆周角相等，解本题的关键是作出辅助线．6．四边形ABCD内接于圆，若∠A＝110°，则∠C＝70度．【分析】根据圆内接四边形的性质计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠C＝180°，∵∠A＝110°，∴∠C＝70°，故答案为：70．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．7．如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形．若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是60°或120°．【分析】连接OB，则AB＝OA＝OB故可得出△AOB是等边三角形，所以∠ADC ＝60°，∠AD′C＝120°，据此可得出结论．【解答】解：连接OB，∵四边形OABC是菱形，∴AB＝OA＝OB＝BC，∴△AOB是等边三角形，∴∠ADC＝60°，∠AD′C＝120°．故答案为：60°或120°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD＝120°，则∠DCE＝60°．【分析】先根据圆周角定理求出∠A的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝∠BOD＝60°．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠DCE＝∠A＝60°．故答案为：60°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．9．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是120°．【分析】设∠A＝4x，∠B＝3x，∠C＝5x，根据圆内接四边形的性质求出x的值，进而可得出结论．【解答】解：∵∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，∴设∠A＝4x，则∠B＝3x，∠C＝5x．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，即4x+5x＝180°，解得x＝20°，∴∠B＝3x＝60°，∴∠D＝180°﹣60°＝120°．故答案为：120．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．10．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠A＝70°，∠OBC＝60°，则∠ODC ＝50°．【分析】根据圆内接四边形的对角互补求得∠C的度数，利用圆周角定理求出∠BOD的度数，再根据四边形内角和为360度即可求出∠ODC的度数．【解答】解：∵∠A＝70°∴∠C＝180°﹣∠A＝110°，∴∠BOD＝2∠A＝140°，∵∠OBC＝60°，∴∠ODC＝360°﹣110°﹣140°﹣60°＝50°，故答案为：50°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补以及圆周角定理是解答此题的关键．11．如图，AB是半圆O的直径，C、D是上两点，∠ADC＝120°，则∠BAC 的度数是30度．【分析】首先根据圆内接四边形的对角互补，求出∠B，再根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACB＝90°，∠BAC与∠B互余，求解即可．【解答】解：∵AB是⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ADC＝120°，∴∠B＝180°﹣∠ADC＝60°，∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝180°﹣90°﹣60°＝30°．故答案为：30．【点评】综合运用了圆内接四边形的性质以及圆周角定理的推论．12．已知：如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，经过A的直线CD与⊙O1交于点C、与⊙O2交于点D，经过点B的直线EF与⊙O1交于点E、与⊙O2交于点F，连接CE、DF．若∠AO1E＝100°，则∠D的度数为50度．【分析】连接AB，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半求得∠ABF的度数，再根据圆内接四边形的对角互补即可求解．【解答】解：连接AB∵∠AO1E＝100°∴∠ABE＝∠AO1E＝×100°＝50°∴∠ABF＝180°﹣∠AOE＝180°﹣50°＝130°又∵∠ABF+∠D＝180°∴∠D＝180°﹣∠ABF＝180°﹣130°＝50°．【点评】本题考查的是圆周角定理及圆内接四边形的性质的运用．13．如图所示，已知四边形ABCD是圆内接四边形，∠1＝120°，则∠CDE＝60度．【分析】根据圆周角定理可求出∠A的度数；由圆内接四边形的外角等于它的内对角，知∠CDE＝∠A，由此可求出∠CDE的度数．【解答】解：∵∠1＝120°∴∠A＝∠1＝60°∵四边形ABDC内接于⊙O∴∠CDE＝∠A∴∠CDE＝60°．【点评】本题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理的综合应用能力．14．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，AC＝a，则四边形ABCD的面积为．【分析】连接BD，构造等边三角形．根据等边三角形的性质和全等三角形的性质得到BC+CD＝AC＝a．作AF⊥BC，交BC延长线于F，作AG⊥DC，交CD于G，将四边形ABCD的面积转化为S△ABC 和S△ACD的面积之和解答．【解答】解：连接BD．∵∠BAD＝60°，AB＝AD，∴三角形ABD是等边三角形．在AC上取CE＝CD，连接DE．∠ECD＝∠ABD＝60°，∴△CDE是等边三角形．CE＝CD＝DE，BD＝AD，∠ADE＝∠ADB﹣∠EDB，∠BDC＝∠EDC﹣∠EDB，∠ADE＝∠BDC，△ADE≌△BDC，AE＝BC，BC+CD＝AC＝a．作AF⊥BC，交BC延长线于F，作AG⊥DC，交CD于G．∠ACB＝∠ADB＝60°（同弧圆周角相等），AF＝AC•sin60°＝，同理，AG＝AC•sin60°＝，四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝+＝×＝•AC＝．【点评】此题是一道难题，考查了同学们构建特殊三角形、全等三角形解题的能力，是对同学们创造性思维的考验．15．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A：∠B：∠C＝2：1：4，则∠D ＝150度．【分析】根据圆内接四边形的对角互补列出方程，解方程即可．【解答】解：设∠A、∠B、∠C分别为2x、x、4x，则2x+4x＝180°，解得，x＝30°，则∠B＝30°，∴∠D＝180°﹣∠B＝150°，故答案为：150．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D为的中点，若∠B＝50°，则∠A的度数为65度．【分析】连接OD、OC，根据圆周角定理求出∠AOC＝100°，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：连接OD、OC，∵点D为的中点，∴∠AOD＝∠COD，∵∠B＝50°，∴∠AOC＝100°，∴∠AOD＝∠COD＝50°，∴∠A＝∠ODA＝65°，故答案为：65．