数学建模实验2
数学建模基础实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的本次实验旨在让学生掌握数学建模的基本步骤，学会运用数学知识分析和解决实际问题。
通过本次实验，培养学生主动探索、努力进取的学风，增强学生的应用意识和创新能力，为今后从事科研工作打下初步的基础。
二、实验内容本次实验选取了一道实际问题进行建模与分析，具体如下：题目：某公司想用全行业的销售额作为自变量来预测公司的销售量。
表中给出了1977—1981年公司的销售额和行业销售额的分季度数据（单位：百万元）。
1. 数据准备：将数据整理成表格形式，并输入到计算机中。
2. 数据分析：观察数据分布情况，初步判断是否适合使用线性回归模型进行拟合。
3. 模型建立：利用统计软件（如MATLAB、SPSS等）进行线性回归分析，建立公司销售额对全行业的回归模型。
4. 模型检验：对模型进行检验，包括残差分析、DW检验等，以判断模型的拟合效果。
5. 结果分析：分析模型的拟合效果，并对公司销售量的预测进行评估。
三、实验步骤1. 数据准备将数据整理成表格形式，包括年份、季度、公司销售额和行业销售额。
将数据输入到计算机中，为后续分析做准备。
2. 数据分析观察数据分布情况，绘制散点图，初步判断是否适合使用线性回归模型进行拟合。
3. 模型建立利用统计软件进行线性回归分析，建立公司销售额对全行业的回归模型。
具体步骤如下：（1）选择合适的统计软件，如MATLAB。
（2）输入数据，进行数据预处理。
（3）编写线性回归分析程序，计算回归系数。
（4）输出回归系数、截距等参数。
4. 模型检验对模型进行检验，包括残差分析、DW检验等。
（1）残差分析：计算残差，绘制残差图，观察残差的分布情况。
（2）DW检验：计算DW值，判断随机误差项是否存在自相关性。
5. 结果分析分析模型的拟合效果，并对公司销售量的预测进行评估。
四、实验结果与分析1. 数据分析通过绘制散点图，观察数据分布情况，初步判断数据适合使用线性回归模型进行拟合。
2. 模型建立利用MATLAB进行线性回归分析，得到回归模型如下：公司销售额 = 0.9656 行业销售额 + 0.01143. 模型检验（1）残差分析：绘制残差图，观察残差的分布情况，发现残差基本呈随机分布，说明模型拟合效果较好。
数学建模题目 (2)
数学建模题目1. 引言数学建模是一种综合运用数学、统计学和计算机科学等学科的方法，对实际问题进行建模和求解的过程。
在现实生活中，我们经常面临各种各样的问题，而数学建模能够帮助我们分析问题、提出解决方案并进行优化。
本文将通过一个具体的数学建模题目来介绍数学建模的方法和过程。
2. 题目描述某公司有10个仓库，分布在不同的城市。
每个仓库都有不同的容量和固定的成本，同时也有不同的供应能力。
该公司需要根据需求来决定使用哪些仓库进行供应。
仓库的容量、成本和供应能力如下表所示：仓库编号容量（单位：件）成本（单位：元）供应能力（单位：件）110050050 220080080 315060070 43001000120 5250900100 615060070 720080080 8250900100 910050050 103001000120现在该公司收到了一批订单，需要发货。
订单的需求量为200件。
请问该公司应该选择哪些仓库来进行供应，以使得成本最低。
3. 模型建立我们可以使用线性规划模型来解决这个问题。
令 \(x_1, x_2, \ldots, x_{10}\) 表示选择与否的变量，其中 \(x_i\) 表示是否选择第 \(i\) 个仓库进行供应。
则该问题可以表示为如下的数学模型：\[ \text{minimize } C = \sum_{i=1}^{10} c_i \cdot x_i \]\[ \text{subject to } \sum_{i=1}^{10} a_i \cdot x_i \geq b \] \[ x_i \in \{0, 1\}, i = 1,2,\ldots,10 \]其中，\(C\) 表示总成本，\(c_i\) 表示第 \(i\) 个仓库的成本，\(a_i\) 表示第 \(i\) 个仓库的供应能力，\(b\) 表示订单的需求量。
4. 求解过程我们可以使用线性规划软件来求解上述的线性规划问题。
数学建模实验二：微分方程模型Matlab求解与分析
