北京2013届昌平区二模数学理科试题及答案

侧视图俯视图EDCBA 昌平区2012－2013学年第二学期高三年级期第二次质量抽测数 学 试 卷（理科）2013.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．) 1、已知集合{|21}x A x =>，{|1}B x x =<，则A B =A. {|1}x x >B. {|0}x x >C. {|01}x x <<D. {|1}x x < 2、已知命题 :p x ∀∈R ，2x ≥，那么下列结论正确的是A. 命题:2p x x ⌝∀∈R ≤， B ．命题:2p x x ⌝∃∈<R ， C ．命题:2p x x ⌝∀∈-R ≤， D ．命题:2p x x ⌝∃∈<-R ，3、圆22(2)1x y +-=的圆心到直线3,2x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的距离为A.24、设0,x y x y +≥⎧⎨-≥⎩与抛物线24y x =-的准线围成的三角形区域（包含边界）为D ，),(y x P 为D 内的一个动点，则目标函数2z x y =-的最大值为A. 1-B. 0C. 2D. 3 5、 在区间[]0,π上随机取一个数x ，则事件“1tan cos 2x x ≥g ”发生的概率为 A. 13 B. 12 C.23 D. 346、 已知四棱锥P ABCD -则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是 A ．3 B．C ．6 D ．87、如图，在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅的值为CBAA．1 BC8、设等比数列}{n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，并且满足条件11a >，9910010a a ->，99100101a a -<-.给出下列结论：① 01q <<； ② 9910110a a ⋅->；③ 100T 的值是n T 中最大的；④ 使1n T >成立的最大自然数n 等于198. 其中正确的结论是A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④第Ⅱ卷（非选择题 共110分）一、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9、二项式51(2)x x+的展开式中3x 的系数为___________.10、双曲线2221(0)yx b b-=>的一条渐近线方程为y =b = .11、 如图，AB 切圆O 于点A ,AC 为圆O 的直径，BC 交圆O 于点D ，E 为CD 的中点，且5,6,BD AC ==则CD =__________； AE =__________.12、执行如图所示的程序框图，若①是6i <时，输出的S 值为 ； 若①是2013i <时，输出的S 值为 .13、已知函数241,(4)()log ,(04)x f x xx x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩ 若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 .14、曲线C 是平面内到直线1:1l x =-和直线2:1l y =的距离之积等于常数()20k k >的点的轨迹.给出下列四个结论：①曲线C 过点(1,1)-；图1P FEDCB A②曲线C 关于点(1,1)-对称；③若点P 在曲线C 上，点,A B 分别在直线12,l l 上，则PA PB +不小于2.k④设0P 为曲线C 上任意一点，则点0P 关于直线1x =-、点(1,1)-及直线1y =对称的点分别为1P 、2P 、3P ，则四边形0123P PP P 的面积为定值24k .其中，所有正确结论的序号是 .三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15、（本小题满分13分）已知函数2()sin(2),R f x x x x π=-+∈. （Ⅰ）求()6f π；（Ⅱ）求)(x f 的最小正周期及单调递增区间.16、（本小题满分14分）如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的正方形, 侧面PAD ⊥底面ABCD，且PA PD AD ==, E 、F 分别为PC 、BD 的中点． (Ⅰ) 求证：EF //平面PAD ； (Ⅱ) 求证：面PAB ⊥平面PDC ；(Ⅲ) 在线段AB 上是否存在点,G 使得 二面角C PD G --的余弦值为13？说明理由. 17、（本小题满分13分）某市为了提升市民素质和城市文明程度，促进经济发展有大的提速，对市民进行了“生活满意”度的调查．现随机抽取40位市民，对他们的生活满意指数进行统计分析，得到如下分布表：（I ）求这40位市民满意指数的平均值；（II ）以这40人为样本的满意指数来估计全市市民的总体满意指数，若从全市市民（人数很多）中任选3人，记ξ表示抽到满意级别为“非常满意或满意”的市民人数．求ξ的分布列；（III ）从这40位市民中，先随机选一个人，记他的满意指数为m ，然后再随机选另一个人，记他的满意指数为n ，求60n m ≥+的概率．18、本小题满分13分） 已知函数21()ln (0).2f x x a x a =-> （Ⅰ）若2,a =求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[1,e]上的最小值；（III ）若()f x 在区间(1,e)上恰有两个零点，求a 的取值范围.19、本小题满分13分）如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴为AB ，过点B 的直线l 与x 轴垂直，椭圆的离心率2e =F 为椭圆的左焦点，且1AF BF =g .（I ）求此椭圆的方程；（II ）设P 是此椭圆上异于,A B 的任意一点，PH x ⊥轴，H 为垂足，延长HP 到点Q 使得HP PQ =. 