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．17．如图，⊙O内接四边形ABCD中，点E在BC延长线上，∠BOD＝160°，则∠DCE＝80°．【分析】根据圆周角定理求出∠A，根据圆内接四边形的性质解答．【解答】解：由圆周角定理得，∠A＝∠BOD＝80°，∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，∴∠DCE＝∠A＝80°，故答案为：80°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．18．如图，A、B、C、D是⊙O上四点，BD是⊙O的直径．若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADB＝30°．【分析】根据已知条件得到四边形ABCO是菱形，推出△OAB是等边三角形，得到∠ABD＝60°，根据三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCO是平行四边形，OA＝OC，∴四边形ABCO是菱形，∴OA＝AB，∴OA＝OB＝AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠ABD＝60°，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴∠ADB＝30°，故答案为：30．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理、平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC∥AD，∠DAB＝60°，∠ADC＝106°，则∠OCB＝46°．【分析】根据平行线的性质求出∠OCD，根据圆内接四边形的性质求出∠BCD，计算即可．【解答】解：∵OC∥AD，∴∠OCD＝180°﹣∠ADC＝74°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD＝180°﹣∠DAB＝120°，∴∠OCB＝∠BCD﹣∠OCD＝46°，故答案为：46．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、平行线的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是AC上一点，且AB＝AD＝AE，∠DAC ＝50°，则∠CBE＝25度．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABE＝∠AEB，根据三角形的外角性质、圆周角定理计算即可．【解答】解：∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵∠ABE＝∠ABD+∠EBD，∠AEB＝∠ACB+∠EBC，∠ACB＝∠ADB，∴∠DBE＝∠CBE＝∠DAC＝25°，故答案为：25°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．21．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝BC，∠D＝72°，则∠BAC＝36°．【分析】根据圆内接四边形的对角互补求出∠B，根据等腰三角形的性质计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B＝180°﹣∠D＝108°，∵AB＝BC，∴∠BAC＝×（180°﹣108°）＝36°，故答案为：36．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．22．如图，已知⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F，若∠E+∠F＝70°，则∠A的度数是55°【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠A＝∠BCF，再利用三角形外角性质得∠EBF＝∠A+∠E，由三角形内角和定理得∠EBF＝180°﹣∠BCF﹣∠F，所以∠A+∠E＝180﹣∠A﹣∠F，计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A＝∠BCF，∵∠EBF＝∠A+∠E，而∠EBF＝180°﹣∠BCF﹣∠F，∴∠A+∠E＝180°﹣∠BCF﹣∠F，∴∠A+∠E＝180﹣∠A﹣∠F，即2∠A＝180°﹣（∠E+∠F）＝110°，∴∠A＝55°，故答案为：55°．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．23．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝140°，则∠A等于110°．【分析】根据圆周角定理求出∠C，根据圆内接四边形的性质计算即可．【解答】解：由圆周角定理得，∠C＝∠BOD＝70°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＝180°﹣∠C＝110°，故答案为：110．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．24．如图，A、B、C、P是⊙O上的四个点，∠ACB＝60°，且PC平分∠APB，则△ABC的形状是等边三角形．【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠APB＝180°﹣∠ACB＝120°，根据角平分线的定义、圆周角定理、等边三角形的判定定理解答．【解答】解：∵A、B、C、P是⊙O上的四个点，∴∠APB＝180°﹣∠ACB＝120°，∵PC平分∠APB，∴∠APC＝∠BPC＝60°，由圆周角定理得，∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠BPC＝60°，∴△ABC是等边三角形，故答案为：等边三角形．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．25．如图，四边形ABCD为⊙O内接四边形，已知∠BOD＝60°，则∠BAD＝30°，∠BCD＝150°．【分析】根据圆周角定理求出∠BAD，根据圆内接四边形的性质求出∠BCD．【解答】解：由圆周角定理得，∠BAD＝∠BOD＝30°，∵四边形ABCD为⊙O内接四边形，∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝150°，故答案为：30°；150°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．26．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，OD∥BC，∠BCD＝110°，则∠ABC＝40°．【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠A＝180°﹣∠BCD＝70°，根据等腰三角形的性质、平行线的性质解答．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝70°，∵OD＝OA，∴∠AOD＝180°﹣70°×2＝40°，∵OD∥BC，∴∠ABC＝∠AOD＝40°，故答案为：40．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．