实验二： 微分方程模型Matlab 求解与分析一、实验目的[1] 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析； [2] 熟悉MATLAB 软件关于微分方程求解的各种命令；[3] 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程； [4] 熟悉离散 Logistic 模型的求解与混沌的产生过程。
二、实验原理1. 微分方程模型与MATLAB 求解解析解用MATLAB 命令dsolve(‘eqn1’,’eqn2’, ...) 求常微分方程（组）的解析解。
其中‘eqni'表示第i 个微分方程，Dny 表示y 的n 阶导数,默认的自变量为t 。
（1） 微分方程 例1 求解一阶微分方程 21y dxdy+= (1) 求通解 输入：dsolve('Dy=1+y^2')输出：ans =tan(t+C1)（2）求特解 输入：dsolve('Dy=1+y^2','y(0)=1','x')指定初值为1，自变量为x 输出：ans =tan(x+1/4*pi)例2 求解二阶微分方程 221()04(/2)2(/2)2/x y xy x y y y πππ'''++-=='=-原方程两边都除以2x ，得211(1)04y y y x x'''++-= 输入:dsolve('D2y+(1/x)*Dy+(1-1/4/x^2)*y=0','y(pi/2)=2,Dy(pi/2)=-2/pi','x')ans =- (exp(x*i)*(pi/2)^(1/2)*i)/x^(1/2) +(exp(x*i)*exp(-x*2*i)*(pi/2)^(3/2)*2*i)/(pi*x^(1/2))试试能不用用simplify 函数化简 输入: simplify(ans)ans =2^(1/2)*pi^(1/2)/x^(1/2)*sin(x) （2）微分方程组例3 求解 d f /d x =3f +4g ; d g /d x =-4f +3g 。
2024版新教材高中数学第六章数学建模6-3数学建模案例二距离问题湘教版必修第二册
解决问题 结合图象不难回答问题(1)，通过研究函数y＝|x－1|＋|x－2|＋…＋|x －202|的图象和最值情况，可以得到以下结论： 形如y＝|x－A1|＋|x－A2|＋…＋|x－An|的函数，假设A1，A2，A3，…， An是这n个不同的常数从小到大的排列，若n为奇数，设这一列数中间 一个数为p，则当x＝p时，函数有最小值；若n是偶数，设这一列数中 间两个数依次为m，n，则当x∈[m，n]时，函数有最小值．
由Δ＝36t2－64(10 000－t2)≥0，得t≥80.
当t＝80时，x＝15，即D点选在距A点15 km处．
方法二 此问题还可以利用物理中的光学性质解决．因为光总是选
择用时最短的路径传播，所以本题可转化为光的全反射的临界状态， 光线沿C→D→B传播，则由光的折射定律，可得sin ∠CDE＝35，所以 sin ∠DCA＝35，此时|AD|＝15，即D点选在距A点15 km处．
序继续加工，假设移动零件所需费用与所移动的距离成正比，问检验
台应放在哪里，就能使所有零件移动所花总费用最少？
从上述解答过程不难看出，数学中的很多问题来源于实际，而且数 学和物理是不可分割的，这就要求我们在进行数学建模的时候必须要 有丰富的知识面，同时，也要对一个问题进行发散思考，不断开拓思 路，发掘方法．
2．有了本问题的研究结论后，形如y＝|x－A1|＋|x－A2|＋…＋|x－An| 的函数图象也就可以画出来了，这个结论有很多的应用，如
方法一 设|AD|＝x，则|CD|＝ x2 + 400，铁路运速为5a，公路运速C
处
到
B
处
的时
间
为
y，
则
y
＝
100−x 5a
+
数学建模的实验报告
数学建模实验报告姓名：学院：专业班级：学号：数学建模实验报告（一）——用最小二乘法进行数据拟合一．实验目的：1.学会用最小二乘法进行数据拟合。
2.熟悉掌握matlab软件的文件操作和命令环境。
3.掌握数据可视化的基本操作步骤。
4.通过matlab绘制二维图形以及三维图形。
二．实验任务：来自课本64页习题：用最小二乘法求一形如y=a+b x2的多项式，使之与下列数据拟合：三．实验过程：1.实验方法：用最小二乘法解决实际问题包含两个基本环节：先根据所给出数据点的变化趋势与问题的实际背景确定函数类；然后按照最小二乘法原则求最小二乘解来确定系数。
即要求出二次多项式: y=a+b x2的系数。