连接AQ 并延长交直线l 于点,M N 为MB 的中点，判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系．20、本小题满分14分）设数列{}n a 对任意*N n ∈都有112()()2()n n kn b a a p a a a +++=++ (其中k 、b 、p 是常数) ．（I ）当0k =，3b =，4p =-时，求123n a a a a ++++ ；（II ）当1k =，0b =，0p =时，若33a =，915a =，求数列{}n a 的通项公式；（III ）若数列{}n a 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.当1k =，0b =，0p =时，设n S 是数列{}n a 的前n 项和，212a a -=，试问：是否存在这样的“封闭数列”{}n a ，使得对任意*N n ∈，都有0n S ≠，且12311111111218n S S S S <++++< ．若存在，求数列{}n a 的首项1a 的所有取值；若不存在，说明理由．昌平区2012－2013学年第二学期高三年级期第二次质量抽测数 学 试卷 参考答案（理科）2013.04一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9、80 ； 10 11、4 ； ；12、5；2013； 13、 (1, 2)； 14、 ②③④三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15、(本小题满分13分)解：（Ⅰ）2()sin(2)sin 222sin(2)3f x x x x x x ππ=-+=+=++分∴()2sin()2633f πππ=+==分（Ⅱ）()2sin(2)3f x x π=++22T ππ==.…………………………8分 又由5222(Z)2321212k x k k x k k πππππππππ-≤+≤+⇒-≤≤+∈可得 函数)(x f 的单调递增区间为5,(Z)1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.………13分16、(本小题满分14分)(Ⅰ)证明：连结AC BD F = ，ABCD 为正方形，F 为AC 中点，E 为PC 中点.∴在CPA ∆中，EF //PA ．．．．．．．．．．．．．．．．．．..2分且PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ∴//EF PAD 平面 ．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 (Ⅱ)证明：因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD 面ABCD AD =ABCD 为正方形，CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD 所以CD ⊥平面PAD .∴CD PA ⊥ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分又2PA PD AD ==，所以PAD ∆是等腰直角三角形， 且2APD π∠=即PA PD ⊥CD PD D = ，且CD 、PD ⊂面PDC∵PA PD =, ∴PO AD ⊥. ∵侧面PAD ⊥底面ABCD ,PAD ABCD AD ⋂=平面平面, ∴PO ABCD ⊥平面,而,O F 分别为,AD BD 的中点,∴//OF AB ,又ABCD 是正方形,故OF AD ⊥.∵2PA PD AD ==,∴PA PD ⊥,1OP OA ==. 以O 为原点,直线,,OA OF OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系, 则有(1,0,0)A ,(0,1,0)F ,(1,0,0)D -,(0,0,1)P . 若在AB 上存在点,G 使得二面角C PD G --的余弦值为13，连结,.PG DG 设(1,,0)(02)G a a ≤≤.由(Ⅱ)知平面PDC 的法向量为(1,0,1)PA =-.设平面PGD 的法向量为(,,)n x y z = .∵(1,0,1),(2,,0)DP GD a ==--,∴由0,0n DP n GD ⋅=⋅= 可得00200x y z x a y z +⋅+=⎧⎨-⋅-⋅+⋅=⎩,令1x =,则2,1y z a =-=-,故2(1,,1)n a =--∴1cos ,3n PA n PA n PA ⋅<>===,解得，12a =. 所以，在线段AB 上存在点1(1,,0)2G ,使得二面角C PD G --的余弦值为13. .．．．．．．．．．．．．．14分 17、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记X 表示这40位市民满意指数的平均值，则1(9015601730602)63.7540X =⨯+⨯+⨯+⨯=（分）…………………2分 （Ⅱ）ξ的可能取值为0、1、2、3.1251)51()54()0(3003===C P ξ ，12512)51()54()1(2113===C P ξ 12548)51()54()2(1223===C P ξ ，12564)51()54()3(0333===C P ξ ∴ξ……………8分（Ⅲ）设所有满足条件60+≥m n 的事件为A①满足600==n m 且的事件数为：1121734A A = ②满足900==n m 且的事件数为：1121530A A =③满足9030==n m 且的事件数为：1161590A A =24034309077()780P A A ++∴== 所以满足条件60+≥m n 的事件的概率为77780.