27．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BAD的平分线交⊙O于点P，交DC的延长线于点E，若∠BAD＝86°，则∠PCE＝43°．【分析】根据角平分线的定义求出∠DAE＝∠BAD＝43°，根据圆内接四边形的性质解答．【解答】解：∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAD＝43°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠PCE＝∠DAE＝43°，故答案为：43．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．28．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝36°，则∠A的度数为144°．【分析】根据圆内接四边形的性质计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＝180°﹣∠C＝144°，故答案为：144°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．三．解答题（共18小题）29．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．（1）若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC；（2）若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；（3）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．【分析】（1）根据外角的性质即可得到结论；（2）根据圆内接四边形的性质和等量代换即可求得结果；（3）连结EF，如图，根据圆内接四边形的性质得∠ECD＝∠A，再根据三角形外角性质得∠ECD＝∠1+∠2，则∠A＝∠1+∠2，然后根据三角形内角和定理有∠A+∠1+∠2+∠E+∠F＝180°，即2∠A+α+β＝180°，再解方程即可．【解答】解：（1）∠E＝∠F，∵∠DCE＝∠BCF，∠ADC＝∠E+∠DCE，∠ABC＝∠F+∠BCF，∴∠ADC＝∠ABC；（2）由（1）知∠ADC＝∠ABC，∵∠EDC＝∠ABC，∴∠EDC＝∠ADC，∴∠ADC＝90°，∴∠A＝90°﹣42°＝48°；（3）连结EF，如图，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD＝∠A，∵∠ECD＝∠1+∠2，∴∠A＝∠1+∠2，∵∠A+∠1+∠2+∠AEB+∠AFD＝180°，∴2∠A+α+β＝180°，∴∠A＝90°﹣．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．30．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC＝DE．（1）求证：∠A＝∠AEB；（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得∠A+∠BCD＝180°，根据邻补角互补可得∠DCE+∠BCD＝180°，进而得到∠A＝∠DCE，然后利用等边对等角可得∠DCE＝∠AEB，进而可得∠A＝∠AEB；（2）首先证明△DCE是等边三角形，进而可得∠AEB＝60°，再根据∠A＝∠AEB，可得△ABE是等腰三角形，进而可得△ABE是等边三角形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠DCE+∠BCD＝180°，∴∠A＝∠DCE，∵DC＝DE，∴∠DCE＝∠AEB，∴∠A＝∠AEB；（2）∵∠A＝∠AEB，∴△ABE是等腰三角形，∵EO⊥CD，∴CF＝DF，∴EO是CD的垂直平分线，∴ED＝EC，∵DC＝DE，∴DC＝DE＝EC，∴△DCE是等边三角形，∴∠AEB＝60°，∴△ABE是等边三角形．【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，以及圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形对角互补．31．如图，在△ABC中，∠C＝60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为．（1）求证：△CDE∽△CBA；（2）求DE的长．【分析】（1）由圆内接四边形的外角等于它的内对角知，∠CED＝∠A（或∠CDE ＝∠B），又有∠C＝∠C，故△CDE∽△CBA．（2）连接AE．由（1）中△CDE∽△CBA得DE：BA＝CE：CA，由于直径对的圆周角是直角，有∠AEB＝∠AEC＝90°；在Rt△AEC中，有∠C＝60°，∠CAE＝30°．则DE：BA＝CE：CA＝1：2，即DE＝2．【解答】（1）证明：∵四边形ABED为⊙O的内接四边形，∴∠CED＝∠A（或∠CDE＝∠B）；又∠C＝∠C，∴△CDE∽△CBA．（2）解法1：连接AE．由（1）得，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝∠AEC＝90°．在Rt△AEC中，∵∠C＝60°，∴∠CAE＝30°；∴，即DE＝2．解法2：连接DO，EO．∵AO＝DO＝OE＝OB，∴∠A＝∠ODA，∠B＝∠OEB；∵四边形ABED为⊙O的内接四边形，∴∠A＝∠CED，∠B＝∠CDE；而∠CDE+∠CED＝120°，∠A+∠B+∠ADE+∠DEB＝360°，∴∠ODE+∠OED＝120°则∠DOE＝60°，∴△ODE为等边三角形；∴DE＝OB＝2．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理，直角三角形的性质等知识的综合应用能力．32．已知△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆O交BC于D，交AC于E，（1）如图①，若AB＝6，CD＝2，求CE的长；（2）如图②，当∠A为锐角时，使判断∠BAC与∠CBE的关系，并证明你的结论；（3）若②中的边AB不动，边AC绕点A按逆时针旋转，当∠BAC为钝角时，如图③，CA的延长线与圆O相交于E．请问：∠BAC与∠CBE的关系是否与（2）中你得出的关系相同？若相同，请加以证明，若不同，请说明理由．【分析】（1）连接AD．根据直径所对的圆周角是直角，得AD⊥BC，根据等腰三角形的性质，得BD＝CD＝2，再根据割线定理即可求得CE的长；（2）根据（1）中等腰三角形的三线合一，得AD平分∠BAC，结合圆周角定理，即可得∠BAC＝2∠CBE；（3）连接AD．根据等腰三角形的三线合一和圆内接四边形的性质，即可证明∠BAC＝2∠CBE．【解答】解：（1）连接AD．∵AB为直径，∴AD⊥BC．又∵AB＝AC，∴BD＝CD．又CD＝2，∴BD＝2．由CE•CA＝CD•CB，得6•CE＝2•（2+2），∴CE＝．（2）∠BAC与∠CBE的关系是：∠BAC＝2∠CBE．理由如下：由（1），得AD⊥BC．又AB＝AC，∴∠1＝∠2．又∠2＝∠CBE，∴∠BAC＝2∠CBE．（3）相同．理由如下：连接AD．∵AB为直径，∴AD⊥BC，又AB＝AC，∴∠1＝∠2，∵∠CAD是圆内接四边形AEBD的外角，∴∠2＝∠CBE，∴∠CAB＝2∠CBE．【点评】此题综合运用了圆周角定理的推论、等腰三角形的性质、圆内接四边形的性质．33．已知：如图，圆内接四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于点E，且∠DBA＝∠EBC．