2．程序：x=[19 25 31 38 44]y=[19.0 32.3 49.0 73.3 97.8]ab=y/[ones(size(x));x.^2];a=ab(1),b=ab(2)xx=19:44;plot(xx,a+b*xx.^2,x,y,'.')3.上机调试得到结果如下：x = 19 25 31 38 44y=19.0000 32.3000 49.0000 73.3000 97.8000a = 0.9726b = 0.0500图形：四．心得体会通过本次的数学模型的建立与处理，我们学习并掌握了用最小二乘法进行数据拟合，及多项式数据拟合的方法，进一步学会了使用matlab软件，加深了我们的数学知识，提高了我们解决实际问题的能力，为以后深入学习数学建模打下了坚实的基础。
数学建模实验报告（二）——用Newton法求方程的解一．实验目的1.掌握Newton法求方程的解的原理和方法。
2.利用Matlab进行编程求近似解。
二．实验任务来自课本109页习题4-2：用Newton法求f(x)=x-cosx=0的近似解三．实验过程1.实验原理：把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=0 设f'(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。
数学建模-数学实验2
实验5 定积分的近似计算一、问题求定积分的近似值。
二、实验目的了解定积分计算的梯形法与抛物线法；会用Mathematica语言编写求定积分近似值的程序；会用Mathematica中的系统算符求定积分。
三、预备知识根据牛顿－莱布尼兹公式，定积分的值可以通过求原函数而计算出来，但在工程技术与科学实验中，有些定积分的被积函数的原函数可能求不出来，即使求出，计算也可能很复杂；特别地，当被积函数是用图形或表格给出时，更不能用牛顿－莱布尼兹公式计算。
因此必需寻求定积分的近似计算方法，根据定积分的几何意义就是曲线，直线，及轴所围的面积，因此有下述近似计算方法。
1．梯形法梯形法就是把曲边梯形分成若干窄小曲边梯形，然后用相应的窄小梯形来近似代替窄小曲边梯形，以窄小梯形的面积之和作为曲边梯形的近似值。
具体做法如下：用分点将区间 [，] 分成个等长的小区间，每个小区间的长度记为，设函数y =f (x) 对应于各分点的函数值为 y0 , y1 , y2 ,… yn ，如右图所示，每一个窄小梯形的面积为：＝＝(i =1,2,…n)从而有＝ (1)(1)式称为梯形法公式。
若时存在且，可以证明梯形法的误差为|－|对于较复杂函数f(x)，估计的上限往往比计算定积分本身更复杂，与实验四的牛顿迭代法的误差估计类似，在编程计算定积分时可采用如下方法估计误差。
记＝，误差限为，逐步计算，若则以A(n+1)作为的近似值，实现该方法的Mathematica程序如下。
f[x_]:=以x为自变量的函数表达式;er=误差限a=积分下限; b=积分上限;n=4;(*从4等分开始计算*)A[t_]:=((b-a)/t)*((f[a]+f[b])/2+Sum[f[a+i*(b-a)/t],{i,1,t-1}]); (*梯形法公式*) While[Abs[N[A[n+1]-A[n]]]>er,n=n+1];N[A[n]] (*输出定积分的近似值*)n (*输出计算停止时对[a,b]的等分数*)上述程序的效率并不高，因为在计算A(n+1)时没有利用到A(n)的信息，这里我们可以采用步长加倍法，即第二次计算时等分数加倍，A(2n)与A(n)的关系为A(2n)＝＝A(n)＋误差估计用，上述方法的Mathematica程序请读者自行考虑。
《数学建模与实验》教学大纲
《数学建模与实验》教学大纲一、课程基本信息中文名称：数学建模与实验英文名称：Mathematical Modelingand Experiments课程编码：06104C课程类别：专业主干课总学时：64总学分：4适用专业：数学与应用数学信息与计算科学先修课程：高等代数数学分析解析几何C语言开课系部：应用数学系二、教学大纲1.课程的性质与任务数学建模是一门实践性很强的课程。
重点是如何建立数学模型，基本方法是机理分析法、数据分析法和计算机仿真。
本课程针对大学生数学建模竞赛，讲授数学建模的知识，介绍典型趣味范例、数学建模竞赛题目，还包括微分方程模型、线性规划模型、图论模型、回归模型、计算机模拟等数学内容，提高学生运用数学知识分析和解决实际问题的能力，培养和增强学生的创新能力，为学生利用数学知识解决实际问题以及更好地适应未来的工作做必要的准备。