……………………13分 18、（本小题满分13分） 解：（I ）2,a =212()2ln ,'(),2f x x x f x x x =-=-1'(1)1,(1),2f f =-= ()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为2230.x y +-=………………………..3分（Ⅱ）由2'().a x af x x x x-=-=由0a >及定义域为(0,)+∞，令'()0,f x x =得1,01,a <≤即在(1,e)上，'()0f x>，)(x f 在[1,e]上单调递增， 因此,()f x 在区间[1,e]的最小值为1(1)2f =. ②若21e,1e ,a <<<<即在（上，'()0f x <，)(x f单调递减；在上，'()0f x >，)(x f 单调递增，因此()f x 在区间[1,e]上的最小值为1(1ln ).2f a a =- 2e,e ,a ≥即在(1,e)上，'()0f x <，)(x f 在[1,e]上单调递减， 因此,()f x 在区间[1,e]上的最小值为21(e)e 2f a =-. 综上，当01a <≤时，min 1()2f x =；当21e a <<时，min 1()(1ln )2f x a a =-； 当2e a ≥时，2min 1()e 2f x a =-. ……………………………….9分 (III) 由（II ）可知当01a <≤或2e a ≥时，)(xf 在(1,e)上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点. 当21e a <<时，要使()f x 在区间(1,e)上恰有两个零点，则∴21(1ln )0,21(1)0,21(e)e 0,2a a f f a ⎧-<⎪⎪⎪=>⎨⎪⎪=->⎪⎩即2e1e 2a a >⎧⎪⎨<⎪⎩，此时，21e e 2a <<. 所以，a 的取值范围为21(e,e ).2…………………………………………………………..13分 19、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知，(,0)A a -, (,0)B a ，(,0)F c -， ()()1AF BF a c a c =+-=g2221a c b ∴-==又e = 22222222134c a b a e a a a --==== ，解得24a = 所求椭圆方程为2214x y +=…………………………5分 （Ⅱ）设00(,)P x y ，则00(,2)Q x y 00(2,2)x x ≠≠- 由(2,0),A -得0022AQ y k x =+ 所以直线AQ 方程002(2)2y y x x =++由(2,0),B -得直线l 2,x =的方程为 008(2,)2y M x ∴+ 004(2,)2y N x ∴+由 0000200422224NQy y x x y k x x -+==--又点P 的坐标满足椭圆方程得到：2200+44x y = ，所以 220044x y -=- 000002200022442NQ x y x y x k x y y ===--- ∴直线NQ 的方程：00002()2x y y x x y -=-- 化简整理得到：220000244x x yy x y +=+= 即0024x x yy += 所以点O 到直线NQ的距离2d O ===圆的半径∴直线NQ 与AB 为直径的圆O 相切.……………………………………. 13分20、（本小题满分14分）解：（I ）当0k =，3b =，4p =-时，1123()42()n n a a a a a +-=++ ， ①用1n +去代n 得，111213()42()n n n a a a a a a +++-=+++ ， ②②—①得，113()2n n n a a a ++-=，13n n a a +=，……………………………2分在①中令1n =得，11a =，则n a ≠0，∴13n na a +=， ∴数列{}n a 是以首项为1，公比为3的等比数列，∴123n a a a a ++++ =312n -…………….4分（II ）当1k =，0b =，0p =时，112()2()n n n a a a a a +=++ ， ③ 用1n +去代n 得，11121(1)()2()n n n n a a a a a a ++++=+++ ， ④④—③得， 11(1)0n n n a na a +--+=， ⑤. 用1n +去代n 得，211(1)0n n na n a a ++-++=， ⑥⑥—⑤得，2120n n n na na na ++-+=，即211n n n n a a a a +++-=-，. ∴数列{}n a 是等差数列.∵33a =，915a =， ∴公差93293a a d -==-，∴23n a n =-…………………………………………9分（III ）由（II ）知数列{}n a 是等差数列，∵212a a -=，∴12(1)n a a n =+-. 又{}n a 是“封闭数列”，得：对任意*,N m n ∈，必存在*N p ∈使1112(1)2(1)2(1)a n a m a p +-++-=+-，得12(1)a p m n =--+，故1a 是偶数，………………10分又由已知，111111218S <<，故1181211a <<.一方面，当1181211a <<时，1(1)n S n n a =+-0>，对任意*N n ∈，都有123111111112n S S S S S ++++≥> . 另一方面，当12a =时，(1)n S n n =+，1111n S n n =-+，则1231111111n S S S S n ++++=-+ ， 取2n =，则1211121113318S S +=-=>，不合题意. 当14a =时，(3)n S n n =+，1111()33n S n n =-+，则 1231111111111()183123n S S S S n n n ++++=-+++++ 1118<， 当16a ≥时，1(1)n S n n a =+-(3)n n >+，1111()33n S n n <-+， 123111*********()18312318n S S S S n n n ++++<-++<+++ ， 又1181211a <<，∴14a =或16a =或18a =或110a =……………………….14分。