求证：AD•BE＝EC•BD．【分析】根据内接四边形的性质可得到∠BCE＝∠A，已知∠DBA＝∠EBC，从而来可根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到△ABD∽△CBE，根据相似三角形的边对应成比例即可得到结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCE＝∠A．∵∠DBA＝∠EBC，∴△ABD∽△CBE．∴．∴AD•BE＝EC•BD．【点评】此题主要考查学生对圆内接四边形的性质及相似三角形的判定的综合运用．34．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，A是弧BD的中点，过A 点的切线与CB的延长线交于点E．（1）求证：AB•DA＝CD•BE；（2）若点E在CB延长线上运动，点A在弧BD上运动，使切线EA变为割线EF A，其它条件不变，问具备什么条件使原结论成立？（要求画出示意图，注明条件，不要求证明）【分析】（1）点A是弧BD的中点，根据弦切角定理和圆周角定理知∠1＝∠3，由圆内接四边形的性质知∠ABE＝∠D，于是有△ABE∽△CDA⇒⇒AB •DA＝CD•BE；（2）要使结论仍然成立，则应有△ABE∽△CDA，故可使＝．当＝时有∠EAB＝∠ACD，而由圆内接四边形的性质知∠ABE＝∠ADC，故有△ABE ∽△CDA，得⇒AB•DA＝CD•BE【解答】（1）证明：连接AC∵A是的中点，∴．∵EA切⊙O于点A，点C在⊙O上，∴∠1＝∠3＝∠2∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABE＝∠D∴△ABE∽△CDA∴∴AB•DA＝CD•BE．（2）解：如图，具备条件＝（BF＝DA，或∠BCF＝∠DCA，或∠BAF＝∠DCA，或F A∥BD等），使原结论成立【点评】本题利用了弦切角定理、圆周角定理、相似三角形的判定和性质求解．35．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（2）若BC的长为6，求⊙O的半径．【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ABC＝∠APC＝60°，∠CAB＝∠CPB＝60°，根据等边三角形的判定定理证明；（2）延长BO交⊙O于E，连接CE，根据圆周角定理得到∠E＝∠BAC＝60°，根据正弦的概念计算即可．【解答】解：（1）△ABC是等边三角形，理由如下：由圆周角定理得，∠ABC＝∠APC＝60°，∠CAB＝∠CPB＝60°，∴△ABC是等边三角形；（2）延长BO交⊙O于E，连接CE，由圆周角定理得，∠E＝∠BAC＝60°，∴BE＝＝4，∴⊙O的半径为2．【点评】本题考查的是圆周角定理、等边三角形的判定，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键．36．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，直径DG交边AB于点E，AB、DC的延长线相交于点F．连接AC，若∠ACD＝∠BAD．（1）求证：DG⊥AB；（2）若AB＝6，tan∠FCB＝3，求⊙O半径．【分析】（1）连接AG，根据圆周角定理得到∠ACD＝∠AGD，∠DAG＝90°，计算即可；（2）连接OA，根据圆内接四边形的性质得到∠FCB＝∠BAD，根据正切的定义计算．【解答】（1）证明：连接AG，∵∠ACD与AGD是同弦所对圆周角∴∠ACD＝∠AGD，∵∠ACD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠AGD，∵DG为⊙O的直径，A为圆周上一点，∴∠DAG＝90°，∴∠BAD+∠BAG＝90°，∴∠AGD+∠BAG＝90°，∴∠AEG＝90°，即DG⊥AB；（2）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠FCB＝∠BAD，∵tan∠FCB＝3，∴tan∠BAD＝＝3，连接OA，由垂径定理得AE＝AB＝3，∴DE＝9，在Rt△OEA中，OE2+AE2＝OA2，设⊙O半径为r，则有（9﹣r）2+32＝r2，解得，r＝5，∴⊙O半径为5．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、直角定理以及解直角三角形，掌握相关的定理、灵活运用锐角三角函数的定义是解题的关键．37．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD＝120°，CA平分∠BCD．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）若BD＝3，求⊙O的半径．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ACD＝∠ACB＝60°，根据圆周角定理证明；（2）连接OB、OD，作OH⊥BD于H，利用正弦的定义计算．【解答】解：（1）∵∠BCD＝120°，CA平分∠BCD，∴∠ACD＝∠ACB＝60°，由圆周角定理得，∠ADB＝∠ACB＝60°，∠ABD＝∠ACD＝60°，∴△ABD是等边三角形；（2）连接OB、OD，作OH⊥BD于H，则DH＝BD＝，∠BOD＝2∠BAD＝120°，∴∠DOH＝60°，在Rt△ODH中，OD＝＝，∴⊙O的半径为．。
浙教版数学九年级上册3.6__圆内接四边形__.docx
3.6__圆内接四边形__1．已知，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D＝50°，则∠ABC等于( )A．100°B．110°C．120°D．130°2．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是( )3－6－1A．115° B．l05° C．100° D．95°3．圆内接四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶5，则∠D等于( )A．60° B．120° C．140° D．150°4．如图3－6－2，A，B，C，D四点在⊙O上，四边形ABCD的一个外角∠DCE＝70°，则∠BOD等于( )3－6－2A．35° B．70° C．110° D．140°5．已知四边形ABCD内接于⊙O，且∠A∶∠C＝1∶2，则∠C＝__ __．6．如图3－6－3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝130°，则∠AOC的度数是__ _度．3－6－37．如图3－6－4，已知AB是半圆O的直径，∠BAC＝20°，D是弧AC上任意一点，则∠D的度数是__ __．3－6－48．如图3－6－5，点A，B，C，D都在⊙O上，∠ABC＝90°，AD＝3，CD＝2，则⊙O的直径的长是____．3－6－59. 如图3－6－6，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝80°，则∠BAD= ∠BCD=3－6－610．如图3－6－7，四边形ABCD为圆的内接四边形，DA，CB的延长线交于点P，∠P＝30°，∠ABC＝100°，则∠C= 。