2.有关教学环节的要求本课程的教学以课堂讲授为主,实验为辅的教学方式。
考核方式：考核；结构成绩结合课程作业。
3．课程教学目的和要求第一章数学建模概论(2学时，实验2)教学目的与要求：1.理解数学模型和数学建模的意义;2.掌握数学建模的方法和步骤;3.了解数学模型的特点和建模能力的培养;4.了解数学模型的分类。
1.数学建模的意义；2.数学建模的方法和步骤；3.数学模型的分类。
第二章数学建模赛题选讲（4学时，实验4）教学目的与要求：1.了解一些数学建模的实际赛题，使学生能够了解数学建模在实际生产生活中的应用。
内容目录1.从近五年赛题中选择两到三个进行讲解。
2.建模流程。
第三章数模论文写作优秀模板（2学时，实验2）教学目的与要求：1.了解一些数学建模论文写作模版及写作技巧。
内容目录1.写作模版；2.写作技巧；3.优秀论文。
第四章初等数学方法建模（2学时，实验2）教学目的与要求：1.掌握参数比、类比、量纲分析等建模方法与实验;内容目录1.桌子能放平吗；2.刹车距离问题；第五章实验软件Matlab介绍（6学时，实验6）教学目的与要求：1.了解Matlab软件，初步掌握简单的编程方法;内容目录1.Matlab安装与界面；2.Matlab运算与表达式；3.Matlab程序结构；第六章线性代数模型（2学时，实验2）教学目的与要求：1.了解线性代数基本概念并能够利用线性代数解决一些实际问题; 内容目录1.人狗鸡米问题；2.夫妻过河；3.魔方（或幻方）问题。
数学建模优秀实验报告
一、实验背景与目的随着科学技术的不断发展，数学建模作为一种解决复杂问题的有力工具，在各个领域都得到了广泛应用。
本实验旨在通过数学建模的方法，解决实际问题，提高学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
二、实验内容与步骤1. 实验内容本实验选取了一道具有代表性的实际问题——某城市交通拥堵问题。
通过对该问题的分析，建立数学模型，并利用MATLAB软件进行求解，为政府部门提供决策依据。
2. 实验步骤（1）问题分析首先，对某城市交通拥堵问题进行分析，了解问题的背景、目标及影响因素。
通过查阅相关资料，得知该城市交通拥堵的主要原因是道路容量不足、交通信号灯配时不当、公共交通发展滞后等因素。
（2）模型假设为简化问题，对实际交通系统进行以下假设：1）道路容量恒定，不考虑道路拓宽、扩建等因素；2）交通信号灯配时固定，不考虑实时调整；3）公共交通系统运行正常，不考虑公交车运行时间波动；4）车辆行驶速度恒定，不考虑车辆速度波动。
（3）模型构建根据以上假设，构建以下数学模型：1）道路容量模型：C = f(t)，其中C为道路容量，t为时间；2）交通流量模型：Q = f(t)，其中Q为交通流量；3）拥堵指数模型：I = f(Q, C)，其中I为拥堵指数。
（4）模型求解利用MATLAB软件，对所构建的数学模型进行求解。
通过编程实现以下功能：1）计算道路容量C与时间t的关系；2）计算交通流量Q与时间t的关系；3）计算拥堵指数I与交通流量Q、道路容量C的关系。
（5）结果分析与解释根据求解结果，分析拥堵指数与时间、交通流量、道路容量之间的关系。
针对不同时间段、不同交通流量和不同道路容量，提出相应的解决方案，为政府部门提供决策依据。
三、实验结果与分析1. 结果展示通过MATLAB软件求解，得到以下结果：（1）道路容量C与时间t的关系曲线；（2）交通流量Q与时间t的关系曲线；（3）拥堵指数I与交通流量Q、道路容量C的关系曲线。
2. 结果分析根据求解结果，可以得出以下结论：（1）在高峰时段，道路容量C与时间t的关系曲线呈现下降趋势，说明道路容量在高峰时段不足；（2）在高峰时段，交通流量Q与时间t的关系曲线呈现上升趋势，说明交通流量在高峰时段较大；（3）在高峰时段，拥堵指数I与交通流量Q、道路容量C的关系曲线呈现上升趋势，说明拥堵指数在高峰时段较大。
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《数学建模与数学实验》实验报告
实验二水道测量
专业、班级信息1002 学号201010010213 姓名兰雪娇
课程编号81010240 实验类型验证性学时 2
实验（上机）地点教七楼数学实验中心完成时间2012-6-7
任课教师谷根代评分
一、实验目的及要求
1．掌握数学软件Matlab的基本用法和一些常用的规则，能用该软件进行编程；
2．能够借助数学软件进行二维和三维网格化数据绘图；
3．理解数据生成的基本方法。