3－6－711．如图3－6－8，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，C是弧BD的中点，AB和DC的延长线交⊙O外一点E.求证：BC＝EC.3－6－812．如图3－6－9所示，圆O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交圆O于点D，连接BD，DC.求证：BD＝DC＝DI.3－6－913. 如图3－6－10，在四边形ADBC中，∠ACB＋∠ADB＝180°，∠ABC＝∠BAC＝60°.求∠BDC的度数．3－6－1014. 如图3－6－12，在圆内接四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝1，∠ACD＝60°，求四边形ABCD的面积．3－6－1215．如图3－6－12，四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝DB＝p，BC＝q.求对角线AC的长．3－6－123.6__圆内接四边形__ 1． D2． B4． D5． __120°__．6． __100__7． __110°__．8． __13__．9. 解：∵∠BOD＝80°，∴∠BAD＝40°.又∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠BAD＋∠BCD＝180°，∴∠BCD＝140°.10．解：∵∠ABC＝100°，∴∠PBA＝80°，又∵∠P＝30°，∴∠PAB＝180°－80°－30°＝70°，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠C＋∠BAD＝180°，∵∠BAD＋∠PAB＝180°，∴∠C＝∠PAB＝70°.11．第11题答图证明：连接AC.∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°＝∠ACE.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＋∠ABC＝180°，又∠ABC＋∠EBC＝180°，∴∠EBC＝∠D.∵C是弧BD的中点，∴∠1＝∠2，∴∠1＋∠E＝∠2＋∠D＝90°，∴∠E＝∠D，∴∠EBC＝∠E，∴BC＝EC.12．证明：∵AI平分∠BAC，∴∠BAD ＝∠DAC ， ∴BD ︵＝DC ︵∴BD ＝DC .∵BI 平分∠ABC ，∴∠ABI ＝∠CBI . ∵∠BAD ＝∠DAC ，∠DBC ＝∠DAC ，∴∠BAD ＝∠DBC . 又∵∠DBI ＝∠DBC ＋∠CBI ，∠DIB ＝∠ABI ＋∠BAD ， ∴∠DBI ＝∠DIB ，∴△BDI 为等腰三角形， ∴BD ＝ID ，∴BD ＝DC ＝DI .13. 解：∵∠ABC ＝∠BAC ＝60°，∴AC ＝BC ＝AB ， ∵∠ACB ＋∠ADB ＝180°，∴A ，B ，C ，D 四点共圆， ∵AC ＝BC ，∴弦AC ，BC 所对的圆周角相等， ∴∠BAC ＝∠BDC ＝60°. 14.第14题答图解：过A 作AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F .∵∠ADF ＋∠ABC ＝180(圆的内接四边形对角之和为180)，∠ABE ＋∠ABC ＝180°， ∴∠ADF ＝∠ABE .∵∠ABE ＝∠ADF ，AB ＝AD ，∠AEB ＝∠AFD ， ∴△AEB ≌△AFD ，∴四边形ABCD 的面积＝四边形AECF 的面积，AE ＝AF . 又∵∠E ＝∠AFC ＝90°，AC ＝AC ， ∴Rt △AEC ≌Rt △AFC .∵∠ACD ＝60°，∠AFC ＝90°， ∴∠CAF ＝30°， ∴CF ＝12，AF ＝32，∴四边形ABCD 的面积＝2S △ACF ＝2×12CF ×AF ＝34.15．解：延长CD 交半径为p 的⊙D 于E 点，连接AE .显然A ，B ，C 在⊙D 上．∵AB ∥CD ， ∴BC ︵＝AE ︵. ∴BC ＝AE ＝q .在△ACE 中，∠CAE ＝90°，CE ＝2p ，AE ＝q ， 故AC ＝CE 2－AE 2＝4p 2－q 2.初中数学试卷。
浙教版九年级数学上册同步练习：3.6 圆内接四边形
浙教版九年级数学上册同步练习：33.6 圆内接四边形知识点1 圆内接四边形的性质——圆内接四边形的对角互补1．2021·丽水如图3－6－1，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形．∠BCD ＝110°，那么∠BAD ＝________°.2．四边形ABCD 内接于⊙O ，且∠A ∶∠C ＝1∶2，那么∠A ＝________°.3－6－13－6－23．如图3－6－2，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且∠ABC ＝115°，那么∠AOC ＝________°. 4．如图3－6－3，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是AB ︵上两点，∠ADC ＝120°，那么∠BAC＝________°.3－6－33－6－45．如图3－6－4，点A ，B ，C ，D 都在⊙O 上，∠B ＝90°，AD ＝3，CD ＝2，那么⊙O的直径是________．6．在圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶6，求∠D的度数．7．如图3－6－5，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，求证：AB＝CD.图3－6－5知识点2圆内接四边形的性质的推论——圆内接四边形的外角等于其内对角8．2021·嵊州市模拟如图3－6－6，点A，B，C，D在圆O上，点E在AD的延伸线上，假定∠ABC＝60°，那么∠CDE的度数为()A．30°B．45°C．60°D．70°3－6－63－6－79．如图3－6－7，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延伸线上，假定∠BOD＝120°，那么∠DCE＝________°.10．如图3－6－8所示，A，B，C，D是⊙O上的四点，延伸DC，AB相交于点E.假定BC＝BE.求证：△ADE是等腰三角形．图3－6－811．如图3－6－9，△ABC内接于⊙O，∠OBC＝40°，那么∠A的度数为()A．80°B．100°C．110°D．130°3－6－9图3－6－1012．如图3－6－10，在平面直角坐标系中，⊙C 过原点O ，且与两坐标轴区分交于点A ，B ，点A 的坐标为(0，3)，M 是OB ︵上一点，且在第三象限内．假定∠BMO ＝120°，那么⊙C的半径为( )A ．6B ．5C ．3 2D ．313．如图3－6－11，四边形ABCD 内接于半径为4的⊙O 中，且∠C ＝2∠A ，那么BD ＝________．图3－6－1114．如图3－6－12，在圆内接四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC ＝1，∠ACD ＝60°，求四边形ABCD 的面积．图3－6－1215．(1)：如图3－6－13①，四边形ABCD 内接于⊙O ，延伸BC 至点E ，那么∠A ＋∠BCD ＝180°，∠DCE ＝∠A .(2)依条件和(1)中的结论：如图②，假定点C 在⊙O 外，且A ，C 两点区分在直线BD 的两侧．试确定∠A ＋∠BCD 与180°的大小关系；如图③，假定点C 在⊙O 内，且A ，C 两点区分在直线BD 的两侧．试确定∠A ＋∠BCD 与180°的大小关系．图3－6－13(3)如图3－6－14，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠DAB ＝130°，连结OC ，P 是半径OC 上恣意一点，连结DP ，BP ，那么∠BPD 的度数能够为________(写出一个即可)．