二、借助数学软件，研究、解答以下问题
（一）依题“水道测量”所给数据和要求，讨论在下面假设情况下的模型。
假设：（1）海底光滑，无暗礁（因浅水海域）；（2）每个给定的数据点对未知点的影响与它们之间距离的平方成反比。
【解】：由于是在考察水域内随机测量有限个数据点，因此所得的数据是散乱的，这就必须对这些散乱数据进行规则化处理。
散乱数据规则化处理的一般流程是：
散乱数据的三角剖分→三角网格优化→构造插值曲面→生成规则网格数据
1.1 三角剖分
一般地，如果一组三维散乱数据点能够有效地投影到某个平面，就可以把空间三角剖分简化为平面问题处理。
曲面较为平坦时，用这样的方法处理效果比较好。
水道的水底面起伏较大，若将三维散乱数据投影到平面上进行三角剖分将明显改变相邻三角形之间的内角关系，也无法真实反映其空间的角度关系，从而影响剖分效果。
因此，这里采用曲面上散乱数据三角剖分的Choi算法。
1.2 三角网格优化
这里采用光顺准则对三角网格进行优化，即当空间四边形严格凸时，选择一条对角线（即一对三角形）使得该四边形四条边上的两共边三角形（面）之间的最小夹角最大。
如图2所示，设空间中一个严格凸的四边形ABCD ，四边形由四边e 1,e 2,e 3,e 4界定。
该四边形可看作三角网格中的一个局部区域，我们的目标是利用光顺准则使该局部区域与周围的三角网格光滑的相连接，即对该四边形选择一种三角剖分，使得四条边上两条边三角形（面）之间的最小夹角最大。
也就是说，该三角剖分要使每对共边三角形的单位法矢的点积最大。
1.3 构造插值曲面
构造散乱数据插值曲面是指对散乱数据点作三角剖分，在网格的每个三角形上构造基于三角顶点插值的三角曲面片，并使各曲面片之间满足一定的连续性要求（工程中要求达到C 1连续）。
构造基于给定散乱数据点插值的曲面的方法有很多，文献[2]给出了一种简单快速且曲面片之间满足
C 1连续的局部三角五次多项式插值曲面片的方法。
根据实际需要，这里采用局部三角三次多项式插值曲面片的方法。
⑴ 三角三次插值曲面片
在如图2所示的三角形ABC 上定义三次多项式曲面：
j i j i ij y x a y x F ∑≤+=
3),(
其中ij a 为待定系数，共10个。
⑵ 边界条件
为确定待定系数ij a ，需10个条件。
条件 1 三角形 ABC 的每个顶点坐标已知。
条件 2 显然，与三角形 ABC 的顶点 A 相连的点有 5 个，由这6个点可确定一个二次多项式插值曲面：
j i j i ij y x b y x G ∑≤+=
2),(
由此可计算出 A 点处的),(y x G x 与 ),(y x G y 。
将两者近似作为三次多项式插值曲面的一阶偏导数值。
类似可计算出三角形ABC 其它两个顶点处的一阶偏导数值。
条件 3 取三个顶点处沿n 的方向导数的平均值作为三角形ABC 重心处沿n 的方向导数，这里 AC AB AC AB n ⨯⨯=
这样由上述10个条件就可惟一确定ij a ，从而得到基于三角形ABC 的插值三次曲面片F(x,y)。
依此可构造出所有三角网格的曲面片。
由插值曲面片的构造过程可知，这些曲面片之间是满足C 连续的。
构造出插值曲面后，就可生成规则网格数据，从而可计算出水面任意点处的水深，判断出哪些水域是危险水域。
（二）依题“水道测量”所给数据和要求，在上面所给模型的基础上，进一步给出你的分析、假设、模型和结果，列出必要的程序清单等
【解】：下面是程序的运行结果(程序详见sdcl.m)
>>sdcl()
输入x的测量值[129.0 140.0 108.5 88.0 185.5 195.5 105.5 157.5 107.5 77.0 81.0 162.0 162.0 117.5]
输入y的测量值[7.5 141.5 28.0 147.0 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81.0 3.0 56.5 -66.5 84.0 -38.5] 输入z的测量值[4 8 6 8 6 8 8 9 9 8 8 9 4 9]
输入要显示范围中x的最小值75
输入要显示范围中x的最大值200
输入要显示范围中y的最小值-50
输入要显示范围中y的最大值50
输入船的吃水深度5
实验图
三、本次实验的难点分析
本次实验的难点是插值方法的确定，怎么找一个合理的方法是关键。
还有就是MATLAB的编程实现。
四、参考文献
【1】姜启源、谢金星、叶俊，数学模型（第三版），高等教育出版社第三版2003年8月。