图3－6－14详解详析1．702．60 [解析] ∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠A ＋∠C ＝180°.又∵∠A ∶∠C ＝1∶2，∴∠A ＝60°.3．130 [解析] ∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且∠ABC ＝115°，∴∠ADC ＝180°－∠ABC ＝180°－115°＝65°，∴∠AOC ＝2∠ADC ＝2×65°＝130°.4．30 5.136．解：∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠A ＋∠C ＝180°，∠B ＋∠D ＝180°.∵∠A ∶∠B ∶∠C ＝2∶3∶6，设∠A ＝2α，∠B ＝3α，∠C ＝6α，那么2α＋6α＝180°， ∴α＝22.5°，∴∠B ＝3α＝67.5°，∴∠D ＝180°－∠B ＝112.5°.7．证明：∵AD ∥BC ，∴∠A ＋∠B ＝180°.∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠A ＋∠C ＝180°，∴∠B ＝∠C ，∴AC ︵＝BD ︵，∴AC ︵－AD ︵＝BD ︵－AD ︵，即AB ︵＝CD ︵，∴AB ＝CD .8．C [解析] ∵四边形ABCD 为圆O 的内接四边形，∴∠ABC ＋∠ADC ＝180°.∵∠CDE ＋∠ADC ＝180°，∠ABC ＝60°，∴∠CDE ＝∠ABC ＝60°.应选C.9．60 [解析] ∵∠BOD ＝120°，∴∠BAD ＝60°.又∠BAD ＋∠BCD ＝180°，∠DCE ＋∠BCD ＝180°，∴∠DCE ＝∠BAD ＝60°.10．证明：∵BC ＝BE ，∴∠E ＝∠BCE .∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠A ＋∠DCB ＝180°.∵∠BCE ＋∠DCB ＝180°，∴∠A ＝∠BCE ，那么∠A ＝∠E ，∴AD ＝DE ，∴△ADE 是等腰三角形．11．D [解析] 如图，连结OC .∵OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC ＝40°，∴∠BOC ＝100°.∵∠1＋∠BOC ＝360°，∴∠1＝260°.∵∠A ＝12∠1，∴∠A ＝130°.应选D. 12．D [解析] ∵四边形ABMO 内接于⊙C ，∴∠BMO ＋∠BAO ＝180°.∵∠BMO ＝120°，∴∠BAO ＝60°.又∵AO ⊥BO ，A (0，3)，∴AB ＝2AO ＝6，∴⊙C 的半径为3.应选D.13．4 3 [解析] 连结OD ，OB ，过点O 作OF ⊥BD ，垂足为F ，∴DF ＝BF ，∠DOF ＝∠BOF .∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠A ＋∠C ＝180°.∵∠C ＝2∠A ，∴∠A ＝60°，∴∠BOD ＝120°，∴∠BOF ＝60°.∵OB ＝4，∴BF ＝2 3，∴BD ＝2BF ＝4 3.14．解：如图，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F .∵∠ADF ＋∠ABC ＝180°(圆内接四边形的对角互补)，∠ABE ＋∠ABC ＝180°， ∴∠ADF ＝∠ABE .在△AEB 与△AFD 中，∵⎩⎨⎧∠ABE ＝∠ADF ，∠AEB ＝∠AFD ，AB ＝AD ，∴△AEB ≌△AFD ，∴四边形ABCD 的面积＝四边形AECF 的面积，AE ＝AF . 又∵∠E ＝∠AFC ＝90°，AC ＝AC ，∴Rt △AEC ≌Rt △AFC .∵∠ACD ＝60°，∠AFC ＝90°，∴∠CAF ＝30°.∵AC ＝1，∴CF ＝12，AF ＝32， ∴四边形ABCD 的面积＝2S △ACF ＝2×12CF ×AF ＝34. 15．解：(2)如图①，连结DE .∵∠A ＋∠BED ＝180°，∠BED ＞∠BCD ，∴∠A ＋∠BCD ＜180°.如图②，延伸DC 交⊙O 于点E ，连结BE .∵∠A ＋∠E ＝180°，∠BCD ＞∠E ，∴∠A ＋∠BCD ＞180°.(3)答案不独一，如80°。
3.6 圆内接四边形 浙教版数学九年级上册同步练习(含解析)
3.6 圆内接四边形基础过关全练知识点 圆内接四边形及其性质1.(2020浙江湖州中考)如图,已知四边形ABCD内接于☉O,∠ABC=70°,则∠ADC的度数是( )A.70°B.110°C.130°D.140°2.【易错题】(2022浙江温州鹿城二模)如图,点B在AC上,∠AOC=100°,则∠ABC等于( )A.50°B.80°C.100°D.130°3.(2021辽宁盘锦中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴负半轴上,点B在y轴正半轴上,☉D经过A,B,O,C四点,∠ACO=120°,AB= 4,则圆心D的坐标是 .()4.【教材变式·P97课内练习T1】如图,AB是半圆O的直径,∠D=120°,则∠BAC= °.5.(2019浙江台州中考)如图,AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线,点D关于AC的对称点E在边BC上,连结AE.若∠ABC=64°,则∠BAE 的度数为 .6.【易错题】【新独家原创】如图,小明把一副三角尺放到圆中,斜边AC重合,点A、B、C、D均在圆上,其中∠ACB=30°,∠CAD=45°,点P 是圆上任意一点(不与A、B、C、D重合),则∠APB的度数为 .7.如图,已知AD是△ABC的外角平分线,与△ABC的外接圆交于点D.()(1)求证:DB=DC;(2)过D分别作DP⊥AC于点P,DQ⊥BE于点Q,求证:△CDP≌△BDQ.能力提升全练8.【一题多解】(2023浙江温州龙港期中,6,★☆☆)已知在圆的内接四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶7,则∠D的度数为( )A.40°B.60°C.100°D.120°9.(2023浙江杭州萧山期中,7,★★☆)如图,点A、B、C、D、E都是☉O上的点,AC=AE,∠D=130°,则∠B的度数为( )A.130°B.128°C.115°D.116°10.【数学文化】(2020湖南株洲中考,18,★★☆)斛是中国古代的一种量器.据《汉书·律历志》记载:“斛底,方而圜(huán)其外,旁有庣(tiāo)焉.”意思是说:“斛的底面为正方形的四个顶点都在一个圆上,此圆外有一个同心圆.”如图所示,问题:现有一斛,其底面的外圆直径为五尺(即5尺),“庣旁”为五寸(即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.5尺),则此斛底面的正方形的边长为 尺.11.【等面积法】(2023浙江杭州西湖期中,19,★★☆)如图,四边形ABCD内接于☉O,AC为☉O的直径,∠ADB=∠CDB.(1)试判断△ABC的形状,并给出证明;(2)若AB=2,AD=1,求CD、BD的长度.素养探究全练12.【推理能力】如图1,在☉O中,弦AD平分圆周角∠BAC,我们将圆中以A为公共点的三条弦BA,CA,DA构成的图形称为圆中“爪形A”.如图2,四边形ABCD内接于圆O,AB=BC,(1)证明:圆中存在“爪形D”;(2)若∠ADC=120°,求证:AD+CD=BD.答案全解全析基础过关全练1.B ∵四边形ABCD内接于☉O,∠ABC=70°,∴∠ADC=180°-∠ABC=180°-70°=110°.2.D 如图,在优弧AC(不与点A、C重合)上取点D,连结AD、CD,由圆周角定理得∠ADC=1∠AOC=50°,2∵四边形ABCD为圆内接四边形,∴∠ABC+∠ADC=180°,∴∠ABC=180°-50°=130°,故选D.3.答案 (-3,1)解析 ∵四边形ABOC为圆内接四边形,∴∠ABO+∠ACO=180°,∵∠ACO=120°,∴∠ABO=180°-120°=60°.∵∠AOB=90°,∴AB为☉D的直径,∴D为AB的中点,在Rt△ABO中,∵∠ABO=60°,∴∠OAB=30°,AB=2,∴OA=23,∴OB=12∴A(-23,0),B(0,2),∴点D的坐标为(-3,1).4.答案 30解析 ∵四边形ABCD为圆内接四边形,∴∠B+∠D=180°,∵∠D=120°,∴∠B=60°,∵AB是半圆O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠BAC+∠B=90°,∴∠BAC=30°.5.答案 52°解析 由已知得,∠D=180°-∠ABC=116°,∵点D关于AC的对称点E在边BC上,∴∠D=∠AEC=116°,∴∠BAE=∠AEC-∠ABC=116°-64°=52°.6.答案 30°或150°解析 当点P在优弧BCA上时,∠APB=∠ACB=30°;当点P在劣弧AB上时,四边形ACBP为圆内接四边形,∴∠APB+∠ACB=180°,∴∠APB=180°-30°=150°.∴∠APB的度数为30°或150°.7.证明 (1)∵AD是△ABC的外角平分线,∴∠EAD=∠DAC,∵四边形ABCD为圆内接四边形,∴∠BAD+∠DCB=180°,∵∠EAD+∠BAD=180°,∴∠EAD=∠DCB,∵∠DAC=∠DBC,∴∠DCB=∠DBC,∴DB=DC.(2)∵AD平分∠EAC,DP⊥AC,DQ⊥BE,∴DQ=DP,在Rt△CDP与Rt△BDQ中,DC=DB, PD=QD,∴Rt△CDP≌Rt△BDQ(HL).能力提升全练8.D 解法一:∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°,∵∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶7,∴∠A∶∠B∶∠C∶∠D=2∶3∶7∶6,∴∠D=180°×63+6=120°,故选D.解法二:∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°,∵∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶7,设∠A=2x,∠B=3x,∠C=7x,∴2x+7x=180°,解得x=20°.∴∠B=60°,∴∠D=180°-∠B=120°,故选D.9.C 如图,连结AC、CE,∵点A、C、D、E都是☉O上的点,∴∠CAE+∠D=180°,∵∠D=130°,∴∠CAE=180°-130°=50°,∵AC=AE,×(180°-50°)=65°,∴∠ACE=∠AEC=12∵点A、B、C、E都是☉O上的点,∴∠AEC+∠B=180°,∴∠B=180°-65°=115°,故选C.10.答案 22解析 如图,∵四边形CDEF为正方形,∴∠D=90°,CD=DE,∴CE为直径,∠ECD=45°,由题意得AB=5尺,∴CE=5-0.5×2=4尺,∵CD2+DE2=CE2,CD=DE,∴2CD2=16,∴CD=22尺.11.解析 (1)△ABC是等腰直角三角形.证明:∵AC为☉O的直径,∴∠ADC=∠ABC=90°,∵∠ADB=∠CDB,∴AB =BC ,∴AB =BC ,又∵∠ABC =90°,∴△ABC 是等腰直角三角形.(2)在Rt △ABC 中,AB =BC =2,∴AC =2,在Rt △ADC 中,AD =1,AC =2,∴CD =AC 2―AD 2=3,过A 作AE ⊥BD 于E ,过C 作CF ⊥BD 于F,如图,则△ADE 和△CDF 均是等腰直角三角形,∴AE =22AD =22,CF =22CD =62,∵S 四边形ABCD =S △ACD +S △ABC =S △ABD +S △BCD ,∴12×1×3+12×2×2=12×22BD +12×62BD ,∴BD =2+62.素养探究全练12.证明 (1)∵AB =BC ,∴AB =BC ,∴∠ADB =∠CDB ,∴DB 平分圆周角∠ADC ,∴圆中存在“爪形D”.(2)如图,延长DC至点E,使得CE=AD,连结BE,∵∠A+∠DCB=180°,∠ECB+∠DCB=180°,∴∠A=∠ECB,∵CE=AD,AB=BC,∴△BAD≌△BCE(SAS),∴∠E=∠ADB,BD=BE,由(1)知,DB平分圆周角∠ADC,∠ADC=120°,∠ADC=60°,∴∠ADB=12∴∠E=∠ADB=60°,∴△BDE是等边三角形,∴DE=BD,∴AD+CD=BD.。
2019秋浙教版数学九年级上册同步测试题：3.6 圆内接四边形
3．6 圆内接四边形知识点．圆内接四边形的对角互补1．如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝70°，则∠C的度数是(B)图1A．100°B．110°C．120°D．130°2．在圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的度数之比可能是(B)A．1∶2∶3∶4 B．4∶2∶1∶3C．4∶2∶3∶1 D．1∶3∶2∶43．如图2，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCD的外角∠DCE＝70°，则∠BAD的度数为(D)图2A．140°B．110°C．220°D．70°4．[2018·港南区三模]如图3，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连结BD，∠GBC＝50°，则∠ABD的度数为()A．50°B．60°C．80°D．90°图3 第4题答图【解析】∵A，B，C，D四点共圆，∴∠GBC＝∠ADC＝50°，如答图，连结AC，∵AE⊥CD，∴CE＝DE，∴AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝50°，∴∠ABD ＝∠ACD＝50°.5．如图4，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C＝∠D，则AB与CD 的位置关系是__AB∥CD__．图4【解析】∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠C＝180°，又∵∠C＝∠D，∴∠A＋∠D＝180°，∴AB∥CD.6．[2018秋·朝阳区期中]如图5，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC ＝4，求⊙O的半径长．图5解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，∴∠D＝180°－∠ABC＝45°，∴∠AOC＝2∠D＝90°，∵OA＝OC，且AC＝4，∴OA＝OC＝22AC＝22，即⊙O的半径长为2 2.7．[2018秋·淮安区期中]如图6，在⊙O的内接四边形ABCD中，DB＝DC，∠DAE 是四边形ABCD的一个外角．请问∠DAE与∠DAC相等吗？为什么？图6解：∠DAE与∠DAC相等．理由：∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCB，∵∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，∴∠EAD＝∠DCB，∴∠DBC＝∠EAD，又∵∠DAC＝∠DBC，∴∠DAE＝∠DAC.易错点：对圆内接四边形对角互补的性质理解不透．8．如图7，扇形OAB的圆心角为122°，C是弧AB上一点，则∠ACB＝__119__°.图7【解析】由与∠AOB同弧的圆周角度数为12∠AOB＝61°，再由圆内接四边形对角互补，得∠ACB＝180°－61°＝119°.。
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12. 如图，点 ������，������，������ 是 ⊙ ������ 上的点，������������ = ������������，则 ∠������ 的度数为
．
13. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点 ������ 在半圆上．点 ������，������ 的读数分别为 86∘ ， 30∘，则 ∠������������������ = ．
∘
（写出一个即可）．
18. 如图，一块直角三角板 ������������������ 的斜边 ������������ 与量角器的直径恰好重合，点 ������ 对应的刻度是 58∘ ，则 ∠������������������ 的度数为
∘
．
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19. 已 知， 如图 ： ������������ 为 ⊙ ������ 的直 径 ， ������������ = ������������ ， ������������ 交 ⊙ ������ 于 点 ������ ， ������������ 交 ⊙ ������ 于 点 ������ ， ∠������������������ = 45∘．给出以下五个结论：① ∠������������������ = 22. 5∘；② ������������ = ������������ ；③ ������������ = 2������������ ；④ 劣弧 ������������ 是劣弧 ������������ 的 2 倍；⑤ ������������ = ������������ ．其中正确结论有 ．
3.6 圆内接四边形
一、选择题（共 10 小题；共 50 分） 1. 下列四个图中. 如图所示，圆周角有 ( )
D.
A. 9 个
B. 10 个
C. 11 个
D. 12 个 )
3. 如图，������������ 是 ⊙ ������ 的直径，������������ 垂直于弦 ������������，∠������������������ = 70∘，则 ∠������������������ = (
A. 2 个
B. 3 个
C. 4 个
D. 5 个
7. 如图所示，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子 ������������，������������ 在 ������ 点钉在一起，并 使它们保持垂直，在测直径时，把 ������ 点靠在圆周上，读得刻度 ������������ = 8 ， ������������ = 6 ，则圆的直径 为( )
A. 12
B. 10
C. 4
D. 15
8. 如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点 ������ 处安装了一台监视器，它的监控角度是 55∘ ，为了 监控整个展厅，最少需在圆形边缘上安装这样的监视器 ( )
A. 2 台
B. 3 台
C. 4 台 )
D. 5 台
9. 如图，△ ������������������ 内接于 ⊙ ������，∠������������������ = 40∘，则 ∠������ 的度数为 (
15. 已知 △ ������������������ 的边 ������������ = 4cm，⊙ ������ 是其外接圆，且半径也为 4cm，则 ∠������ 的度数是
．
16. 如图，圆内接四边形 ������������������������ 中两组对边的延长线分别相交于点 ������ ，������ ，且 ∠������ = 55∘ ，∠������ = 30∘ ， 则 ∠������ = ．
A.
5 2
������
B. 1
C.
3 2
D. ������
二、填空题（共 10 小题；共 50 分） 11. 如图，������������ 为 ⊙ ������ 的直径，点 ������ , ������ 在 ⊙ ������ 上，∠������������������ = 50∘ ，则 ∠������������������ = ．
A. 20∘
B. 46∘
C. 55∘
D. \70° \）
4. 如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，把标有刻度的尺子 ������������，������������ 在 ������ 点钉在一起，并使 它们保持互相垂直．在测直径时，把 ������ 点靠在圆周上，读得刻度 ������������ = 4 个单位，������������ = 3 个单位， 则圆的直径为 ( )
17. 如图，������������ 是 ⊙ ������ 的半径，弦 ������������ = ������������，直径 ������������ ⊥ ������������．若点 ������ 是线段 ������������ 上的动点，连接 ������������， 则 ∠������������������ 的度数可以是
C. 106∘
D. 136∘
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6. 如图所示， ������������ 是 ⊙ ������ 的直径， ������������ = ������������ ， ������������ 与 ������������ 交于点 ������ ，则图中与 ∠������������������ 相等的角 有( )．
A. 7 个单位
B. 6 个单位
C. 5 个单位
D. 4 个单位 )
5. 如图，四边形 ������������������������ 是 ⊙ ������ 的内接四边形，若 ∠������������������ = 88∘，则 ∠������������������ 的度数是 (
A. 88∘
B. 92∘
A. 80∘
B. 100∘
C. 110∘
D. 130∘
10. 如图，已知 ������������ 是半径为 1 的圆 ������ 的一条弦，且 ������������ = ������ < 1 ，以 ������������ 为一边在圆 ������ 内作正 △ ������������������ ，点 ������ 为圆 ������ 上不同于点 ������ 的一点，且 ������������ = ������������ = ������ ，������������ 的延长线交圆 ������ 于点 ������ ，则 ������������ 的长为 ( )
14. 如图，������������ 是 ⊙ ������ 的直径，点 ������ 在 ⊙ ������ 上，∠������������������ = 130∘ ，������������∥������������ 交 ⊙ ������ 于点 ������ ，连接 ������������ ， 则 ∠������ = 度．